27.2.1 相似三角形的判定(主书)-【重难点手册】2024-2025学年九年级下册数学（人教版）

重雕点手细九年级数学下册风则 解得x=120一40√5.，支撑点D是靠近点A ·如图所示，四边形ABCD为正方形， 的黄金分割点，∴.AD=BC=120-40√5， ∴.CD=80-(120-405)-(120-40√5)= 80v5-160.] 27.2相似三角形 .BC=CD,∠ABC=∠BCD=90°. 27.2.1相似三角形的判定 .∠4+∠5=90° .BP⊥CM,PD⊥PN [变式1]如图，过点D作DG∥CE交AB于 .∠3+∠5=90°，∴.∠3=∠4. 点G, 又：∠1十∠6=90°，∠2+∠6=90°， 则肥 .∠1=∠2. ∴.△BNPn△CDP. 部器 ,BP⊥CM,∠ABC=90°， 又AE:EB=1：3, .△MBC∽△BPC ..AE=EG.AG=BG. F=DG部能-1 腮提器脱 ·CDBC 又：CD=BC,.BN=BM 瓷肥 [变式4]2√4红.[提示：连接AC,由AB=3, BC=4以及∠ABC=90°，可知AC=5. .EC-DG. 由AC=5,CD=10,DA=55, :.FC-EC-EF-DG-DG-DXG. 易得AC2+CD=DA2, 则△ACD为直角三角形. 故∠ACD=90°， 过点D作DH⊥BC交BC的延长线于点H, 既+部+1 .∠ABC=∠CHD=90°，∠ACB=∠CDH, .△ABC∽△CHD. [变式2]BE∥AC,∠1=∠E. ∠1=∠2，∴∠2=∠E. 部滑骺 又·∠BFG=∠EFB, ∴.CH=6,DH=8. ∴.△BFG∽△EFB. ∴.BD=BH+D平=24I.] 路膘 ∴.BF2=FG·EF [变式3]当BN=BM时，PD⊥PN.理由如下： 100 变式参考答案与提示么组 [变式5](1)∠ABC=45°.AH⊥BC, ∴.△ABH是等腰直角三角形， ∴.BH=AH,∠BHD=∠AHC=90 又DH=CH, ∴.△BHD≌△AHC(SAS), .'BD=AC. 图2 (2)①如图1，过点H作HMLAE交AE于 .旋转角为30°， 点M. ∴.∠FHD=∠BHE=30°， .∠EHA=∠FHC=120°， ∴.∠FCH=∠GAH=30°， .△ANG∽△CNH, 图1 ∠AGN=∠CHN=90,N-累. .AH=3CH, 器器 ∴.BH=AH=3CH, 又：∠GNH=∠ANC, 又，BC=4, .△GHN∽△ACN, ∴.BH+CH=4CH=4, ∴.CH=1,BH=3. 限器器品-2 由旋转的性质可以得到， ∴.EF=2GH. HE-BH=AH=3,HF=HC=1, [变式6]A ∠EHF=∠AHC=90°， 27.2.2相似三角形的性质 ∴.∠EHA=∠FHC, [变式1]B ∴.∠EAH=∠C,AM=EM(三线合一)， [变式2] 由题意可知品受得表 ∴.△AMH∽△CHA, 别-器 Al-n. 设AM=x,HM=3.x, EQ=HD=AD-AH=8-号 在Rt△AHM中，AH2=AM2+HM2, ∴S形mm=EF·EQ=x·(8-青x x=3V10 10 2+8 4 六AE=2AM=2=30 5 r-5+20. ②EF=2GH. 如图2，设AH交CG于点N,由旋转的性质 可以得到HE=HA,HF=HC ,.当x=5时，S郑形m有最大值，最大值为20. 101第二十七章相似么 27.2相似三角形 27.2.1相似三角形的判定 重点和雅点 课标要求 1掌握相似三角形的含义及表示方法 重点：平行线分线段成比例定理. 2。