27.2.2 相似三角形的性质(主书)-【重难点手册】2024-2025学年九年级下册数学（人教版）

重雕点手细九年级教学下册划 27.2.2相似三角形的性质 重点和难点 课标要求 L,掌握相似三角形的周长和面积的关系，并且探索其推理 重点：相似三角形的性质。 过程 难点：相似三角形性质的运用。 2.能够利用相似三角形的周长和面积的关系进行计算， 01必备知识梳理。 知识点1相似三角形对应线段的比 .△ADB△A'D'B' 1.相似三角形周长的比等于相似比 0 AB -k. 如果△ABCc∽△A'B'C',相似比为k,那么 AB BC CA 同理，可证相似三角形对应中线的比及对 A'B BC-CA-K. 应角平分线的比也等于相似比 因此，AB=kA'B',BC=kB'C,CA= 例①如图，在△ABC中，D,E,F分别是 kCA',从而 边AB,AC,BC的中点，若△ABC的周长是 AB+BC+CA RA'B'+BC'HCA' AB'+BC+CA AB'+BC+CA' 20cm,则△DEF的周长是( =k. 相似三角形周长的比等于相似比， 2.相似三角形对应高、对应中线、对应角 平分线的比等于相似比。 A.5 cm B.10 cm 下面以相似三角形的对应高为例给出 证明. C.15 cm D.20 cm 如图，已知△ABC∽△AB'C',相似比为 解析，DE是△ABC的中位线， k,AD,A'D'分别是两个三角形的高.求证： .DE 1 品-6 AD 又△DEF∽△CBA, -- CABCA 又，C△c=20cm, .Coor=1 20-2 D B°D 证明，△ABC∽△A'B'C', .C△Dsr=10cm. ∠B=∠B 答案B 又，AD,A'D'是两个三角形的高， 知识点2相似三角形面积的比 ∴.∠ADB=∠A'DB'=90 相似三角形面积的比等于相似比的平方， 38 第二十七章 相似营姐 如图所示， C.1:5 D.1:25 解析因为DE∥AC,所以△DOE △C0A.所以(R-S=若所以 S△con B BC.AD, 青所以能 所以E1 E元=过点D作DF⊥ S△ABC= 号Bc.Ao. BC交BC于点F,则DF为△BDE和△CDE 的公共高，故SBE BE·DF _1 BC AD S△cDE 2EC·DF EC 4 SAnC 2BC'·AD 答案B BC AD 易错点对相似三角形的面积比不清而出错 B'CAD 例两个相似三角形对应线段的长分别 =k·k 为2cm和4cm,且两个三角形的面积差为 =足， 90cm.求较大三角形的面积 故相似三角形面积的比等于相似比的平方. 设较大三角形的面积为xcm,则较小 例☑如图，D,E分 三角形的面积为(x一90)cm 别是△ABC的边AB, 错解 x-90=2 解得x=180, BC上的点，且DE∥AC, D o AE,CD相交于点O,若BEF 错因误认为相似三角形的面积比等于 S△DE:S△cOA=1:25,则S△BDE与S△cDE的比 相似比. 是(). 正解 由90 ,解得x=120. A.1:3 B.1:4 02关键能)提升一 题型1 “相似三角形周长的比等于相 已知一条线段和相似比可求其对应线段的长. 似比”的运用 解析，△ABC△A'B'C', 例3如图，△ABC△A'B'C',它们的周 .AB 长分别为60cm和72cm,且AB=15cm,B'C BC=9(相似三角形周长的比 AB'B'C72 =24cm.求BC,AC,A'B',A'C'的长. 等于相似比). 把AB=15cm,B'C'=24cm代入上式，解 得A'B'=18cm.BC=20cm. B .AC=60-15-20=25(cm),A'C'= 点拨相似三角形周长的比等于相似比，72-18一24=30(cm). 39 国避手册九年级数学下册网 ◆变式1现有两个相似三角形，它们的周 确到1m). 长分别是36和12，周长较大的三角形的最大 M 边为15，周长较小的三角形的最小边为3，则周 长较大的三角形的面积是(). D.35m.E A.52 B.54 C.56 D.58 ·A 例4如图，在△ABC中，OB,OC分别平 图1 图2 分∠ABC,∠ACB,OD∥AB且OD交BC于 点拨“小华家到公路的距离”就是△ABC 点D,OE∥AC且OE交BC于点E.