27.2.3 相似三角形应用举例(主书)-【重难点手册】2024-2025学年九年级下册数学（人教版）

国雅点手曲九年级教学下册圆 (2)如图1，由(1)得EF=5,EQ=4. 综上所述，S与t的函数关系式为 2+200S1K4. S= -4t+28(4≤1<5)， (1-9)'(5≤1≤9). 1 图1 图2 [变式3] (1),△ADE∽△ABC, ∠C=45, '.△FPC是等腰直角三角形 - .PC=PF=EQ=4,QC=QP+PC=9. 分三种情况讨论： 能 ① 1.如图2，当0≤1<4时， 同理，，△CEF∽△CAB, 设EF,FP分别交AC于点M,N,则△MFN 是等腰直角三角形， 黑 VS CA ② .FN=MF=t. ∴，S=S矩形FrQ一S△N ①+②得+-A+5-1, S AC CA ∴.√S,+S=S. Ⅱ.如图3，当4≤t<5时，则ME=5-t, (2)由(1)得√S+S2=S, QC=9-t. .S+S2+2S1S2=S. .S=S梯形mMcQ= 26-0+(9-0]×4 .S-S1-S=2S1S2. =-41+28. SODFE=2VS S2. (3)过点E作EH∥AB交BC于点H,可证 △DBG≌△EHF, ∴.SoFE=S-DBHE. 仿(2)的结论得SaE=2√S(S2十Sa). 图3 27.2.3相似三角形应用举例 Ⅲ.如图4，当5≤t≤9时，设EQ交AC于 [变式1]如图，延长AC到点E,使CE=AC 点K, =1km,连接BE交CD于点F,则在F点建 水厂，可使铺设费用最省. ,BD⊥CD,.CE∥BD ∴.△CEF∽△DBF. 图4 嚅儡 则KQ=QC=9一1. 设CF=xkm,则FD=3-x, ∴S=Saa=(9-2=21-9. 102 查式参考答案与提示么出 3=3-,解得x=是（km. (2)由定义可证sinA=cosB,sinB=cosA. (3)同理，运用三角函数定义可以证明tanA 在Rt△CEF中， =sin A R=√CE+C=√P+(-m, cos A' 在Rt△BDF中， [变式2] 构造直角三角形可求cosa= BF=VFD+BD-√3+( 3、 ,则sina·cosa 3 5 tan a= 192 4 “水管总长为+5=5(m. tana十1 3 +1 625 一水厂与点C相距子km时可使铺设水管的 [变式3]√2-1. [变式4门如图，过点A作DB的延长线的垂线 费用最省， AE,垂足为点E .水管铺设的总费用S=5×2=10(万元). [变式2]5.[变式3]C 27.3位似 [变式1]D[提示：分别过点B,B作BD⊥ x轴，BD'⊥x轴，垂足分别为点D,D.由题 在等腰Rt△BDC中，∠1=45°， 意知号瓷一子设点B的城坐标为 设BD=DC=1,则BC=√2. 在R1△ABC中，∠4=30°， ∴。二二壳2解得x=-号a+3.] 则AB=BC·tam30°=2×3-6 331 [变式2]B[提示：以点O为位似中心， 在Rt△AEB中，∠2=180°-（∠1+∠3） 相似比为3，而A(4,3),点C与点A在点O 180°-(90°+45)=45°， 的两侧， .点A的对应点C的坐标为 (-门 则EB=EA=AB·sim45°-6×2-3 3231 第二十八章锐角三角函数 在R△DEA中，DE-BD+EB=号+1， 28.1锐角三角函数 则tan∠ADB= AE」 3 3-1 [变式1](1)如图，在R△ABC DE 2 中，∠C=90°， [变式5]B[提示：过点A作AD⊥BC于点 sin A-4,cos A=B D,在Rt△ABD中，∠ADB=90°，AD=BD mA+coA=(是)'+（伯） =3,∴.AB=√AD+BD=√3+32= - 3区is∠Ac-器2号] 103第二十七章相以么 27.2.3相似三角形应用举例 重点和雅点 课标要求 重点：相似三角形性质的应用。 L.