26.1 反比例函数(主书)-【重难点手册】2024-2025学年九年级下册数学（人教版）

26 第二十六章反比例函数 26.1反比例函数 重点和雅点 课标要求 1.理解并掌握反比例函数的概念。 重点：反比例函数的概念 2。会画反比例函数的图象，并掌握反比例函数的性质。 难点：反比例函数的图象与性质。 3.能够灵活运用反比例函数的性质。 门-01必备知识梳理。一 知识点1反比例函数的意义 例①下列函数关系中是反比例函数的是 般地，形如y冬(k为常数，≠0)的函 、 A.等边三角形面积与边长的关系 数称为反比例函数，其中x是自变量，y是函 B.长方形的面积一定时，长与宽的关系 数.自变量x的取值范围（即定义域）是不等于0 C.圆的面积与半径的关系 的一切实数， 当k取某一个常数时，这个反比例函数的 D.圆锥的底面积一定时，体积与高的关系 关系式就被确定下来了 答案B 反比例函数常见解析式的形式： 例2(2024·武汉中学检测)若变量x与 1)y=(k为常数，k≠0)： y之间的关系式为号+y一上（口为不等于1的 (2)y=kx1(k为常数，k≠0)： 常数)，则y是x的( (3)xy=k(k为常数，k≠0). A.一次函数 B.正比例函数 最0银通 C.反比例函数 D.二次函数 反比例关系与反比例函数的比较 (1)如果ab=k(k为常数，k≠0)，那么a与b这 解析原关系式可支形为y一}兰。 两个量成反比例关系，这里（和b既可以代表单项 即y=1-a 式，也可以代表多项式.例如：若y十2与x一5成反 x 比例关系，则y十2=人气使为常盘0)：若y与 a为不等于1的常数， 1一a≠0，且1一a为常数. 父成反比剂关系，则y一兰使为含数：0》 y是x的反比例函数 (2)成反比例关系不一定是反比例函数，但反 答案C 比例函数中的两个变量一定成反比例关系.如y 知识点2反比例函数的图象与性质 表示y与x成反比例关系，但y不是关于x的 x 1.图象分布 反比例函数 反比例函数图象的位置是：当k>0时，x,y 1 国雕点手册九年级数学下册) 同号，图象为第一、第三象限的两支曲线：当k< 正值但越来越大，这时其图象在第一象限的部 0时，x,y异号，图象为第二、第四象限的两支 分越来越接近y轴（但不与y轴相交），其图象 曲线.故反比例函数的图象属于双曲线， 如图1所示.这正是反比含义的体现.依对称 2.对称性 性，我们不难知道其图象在第三象限内的变化 若点（αb)在反比例函数y=的图象上， 趋势、 则点（一a,一b)也在此图象上，故反比例函数 的图象关于原点对称。 6提香 (1)反比例函数图象的两个分支是断开的，延 图2 仲部分无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交， 当k<0时，其图象如图2所示.观察可知， (2)反比例函数的图象既是中心对称图形（对 其图象由两支曲线组成，并且每支曲线上的点 称中心是原点)·又是轴对称图形（对称轴是直线 对应的y值随着x值的增大而增大 y=x或直线y=一x). [拓展]对于反比例函数y=(k>0),当 例B如图，正比例函数和反比例函数的图 k增大时，图象离坐标轴越来越远，如图所示 象相交于A,B两点，分别以A,B两点为圆心， 画与y轴相切的两个圆.若点A的坐标为(1,2)， 则图中两个阴影部分的面积的和是 例日对于反比例函数y一二，下列说法中 不正确的是(). A.点（一2，一1）在它的图象上 B.它的图象在第一、第三象限 解析因为正比例函数和反比例函数的图 C当x>0时，y随x的增大而增大 象均关于原点对称，故点A与点B关于原点对 D.当x0时，y随x的增大而减小 称，则点A,B到y轴的距离相等，即⊙A,⊙B 解析因为k=2>0,且由(-2)×（一1）=2 为等圆（半径为1）. 可知A,B,D正确，C不符合反比例函数的 所以两圆的阴影部分的面积的和恰好还 性质。 原成一个圆的面积. 