求证：BC 的高，很容易联想到相似三角形对应高的 =DE(AB+BC+AC). 问题 证明，OD∥AB, 解析如图2，连接AD,AE,并延长分别交 .∠4=∠ABC, 1于点B,C,则BC为视，点A的盲区， ∠1=∠3. 3 45 且BC=60000× 又，OB平分∠ABC, 3600=50(m). D 过，点A作AMLBC于，点M,交DE于点N, 即∠1=∠2， 则AN⊥DE,MV=40m. .∠2=∠3. 由△ADE∽△ABC得 .'BD=OD. AN DE 35 同理可证(OE=CE. AM BC 50 :OE∥AC,.∠5=∠ACB. ∴.△ODEp△ABC 即A0-=品解得AM13m, 瓷 故小华家到公路的距离约为133m. 例6如图，△ABC是一块锐角三角形余 器+恶器， 料，边BC=120mm,高AD=80mm.要把它 加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上， BC E 即AB+BC+ACB 其余两个顶点分别在AB,AC上，这个正方形 零件的边长是多少？ 故BC=DE(AB+BC+AC). 题型2 “相似三角形对应高的比等 于相似比”的运用 例固如图1，小华家（点A处）和公路() 之间竖立着一块35m长且平行于公路的巨型 点拨解题的关键是建立未知正方形边长 广告牌(DE).广告牌挡住了小华的视线，请在 和已知三角形的高之间的关系。 图中画出视点A的盲区，并将盲区内的那段公 解析设正方形PQMN为加工成的正方 路记为BC.一辆以60km/h匀速行驶的汽车 形零件，边QM在BC上，顶点P,N分别在 经过公路段BC的时间是3s,已知广告牌和公 AB,AC上，△ABC的高AD与边PN相交于 路的距离是40m,求小华家到公路的距离（精点E.设正方形的边长为xmm, 40 第二十七章相似蓝组 ,PN∥BC,.△APN∽△ABC 而△ABC与△ADC是同高的三角形， 福院（相似三商彩对应高的比等于 DC 相似比) .ABBC 801= AD DC 80=120:解得.x=48. 例8(2024·武汉外国语学校单元检测) 故加工成的正方形零件的边长为48mm. 如图，在△ABC中，DE∥FG∥BC,GI∥EH∥ ◆变式2如图，在△ABC中，∠C=45°， AB.若△ADE,△EFG,△GC的面积分别为 BC=10,高AD=8,矩形EFPQ的一边QP在 20,45,80,则△ABC的面积为 BC边上，E,F两点分别在AB,AC上，AD交 EF于点H. (1)设EF=x,当x为何 值时，矩形EFPQ的面积最 H 大？并求其最大值. 点拨运用“相似三角形的相似比等于面 (2)当矩形EFPQ的面积BQD 积比的算术平方根”这一性质变式，可分别表 最大时，该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度 示出三个小三角形与△ABC的相似比.运用 沿线段QC匀速运动（当点Q与点C重合时停 “归一”思想，把三个相似比相加，其代数和为 止运动)，设运动时间为t秒，矩形EFPQ与 常数“1”. △ABC重叠部分的面积为S,求S与t的函数 解析由题设条件易知四边形BDEH和 关系式 HFGI为平行四边形，△ADE∽△ABC,△EFGn 题型3“相似三角形面积的比等于相 △ABC,△GICC∽△ABC. 似比的平方”的运用 故 SAADE DE BH SAEFG FG SAADC BC BC' 例7如图，已知在△ABC中，∠DAC HI IC ∠R求证：恶瓷 C'VS△ABC BC· 将SAAE=20,Samc=45,S△ac=80代 入，且三式相加，得25十35十 √S△A √SA B D 4v5 BH+HI+IC=1. √S△AB BC 点拨①从面积比的角度思考；②从三角 形相似的角度思考 √Swx=9V5,∴.SAe=405. 证明，∠DAC=∠B,∠C=∠C, 答案405. ∴.△ADCc∽△BAC 。