精品解析：浙江省绍兴市绍初教育集团2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题

绍初教育集团2024学年第一学期10月九年级数学大单元独立作业 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分． 1. 下列事件中，是必然事件的是（　　） A. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 B. 射击运动员射击一次，命中靶心 C. 购买一张彩票，中奖 D. 任意画一个三角形，其内角和是 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了事件的分类，事件分为必然事件、随机事件与不可能事件；一定发生的事件是必然事件；可能发生也可能不发生的事件是随机事件；一定不发生的事件是不可能事件；根据三类事件的含义进行判断即可． 【详解】解：A．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件； B．射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件； C．购买一张彩票，中奖，是随机事件； D．任意画一个三角形，其内角和是，是必然事件； 故选：D． 2. 下列四个点中，在抛物线上的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题可将四个选项中的坐标代入抛物线方程中，看两边是否相等，即可判断该点是否在抛物线上． 【详解】解：A．把代入得，故点不在抛物线上． B．把代入得，故点不在抛物线上． C．把代入得，故点在抛物线上， D．把代入得，故点不在抛物线上． 故选：C． 3. 对于二次函数的性质，下列描述正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是直线 C. 当时，y随x的增大而增大 D. 顶点坐标是 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．根据二次函数解析式可得，该二次函数的图象开口向上，对称轴是直线，顶点坐标为，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，逐项判断即可． 【详解】解：对于二次函数， A．，则开口向上，故选项A错误，不符合题意； B． 对称轴是直线，故选项B错误，不符合题意； C．当时，y随x的增大而增大，故选项C正确，符合题意； D．顶点坐标为，故选项D错误，不符合题意， 故选：C． 4. 下列函数中，当时，随增大而增大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数、一次函数、二次函数的图象与性质．熟练掌握反比例函数、一次函数、二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据反比例函数，一次函数，二次函数的图象与性质对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，A中，当时，随增大而增大，故符合要求； B中，当时，随增大而减小，故不符合要求； C中，当时，随增大而增大，故不符合要求； D中是一条平行于轴的直线，故不符合要求； 故选：A． 5. 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系，下列说法正确的是（ ） A. 小球的飞行高度为15m时，小球飞行的时间是1s B. 小球从飞出到落地要用4s C. 小球飞行3s时飞行高度为15m，并将继续上升 D. 小球的飞行高度可以达到25m 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据函数表达式，可以求出的两根，两根之差即为小球的飞行到落地的时间；求出函数的最大值，即为小球飞行的最大高度；然后根据方程的意义为时所用的时间，据此解答． 【详解】解：的两根，，即时所用的时间， 小球的飞行高度是15m时，小球的飞行时间是1s或3s，故A错误； ， 对称轴为直线，最大值为20，故D错误； 时，，此时小球继续下降，故C错误； 当时，，， ， 小球从飞出到落地要用4s，故B正确． 故选：B． 6. 二次函数，（，，，为常数）的部分对应值列表如下： … … … … 则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的对称性，二次函数的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．根据二次函数经过，，可得对称轴，再根据二次函数的对称性可设关于的对称性点为，即得，求出为，再将其代入，即可求出． 【详解】解：由表格可得二次函数经过，， ∴二次函数的对称轴为， 又∵二次函数经过， 设的关于的对称性点为， ∴， 解得 ， 即二次函数经过， 将代入中， 可得， 故选． 7. 抛掷一枚质地均匀的硬币，若抛掷8次都是正面朝上，则抛掷第9次（　　） A. 