27.1 图形的相似(主书)-【重难点手册】2024-2025学年九年级下册数学（人教版）

变式参考答案与提示 坐标为(-2,-3),(3,2). 所以y=-2x+10. (3)y=-2x十5(答案不唯一). 当x>3时,设y-” [变式7] x 则点B(3,2m).点E(3+m,m)..点B.E在 同一个反比例函数的图象上,..3×2m (3+n)×n..n=3..3×6-18.'该 y--2x+10(0<x<3). 反比例函数的表达式为y-18(x>0).] 综上所述, #2(3). ) ) 26.2 实际问题与反比例函数 [变式1]A [变式2](1)从表中不难发现400×25 所以该企业所排污水中疏化物的浓度能在 $0 000,800x$12.5-10000.1000t$ 0 15天内达标. 10000,其余数据也满足xy=10000的规 第二十七章 相似 律,故眼镜度数y(单位:度)与镜片焦距 27.1 图形的相似 x(单位:cm)之间的函数关系式为y10000. [变式1] 在Rt△ABC中,AB=VAC*十BC^{}= (2)令y-500,则x-20 6+8-10. 故眼镜度数为500度时,该镜片的焦距为 :AB·CD-AC·BC. 20 cm. [变式3] B [变式4](1)由题意得a=0.1,s-700, AB 在 Rt△ACD中,AD=VAC-CD^*= ##-(2)## 解得-sa-70. ## 在△ACD和△ABC中,A=A.ACD = B.ADC= ACB-90$. 8 。 A 故该轿车可以行驶875km [变式5](1)当0<t<3时,设线段AB对应 故△ACD与△ABC相似 的函数表达式为v一x十b [变式2] 80v5-160. [提示:设BC-x,则 把A(0,10),B(3,4)分别代入y-kx+b中. AC-80一x..支撑点C是靠近点B的黄金 --2. 6-10. 得 解得{ 分割点, -10. 3十b-4. 2 {3 99 重难用册九年级数学 下册 2J 解得x-120-40v5.·支撑点D是靠近点A .如图所示,四边形ABCD为正方形: 的黄金分割点,..AD-BC-120-40\5. '.CD=80-(120-40)-(120-40) 80v5-160.] 27.2 相似三角形 .$BC=CD,ABC= BCD-90$$ 27.2.1 相似三角形的判定 '4+5-90。 [变式1] 如图,过点D作DG/CE交AB于 . BP CM.PD I PN. '3+5-903-4. 点G, 又1+6-90{},2+6=-90}$ .1-2. ### '.△BNPo△CDP N . BP $CM. ABC=90* 又.AE:EB-1:3. ..MBCBPC M. '.AF-FG.AG-BG .NN #EF1OAA -1. 又.CD-BC...BN-BM. ..DG BD2 *FCBC3' [变式4] 2v41. [提示:连接AC,由AB-3, B$C=4以及 ABC=90^{*},可知AC=5 由AC-5,CD-10.DA-5 5 易得AC+CD=DA. 则△ACD为直角三角形. 故 ACD-90*. 。 过点D作DHIBC交BC的延长线于点H. 一 .. ABC=/CHD-90*,ACB=/CDH ..△ABCoCHD [变式2] .BE//AC. .1=E .1-2.2-E. '.CH-6.DH-8. 又./BFG-EFB. .△BFGo△EFB *.BD-BH+DH-241. .A '.BF*-FG·EF. [变式3] 当BN-BM时,PD|PN.理由如下: 10027 第二十七章 相似 27.1 图形的相似 重点和难点 课标要求 1.通过具体实例认识图形的相似,探索相似图形的性质 重点:相似多边形的特征. 2.了解比例的基本性质,线段的比及成比例线段 难点:相似多边形性质的运用 3.理解相似多边形对应角,对应边的比之间的关系,并能运用它们 解决一些计算问题 01-备知识梳理 0 知识点 图形的相似 20 -2. 25 我们把形状相同的图形叫作相似图形,如 # 用复印机把一个图形放大或缩小后所得的图 形就与原图形是相似图形. 因此,AB,BC,AB',BC'是成比例线段 1.