变式3如图1，点D,E,F分别在△ABC 的三边上，DE∥BC,EF∥AB,记△ABC, △ADE,△EFC的面积分别为S,S,S2. 41 国避手册九年级教学下册) (1)求证：√S+√S=S. 口DGFE的面积. (2)试用含S,S的代数式表示□DBFE 的面积 D (3)在图2中，四边形DEFG为平行四边 形.记△ADE,△EFC,△DGB的面积分别为 1 图2 S1,S2,S.试用含S1,S2,S的代数式表示 03热点考向聚焦。 考向1相似三角形对应线段的比等 证明：，AD=DB,A'D'=DB', 于相似比 例⑨（经典·福建中考）求证：相似三角 AD-2AB.AD'-AB. 形对应边上的中线之比等于相似比 TA AB' 要求：(1)如图1，根据给出的△ABC及线 .A'D' AD 段A'B',∠A'(∠A'=∠A),以线段A'B'为一 号AB AB· 边，在给出的图形上用尺规作出△A'B'C',使得 △A'B'C'∽△ABC,不写作法，保留作图痕迹； △ABC△AC,g-C- (2)在已有的图形上画出一组对应中线， 4D'=4c AD AC =k. 并据此写出已知、求证和证明过程。 在△C'AD和ACD中，品-C 且∠A'=∠A. .△C'A'D'△CAD. 图1 解析(1)如图2，△A'B'C就是所求作的 0 三角形 例10(2022·包头中考)如图，在边长为 1的小正方形组成的网格中，A,B,C,D四个点 均在格点上，AC与BD相交于点E,连接AB, CD,则△ABE与△CDE的周长比为(. 图2 (2)已知：如图3，△A'B'C'△ABC g瓷瓷 AB =k.AD=DB.A'D'= DB.求运品-6 A.1:4B.4:1C.1:2 D.2:1 解析“别祭∠AMB=∠CND, 图3 ∴.△AMB∽△CND. 42 第二十七章相以么9 .∠BAM=∠DCN, .AB∥CD. ∴.△ABEC∽△CDE :.C哑="24 B CD =2 √12+2 解析，△ABC是等边三角形，.∠A .△ABE与△CDE的周长之比为2：1. =∠B=∠C=60°.，折叠△BDE得到 答案D △FDE,∴.S△DE-S△E,∠F=∠B=∠A= 考向2面积问题 ∠C=60°.，DE平分等边△ABC的面积， 例1I(2021·雅安中考)如图，将△ABC .Sm边#kED=S△E=S△FDE,∴S△HG= 沿BC边向右平移得到△DEF,DE交AC于 S△M+S△aH.,'∠AGD=∠FGH,∠CHE= 点G.若BC:EC=3:1,S△x=16,则S△ ∠FHG, '.△ADG∽△FHG,△CHE∽ 的值为( △FHG. m2 SACHE HG HG·S△G 需= S△_m2十n S△PHG S△月G GH _Sa+Sa亚=1，Gf=m+,∴GH S△HG A.2 B.4 C.6 D.8 =m2干n2 点拨根据平移的性质得出AD=BE,进 答案√m十n. 而得出BE:EC=2:1,利用三角形面积之比 例13(2021·苏州中考)如图1，在矩形 解答即可 ABCD中，线段EF,GH分别平行于AD,AB, 解析由平移性质可得AD∥BE,AD=BE, 它们相交于点P,点P,P2分别在线段PF, ∴.△ADG∽△CEG, PH上，PP=PG,PP2=PE,连接PH,P2F, ,BC:EC=3:1, PH与PF相交于点Q.已知AG:GD= .BE:EC=2:1, AE EB=1:2.AG=a.AE=6. .AD:EC=2:1, 0-4 S△0e=16, .S△=4. 答案B 例1☑(2024·武汉中考)如图，DE平分 等边△ABC的面积，折叠△BDE得到△FDE, B H AC分别与DF,EF相交于G,H两点.若DG 图1 =m,EH=n,用含m,n的式子表示GH的长 (1)四边形EBHP的面积 四边 是 形GPFD的面积（填“>”、“=”或“<”）： 43 国避手册九年级数学下册网 (2)求证：△PFQ∽△P2HQ: A+a-✉G (3)设四边形PPQP2的面积为S,四边 形CFQH的面积为S,求8的值， P 解析(1)四边形ABCD为矩形， ∴.∠A=∠B=∠C=90° ,GH∥AB, ∴.