能够运用相似三角形的性质解决实际问题， 难点：建模思想，数形结合思想。 2,通过建立几何模型将实际问题转化为数学问题. 门-01一必备知识梳理一。 知识点1相似三角形的性质 端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得 相似三角形的性质： AC=2m,BC=8m,则旗杆的高度是(). 相似三角形的对应角相等，对应边成比例. A.6.4mB.7m C.8 m D.9 m 如图所示，高为AB,DE的两个物体在同 一时刻阳光下的影长分别为BC,EF. 图1 图2 点拔由平行线找到相似三角形，将未知 B 线段的比转化为已知线段的比 探究：(1)AC与DF的位置关系是 解析如图2， (2)△ABC △DEF: CD∥BE. 3是 ∴.△ACDC△ABE BC 答案平行：0EF 跷能 .BE-2+8 …1.6 2 例1如图1，身高为1.6m的某学生想测 ∴.BE=8(m). 量学校旗杆的高度，当她站在C处时，她头顶 答案C 口02关建能力提升。 题型1利用相似三角形测量高度 (或测竿)的高度和影长及旗杆的影长，再利 测量无法到达顶部的物体的高度，通常利 用“同一时刻物体的高与影长成比例”的原理 用“同一时刻物体的高与影长成比例”的原理 求解 解决 (1)利用阳光下的影子（如测量旗杆的高度） D B G 如图1，选一名同学（或利用一根测竿）直 A E B 立于旗杆影子的顶端处，然后测量出该同学 1图1 2 料3 45 国雕点手册九年级数学下册圆 (2)利用标杆（如测量古塔的高度） ∠CPD,从而推出△ABPc∽△CDP 准备一根比观测者身高略长的标杆，把它 解析根据光的反射定律可推得∠APB= 竖直地插在要测量的古塔前的E处 ∠CPD. 如图2，设古塔的中心线为PO,观测者自 又.∠ABP=∠CDP=90°， 标杆起面对古塔沿OE的延长线向后退至A ∴.△ABP∽△CDP, 处，此时，要使观测者的眼晴看到古塔顶P与 部那 品授 标杆顶F在同一直线上，然后保持头部不动， 眼睛沿水平线BD的方向望去，使视线与标杆 ∴.CD=8(m). EF和古塔PO分别相交于点G,B,分别做好 答案B ◆变式1如图，A,B两个村子 B 标记，于是△GFDO△BPD,得器-部因 在河CD的同侧，A,B两村到河的 为BD=AO,GD=AE,GE=DA,所以只要测 距离分别为AC=1km,BD= D 量出人与古塔的距离AO、人与标杆的距离 3km,CD=3km,现要在河边CD上建一水 AE、标杆及人的高度，将所得数据代入，就有 厂，同时向A,B两村输送自来水，铺设水管的 PB-FG BD,PO-PB+BO.PO-PB+ 工程费用为每千米2万元，问：水厂与点C相 GD 距多少千米时可使铺设水管的费用最省？求 AD. 出铺设水管的总费用S. (3)利用镜子的反射（如测量旗杆的高度） 例3如图，人字形屋架上的六段距离 如图3，选一名学生作为观测者，在观测者 BD,DE,EF,FG,GH,HC彼此相等，MD, 与旗杆之间的地面上平放一面镜子，在镜子上 NE,AF,KG,LH都垂直于BC,中柱AF= 做一个标记，观测者看着镜子来回走动，直至 2m,求支柱MD,EN的长. 看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记 重合，然后测量出人与镜面上的点、旗杆与镜 面上的点的距离及观测者的身高，并根据入射 角等于反射角，利用相似三角形求解。 例②如图是小明设计用手电来测量某古 点拨由BD=DE=EF,可得两个相似三 城墙高度的示意图.点P处放一水平的平面 角形的相似比 镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到 解析由题意知MD∥AF, 古城墙CD的顶端C处.已知AB BD,CD⊥ .