答案C 答案π ◆变式1(2023·宜昌中考)某反比例函 3.增减性 数图象上四个点的坐标分别为（一3，）， 对于k>0,当x取正值且越来越大时，y (一2,3)，(1,2)，(2，y⅓)，则y,2y%的大小 也取正值但越来越小，这时反比例函数的图象 关系为( ). 在第一象限的部分越来越接近x轴（但不与 A.2<y1<y9 B.ya<y2<y x轴相交)：当x取正值且越来越小时，y也取 C.y<ys<y D.y1<<y% 2 第二十六章 反比例函教么9 02关键能动提升。 题型1反比例函数解析式的求法 面积 求反比例函数解析式的一般方法： S=PM·PN=|y·|x=xy=k (1)定义法 即在反比例函数y=(k≠0)的图象上任 利用反比例函数的定义，其中y=(k≠ 取一点向两坐标轴作垂线，则两垂线线段与两 O)也可写成xy=k或y=kx1的形式. 坐标轴所围成的矩形的面积等于k,且这个 (2)待定系数法 面积的值与取点的位置无关， 根据已知条件，利用一个已知点的坐标求 若连接OP,则Samw=Sam=之. 出k,从而得到函数解析式。 例6一个反比例函数在第三象限的图象 例同在反比例函数y=中，当x=2时， 如图所示，O为原点，A是图象上任意一点， y=3,求反比例函数的解析式. AM⊥x轴于点M.如果△AOM的面积是3，那 解析将x=2,y=3代入y=中，得3 么这个反比例函数的解析式是 解析设反比例函数的解 会即=6，故反北例画数的解新式为)一 析式为y= x 易错点忽视比例系数不能为0而出错 例已知y=(m2十2m)+"-1,如果y Saw=2k1=3, 是x的反比例函数，求n的值。 .k=6. 错解由m2+m一1=一1， 又，双曲线的一支在第三象限， 解得11=0，m2=一1. .k>0,得k=6 错因没有考虑比例系数m2十2m≠0 这一限制条件，造成多解 八反比例函数的解析式为y= 正解由题意得 m2+m-1=-1, 答案y一 m2+2m≠0， 例7反比例函数y= 解得m=一1. 在第一象限的图象如图所 题型2反比例函数y=(k≠0)中比 示，则k的值可能是( ). A.1 B.2 例系数k的几何意义 C.3 D.4 依反比例函数的表达式， 我们不难得到k=xy(k≠0). 解析设点（，b》为y一在第一象限国象 如图，过双曲线上任意一点P 上的任意一，点，则k=ab,依k的几何意义及图 作x轴、y轴的垂线PM, 中的格点知1×2<ab<2×2,即2<k<4. PV,所得的矩形PMON的 答案C 3 国雕白手册九年级教学 下册2 ◆变式2如图，直线 题型3双曲线与直线的交点问题 ⊥x轴于点P,且与反比例 双曲线y=红（魚≠0）与直线y=x十b 函数力=(x>0)及边 (k2≠0)的交点问题可归结于方程组问题，即 丝(x>0)的图象分别交于 点A,B,连接OA,OB,已知△OAB的面积为 y=k2x十b, 2,则k1一k2= 消去y,得k2x2+b.x-k1=0. 例8如图，已知双曲线y=(x>0)经过 再处理一元二次方程即可. 例⑨给出下列命题： 矩形OABC边AB的中点F,交BC于点E,且 命题1：点(1,1)是直线y=x与反比例函 四边形OEBF的面积为2，则k 数y=的一个交点： 解析如图，连接OB. 命题2：点(2,4)是直线y=2x与反比例函 F是AB的中点， ∴.S△OAF- S△AOB 数y=的一个交点： 命题3：点(3,9)是直线y=3x与反比例函 S&. 数y=2的一个交点： 又.'S△cE0=S△aAF= 4… (1)请观察上面的命题，猜想出命题n(n 1 SACFO-7SAonC. 是正整数)： 又，'S△0E十S网边移0BF十S△AOr=SEOABC, (2)证明你猜想的命题n是正确的. ∴2k+2+2=2k,k=2 解析(1)命题n:点(n,)是直线y=n 与反比例函数y=心的一个交点(m为正 答案2. 