∠B=∠GHC=90°， B H ∠A=∠PGD=90°. 图2 EF∥AD ∴.∠PGD=∠HPF=90°， 器-品名器-品 .四边形PFCH为矩形. 器器 同理可得，四边形AGPE、GDFP,EPHB ∠PPP2=∠C=90°， 均为矩形. ∴△PP1P△CFH, .AG=a,AE=6.AG:GD=AE:EB- 12, 鼎器 CF 2 ..PE=a,PG=6,GD=PF=2a,EB= SPP吧= PH=26. S△FH 腊= ∴.四边形EBHP的面积=PE·PH 由(2)中△PFQ∽△P2HQ. 2ab,四边形GPFD的面积=PG·PF=2ab. 故答案为“=” 8品 (2)'.PP=PG,PP2=PE. 股器 由(1)知PE·PH=2ab,PG·PF=2ab, '∠P,QP=∠FQH ∴.PP2·PH=PP·PF, ∴.△PQP2∽△FQH, 器品 带= 又：∠FPP=∠HPP, .△PP2F∽△PPH, :S1=SaPm,十SaP,a· ∴.∠PFP=∠PHP S:=SACH+SAFQH ∠PQF=∠PQH, .△PFQ∽△P2HQ (3)连接P1P2,FH,如图2. 44变式参考答案与提示 [变式5] (1)'' ABC=45*$AH BC '.△ABH是等腰直角三角形, *.BH-$AH.$BHD=$AHC=90{$ 又:DH-CH ..△BHD△AHC(SAS). ..BD-AC 图2 (2)①如图1,过点H作HM AE交AE于 “.旋转角为30{}, 点M. '. FHD- /BHE-30*, ## : EHA- FHC-120*, .. FCH-GAH-30, .△ANGCO/CNH .乙AGN-/CHN=90”.CNHN 图1 'ANGN' .AH-3CH. '.BH-AH-3CH. 又: GNH- ANC. 又BC-4. ./GHNCo/ACN. .O ..BH+CH=4CH-4. .CH-1,BH-3 -2. 由旋转的性质可以得到. *EF-2GH HE-BH-AH-3,HF=HC-1,$ [变式6] A 27.2.2 EHF- AHC-90{ 相似三角形的性质 .. EHA-FHC. [变式1] B '.EAH=C,AM=EM(三线合一). [变式2] 810 '△AMHo△CHA. M_C ..EQ=HD-AD-AH-8- 设AM-x.HM-3x. 在Rt△AHM中,AH-AM*}+HM^{}, $S形mro=EF·EQ=x·(8-4) .3T0 10 $.AE-2AM-2--310 5: ②EF-2GH. 如图2,设AH交CG于点N,由旋转的性质 可以得到HE-HA,HF-HC '.当x一5时,S形po有最大值,最大值为20. 101 重难里册九年级数学 下册 2 (2)如图1,由(1)得EF-5,EQ-4. 综上所述,S与/的函数关系式为 $={-4t+28(4<<5). 图1 图2 [变式3](1):△ADE△ABC. .C-45*, .S1-AO)}# '△FPC是等腰直角三角形 *.PC-PF-EQ=4,QC=QP+PC=9 ① 分三种情况讨论: I.如图2,当0/4时 同理,'△CEFoCAB. 设EF,FP分别交AC于点M.N.则△MFN ② 是等腰直角三角形 .FN-MF-1. ##A##一1 ..S-S形EFPQ-SMN 420. .S+S-S. II.如图3,当4<1<5时,则ME-5-. (2)由(1)得S十S-S. QC-9-1. .S+S+2SS-S. ..S-S-S-2SS. *.Sre-2/S.S. --4+28. ## (3)过点E作EH//AB交BC于点H,可证 DBG2/EHF. '.SoorE-S-pBHE. 仿(2)的结论得Sr-2/S(S。+S) 图3 27.2.3 相似三角形应用举例 II. 如图4.当519时,设EQ交AC于 [变式1] 如图,延长AC到点E,使CE-AC 点K, =1km,连接BE交CD于点F,则在F点建 {# 水厂,可使铺设费用最省 .BD CD...CE//BD ..△CEFo△DBF .CF_CO. 图4 则KQ-QC-9-1. 设CF-xkm,则FD-3-x 102