掌握平行线分线段成比例定理和三角形相似的四种判定 难点：相似三角形的判定定理 方法 3.能够灵活地运用三角形的判定方法进行推理证明 01必备知识梳理一。 知识点1相似三角形 &=AB'-B'C'A'C 温-瓷-报，因此= 1.相似三角形的相关概念 (1)定义：对应角相等，对应边的比相等的 例①如图，在△ABC中，D,E分别是 两个三角形叫作相似三角形 AB,AC上的点，且DE∥BC,AD=2,DB=3, (2)相似符号：相似用符号“”表示，读作 AE=3,CE=4.5,DE=4,BC=10.求证： “相似于” △ADE∽△ABC (3)相似特征：两个三角形形状一样，但大 小不一定一样。 (4)相似性质：相似三角形对应角相等，对 应边成比例， 点拨根据三角形相似的定义去证明，只 (5)相似比：相似三角形对应边的比叫作 有说明每一组对应角相等，每一组对应边成比 相似比（或相似系数）. 例，才能得到相似。 (6)全等三角形：全等三角形是相似比为1 的相似三角形 证明“裙名3号 2.相似三角形的特点 AE 3 32 AC3+4.57.551 (1)对应性：记两个三角形相似时，通常把 DE_4_2 表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写 BC10-5' 比较容易找到相似三角形的对应角和对应边. (2)顺序性：相似三角形的相似比是有顺 架怨腮 序的.如△ABCn△A'B'C',它们的相似比为 .DE∥BC. ,则k=A5=BC三AC .∠ADE=∠B,∠AED=∠C A'BBC=AC.如果写成 又，∠A=∠A, △A'B'C'p△ABC,它们的相似比为'，则 ∴.△ADE∽△ABC 23 国避手曲九年级教学下册) 知识点2平行线分线段成比例定理 若将AC称为上，CE称为下，AE称为全， 1.两条直线被一组平行线所截，所得的对 上述比例式可用形象的语言简述为： 应线段成比例， 卡-卡-E秦-泰墨… 如图，当6%时，有提票 例2如图，l∥l2∥l,AB=3,BC=5, DF=12,求DE和EF的长 我们可以用面积法证明图中平行线分线 段成比例定理， 解析，b∥2∥1， 如图，连接AE,CE,BD,BF 提 ,l3∥L4,∴.S△ABE-S△mE 设DE=x, L4∥L5,∴.S△E=S△F .AB=3,BC=5,DF=12, 设- S△AHE DE_S△E ·AB_DE EFS△F ·BCEF DE=号，EF=只 2.平行于三角形一边的直线截其他两边 例③如图，AD为△ABC的中线，E为 (或两边的延长线)，所得的对应线段成比例. AD的中点，连接BE并延长交AC于点F,求 如图所示是上图中三条平行线退化成两 证：CF=2AF 条的情形，则有BC∥EF=ASA二 EB FC 点拨作平行线构造基本图形“A”或 B 关于对应线段： “入”此是问题的辅功线一般较多，请诶者自 如图，AB∥CD∥EF, 己尝试 则架恶邵 证明如图，过，点D作DH∥BF交AC于 点H AC BD CE DF AEBF'AEBF,“, 部部肥是 又D,E分别是BC,AD的中点， ∴.AF=FH,FH=HC ∴.CF=2AF. 24 第二十七章相似收图 知识点3相似三角形的判定 1.平行于三角形一边的直线和其他两边 4cm 2.5cm 相交，所构成的三角形与原三角形相似 B 7cm E3.5cm 如图，在△ABC中，DE∥BC交BA,CA 的延长线于点D.E且铝3·DE=2,求BC 解析“脂-导-号股--》 EF_3.5-1 的长。 BC72· 解析，DE∥BC. 器既 ∴.