整数). ◆变式3如图，反比例函数y=(x>O) x=n, (2)把 代入y=x 的图象经过矩形OABC对角线的交点M,分别 y=n2 与AB,BC交于点D,E,若四边形ODBE的面 左边=n2,右边=n·n=m2, 积为9，则k的值为( ,左边=右边， ∴.点(n,)在直线y=x上. 同理，可证，点(n,n)在双曲线上， 点(，)是直线y=r与双曲线y= =冬(x>0) 的一个交点，命题正确. ◆变式4如图，在平面直角坐标系Oy A. B.2 C.3 D.4 中，正比例函数y=kx的图象与反比例函数 第二十六章 反比例函散组 y2=的图象都经过点A(2,一2). (1)求函数y的表达式和点B的坐标： (2)观察图象，当x>0时，比较和2的 大小 点拨(1)由点A(2,1),C(0,3)即可得函 数yⅥ的表达式，由点A即可确定k2的值，再依 ,y2的交点可得点B的坐标 (2)结合图形，由第一象限两函数图象的 (1)分别求这两个函数的表达式： 高低得出结论 (2)将直线OA向上平移3个单位长度后 解析(1)由函数y1的图象过点A(2,1), 与y轴相交于点B,与反比例函数的图象在第 C(0,3),有 1=2k+b,mk=-1, 解得 四象限内的交点为C,连接AB,AC,求点C的 3=b. b=3. 坐标及△ABC的面积 所以4=一x十3. 题型4利用图象解不等式 又因为，点A(2,1)在函数2的图象上， 通过交点坐标，可以解决一些不等式 所以=2即地=号 问题 y=-x+3, 例10已知一次函数少=ax十b与反比 由 消去y得x2-3.x十2=0， 例函数一冬在同一直角坐标系中的图象如图 即(x-2)(.x-1)=0,解得x1=1,x2=2. 所示，则当y<y2时，x的取值范围是( ）. x=1.x2=2, 即方程组的解为 h=2,w=1. 其中点A的坐标为(2,1)，点B的坐标为 (1,2). (2)由题中第一象限的图象知 当0<x<1或x>2时，yh<y2: 当1<x2时，y1>y2； A.x<-1或0<x<3 当x=1或x=2时，y1=y2 B.-1<x<0或x>3 ◆变式5如图，已知一次函数y=一2x十3 C.-1<x<0 的图象与x轴交于点A,与反比例函数y=一5 D.x>3 解析观察图象可得」 的图象交于B,C两点.P是线段AB上的一个 答案B 动点。 例11如图，函数y,= k1x十b的图象与函数y2= 2(x>0)的图象交于A,B 两点，与y轴交于点C.已O 知点A的坐标为(2,1)，点C的坐标为(0,3). 国避手册九年级数学下册网 (1)当x取何值时，反比例函数的值小于 y=-5的图象交于点D,连接AD,求△PAD 一次函数的值： (2)过点P作x轴的平行线与反比例函数 的面积的最大值. -03热点老向聚焦一。 考向1反比例函数y= 飞(k≠0)中 得x=一4，故点B的横坐标为一4： 对于y=-2.x十2，当y=1时，一2x十2= 比例系数k的几何意义 例12(2023·兰州中考)如图，反比例函 1.解得x=号故点C的横坐标为号 数y=(x<0)与一次函数y=一2x十m的图 故BC-号-(-0=号 象交于点A(-1,4),BC⊥y轴于点D,分别交 考向2反比例函数与一次函数的综合 反比例函数与一次函数的图象于点B,C 例13(2023·广西中考)如图，过反比例 (1)求反比例函数y=与一次函数y= 函数y一（>0)图象上的点A分别作x轴、 一2x+m的表达式： (2)当OD=1时，求线段BC的长 y轴的平行线，交反比例函数y=一上的图象 于B,D两点，以AB,AD为邻边的矩形ABCD 被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为 5,SS5.若5十S+5,=,则k的值为 点拔根据，点A的坐标可以先求出反比例 函数和一次函数的表达式，由OD的长知道两 个函数值，求对应自变量的取值 解析(1)：反比例函数y=(x<0)的图 象过点A(-1,4), A.4 B.3 C.2 D.1 4=冬，k=4X(-1)=-4 解析易知S:=S:=1.