26.2 实际问题与反比例函数(主书)-【重难点手册】2024-2025学年九年级下册数学（人教版）

第二十六章 反比例函教么 26.2实际问题与反比例函数 重点和难点 课标要求 1.了解反比例函数在实际问题中的一些简单应用的事例，并能通 重点：注重反比例函数在日常生活中 过这些事例，初步学会运用反比例函数的关系来处理相关的几何或物理 的应用 问题. 难点：注重反比例函数与相关学科的 2.通过分析实际问题中的变量关系，初步掌握建立反比例函数模型 综合， 来解决实际问题的一般方法 口01必备知识梳理， 知识点1常见的反比例函数模型 例①人的视察机能受运动速度的影响很 (1)当体（面）积为定值时，底面积（边长） 大，行驶中司机在驾驶室内观察前方物体时是 与高成反比例函数关系. 动态的，车速增加，视野变窄.当车速为50km/h (2)当工程总量为定值时，工作时间与工 时，视野为80度.如果视野f(单位：度)是车速 作效率成反比例函数关系： (3)当力F所做的功为定值时，力F与物 v(单位：km/h)的反比例函数，求f,v之间的函 体在力F方向通过的距离s成反比例函数关系 数关系式，并计算当车速为100km/h时视野 (4)杠杆定律：力×力臂=定值 的度数 (⑤)压强公式：p= ,其中p为压强，F为 点拨读懂题意，直译∫，口的函数关系式， 压力，S为受力面积 再用待定系数法求出反比例函数中的参数k (6)欧姆定律：1只，其中1为电流（单位： 的值 A),R为电阻（单位：），U为电压（单位：V). 解析依题意设f,)之间的函数关系式为 用反比例函数解决实际问题的步骤： f=(k≠0). 审清题意，找出题日中的常量、变 审 量，并理清常量与变量之间的关系 当v=50时，f=80. 所以k=50×80=4000. 设 根据常量与变量之间的关系，设出函 数解析式，待定的系数用字母表示 即所求的函数关系式为∫=4000 步 由题目中的已知条件列出方程，求 列 出待定系数 当=100时，f=4000=40. 100 写出函数解析式，并注意解析式中 因此，f,w之间的函数关系式为f= 变量的取值范围 解 用函数解析式去解决实际问题 4000,当车速为100km/h时视野为40度。 U 9 重雕点手细九年级教学下册 02关键能力提孔。 题型1直接运用熟悉的定律、定理 之间的关系式为p=号，候图象过点A01 该方法主要体现在物理学科与数学学科 1000)知F=1000×0.1=100(N), 的融合上，解决此类问题的一般步骤： (1)看图象： “p与S间的函数关系式为p=100 (2)定函数： (3)设表达式： 2)当S=0.5m时，p03-200(Pa (4)代特殊点： 题型2直译题设中的函数关系式 (5)补取值范围. 该方法主要是根据问题题设中的信息（包 例☑（经典·宜昌中考）如图，一块砖的 括图象或图表)，建立反比例函数模型，再运用 A,B,C三个面的面积比是4：2：1，如果A, 反比例函数模型求解函数关系式. B,C面分别向下放在地上，地面所受压强为 例④你吃过拉面吗？实际上在做拉面的 p,p,p.压强的计算公式为p= 其中p是 过程中就渗透着数学知识：一定体积的面团做 成拉面，面条的总长度y(单位：m)是面条的粗 压强，F是压力，S是受力面积，则p1,p2,p的 细（横截面积）S(单位：mm)的反比例函数，其 大小关系正确的是( 图象如图所示. 4y/m 13 100 A.p>p2>ps B.p>ps>P2 80 60 C.>:> D.Ps>P2>P 40 P(4,32) 解析压力F一定时，压强与受力面积成反 20 0 12345Smm 比例关系，受力面积S越大时，压强p就越小 答案D (1)写出y与S的函数关系式： 例3在压力不变的情况下，某物体承受的 (2)当面条的横截面积为1.6mm时，面 条的总长度是多少？ 压强p(单位：Pa)与它的受力面积S(单位：m) 点拨按题设直译面条总长度y与面条粗 的函数关系的图象如图所示。 细S的关系式，然后待定出相应的参数 (1)求p与S间的函数关系式： (2)求当S=0.5m时，物体承受的压强. 解析（(1)设y与S的函数关系式为y一专 pPa 由图象可知，当S=4时，y=32, 4000 3000 则k=4×32=128. 2000 1000-- 故y与S的函数关系式为y=12照 0.10.20.35/m 点拨应用压强公式来求解。 ②)当S=1.6时y8=80,即此时面 解析(1)依题意知压强、压力及受力面积条的总长度为80m. 10 第二十六章 反比例函教么组 易错点忽视函数自变量的取值范围而出销 ◆变式1一张正方形的纸 例如图1，在矩形ABCD中，AB=3,BC 片，剪去两个一样的小矩形得到 12 =4,点P在BC边上运动，连接DP,过点A 一个“E”形图案，如图.