相似图形强调形状相同,它与图形的大 3.成比例线段的运算变形 小、位置无关 成比例线段的变形形式灵活,但本质不变 2.全等图形可以看作是一种特殊的相似 #' 6'= 图形,它们不仅形状相同,而且大小也相同 d_.-.d-c等变形形式,但ad-bc 例观察下列图形,哪些是相似图形 '可C'b 的本质关系不变. [拓展] ② ④ ③ 比例的有关性质 解析 ①与,②与,③与④是相似图形 1.合比性质:若-C. 过2比例线段 知识点 1.线段的比与长度单位的关系 线段的比与线段的长度单位选取无关,但 计算线段比时应统一长度单位 # 2.成比例线段 -(a-b,c-d均不为0). 对于四条线段a,b,c,d,如果其中两条线 (a,b.c.均不为0). 就说这四条线段是成比例线段 ##一#,# 4.等比性质:若 比如AB-50,BC-25,AB'-20,BC'-10. b 18 第二十七章 相似 知识点 3相似多边形及其性质 如果两个多边形对应角相等,对应边的比 例② A.B两地实际距离AB-250m,画 相等,那么这两个多边形相似,这个相似多边 在图上的距离A'B'一5cm.求图上距离与实际 距离的比. 形的定义是判定两个多边形相似最原始的 解析取米作为共同的长度单位,那么AB 方法. -250m,A'B'-0.05m 相似多边形的性质:相似多边形对应角相 0#0 1 等,对应边的比相等,运用这个性质可以解决 250 5000 有关计算问题. 故图上距离与实际距离的比是1:5000. 相似多边形对应边的比称为相似比,当相 我们常常看到,在地图或其他工程图纸上 似比为1时,两个多边形全等 都标有比例尺,比例尺就是图上长度与实际长 例如图,将矩形ABCD对折,折痕为 度的比值. MN,矩形DMNC与矩形ABCD相似,已知 例判断下列线段是否成比例:12mm. AB-4. 5 cm,15 mm,4 cm. (1)求AD的长: A 解析 5 cm=50 mm,4 cm=40 mm (2)求矩形DMNC与 四条线段的数值按从小到大的顺序排列 矩形ABCD的相似比 为12,15,40,50 点拨相似多边形对应边的比相等,其比 *'12×50-15×40,即12:15-40:50. 值就是相似比. '.长度为12mm.5cm.15mm,4cm的四 条线段成比例 .'矩形ABCD与矩形DMNC相似 D (1)求线段的比时,要先统一线段的长度单位, 即在同一长度单位下求两条线段的长度比,线段的 比与统一的单位无关,它是一个没有单位的正数。 .-32,r-4v2. (2)判断四条线段是否成比例的方法有两种 ①把四条线段按大小顺序排列好,判断前两条线段 即AD的长为4v2. 的比与后两条线段的比是否相等;②判断是否有两 (2)矩形DMNC与矩形ABCD的相似比 条线段的积等于其余两条线段的积 为4:4/②-1:② 02关键能力提升 题型1 比例的基本计算 于AC-v5-1 2 AB~0.618AB,所以长为1 将线段AB分成两条线段AC和BC(AC BC)且使AC*三AB·BC,叫作线段AB的 的线段的黄金分割点大约在距一个端点 黄金分割,点C叫作线段AB的黄金分割点由 0.618处. 19 重难用册九年级数学 下册 2 例美是一种感觉,当人体 $BC=AB-AC-1-5-13- ### 下半身长与身高的比值越接近 2 AC^=(51)#--5 0.618时,越能给人一种美感,如 2 图,某女士身高165cm,下半身长 又.AB·BC-13-3-5 文与身高/的比值是0.60,为尽可能达到美的 效果,她穿的高跟鞋的高度大约为( ). ..AC*-AB·BC A.4 cm B.6 cm 易错点 对比例线段概念理解不清而出现漏解 C.8 cm D. 10 cm 例已知三条线段的长分别为1cm. 解析设高跟鞋的高度大约为acm 2cm.v2cm,如果另外一条线段与它们是成 :_0.60. 比例线段,试求这条线段的长 'x=0.60×165-99(cm). 错解 设另一条线段长为xcm,由比例 99+a-0.618. 线段的定义有1:2-/②:x,解得x-2② 又由题意知 165+a 错因 默认这四条线段的长短顺序,只 ·99+a-101.97+0.618a. 