△BMD△BAF, BD,测得AB=1.2m,BP=1.8m,PD= MD_BD 12m,那么该古城墙的高度是( AF BF' A.6 m .MD 1 .2 3 B.8 m 品品 C.18m ∴.MD= D.24m 点拨根据光的反射定律可推得∠APB= 同理，△BNE△BAF,求得EN=专m 46 第二十七章相似么 题型2利用相似三角形测量长度或 例⑤如图，在射击瞄准时，要求枪的标尺 宽度 缺口上沿中央A、准星尖B和瞄准点C在一条 1.构造“A”形图，如图1，可先测量出BD, 直线上，这样才能命中目标.已知某种冲锋枪 基线AB长38.5cm,如果射击距离AC= DC,EC的长度，然后根据相似三角形的性质， 100m,当准星尖在缺口内偏差BB'为1mm 求出AB的长度， 时，弹道偏差CC是多少(BB∥CC)? B A B 图1 图2 点拨根据实际问题画出几何图形，利用 2.构造“X”形图，如图2，可先测量出AC, “A”形图中的比例线段求解.注意计算过程中 DC,DE的长度，然后根据相似三角形的性质， 对单位的处理. 求出AB的长度. 解析·BB∥CC, 例④如图，要测量河两岸相对的两点A, ∴.△ABB∽△ACC, B间的距离，先从B处出发与AB成90°角方 向向前走50m到C处，在C处立一根标杆，然 提腮 后方向不变继续朝前走10m到D处，在D处 又，AB=38.5cm,AC=100m=10000am, 作DE⊥BD,沿DE方向走17m到E处，恰好 BB'=1 mm=0.1 cm, 使点A(目标)，C(标杆)，E在同一条直线上， 0品-2 求A,B之间的距离. ∴.CC≈26(cm)=260(mm). 故弹道偏差CC为260mm. ◆变式2如图，在测量小玻璃管口径的量 具ABC上，AB的长为10mm,AC被分为60 等分，如果小管口DE正好对着量具上30等分 点拨利用“X”形求解 处(DE∥AB),那么小管口径DE的长是mm 解析，AB⊥BD,DE⊥BD, B .AB∥DE, '.△ABCc∽△EDC, 2030405060 D A 部瓷 题型3利用两次相似求高度 得8 一些复杂的实际问题涉及两个基本图形。 并且未知线段过多，此时需要运用两次相似三 .AB=85(m). 角形的性质，有时还需要借助方程（组）这一工 故A,B之间的距离为85m. 具来解决。 47 国避手册九年级数学下册] 例G如图，王华晚上由路灯A下的B处 .GC⊥BC,AB⊥BC, 走到C处时，测得影子CD的长为1m,继续往 .GC∥AB, 前走3m到达E处时，测得影子EF的长为 .△GCD∽△ABD. 2m,已知王华的身高是1.5m,那么路灯A的 器器 高度AB等于( 设BC=xm, 则1=15 +1 AB ① 同理异招 CDE 2 A.4.5m B.6 m 异 ∴.x=3. C.7.2m D.8m 将x=3代入①中得AB=6(m). 解析如图，设王华的身高为GC 答案B 03热点考向聚焦。☐ 考同1求高度或宽度 例8(2021·烟台中考)《九章 D 例7(2023·江西中考)《周髀算经》中记 算术》中记载了一种测量井深的方4 载了“偃矩以望高”的方法.“矩”在古代指两条 法，如图所示，在井口B处立一根垂 边呈直角的曲尺（即图中的ABC).“偃矩以望 直于井口的木杆BD,从木杆的顶端 高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高 D观察井水水面C处，视线DC与井 度.如图，点A,B,Q在同一水平线上，∠ABC 口的直径AB交于点E,如果测得AB 和∠AQP均为直角，AP与BC相交于点D,测 =1.6m,BD=1m,BE=0.2m,那 得AB=40cm,BD=20cm,AQ=12m,则树 么井深AC为 m. 高PQ= 解析易知AE=AB一BE= m 1.6-0.2=1.4(m).根据题意可知AC∥BD, ,.△BDE∽△ACE. 肥器“导 .AC=7(m). 