设小矩形 作AE⊥DP,垂足为点E.设DP=x,AE- 的长、宽分别为x,y,剪去部分 12 y,则能反映y与x之间函数关系的大致图 的面积为20.若2≤x≤10，则y与x的函数图 象是(). 象的是( . 02 10 02 10 D B 例5已知蓄电池的电压为定值，使用蓄 电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：2)成 反比例函数关系.当R=42时，I=9A 12 5 (1)写出I关于R的函数解析式： (2)完成下表，并在给定的平面直角坐标 D 系中画出这个函数的图象： 错解D R/0 错因没有考虑自变量的取值范围，认 1/A 为x>0即可. 正解如图2，连接AP 1 12 由点P在矩形ABCD的边BC上， ⊥0 得56m-号X4X3=6 1 A D 又SAPD= ·DP. AE. 02468101211R2 则2y=6>y12 图2 (3)如果以此蓄电池为电源的用电器的限 制电流不能超过10A,那么用电器可变电阻应 即y=2,其中3≤≤5。 控制在什么范围内？ x 对于函数y= 卫，当点P在点C处时， 解析(1设1厂一发： x=3:当点P在点B处时，x=5. 将R=4,1=9代入I是得=36， 故函数的图象为C 故1关于R的画数解析式为1= 11 国避手册九年级数学下册网 (2)完成表格如下（答案不唯一）： （8)当110时，股≤10.所以心8.6 R/… 345678910 故用电器可变电阻的范围是R>≥3.62. I/A 1296543 ◆变式2小明到眼镜店调查了近视眼镜 根据表格中的对应点描点、连线，可得函 的度数与镜片焦距的关系如表所示： 数图象如图所示 ↑HA 眼镜片度数y/度 400625 800 1000 1250 镜片焦距xcm 1612.5 10 12 (1)根据上表体现出来的规律，请写出眼 镜度数y(单位：度)与镜片焦距x(单位：cm)之 间的函数关系式： (2)若小明所戴眼镜度数为500度，求该 468101214R/2 镜片的焦距 03热点考向聚焦一。 考向1反比例函数在学科或生活中 内气体的气压p(单位：kPa)是气体体积V(单 的应用 位：m)的反比例函数：p=晋，能够反映两个变 例6(2023·怀化中考)已知压力F(单 量p和V函数关系的图象是( 位：N)、压强p(单位：Pa)与受力面积S(单位：m) 之间有如下关系式：F=S.当F为定值时，下 列选项中大致表示压强p与受力面积S之间 函数关系的是( 例☑（经典·杭州中考）方方驾驶小汽 车从A地匀速行驶到B地，行驶路程为 解析当压力F一定时，压强P与受力面 480km,设小汽车的行驶时间为t(单位：h),行 积S成反比例关系. 驶速度为v(单位：km/h),且全程速度限定为 答案D 不超过120km/h. ●变式3(2021·宜昌中考)某气球内充 (1)求v关于t的函数解析式. 满了一定质量m的气体，当温度不变时，气球 (2)方方上午8点驾驶小汽车从A地出发. 12 第二十六章 反比例函教么 ①方方需在当天12点48分至14点（含 考向2反比例函数与一次函数应用的 12点48分和14点)间到达B地，求小汽车行 综合 驶速度v的范围， 例8（经典·昆明中考）为了做好校园疫 ②方方能否在当天11点30分前到达B地？ 情防控工作，校医每天早上对全校办公室和教 请说明理由. 室进行药物喷洒消毒，她完成3间办公室和 解析(1)由题意得W=480,0=480 2间教室的药物喷洒要19min,完成2间办公 ≤120，.t≥4. 室和1间教室的药物喷洒要11min. ↑mgm) 0关于1的函教解析式为=480（≥4. (2②)①8点至12点48分时间长为酷h. 8,点至14点时间长为6h. /min 将1=6代入0=480中，得0=80： (1)校医完成1间办公室和1间教室的药 物喷洒各要多少时间？ 将1=告代入4中，得=10， (2)消毒药物在1间教室内空气中的浓度 故小汽车行驶速度v的范围为：80≤v y(单位：mg/m3)与时间x(单位：min)的函数关 100. 系如图所示，校医进行药物喷洒时y与x的函 ②方方不能在当天11，点30分前到达B地 数解析式为y=2x,药物喷洒完成后y与x成 理由如下： 反比例函数关系，两个函数图象的交点为 8点至1点30分时问长为号h, A(m,n).