△ADE∽△ABC '.△ABC∽△DEF 暖0京 例⑤如图，在三个并排的边长为a的正方 又，DE=2,.BC=6 形中，连接AC,AF,AG.回答下列问题： 例④如图，在梯形ABCD中，AD∥BC H E,F分别是AB,CD上的点，且EF∥AD,若 AD=6 cm,BC=10 cm,AE EB=2 3, B EF的长为 cm. (1)图中△ACF与△GCA相似吗？试说 明理由， (2)求∠CAF+∠CAG. G 解析(1)△ACF∽△GCA.理由如下： 在△ACF中，AC=√2a,CF=a,AF=√5a. 点拨连接BD交EF于点G,可以将梯形 在△GCA中，CG=2a,AC=√2a,AG= 分割成两组相似三角形. w10a. 解析如图，连接BD交EF于点G 能 ..AC-1.CF_1 AF1 :EF∥AD∥BC, G2'C2GA=2· 3 EG∥AD, ∴.△EGBp△ADB. 瓷晋器 EG_BE 'AD BA' 5 EG=18 ∴.△ACF∽△GCA .FG∥BC,∴.△GDF∽△BDC (2)由(1)知△ACF∽△GCA, 带哭 ∴.∠CAF=∠CGA .FG=4. ∴.∠CAF+∠CAG=∠CGA+∠CAG= EF-G+G ∠ACB=45. 51 3.两边成比例且夹角相等的两个三角形 答案 相似. 2.三边成比例的两个三角形相似， 如图，AB=14,AE=5,AD=7,AC=10, 如图所示的△ABC和△DEF相似吗？ 且∠ADE=50°.求∠B的度数. 25 国雕食手细九年级数学下册尺) 4.两角分别相等的两个三角形相似： △ABC中，∠A=40°，∠B=40°，△DEF 中，∠D=40°，∠E=100°，则这两个三角形的 关系是(). A.不相似 B.相似 解析“能高铝品 C.全等 D.不能确定 ..AF_AD 解析在△ABC中，∠A=40°，∠B=40°， AC AB .∠C=100°. 又，∠A=∠A, ∴.∠A=∠D=40°，∠C=∠E=100 ∴.△ADE△ABC. ∴.△ABC∽△DFE. ∴.∠B=∠ADE=50° 答案B 例日如图，已知带-能试探东 例7如图，△ABC的高AD,BE交于点F ∠ABD与∠ACE的关系，并说明理由， 求证架部 解析∠ABD=∠ACE. B D .AB_BC_AC ·AD DE AE' .△BACO△DAE, 点拨要注部-儒就是要运△AE☑ ∴.∠BAC=∠DAE △BDF. 即∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE, 证明，AD,BE是△ABC的高， ∴.∠BAD=∠CAE. .∠BDF=∠AEF=90° 又8船 又.∠BFD=∠AFE ∴.△BDF∽△AEF ∴.△ABDX∽△ACE, ∴∠ABD=∠ACE. 部 02关建能动提升。 题型1作平行线处理比例线段问题 (1)选点：在已知（或求证）中选择在同一 过分点作平行线，构造如下两个基本图 条直线上的点作为引平行线的点. 形，如图所示 (2)引平行线时，尽量使较多的已知或求 证的线段成比例。 (3)引平行线证明比例线段的实质是构造 “A”形或“X”形基本图形 26 第二十七章相以么组 例8如图1，过△ABC的顶点C任意作 例)如图，已知△ABC中，AD是角平分 一条直线，与边AB及中线AD分别交于点F BD AB 和E,求证：AE:ED=2AF:FB 线.求证：CDAC 点拔由肥-能联想到三 E 点拨根据平行线分线段成比例定理的变 式，可以尝试作平行线的方法.至于过什么点 角形相似.如果过，点C作CE∥ 作平行线，是用“A”形，还是用“X”形，都可以 AD,交BA的延长线于点E,就可 尝试 得△BDAC∽△BCE,只要证明AC 证明方法一如图1，过点B作BN∥CF B D =AE,问题就得证了. 交AD的延长线于，点N 证明如图，过，点C作CE∥DA交BA的 带、品品 延长线于点E, ,CE∥DA, ∴.△BDA∽△BCE, .BD=CD. ∴ED=ND=2EN, 器品 常品 ∴.AE:ED=2AF:FB. 由CE∥DA,得∠1=∠E,∠2=∠3. 又，∠1=∠2 ∠E=∠3，即AC=AE ME .'BE=BA+AE.BC=BD+DC. G B B D A法ACD陆C,器 BA BD 图1 图2 即提 AC 还有如下三种类似的证法，请你写出证明 过程 例四如图，若0-鼎-既求证图 方法二如图2，过点B作BM∥AD交 DE_FA CF的延长线于点M. YZZX 方法三如图2，过，点D作DG∥CF交 AB于点G. 方法四如图2，过点D作DH∥AB交 CF于点H. ◆变式1如图，在△ABC中，AE:EB 证明如图，过点A,B分别作UW,WV的 1:3,BD:DC=2:1,AD与CE相交于点F 平行线，交点为P,连接PE,PD 求凭+带的值 则△ABP∽△UVW, 00-品 ..CD=BP,EF=PA, ..CD LBP,EFILPA. 27 国雕食手细九年级教学下册则 .BCILPD.AFILEP, 则△PDE△XYZ, 翠罗累 点拨先证Rt△AMB∽Rt△AND,再证 紧罗殷 △AMN∽△BAC. 题型2用“三点定形法”找相似三角形 证明易知□ABCD中，∠B=∠D,AD= BC. “三点定形法”是证明线段等积式或比例 又.'∠AMB=∠AND=90, 式的最常用且最有效的方法，它就是设法找出 ∴.Rt△AMBOORt△AND. 比例式中（或转化后）所蕴含的几个字母，是否 存在可由“三点”定出来的两个相似三角形. 兴铝说 例1①如图，P为等边△ABC的BC边上 .AB∥CD,AN⊥CD,∴.AN⊥AB 一点，AP的垂直平分线交AB,AC于点M,N, ∴.∠1+∠MAN=∠1+∠B=90°， 求证：BP·PC=BM·CN, ∴.∠B=∠MAN, △AM△BAC,÷ M 题型3寻找中间比或等长线段代换 儿何推理题的难点就是寻找代换，在比例 B P 证明如图，连接PM,PN, 线段中最常见的代换是中间比代换或等长线 ,MN为AP的垂直平分线， 段代换.论证有困难，找代换， 例13如图，在△ABC中，AD平分∠BAC .∠MPN=∠MAN=60°， 交BC于点D,FG垂直平分AD,交AB,AD .∠1+∠3=120° 及BC的延长线于点F,E和G.求证：DG ,∠2+∠3=120°，.∠1=∠2. CG·GB. 又，∠B=∠C,△BP△CNP. 熙器即BPPC=BMCN ◆变式2如图，D是AC上一点，BE∥ AC,AE分别交BD,BC于点F,G,∠1=∠2. 证明，FG垂直平分AD, 求证：BF2=FG·EF .∠1+∠2=∠3，且AG=DG. 而∠3=∠4十∠B, ∴∠1+∠2=∠4+∠B. 4 又∠1=∠4， ∴.∠2=∠B,而∠AGC=∠BGA, 例12如图，在□ABCD中，AM⊥BC, ∴.△AGCc∽△BGA. AN1CD,M.N分别为垂足，求证光伦 瓷器 28 第二十七章相似么组 .AG=BG·CG, 论是△ADED△ABC: 即DG=CG·GB. 图2为“X"”形图，条件是ED∥BC,基本结 例14如图，在正方形ABCD中，O是AC 论是△ADEP△ABC; 与BD的交点，∠DAC的平分线AP交CD于 图3、图4是图1的变式： 点P,∠BDC的平分线DQ交AC于点Q,连 图5是图2的变式： BDAP 接BQ.