正面朝上的可能性大 B. 反面朝上的可能性大 C. 正面朝上与反面朝上的可能性一样大 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了概率，大量重复试验事件发生的频率接近事件发生的可能性的大小（概率）．根据大量重复试验事件发生的频率接近事件发生的可能性的大小（概率），可得答案． 【详解】解：抛掷一枚质地均匀的硬币，若抛掷8次都是正面朝上，则抛掷第9次正面朝上与反面朝上的可能性一样大， 故选：C． 8. 如图，在中，，将折叠，使点的对应点落在边上，折痕为．若的长为，的长为，那么与之间的关系图象大约是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的图象，勾股定理，折叠的性质，根据勾股定理列方程是解题的关键． 【详解】解：∵的长为， 的长为， ∴， 在中，利用勾股定理， 得， 解得：其中； 故选：B． 9. 对于每个非零自然数，抛物线与轴交于，两点，以表示这两点之间的距离，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依据题意，先利用因式分解的方法得到，从而得到抛物线与轴的交点，坐标为，，所以，所以，然后合并即可． 【详解】解： ， 抛物线与轴的交点，坐标为，， ， ． 【点睛】本题主要考查了求抛物线与轴的交点坐标，十字相乘法，因式分解法解一元二次方程，有理数的加减混合运算等知识点，熟练掌握二次函数与一元二次方程之间的关系是解题的关键． 10. 已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论：①；②；③；④关于x的方程有四个根，且这四个根的和为4，其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的开口向下，对称轴方程以及图象与y轴的交点得到a，b，c的取值，于是可对①进行判断；根据抛物线与x轴的交点的个数可对②进行判断；当时，的值最大，即当时，即，则可对③进行判断；由于方程有2个根，方程有2个根，则利用根与系数的关系可对④进行判断． 【详解】解：①∵抛物线开口方向向下， ∴， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∵对称轴在y轴右侧， ∴， ∴，故①错误； ②∵抛物线与x轴有两个交点 ∴ ∴，故②正确； ③当时，的值最大， ∴当时，， ∴， ∴，故③正确； ④∵方程有四个根， ∴方程有2个根，方程有2个根， ∴所有根之和为，故④正确． ∴正确的结论是②③④， 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数关系，需要对二次函数各项系数对图象的决定作用理解透彻，同时需要理解二次函数与方程的关系．会用数形结合的思想是解题关键． 二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分． 11. 请写出一个开口向下二次函数表达式，使其图象的对称轴为y轴：______． 【答案】（答案不唯一）． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，牢记形如的二次函数的性质是解答本题的关键． 根据形如或二次函数的性质直接写出即可． 【详解】解：∵图象的对称轴是y轴， ∴函数表达式（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 已知函数，当时，则y的取值范围为______． 【答案】## 【解析】 【分析】先把该二次函数的解析式化为顶点式，然后确定函数图像的开口方向和顶点坐标，即求得函数的最小值，再分别求得和时的函数值，最后归纳即可解答． 【详解】解：∵， ∴函数图像开口方向向上，顶点坐标为， ∴时，有最小值， ∵当时，；当时，； ∴当时，y的范围是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图像上点的坐标特点等知识点，根据题意得出二次函数的顶点坐标是解题的关键． 13. 一个不透明的盒子中装有若干个红球和个黑球，这些球除颜色外均相同．经多次摸球试验后发现，摸到黑球的频率稳定在左右，则盒子中红球的个数约为______________． 【答案】 【解析】 【分析】设袋子中红球有个，根据摸到黑球的频率稳定在左右，可列出关于的方程，求出的值，从而得出结果． 【详解】解：设袋子中红球有个， 根据题意，得, 经检验是方程的解，且符合题意， ∴盒子中红球的个数约为， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了利用频率估计概率，熟练掌握求概率公式是解此题的关键． 14. 如图，已知抛物线（a，b均不为0）与双曲线的图象相交于，，三点．则不等式的解是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数和二次函数的综合判断，将不等式 转化为不等式，再结合函数图像即可得出答案． 