设点A的坐标 一反比例函数的表达式为y=一4 为a,)a>0,则点B的纵坐标为各，点B 把点A(-1,4)代入y=-2x十m中， 得4=一2×（一1）十m,解得m=2. 的横坐标为一后，点C的横坐标为一是 .一次函数的表达式为y=一2x十2. ,点D的横坐标为，∴.点D的纵坐标为 2)对于y=是当y=1时，皇=1，解 a. 点C的纵坐标为-】：S十S十S 6 第二十六章反比例函教么 =号，1+×+1=k=2. 沿y轴折叠得到双曲线y=一8(x<0),将线 答案C 段OA绕点O旋转，使点A恰好落在双曲线 ●变式6（经典·贵阳中考）如图，一次函 y=-8(x<0)上的点D(d山，m)处，求m和n的 数y=x十1的图象与反比例函数y=的图象 数量关系 相交，其中一个交点的横坐标是2. 点拨(1)①根据点P的坐标得到，点C的 横坐标，再根据BP的长得到点C的纵坐标； ②用含t的代数式表示出点C的坐标，代入y =8即可求解.(2)分别将点A,D的坐标代入 (1)求反比例函数的解析式： (2)将一次函数y=x十1的图象向下平移 8和y=-8中，再结合0A=OD即可 2个单位长度，求平移后的图象与反比例函数 求解 y一图象的交点坐标： 解析(1)①C1,3): ②依题意得点C的坐标是(1,1十2)， (3)直接写出一个一次函数，使其图象过 “双曲线y=8经过点C, 点(0,5)，且与反比例函数y=的图象没有公 .t(t十2)=8， 共点. 解得1=2，t2=一4. 考向3反比例函数中的坐标法 (2):点A,D分别在双曲线y=8和y 例1☑已知点A(a,m)在双曲线y=8 8上 上，且m<0,过点A作x轴的垂线，垂足为 点B. m=8和n=一S (1)如图1，当a=一2时，P(t,0)是x轴上 .OA=OD, 的动点，将点B绕点P顺时针旋转90°至点C ∴.a2+m2=dP+n2, ①若t=1,直接写出点C的坐标： 12 ②若双曲线y=8经过点C,求1的值. (）+m=( ,.(m一n)(m十n)(mn十8)(mm一8)=0. .m<0,1>0, ,.mn0,m-n<0, ,∴.m十n=0或mn=一8. ◆变式7(2023·陕西中考)如图，在矩形 OABC和正方形CDEF中，点A在y轴正半 图1 图2 轴上，点C,F均在x轴正半轴上，点D在边 (2)如图2，将图1中的双曲线y=8(x>0) BC上，BC-2CD,AB=3.若点B,E在同一个 1 国雕点手册九年级数学下册圆 反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表 ⑥横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 达式为 (1)函数y=x2的图象上所有的点经过 ④→②→①，得到函数 的图象： (i)为了得到函数y=一 4x-1)2-2的 图象，可以把函数y=一x的图象上所有的点 考向4反比例函数图象的拓展研究 例15（经典·南京中考）如图，把函数 A.①→⑤→③ B.①→⑥→③ y=x的图象上各点的纵坐标变为原来的2倍， C.①→②-→⑥ D.①+③⑥ 横坐标不变，得到函数y=2x的图象：也可以 (3)函数y=上的图象可以经过怎样的变化 把函数y=x的图象上各点的横坐标变为原来 的)，纵坐标不变，得到函数y=2x的图象.类 得到函数y=一的图象（写出一种即可）？ 2.x+4 似地，我们可以认识其他函数 解析(1)6：合 (2)(i)y=4(x-1)2-2.(iI)D (3)本题答案不唯一，下列解法可供参考。 例如： 2x十1 2x十4-3_3 2x+4 2.x+42x+4-1= 1 2 x+2 -1. ()把函数y=的图象上各点的纵坐标 先把函数y=上的图象上所有的点向左平 变为原来的 倍，横坐标不变，得到函 数y=的图象；也可以把函数y=上的图象上 移2个单位长度，得到画数y=2的图象： 各点的横坐标变为原来的 ,纵坐标不 再把函数y= 十2的图象上所有的，点的纵坐 变，得到函数y=6的图象。 