讨论其中一种情形,造成漏解 ..0.382a-2.97,解得a~8 正解 设另一条线段长为xcm,有三种 答案C 情况: #例知一 ①1X2-v2x,解得x-②; 点拨方法一:消元法,将一个字母用另一 ②2×②-1·x,解得x-2②; 个字母表示;方法二:中间量法,设a一3,6 2. 2,再代入原式计算, 综上所述,另外一条线段的长是2v2cm 解析方法一 “-b 题型2两个多边形相似的判定 两个多边形的对应角相等,对应边的比值 方法二 设a=3,b-2k. 相等,那么这两个多边形相似 D C &1a-b3k-2k 例如图,G是正方形 ABCD对角线AC上一点,作 2 EG AD.FG AB,垂足分别 证:AC*-AB·BC 为点E,F. F B A 求证:四边形AFGE与四边形ABCD相似 证明·,四边形ABCD是正方形,AC为对 证明:AB-1,AC-5-1. 2 角线, 20 第二十七章 相似 ' DAC=BAC-45* 错解 图①②两个内、外图形相似. 又.EG AD.FG AB. 错因 对图②凭借直观判定,没有研究 '*FG-FG$且AE-FG.AF-$FG 对应边的比是否相等 ..AE-EG-FG-AF, 正解 ①中两个图形一定相似,②中两 即四边形AFGE也是正方形, 个图形不相似. ROOA 题型3运用相似多边形的性质计算 且 EAF= DAB,AFG=$ABC$$ 相似多边形的性质:相似多边形的对应角 FGE=/BCD,/AEG= ADC 相等,对应边的比相等 '*四边形AFGE与四边形ABCD相似 例D如图,四边形ABCD和EFGH相 变式1如图,在Rt△ABC中,ACB= 似,求g,③的大小和AB的长度x 90{,CD是高,且AC-6,BC=8. 30cm E 85 20crnm 95D 求证:△ACD与△ABC相似 24crm H 602 C 解析 四边形ABCD和EFGH相似,故它 B 们的对应角相等,则③- F-60{},a-C 易错点 对相似多边形的概念理解不清而出错 在四边形ABCD中,C=360^{*}-(85^*}+ 例 如图所示的两种镜框(内框的四边距 95 *+60})-120..-120。 外框的距离都相等),其内、外两个图形一定 四边形ABCD与EFGH相似,故它们的 相似吗? 对应边的比相等, A30 ABAD 正方形 长方形 解得x-36(cm). ① ② 故AB的长度为36cm 03-热点考向聚焦 考问 线段比的计算 解析 矩形CDFE是黄金矩形.理由如下: 例(经典·恩施A .D .ABCD是黄金矩形. 5-1. 中考)宽与长之比为 2 1的矩形叫黄金矩形,黄B 金矩形令人赏心悦目,它给我们以协调、匀称 的美感,如图,如果在一个黄金矩形里画一个 .ABEF为正方形, 正方形,那么留下的矩形还是黄金矩形吗?请 证明你的结论 21 重难用册九年级数学 下册 2 2, 矩形周长之和为2(a十b十c十d),分以下三种 情况讨论:①两个矩形均“横着”剪,如图1,a十 5-1 5-1 2. 2 c的最大值为2②,此时+d-1,两矩形周长 '矩形CDFE为黄金矩形 之和的最大值为2×(2v②十1)-4v②+2;②两 变式2(2023·达州中考)如图,乐器上 个矩形均“竖着”剪,如图2,a,c的最大值为1; 的一根弦AB=80cm,两个端点A.B固定在 乐器板面上,支撑点C是靠近点B的黄金分割 点,支撑点D是靠近点A的黄金分割点,则支 撑点C,D之间的距离为 cm(结果保 留根号). “竖”剪,如图3,c的最大值为1,由-2v2,解 考回2相似矩形性质的运用 例(经典·绍兴中考)将标准纸一次 又一次对开,可以得到均相似的“开纸”,现在 2×(#7447+1+)4+#综上得 我们在长为2v2、宽为1的矩形纸片中,画两 个小矩形,使这两个小矩形的每条边都与原矩 形纸的边平行,或小矩形的边在原矩形纸的边 上,且每个小矩形均与原矩形纸相似,然后将 {{#4 它们剪下,则所剪得的两个小矩形纸片周长之 图1 图2 和的最大值是 图3 解析 设剪得的一矩形长和宽分别为a,b 答案 另一矩形长和宽分别为c,d,由剪得的矩形与 22