27.3 位似(主书)-【重难点手册】2024-2025学年九年级下册数学（人教版）

第二十七章相似么 27.3位似 重点和难点 课标要求 1.能够运用位似变换将一个图形放大或编小 重点：位似图形的性质。 2.掌握在平面直角坐标系中位似图形的对应点坐标的变化 难点：作位似图形，位似变换 关系 01一必备知识梳理-。 知识点1位似的概念 解析两个图形是位似图形的条件有：①这 位似图形的定义和性质 两个图形是相似的：②这两个图形对应点的连 定义：如果两个图形不仅是相似图形，而 线交于一，点.只有同时符合这两个条件的图形 且对应点的连线相交于一点，那么这样的两个 才是位似图形，否则就不是位似图形 图形叫作位似图形，这个点叫作位似中心.这 答案C 时我们说这两个图形关于这个点位似 知识点2平面直角坐标系下的位似变换 性质：(1)位似图形是相似图形： 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以 (2)位似图形的对应点的连线交于一点： 原点为位似中心，位似比为k,那么位似图形对 (3)位似图形的对应边互相平行或共线： 应点的坐标值的比等于k或一k, (4)位似图形上任意一组对应点到位似中 例②如图，在平面直角坐标系中，作出以 心的距离之比等于相似比. A(1,2),B(3,2),C(4,3)为顶点的△ABC在第 传提国 一象限的位似图形△A'B'C',使△ABC与 位似与相似的关系：①相似只要求两个图形形 △AB'C的位似比为1：2，位似中心是坐标原点. 状完全相同，而位似是在相似的基础上还要求对应 点的连线相交于一点：②如果两个图形是位似图 形，那么这两个图形一定是相似图形，但两个相 似图形不一定是住似图形，即位似是相似的特殊 情况 A 例①下列实际生活事例中位似图形的个 B 数为(). 1123456789101x ①放电影时胶片和屏幕上的画面：②望远 镜中看到的画面和实际画面；③照相时人物和 点拨在平面直角坐标系中，作出以坐标 底片上的影像：④同一张底片冲洗出的大小不 原点为位似中心，位似比为1：2的位似图形， 同的两张照片. 可将原图形△ABC的横、纵坐标同时扩大为原 A.1 B.2 C.3 D.4 来的2倍. 51 国避食手细九年级数学下册？] 解析如图，A'(2,4),B(6,4),C(8,6), C.(2,3)或(-2，-3) △AB'C‘即为所求的三角形. D.(3,2)或(-3，-2) 易错点错误地认为位似比是唯一的 例如图，矩形OABC的顶点O在坐标 原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果 矩形OA'B'C与矩形OABC是关于点O的 位似图形，且矩形OAB'C'的面积等于矩形 错解A OABC面积的，那么点B的坐标是( 错因 没有考虑到矩形OA'B'C'有可能 A.(3,2) 在第三象限 B.(-2,-3) 正解D 02-关建能边提升。 题型1位似图形的判定 位似图形必须满足两个条件： (1)两个图形是相似图形： D 图1 图2 (2)对应点的连线交于一点. 解析(1)如图1，连接AC,DB. 制西 ,∠ABC=∠ADC,∠BOC=∠DOA, (1)两个位似图形的位似中心有且只有一个 AD=CB, (2)位似中心可能位于两个位似图形的同侧， ∴.△BOC≌△DOA, 可能位于两个位似图形之间，也可能位于两个位似 ..OA=OC.OD=OB, 图形的内部或边上，还可以是顶，点，如图所示 .∠4=∠3，∠1=∠2. 又，∠5=∠6，∴.∠3=∠1. ∴.AC∥DB.故AC与DB无交点. .△AOD与△COB不是位似图形. (2)如图2，，∠A=∠B,∠AOC=∠BOD ∴△AOC∽△BOD,且三组对应点OO, 例判断满足下列关系的两个三角形是 A→B,C→D所在直线都经过点O, 否为位似图形.