当教室空气中的药物浓度不高于 1g/m3时，对人体健康无危害，校医依次对 将1=7代入=480中，得-90， 班至十一班教室（共11间）进行药物喷洒消 71 毒，当她把最后一间教室药物喷洒完成后，一 :960km/h>120km/h, 7 班学生能否进入教室？请通过计算说明. .方方不能在当天11点30分前到达B地 解析(1)设完成1间办公室和1间教室的 ●变式4(2021·武汉中考)将油箱注满 药物喷洒各要xmin和ymin. kL油后，轿车可行驶的总路程s(单位：km)与 3x+2y=19, x=3, 则 解得 平均耗油量a(单位：L/km)之间是反比例函数 2x+y=11, y=5. 关系s=飞(k是常数，k≠0).已知某轿车油箱 故校医完成1间办公室和1间教室的药物 喷洒各要3min和5min. 注满油后，以平均耗油量为每千米耗油0.1L (2)1间教室的药物喷洒时间为5min,则 的速度行驶，可行驶700km. 11个房间需要55min, (1)求该轿车可行驶的总路程s与平均耗 当x=5时，y=2x=10,故点A(5,10). 油量a之间的函数解析式（关系式）： (2)当平均耗油量为0.08L/km时，该轿 设反比例函数的解析式为y=冬，将点A 车可以行驶多少千米？ 的坐标代入上式，解得k=50, 13 国雕点手册九年级数学下册) 故反比例函数的解析式为y- 3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x x 成反比例关系。 50一1. 当x=50时，y=5 y/mg.L) 10A 故一班学生能安全进入教室， ●变式5(2021·连云港中考)环保局对 某企业排污情况进行检测，结果显示：所排污 水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过 3 x火 最高允许的1.0mg/L.环保局要求该企业立 (1)求整改过程中硫化物的浓度y与时间 即整改，在15天以内（含15天）排污达标.整改 x的函数表达式 过程中，所排污水中硫化物的浓度y(单位： (2)该企业所排污水中，硫化物的浓度能 mg/L)与时间x(单位：天)的变化规律如图所 否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L? 示，其中线段AB表示前3天的变化规律，从第为什么？ 14变式参考答案与提示 坐标为(-2，一3)，(3,2). 所以y=-2.x十10. (3)y=一2x十5（答案不唯一）. 当x>3时，设y=m [变式7刀y=18(x>0). [提示：设BD=m, 把B3,4)代入y=中，得号=4，解得m=12 则点B(3,2m),点E(3十m,m).点B,E在 同一个反比例函数的图象上，∴.3×2m= 所以y=12 (3十m)×m,.m=3..3×6=18,.该 y=-2.x+10(0≤x≤3)， 反比例函数的表达式为y=18(x>0).] 综上所述， y=12(>3》. 26.2实际问题与反比例函数 (2)能令y=12=1,则x=12<15. [变式1]A [变式2](1)从表中不难发现400×25= 所以该企业所排污水中硫化物的浓度能在 10000,800×12.5=10000,1000×10 15天内达标 10000,其余数据也满足xy=10000的规 第二十七章 相似 律.故眼镜度数y(单位：度)与镜片焦距 x(单位：m之间的函数关系式为)y=10000 27.1图形的相似 [变式1]在Rt△ABC中，AB=VAC+BC (2)令y=500,则x=20. √6+8=10. 故眼镜度数为500度时，该镜片的焦距为 20cm. 又：2AB,CD-2AC·BC. [变式3]B ∴CD=AC·BC_24 [变式4](1)由题意得a=0.1,x=700, AB 5 代人反比例函数关系式=中， 在Rt△ACD中，AD=VAC-CD产= 解得k=sa=70, v6-- 所以函数关系式为= 在△ACD和△ABC中，∠A=∠A,∠ACD a =∠B,∠ADC=∠ACB=90°， (2)将a=0.08代入x=70 18 得s=7070 AC63 CD. 5_3AD_5=3 =875, AB 10 5'BC 5'AC65 a0.08 故该轿车可以行驶875km. 指畏把 [变式5](1)当0≤x≤3时，设线段AB对应 故△ACD与△ABC相似. 的函数表达式为y=kx十b, [变式2]805-160.[提示：设BC=x,则 把A(0,10),B(3,4)分别代入y=k.x+b中， AC=80一x.,支撑点C是靠近点B的黄金 b=10, k=-2, 得 解得 3k+b=4. b=10. 分湖点，福-号，即00- 80 2 99