【详解】解：不等式 可以转化为不等式， 根据函数图像可知不等式的解集为：或， 故答案为：或． 15. 已知函数的图象与坐标轴只有两个交点，则_____． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了函数与坐标轴的交点问题，分类讨论和两种情况即可求解． 【详解】解：①当时，，该一次函数与坐标轴有两个交点，满足题意； ②当时，为二次函数， 若图象经过原点，则，解得：， 此时，，图象与轴还有一个交点，满足题意； 或函数的图象与轴只有一个交点， ∴， 解得： ， 综上所述：或或； 故答案为： 或或 16. 已知点A是直线上一动点，以点A为顶点的抛物线交y轴于点B，作点B关于x轴的对称点C，连接AB、AC．若△ABC是直角三角形，则点A的坐标为___． 【答案】或或 【解析】 【分析】分两种情况：∠BAC=90°，则由题意得OA=OB，从而得到关于m的方程，解方程即可；∠ACB=90°，则点A、C的纵坐标相同，可得关于m的方程，解方程即可． 【详解】由题意得：A(m，h)，且， 上式中令x=0，得， ∴． ∵点A在直线上， ∴， 即，， ∵点B、点C关于x轴的对称， 则． ①当∠BAC=90°，则OA是Rt△ABC的斜边BC上的中线， ∴OA=OB， ∵，， 则， 由于m≠0， 解得：或， 所以点A的坐标为或； ②当∠ACB=90°时，如图，则AC⊥BC，此时点A、C的纵坐标相同， 即， ∴，m=0（舍去）， 所以点A的坐标为； 综上所述，点A的坐标为或或． 【点睛】本题是二次函数的综合，考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象，直角三角形的性质等知识，注意分类讨论，避免遗漏． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分． 17. 根据下列条件求的取值范围： （1）函数，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大； （2）函数有最大值； （3）函数的图象是开口向上的抛物线． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解一元一次不等式，因式分解法解一元二次方程等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据二次项的系数小于，对称轴左边随的增大而增大，对称轴右边随的增大而减小，可列出一元一次不等式，解之即可得出答案； （2）根据二次函数有最大值，可得二次项的系数小于，据此列出一元一次不等式，解之即可得出答案； （3）根据函数图象开口向上，可得二次项系数大于，同时二次项的次数须满足，解之即可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意可得： ， 解得：； 【小问2详解】 解：由题意可得： ， 解得：； 【小问3详解】 解：由题意可得： ， 解得：． 18. 已知二次函数，过，在时取到最大值，且二次函数的图象与直线交于点 ． （1）求这个二次函数解析式； （2）求大于时，x的取值范围． 【答案】（1） （2）时，大于 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数综合： （1）先把点P坐标代入一次函数解析式，求出点P坐标，再根据对称轴计算公式得到，再把，代入二次函数解析式中进行求解即可； （2）先求出直线与二次函数两个交点的横坐标，再根据函数图象找到二次函数图象在一次函数图象上方时自变量的取值范围即可． 【小问1详解】 解：将代入得， 解得． ∴； 由题意可得抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， 把，代入得， 解得， ∴二次函数解析式为． 【小问2详解】 解：令，解得或， ∴抛物线与直线两个交点的横纵标为和， ∴由函数图象可知，当时，大于． 19. 高尔基说：“书，是人类进步的阶梯．”阅读可以启智增慧，拓展视野．为了解学生寒假阅读情况，开学初学校进行了问卷调查，并对部分学生假期（28天）的阅读总时间作了随机抽样分析，设被抽样的每位同学寒假阅读的总时间为t（小时），阅读总时间分为四个类别：A（），B（），C（），D（），将分类结果制成两幅统计图（尚不完整）．根据以上信息，回答下列问题： （1）请补全条形统计图； （2）扇形统计图中a的值为________； （3）若该校有2000名学生，估计寒假阅读总时间少于24小时的学生有多少名？ （4）政教处决定从本次调查阅读时长前四名学生甲、乙、丙、丁中，随机抽取2名同学参加该校“阅读之星”竞选，请用树状图或列表法求恰好选中甲和乙的概率． 【答案】（1） 补全条形统计图如下： （2） （3）估计寒假阅读的总时间少于24小时的学生有1000名 （4） 【解析】 【分析】本题主要考查条形统计图与扇形统计图及概率，熟练掌握条形统计图与扇形统计图及概率是解题的关键； （1）由统计图可得D组人数和所占百分比，则可求抽样总人数，进而问题可求解； （2）由（1）及统计图可知A组人数及抽样总人数，然后问题可求解； （3）由题意可得时间不少于24小时的学生所占百分比，进而问题可求解； （4）根据树状图可进行求解概率 【小问1详解】 解：本次抽样的学生人数为：（人）， ∴C组的人数为：（人）， 【小问2详解】 解：A组所占的百分比为：， ∴， 【小问3详解】 解：（名）． 