解析由题意知BC∥PQ, 故井深AC为7m, ∴.△ABD∽△AQP, 答案7. 部8 ●变式3（经典·绍兴中考）学校门口的 栏杆如图所示，栏杆从水平位置绕O点旋转到 8局 AC位置，已知AB⊥BD,CD⊥BD,垂足分别 解得PQ=6(m). 为点B.D,AO=4m,AB=1.6m,CO=1m, 答案6. 则栏杆右端应下降的垂直距离CD为(). 48 第二十七章相以组 2m,MN=8m,∠ANE=45°，则场地的边AB 为 m,BC为 m. 771017007M7 A.0.2m B.0.3m C.0.4m D.0.5m 河 考向2构造基本图形求长度 E FMN H 例目（经典·荆州中考）如图，将钢球放 解析如图所示，过点C作CH⊥1于点 置到一个倒立的空心透明圆锥中，测得相关数 H,过点B作PQ⊥CH交AE于点Q,交CH 据如图所示（图中数据单位：cm),则钢球的半 于点P,则AE∥CH,PQ∥L 径为 cm(圆锥的壁厚忽略不计). ∴.∠ABQ=∠ANE=45°， 20 .△ABQ为等腰直角三角形. .EF=15 m,..QB=AQ=15 m, ∴.AB=V2AQ=15w2m. .'FM=2 m,MN=8 m, ∴.FV=10m. 解析如图，设球心为点D,BC是底面圆 .BF⊥l,∠ANE=45 的直径，则，点D位于BC的垂直平分线OA上 ∴.BF=FN=10m, 在Rt△AOB中，OB=10cm,AB=26cm, ∴.QE=PH=BF=10m 则0A=√AB一OB=26-10=24(cm). ∴.AE=AQ十QE=25(m). 易知△ABC截球得到的圆的圆心为D,且 :∠ABQ=45°，∠ABC=90°， ⊙D与AB相切，设切点为E,连接DE,易知 ∴.∠CBP=45°， Rt△ADEORt△ABO, ∴△CBP也为等腰直角三角形 器焉器 设CP=BP=xm, CH=CP+PH=(x+10)m,MH= 解得DE=5(cm), FH-FM=(x-2)m. 故钢球的半径为5cm. ,'∠1=∠2，∠AEF=∠CHM=90°， 答案5. ∴.△AEF∽△CHM, 例1D(经典·温州中考)如图所示，在河 对岸有一矩形场地ABCD,为了估测场地大 需器碧品解释=0， 小，在笔直的河岸L上依次取点E,F,N,使 ∴.BC=2BP=20√2(m). AE⊥l,BF⊥I,点N,A,B在同一直线上.在 答案15√2：20V2. F点观测A点后，沿FN方向走到M点，观测 例1(2022·绍兴中考)将一张以AB C点发现∠1=∠2.测得EF=15m,FM= 为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角 49 国避手册九年级数学下册网 三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉 .BE=8十7=15，即剪掉的两个直角三角形的 一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相 斜边长分别为10和15，可排除选项C:②如图 似)，剩下的是如图1所示的四边形纸片ABCD, 3,易得△DEF∽△FCB,. 既即 其中∠A=90°，AB=9,BC=7,CD=6,AD 2,则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能 票-号=能解得DE-.CF-4 DE 9 6+CF 是(). :BF=AE=27+2=35,DF=6+21=45,即 4 4 4 剪排的两个直角三角形的斜边长分别为妇和 图1 ，可排除选项B,D, 3 A号 B号 C.10 n 解析将四边形ABCD还原成以AB为边 的矩形，其中的两种情况如下：①如图2，易得 △DCEO△EFB, “-果=品即 D 图2 图3 B257-号-D2·解得DE=10,BC=8 答案A 50