标变为原来的倍，横坐标不变，得到函敏 (2)已知下列变化：①向下平移2个单位 长度：②向右平移1个单位长度：③向右平移 3 3 y= 2千的图象：最后把函数y2千的图 个单位长度：④纵坐标变为原来的4倍，横坐 象上所有的，点向下平移1个单位长度，得到函 标不变：⑤横坐标变为原来的)，纵坐标不变： 数y=一 的国泉 8九年级数学 下册 2 变式参考答案与提示 '.Sc=Snoc(同底等高). 第二十六章 反比例函数 26.1 反比例函数 [变式1] C [提示:·点(-2.3)在反比例函 y--2x+3, [变式5] (1)由 得C({,-2), 数的图象上,',反比例函数的解析式为y #35 6 B(-1,5). 得 =2,=-6=-3.< $ [变式2] 4. [提示:.SAoB=SoP 例函数的值小于一次函数的值 $$Aop -,·2-=2 (2)D(-,),则P(3-#,a). 'b--4.] .SA0() -1(-3)#40# #7~00# 'So-. '.S形Acp-4. .k-3.] [变式6](1).一次函数y=x十1的图象与 反比例函数y-的图象的一个交点的横坐 (2)如图,连接OC. 7 (7# 标是2,,当x-2时,y-3. '.其中一个交点的坐标是(2,3). 把交点(2,3)的坐标代入y-中,得-6, 2 '.反比例函数的解析式是y- ) 将直线OA向上平移3个单位长度后得到的 (2).将一次函数y一x十1的图象向下平移 直线BC的表达式为y=-x十3. 2个单位长度. [y=-x十3. '.平移后的一次函数图象的解析式是y 联立 -1. 由二 得x2-3x-4-0. 解得x一4,x。二一1(不符合题意,舍去) ---6-0. 故点C的坐标为(4,-1). 解得x=-2,x。-3. .:OA/BC. '.平移后的图象与反比例函数图象的交点 98 变式参考答案与提示 坐标为(-2,-3),(3,2). 所以y=-2x+10. (3)y=-2x十5(答案不唯一). 当x>3时,设y-” [变式7] x 则点B(3,2m).点E(3+m,m)..点B.E在 同一个反比例函数的图象上,..3×2m (3+n)×n..n=3..3×6-18.'该 y--2x+10(0<x<3). 反比例函数的表达式为y-18(x>0).] 综上所述, #2(3). ) ) 26.2 实际问题与反比例函数 [变式1]A [变式2](1)从表中不难发现400×25 所以该企业所排污水中疏化物的浓度能在 $0 000,800x$12.5-10000.1000t$ 0 15天内达标. 10000,其余数据也满足xy=10000的规 第二十七章 相似 律,故眼镜度数y(单位:度)与镜片焦距 27.1 图形的相似 x(单位:cm)之间的函数关系式为y10000. [变式1] 在Rt△ABC中,AB=VAC*十BC^{}= (2)令y-500,则x-20 6+8-10. 故眼镜度数为500度时,该镜片的焦距为 :AB·CD-AC·BC. 20 cm. [变式3] B [变式4](1)由题意得a=0.1,s-700, AB 在 Rt△ACD中,AD=VAC-CD^*= ##-(2)## 解得-sa-70. ## 在△ACD和△ABC中,A=A.ACD = B.ADC= ACB-90$. 8 。 A 故该轿车可以行驶875km [变式5](1)当0<t<3时,设线段AB对应 故△ACD与△ABC相似 的函数表达式为v一x十b [变式2] 80v5-160. [提示:设BC-x,则 把A(0,10),B(3,4)分别代入y-kx+b中. AC-80一x..支撑点C是靠近点B的黄金 --2. 6-10. 得 解得{ 分割点, -10. 3十b-4. 2 {3 99