答：估计寒假阅读的总时间少于24小时的学生有1000名． 【小问4详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲和乙的结果有2种． ∴恰好选中甲和乙的概率为． 20. 已知抛物线与x轴交于点，且过点． （1）求指物线的解析式和顶点坐标； （2）请写出两种一次平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线上，并写出平移后相应的抛物线解析式． 【答案】（1）， （2）①向下平移5个单位，，②向左平移个单位， 【解析】 【分析】此题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的图象和性质、二次函数的平移等知识． （1）利用待定系数法求出函数解析式，化为顶点式即可求出顶点坐标； （2）根据二次函数平移的规律进行解答即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于点，可设抛物线解析式为， 把代入得：， 解得：， 故抛物线解析式为， 即， ∵， ∴顶点坐标； 【小问2详解】 平移方法有： ①向下平移5个单位，得到：， 理由：把代入得出， ∵顶点坐标； ∴向下平移5个单位，抛物线的顶点为， 即向下平移5个单位，得到：，平移后抛物线的顶点落在直线上； ②向左平移个单位，得到：， 理由：把代入得出， ∴向左平移个单位，抛物线的顶点为， 即向左平移个单位，得到：，平移后抛物线的顶点落在直线上． 21. 为实施“乡村振兴”计划，某村产业合作社种植了“千亩桃园”．2022年该村桃子丰收，销售前对本地市场进行调查发现：当批发价为4千元/吨时，每天可售出12吨，每吨涨1千元，每天销量将减少2吨，据测算，每吨平均投入成本2千元，为了抢占市场，薄利多销，该村产业合作社决定，批发价每吨不低于4千元，不高于5.5千元．请解答以下问题： （1）求每天销量y（吨）与批发价x（千元/吨）之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； （2）当批发价定为多少时，每天所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）， （2）将批发价定为每吨5.5千元时，每天获得的利润最大，最大利润是31.5千元． 【解析】 【分析】（1）根据题意直接写出y与x之间的函数关系式和自变量的取值范围； （2）根据销售利润=销售量×（批发价－成本价），列出销售利润w（元）与批发价x（千元/吨）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润． 【小问1详解】 解：根据题意得， 所以每天销量y（吨）与批发价x（千元/吨）之间的函数关系式， 自变量x的取值范围是 【小问2详解】 解：设每天获得的利润为w千元，根据题意得 ， ∵， ∴当，W随x的增大而增大． ∵， ∴当时，w有最大值，最大值为， ∴将批发价定为每吨5.5千元时，每天获得的利润最大，最大利润是31.5千元． 【点睛】本题考查二次函数应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． 22. 科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据．无人机上升到离地面30米处开始保持匀速竖直上升，此时，在地面用弹射器（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球（忽略空气阻力），在1秒时，它们距离地面都是35米，在6秒时，它们距离地面的高度也相同．其中无人机离地面高度（米）与小钢球运动时间（秒）之间的函数关系如图所示；小钢球离地面高度（米）与它的运动时间（秒）之间的函数关系如图中抛物线所示． （1）直接写出与之间的函数关系式； （2）求出与之间的函数关系式； （3）小钢球弹射1秒后直至落地时，小钢球和无人机的高度差最大是多少米？ 【答案】（1）；（2）；（3）70米 【解析】 【分析】（1）先设出一次函数的解析式，再用待定系数法求函数解析式即可； （2）用待定系数法求函数解析式即可； （3）当1＜x≤6时小钢球在无人机上方，因此求y2-y1，当6＜x≤8时，无人机在小钢球的上方，因此求y1-y2，然后进行比较判断即可． 【详解】解：（1）设y1与x之间的函数关系式为y1=kx+b'， ∵函数图象过点（0，30）和（1，35）， 则， 解得， ∴y1与x之间的函数关系式为． （2）∵时，， ∵的图象是过原点的抛物线， ∴设， ∴点，在抛物线上． ∴，即， 解得， ∴． 答：与的函数关系式为． （3）设小钢球和无人机的高度差为米， 由得或. ①时， ， ∵，∴抛物线开口向下， 又∵， ∴当时，的最大值为； ②时， ， ∵，∴拋物线开口向上， 又∵对称轴是直线， ∴当时，随的增大而增大， ∵， ∴当时，的最大值为70． ∵， ∴高度差的最大值为70米． 