如果是，请指出位似中心：如果 .△AOC与△BOD是位似图形，位似中 不是，请说明理由 心为点O 例4如图，矩形ABCD的对角线AC与 (1)如图1，AB,CD相交于点O,且∠ABC BD相交于点O,已知E,F,G,H分别是OA, ∠ADC,AD=CB: OB,OC,OD的中点，那么矩形ABCD与四边形 (2)如图2，AB,CD相交于点O,且∠B EFGH是否是位似图形？如果是，请指出位似 ∠A. 中心，并求出位似比：如果不是，请说明理由. 52 第二十七章相似么组 HOQP的位似图形 作法： (1)如图2，在△ABC的边AC上取一点 D,作正方形DEFG,使EF边在线段AB上： 解析E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD (2)作射线AG交BC边于点P,过点P作 的中点 PH∥DG交AC于点H,过点P作PQ∥FG EFL3AB.GHL2CD,∠FEG 交AB于点Q,过点H作HO∥DE交AB于 点O,则正方形HOQP即为所求的正方形，正 ∠BAC,∠GEH=∠CAD 方形DEFG即为正方形HOQP的位似图形. 又，四边形ABCD是矩形， .ABILCD,∠BAD=90°， H ∴.EF∥GH,EF=GH,∠FEH=90°， D/G .四边形EFGH是矩形. 又：EE=S-GH_EH1 E FO AB BC CD AD2 图2 ∴.矩形EFGH与矩形ABCD相似，且相 例5如图，作出一个新图形，使新图形与 原图形对应线段的比为2：1，且方向相反， 似比为号 点拨作不规则的几何图形的位似图形， 又”两个图形的对应点所在直线都经过 方法是找出关键，点（往往是拐点），化不规则图 点O, 形为规则图形. .它们是位似图形，位似中心是点O,位似 D 比学于相似比，即2 题型2将一个图形放大或缩小 1.作位似图形的一般步骤： D (1)确定位似中心： (2)分别连接位似中心和关键点，并延长： 解析如图，作法如下： (3)根据相似比，确定各关键点所对应的 (1)在原图形外指定一点P,并在原图形上 要求，作出位似图形上的点： 取几个关键点A,B,C,D,E,F,G (4)顺次连接上述各点，得到放大或缩小 (2)作射线AP,BP,CP,DP,EP,FP, 的图形 GP: 2.作三角形的内接正方形： (3)在这些射线上依次取，点A',B,C,D, 如图1，在给定的锐角 E',F',G',PA'=2AP,PB'=2BP,PC= △ABC中，求作一个正方形 2CP.PD'=2DP,PE'=2EP,PF'=2FP, HOQP,使得点O,Q落在ABA PG=2GP: 上，点H,P分别落在AC,BC 图1 (4)顺次连接点A',B,C,D,E,F,G,A 上；在给定的锐角△ABC中，求作正方形 则所得到的图形就是符合要求的图形. 53 国雕令手细九年级教学下册圆 例G画一个三角形，使它与已知△ABC 例☑某学习小组在讨论“变化的鱼”时， (如图1)相似，且原三角形与所画三角形的相 知道大鱼与小鱼是位似图形（如图），则小鱼上 似比为2：1. 的点(a,b)对应大鱼上的点是( 解析方法一（位似图形法） 如图2，任意取一点O,连接OA,OB,OC, 取OA,OB,OC的中点A',B,C,连接AB', BC',CA'得△A'B'C', 则△A'B'C'即为所求的三角形. A.(-2a,-2b) B.(-a,-2b) C.(-2b,-2a) D.(-2a,-b) 解析由图观察知大鱼与小鱼的位似比为 2,根据对称点所在的象限可知，点(a,b)的横 B 图1 图2 坐标和纵坐标都应该乘以一2。 方法二（平行截取法） 答案A 如图3，取AB的中点D, 。变式1如图，在 B 过点D作DE∥BC交AC于点E △ABC中，A,B两个顶点 则△ADE即为所求的三角形， 在x轴的上方，点C的坐标 y 是（一1,0）.