求证：CDB0 图6是“母子”形图，条件是AC⊥BC,CD 为斜边AB上的高，基本结论是△ACD∽ D △ABC∽△CBD. 证明：'四边形ABCD是正方形， 图 图2 图3 ∴.CD=BC,BD=AC,∠1=∠2=∠CDO =∠DAO. 又，AP,DQ分别是∠DAO与∠ODC的 平分线， 图4 图5 图6 .∠3=∠5. 例15（经典·武汉中考）在△ABC中，P 在△BCQ和△DCQ中， 为边AB上一点， CQ=CQ,∠2=∠1，BC=DC. (1)如图1，若∠ACP=∠B,求证：AC= '.△BCQ≌△DCQ, AP·AB. ∴.∠3=∠4.∴.∠4=∠5. (2)若M为CP的中点，AC=2. .△APC∽△BQC, 瓷品 ①如图2，若∠PBM=∠ACP,AB=3,求 BP的长： 器品 ②如图3，若∠ABC=45°，∠A=∠BMP =60°，直接写出BP的长. ◆变式3如图，M为正方形ABCD边AB 上一点，BP⊥CM于点P,N为BC上一点，问 当BM与BN存在什么关系时，PD⊥PN? 图1 图2 图3 i P 解析(1).∠ACP=∠B,∠A=∠A, ∴.△ACP∽△ABC, B N 题型4通过基本图形构造相似三角形 部提 如图所示的图形为相似三角形的常见基 ∴.AC2=AP·AB. 本图形（一）： (2)①如图4，取AP的中点G,连接MG, 图1为“A”形图，条件是DE∥BC,基本结设AG=x,则PG=x,BG=3-一x. 29 国雕食手细九年级教学下册则 B D a为锐角 a为直角 a为饨州 图4 例16如图，M为线段AB的中点，AE与 ,M是PC的中点， BD交于点C,∠DME=∠A=∠B=a,且DM ∴.MG∥AC, 交AC于点F,ME交BC于点G. ÷∠BGM=∠A,GM=号AC=1 (1)写出图中任意两对相似三角形，并证 ,∠ACP=∠PBM, 明其中的一对： ∴.△APC∽△GMB, 品品 (2)连接FG,如果a=45°，AB=4√2， AF=3,求FG的长 -2 x=3±5 2 ,∵AB=3, .AP=3-√5，.PB=√5. ②如图5，过，点C作CH⊥AB于，点H,延 长AB到点E,使BE=BP,连接CE 解析(1)△AMF∽△BGM,△DMGc △DBM,△EMF∽△EAM(写出两对即可). 以下证明△AMF∽△BGM. ,'∠AFM=∠DME+∠E=∠A+∠E E ∠BMG,∠A=∠B, 图5 设BP=x. ∴.△AMFc∽△BGM. :∠ABC=45°，∠A=60°， (2)当a=45时，可得AC⊥BC且AC=BC ∴.CH=√3，HE=√3+x, M为AB的中点，∴.AM=BM=22. ,CE=(W3)2+(3+x)2, △AMF△BGM,÷- 又PB=BE,PM=CM,.BM∥CE, ∴.∠PMB=∠PCE=60°=∠A. .BG-AM.BM_2/2X2/2_8 AF 3 ,∠E=∠E,.△ECPn△EAC, 票是CE=EP,EA 又aCC-4@×号-4 0G=4-8-青CF=4-3=1. ∴.3+3+x2+2√3.x=2x(x十√3+1)， 解得x=√7-1，即BP=7-1. FG=CF+CC=1+(传)-号 基本图形（二）：如图，若点D在BC上 ◆变式4如图，在四边形ABCD中， ∠B=∠C=∠ADE=Y,则△ABD∽△DCE. ∠ABC=90°，AB=3,BC=4,CD=10,DA= 30 第二十七章相似么组 55,则BD的长为 △ABCP△EDC),由此得到的新条件往往会产 生一对新的相似三角形（即△BCD∽△ACE). 