答：高度差的最大值为70米． 【点睛】本题考查了二次函数以及一次函数的应用，关键是根据根据实际情况判断无人机和小钢球的高度差． 23. 如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线． （1）求抛物线的表达式； （2）D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形面积S的最大值及此时D点的坐标； （3）若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）， （3）存在，， 【解析】 【分析】（1）先求得A，C，B三点的坐标，将抛物线设为交点式，进一步求得结果； （2）作于F，交于E，根据点D和点E坐标可表示出的长，进而表示出三角形的面积，进而表示出S的函数关系式，进一步求得结果； （3）根据菱形性质可得，进而求得点P的坐标，根据菱形性质，进一步求得点Q坐标． 【小问1详解】 解：当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴设抛物线的表达式：， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为：； 【小问2详解】 解：如图1， 作于F，交于E， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，， 当时，， ∴； 【小问3详解】 解：设，的中点坐标为 ∵以A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形， ∴， 即：， ∴， ∴， ∴， 设，则： ，， 解得：，， ∴． 24. 已知二次函数． （1）当时， ①若该函数图像的对称轴为直线，且过点，求该函数的表达式； ②若方程有两个相等的实数根，求证：； （2）若，已知点，点，当二次函数的图像与线段有交点时，直接写出a的取值范围． 【答案】（1）① ②证明：∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）或 【解析】 【分析】（1）①根据对称轴求得，再把代入得，，即可求解； ②根据一元二次方程的根与判别式的关系可得，再利用配方法可得，根据平方的非负性可得，即可求解； （2）由题意可得，从而求得抛物线的顶点为，抛物线与x轴的交点为、，当抛物线过点或时，根据二次函数的图象与性质求解即可． 【小问1详解】 解：①∵，对称轴为直线， ∴， ∴， 把点代入得，， ∴该函数的表达式为； ②略 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∴， ∴抛物线的顶点为， 把代入得，， 解得或， ∴抛物线与x轴的交点为、， 当抛物线过点时，， 解得， 如图，根据越大，抛物线的开口越小，当时，二次函数的图像与线段有交点， 当抛物线过点时，， 解得， 如图，当时，二次函数的图像与线段有交点， 综上所述，当或时，二次函数的图像与线段有交点． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的关系、一元二次方程的根与判别式的关系，运用数形结合思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绍初教育集团2024学年第一学期10月九年级数学大单元独立作业 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分． 1. 下列事件中，是必然事件的是（　　） A. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 B. 射击运动员射击一次，命中靶心 C. 购买一张彩票，中奖 D. 任意画一个三角形，其内角和是 2. 下列四个点中，在抛物线上的点是（ ） A. B. C. D. 3. 对于二次函数的性质，下列描述正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是直线 C. 当时，y随x的增大而增大 D. 顶点坐标是 4. 下列函数中，当时，随增大而增大的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系，下列说法正确的是（ ） A. 小球的飞行高度为15m时，小球飞行的时间是1s B. 小球从飞出到落地要用4s C. 小球飞行3s时飞行高度为15m，并将继续上升 D. 小球的飞行高度可以达到25m 6. 二次函数，（，，，为常数）的部分对应值列表如下： … … … … 则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 7. 抛掷一枚质地均匀的硬币，若抛掷8次都是正面朝上，则抛掷第9次（　　） A. 正面朝上的可能性大 B. 反面朝上的可能性大 C. 正面朝上与反面朝上的可能性一样大 D. 