以点C为位似 中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形，并 把△ABC的边长放大到原来的2倍，记所得的 图形为△A'BC.设点B的对应点B'的横坐标 是a,则点B的横坐标是( 图3 图4 方法三（变换坐标法） &-a+1D 如图4，令△ABC三个顶点的坐标分别为 D.-2a+3) A(2,2),B(-2,-2),C(4,-2) C-2a-) 例⑧如图，在12×12的正方形网格中， 现将每一点的横，纵坐标都乘以 △TAB的顶点分别为T(1,1),A(2,3),B(4,2). 得A'(1,1),B(-1,-1),C(2,-1) 连接A'B',B'C,CA',则△A'BC即为所 求的三角形 题型3直角坐标系中的位似变换 当以原点为位似中心时，变换前后两个图 形对应点的横坐标、纵坐标之比的绝对值等于 位似比.若两个图形在原点的同侧，对应点的 横坐标、纵坐标之比为正：若两个图形在原点 (1)以点T(1,1)为位似中心，按比例尺 的异侧，对应点的横坐标、纵坐标之比为负 3:1(TA':TA)在位似中心的同侧将△TAB 54 第二十七章 相似么鱼 放大为△①AB',放大后点A,B的对应点分别为 4-1=3 2-11 A',B,画出△TAB',并写出点A',B的坐标： (2)在(1)中，若C(a,b)为线段AB上任意 即E二红=x二江=3，n一x红 TA-IT yA-yT工'EB-x7 一点，写出变化后点C的对应点C'的坐标. 解析(1)画出△TA'B'(如图) w二业=3 ya-yT 点A',B的坐标分别为A'(4,7),B(10,4). 设点C的坐标为(r,y). (2)点A,B,T的坐标分别为A(2,3), 则X-1=3,y-1_3 a-1i'6-1i B(4,2),T(1,1). .x=3a-2,y=3b-2. 可以看号号0号 ∴.点C的坐标为(3a-2,3b-2) 03-热点考向聚焦一。 考向1直角坐标系中的位似变换 A.(-1.-1) 例9(2023·鄂州 B 中考)如图，在平面直角 c(-1,-) D.(-2,-1)》 坐标系中，△ABC与 例10(2021·重庆中考)如图，在平面直 △ABC位似，原点OO 角坐标系中，将△OAB以原点O为位似中心 是位似中心且福=若A9.3),则点A的 放大后得到△OCD,若B(0,1),D(0,3),则 △OAB与△OCD的相似比是( 坐标是 解析：将△ABC以成0为位似中心，号 为相似比作位似变换，得到△ABC1,A(9, 3),且点A1与点A在点O的同侧，点A 的坐标是（号×9，号×3，即A(3,1). 答案(3,1). A.2:1 B.1:2 ◆变式2（经典·嘉兴中考）如图所示，在 C.3:1 D.1:3 直角坐标系中，△OAB的顶点为O(0,0), 解析B(0,1),D(0,3). .OB=1.OD=3. A(4,3),B(3,0).以点O为位似中心，在第三 △OAB以原点O为位似中心放大后得 象限内作与△OAB的相似比为的位似图形 到△OCD △OCD,则点C的坐标为( ∴.△OAB与△OCD的相似比是OB: OD=1:3. 答案D 考向2位似图形的画法 例工1（经典·安徽中考）如图，图中的小 方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A'B'C 55 国雕点手册九年级数学下册圆 是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点 (2)如图2、3，在△ABC 都在小正方形的顶点上， 中，∠BAC=90°，正方形DEFG (1)画出位似中心点O: 的四个顶点在△ABC的边上， (2)求出△ABC与△A'B'C'的位似比： 连接AG,AF,分别交DE于B Q 1 (3)以点O为位似中心再画一个△ABC, M,N两点. 使它与△ABC的位似比等于1.5. ①如图2，若AB=AC=1,直接写出MN 的长； ②如图3，求证：MN2=DM·EN. 图2 图3 点拨位似中心就是对应，点连线的交点， 点拨运用第(1)问的基本结论解决第(2)问： 对应点到位似中心的距离比等于位似比.在格 在第(2)②问中通过位似比将“MN=DM· 点中要用勾股定理求有关线段的长 EN”转化为“GF=BG·CF” 解析(1)如图，连接BB并延长交A'A的 解析(1)在△ABQ中，由于DP∥BQ, 延长线于点O,则位似中心点)在小正方形的 ∴.△ADP∽△ABQ. 顶点上 (2)△ABC与△A'B'C的位似比就是 BC 器铝 B'C .BC=√1+2=5，BC=√2+4=25， 同理，在△AQ和△AEP中，恶-6 器 DP_PE ·BQQC △ABC与△ABC'的位似比为2 eo贤 (3)如图（见虚线部分），连接OC(,点C在 ②"，'∠B+∠C=90°，∠CEF+∠C=90°， OC'上) .∠B=∠CEF ,'OA=6,要使△ABC1与△ABC的位 又，∠BGD=∠EFC, 似比为1.5， '.△BGDp△EFC, 则QA=6×1.5=9,即可确定点A的位置. 器架 过点A1作AC∥AC交OC'于点C1,过 .DG·EF=CF·BG ,点A作AB,∥AB交OB′于点B1,再连接 又DG=GF=EF, B,C1,则△ABC1即为所求的三角形. ∴.GF2=CF·BG 考向3利用位似变换解题 例12（经典·武汉中考）(1)如图1，在 1将兴深器 GF CF △ABC中，点D,E,Q分别在AB,AC,BC上 (深瑞器 BG'CF' 且DE/C,AQ交DE于点R求证需恶 ∴.MN2=DM·EN. 56变式参考答案与提示么组 3x=3-x,解得x=（km. (2)由定义可证sinA=cosB,sinB=cosA. (3)同理，运用三角函数定义可以证明tanA 在Rt△CEF中， =sin A R=√CE+CF=√P+(-m. cos A' 在Rt△BDF中， [变式2] 构造直角三角形可求cosa= BF=VFD+BD-√3+( -5(kam), 3× A tan a= ,则sing二Cosa 5 192 “水管总长为7+5=5(km. tan'a+1 3 +1 625 ÷水厂与点C相距子km时可使铺设水管的 [变式3]√2-1. [变式4门如图，过点A作DB的延长线的垂线 费用最省， AE,垂足为点E .水管铺设的总费用S=5×2=10(万元). [变式2]5.[变式3]C 27.3位似 [变式1]D[提示：分别过点B,B作BD⊥ x轴，BD'⊥x轴，垂足分别为点D,D.由题 在等腰Rt△BDC中，∠1=45°， 意知号瓷-子设点B的城坐标为， 设BD=DC=1,则BC=√2 在Rt△ABC中，∠4=30°， ∴。二二壳2解得x=-2a+30.] 则AB=BC·tam30°=V2X5-6 33 [变式2]B[提示：：以点O为位似中心， 在Rt△AEB中，∠2=180°-（∠1+∠3） 相似比为3，而A(4,3),点C与点A在点O 180°-(90°+45)=45°， 的两侧， .点A的对应点C的坐标为 则EB=EA=AB·sim45°-6×2-3 323 第二十八章锐角三角函数 在R△DEA中，DE-BD+EB=号+1， 28.1锐角三角函数 则tan∠ADB= AE 3 3-1 [变式1](1)如图，在Rt△ABC DE 2 中，∠C=90°， [变式5]B[提示：过点A作AD⊥BC于点 sin A-4,cosA=b D,在Rt△ABD中，∠ADB=90°，AD=BD A+oA=()'+(伯) =3,∴.AB=√AD+BD=√3+32= - 3区is∠Ac-器2号] 103