解析(1)当∠BAC=60°时，∠AFB=60°： 当∠BAC=90°时，∠AFB=45 02∠AFB=90°-24 基本图形（三）：如图，∠BAD=∠CAE, (3)图4中，∠AFB=90°- 2 =0.则△ABD∽△ACcE,△ABCn AC 图5中，∠AFB=90+20 △ADE. 图4中∠AFB=90°-2a的证明如下： 'AB=AC,EC=ED,∠BAC=∠DEC, ∴.△ABC∽△EDC, B 例17如图1、2、3，点B,C,E在同一直线 ∠AcB=∠D,-. 上，点A,D在直线CE的同侧，AB=AC,EC= .∠BCD=∠ACE, ED,∠BAC=∠CED,直线AE,BD交于点F. .△BCD△ACE,则∠CBD=∠CAE. (1)如图1，若∠BAC=60°，则∠AFB .∠AFB=180°-∠CAE-∠BAC :如图2，若∠BAC=90°，则∠AFB= ∠ABD=180°-∠BAC-∠ABC=∠ACB. .AB=AC,∠BAC=a, (2)如图3，若∠BAC=a,则∠AFB ∴∠ACB=90-20 (用含a的式子表示). (3)将图3中的△ABC绕点C旋转（点F ∠AFB=90°-1a 2a. 不与点A,B重合)得图4或图5.在图4中， ∠AFB与a的数量关系是 ；在 图5中∠AFB=90+2a的证明知下： 图5中，∠AFB与a的数量关系是 :'AB=AC,EC=ED,∠BAC=∠DEC, 请你任选其中一个结论进行证明。 ,△ABC∽△EDC, a∠AcB=∠D,品， C 13 .∠BCD=∠ACE 图1 图2 图3 ∴.△BCD∽△ACE,则∠BDC=∠AEC, ·∠AFB=∠BDC+∠CDE+∠DEF =∠CDE+∠CED 图4 图5 =180°-∠DCE. 点拨运用特例，猜想结论.根据题目条件 可以发现一对共顶点、相似的等腰三角形（即 同理可得∠DCE=90°-20 31 国避手曲九年级教学下册☑ ∴∠AFB=180°-(90°-2a)-90+2a 时针旋转30°得到时，设射线CF与AE相交于 点G,连接GH,试探究线段GH与EF之间满 答案（1)60°：45°. (2)90°-1 a. 足的等量关系，并说明理由 (3)90° 2a:90+70 1 ◆变式5如图1，在△ABC中，∠ABC= 45°，AH⊥BC于点H,点D在AH上，且DH B B CH,连接BD, 图1 2 (1)求证：BD=AC (2)将△BHD绕点H旋转，得到△EHF (点B,D分别与点E,F对应)，连接AE ①如图2，当点F落在AC上时（点F不与 Be 点C重合)，若BC=4,AH=3CH,求AE 的长： 图3 ②如图3，当△EHF由△BHD绕点H逆 门03热点考向聚一。 考向】平行线分线段成比例定理 值是( 例18(2023·北京中考)如图，直线AD, BC交于点O,AB∥EF∥CD.若AO=2,OF= 1,FD=2,则甍的值为 c n号 考向2三角形相似的判定与性质 D 例19（经典·扬州中考）如图，点A在线 解析由手行线分线孩成比斜定理得 段BD上，在BD的同侧作等腰直角三角形 ABC和等腰直角三角形ADE,CD与BE,AE AFOA十OF_2+1_3 FD FD 22 分别交于点P,M.对于下列结论：①△BAE △CAD:②MP·MD=MA·ME:③2CB= 答案是 CP·CM.其中正确的是(). ◆变式6(2023·吉林中考)如图，在 △ABC中，点D在边AB上，过点D作DE∥ BC,交AC于点E若AD=2,BD=3,则是的 32