无法确定 8. 如图，在中，，将折叠，使点的对应点落在边上，折痕为．若的长为，的长为，那么与之间的关系图象大约是(　　) A. B. C. D. 9. 对于每个非零自然数，抛物线与轴交于，两点，以表示这两点之间的距离，则的值是（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论：①；②；③；④关于x的方程有四个根，且这四个根的和为4，其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分． 11. 请写出一个开口向下二次函数表达式，使其图象的对称轴为y轴：______． 12. 已知函数，当时，则y的取值范围为______． 13. 一个不透明的盒子中装有若干个红球和个黑球，这些球除颜色外均相同．经多次摸球试验后发现，摸到黑球的频率稳定在左右，则盒子中红球的个数约为______________． 14. 如图，已知抛物线（a，b均不为0）与双曲线的图象相交于，，三点．则不等式的解是______． 15. 已知函数的图象与坐标轴只有两个交点，则_____． 16. 已知点A是直线上一动点，以点A为顶点的抛物线交y轴于点B，作点B关于x轴的对称点C，连接AB、AC．若△ABC是直角三角形，则点A的坐标为___． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分． 17. 根据下列条件求的取值范围： （1）函数，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大； （2）函数有最大值； （3）函数的图象是开口向上的抛物线． 18. 已知二次函数，过，在时取到最大值，且二次函数的图象与直线交于点 ． （1）求这个二次函数解析式； （2）求大于时，x的取值范围． 19. 高尔基说：“书，是人类进步的阶梯．”阅读可以启智增慧，拓展视野．为了解学生寒假阅读情况，开学初学校进行了问卷调查，并对部分学生假期（28天）的阅读总时间作了随机抽样分析，设被抽样的每位同学寒假阅读的总时间为t（小时），阅读总时间分为四个类别：A（），B（），C（），D（），将分类结果制成两幅统计图（尚不完整）．根据以上信息，回答下列问题： （1）请补全条形统计图； （2）扇形统计图中a的值为________； （3）若该校有2000名学生，估计寒假阅读总时间少于24小时的学生有多少名？ （4）政教处决定从本次调查阅读时长前四名学生甲、乙、丙、丁中，随机抽取2名同学参加该校“阅读之星”竞选，请用树状图或列表法求恰好选中甲和乙的概率． 20. 已知抛物线与x轴交于点，且过点． （1）求指物线的解析式和顶点坐标； （2）请写出两种一次平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线上，并写出平移后相应的抛物线解析式． 21. 为实施“乡村振兴”计划，某村产业合作社种植了“千亩桃园”．2022年该村桃子丰收，销售前对本地市场进行调查发现：当批发价为4千元/吨时，每天可售出12吨，每吨涨1千元，每天销量将减少2吨，据测算，每吨平均投入成本2千元，为了抢占市场，薄利多销，该村产业合作社决定，批发价每吨不低于4千元，不高于5.5千元．请解答以下问题： （1）求每天销量y（吨）与批发价x（千元/吨）之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； （2）当批发价定为多少时，每天所获利润最大？最大利润是多少？ 22. 科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据．无人机上升到离地面30米处开始保持匀速竖直上升，此时，在地面用弹射器（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球（忽略空气阻力），在1秒时，它们距离地面都是35米，在6秒时，它们距离地面的高度也相同．其中无人机离地面高度（米）与小钢球运动时间（秒）之间的函数关系如图所示；小钢球离地面高度（米）与它的运动时间（秒）之间的函数关系如图中抛物线所示． （1）直接写出与之间的函数关系式； （2）求出与之间的函数关系式； （3）小钢球弹射1秒后直至落地时，小钢球和无人机的高度差最大是多少米？ 23. 如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线． （1）求抛物线的表达式； （2）D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形面积S的最大值及此时D点的坐标； （3）若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由． 24. 已知二次函数． （1）当时， ①若该函数图像的对称轴为直线，且过点，求该函数的表达式； ②若方程有两个相等的实数根，求证：； （2）若，已知点，点，当二次函数的图像与线段有交点时，直接写出a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $