精品解析：2024-2025学年人教版九年级数学上册期中测模拟试题

九年级数学上册期中测模拟试题 考试范围：人教版21-24.1；考试时间：100分钟；总分：120分 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 数学世界中充满了许多美妙的几何图形，等待着你去发现，下面四个图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. ①勾股树 B. ②分形树 C. ③谢尔宾斯基三角形 D. ④雪花 2. 下列运动形式属于旋转的是（ ） A. 荡秋千 B. 飞驰的火车 C. 传送带移动 D. 运动员掷出的标枪 3. 方程的解是(　　) A. B. C. D. 4. 若坐标平面上二次函数图象，经过平移后可与的图象完全重合，则a、b、c的值可能为（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 5. 如图，绕点逆时针旋转得到，若，，则旋转角的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 在抛物线上有两点和，则正确的是（ ） A B. C. D. 无法确定与的大小 7. 临近春节的三个月，某干果店迎来了销售旺季，第一个月的销售额为9万元，第三个月的销售额为14万元，设这两个月销售额的月平均增长率为x，则根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，若，则二次函数图象的顶点可能在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 9. 已知关于x的方程有两个实数根，则的化简结果是（ ） A. B. 1 C. D. 10. 如图，抛物线的顶点的坐标为，与轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①；②；③若图象经过点，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是___． 12. 已知点与关于原点对称，则的值是________________． 13. 已知一个直角三角形两条直角边长恰好是方程的两根，那么这个直角三角形斜边的长为________． 14. 如图，在正方形中，，E为的中点，连接，将绕点D按逆时针方向旋转得到，连接，则的长为 ________． 15. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，P为抛物线对称轴上动点，则取最小值时，点P坐标是__________． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16. 用适当方法解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 17. 已知关于x的方程， （1）求证：方程恒有两不等实根； （2）若x1，x2是该方程的两个实数根，且，求a的值． 18. 如图，将一个钝角（其中）绕点顺时针旋转得，使得点落在的延长线上的点处，连结． （1）直接写出旋转角的度数； （2）求证：． 19. 某村为了提高广大农户的生活水平，经过市场调查，决定推广种植某特色水果． 该水果每千克成本为20元，每千克售价需超过成本，但不高于50元，某农户日销售量（千克）与售价（元/千克）之间存在一次函数关系，部分图象如图所示，设该水果的日销售利润为元． （1）分别求出与，与之间的函数解析式； （2）该农户决定从每天的销售利润中拿出100元设立“救助基金”，以帮助其他邻居共同致富，若捐款后该农户的剩余利润是900 元，求此时水果的售价； （3）若该水果的日销量不低于90千克，当售价单价定为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少元． 20. 与都是等边三角形，连接． （1）如图①，当点在同一条直线上时，______；若与交于点，则______． （2）将图②中绕着点逆时针旋转到如图②的位置，求证：． 21. 已知中，．以为直径的与的交点分别为D，E． （1）如图①，求的大小： （2）如图②，当时，求的大小． 22. 【综合与实践】数学综合实践课上，同学们以“等腰三角形的旋转”为主题，开展如下探究活动： （1）【操作探究】如图1，为等边三角形，将绕点A旋转，得到，连接；则______．若F是的中点，连接，则与的数量关系是______． （2）【迁移探究】如图2，将（1）中的绕点A逆时针旋转，得到，其他条件不变，求出此时的度数及与的数量关系． （3）【拓展应用】如图3，在中，，，将绕点A旋转，得到，连接，F是的中点，连接．在旋转过程中，当时，直接写出线段的长． 23. 如图，抛物线的对称轴是直线，与x轴交于点A，，与y轴交于点C，连接． （1）求此抛物线解析式； （2）已知点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作轴，垂足为点M，交直线于点N，是否存在这样的点N，使得以A，C，N为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由； （3）已知点E是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点F，使以点B、C、E、F为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级数学上册期中测模拟试题 考试范围：人教版21-24.1；考试时间：100分钟；总分：120分 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 数学世界中充满了许多美妙的几何图形，等待着你去发现，下面四个图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. ①勾股树 B. ②分形树 C. ③谢尔宾斯基三角形 D. ④雪花 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形．根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项不合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意； D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故选项符合题意； 故选：D． 2. 下列运动形式属于旋转的是（ ） A. 荡秋千 B. 飞驰的火车 C. 传送带移动 D. 运动员掷出的标枪 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了旋转的定义，旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这是判断旋转的关键． 根据旋转的定义得出结论即可． 【详解】由题意知，荡秋千属于旋转， 故选：A． 3. 方程的解是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程；方程左边分解因式后，利用两数相乘积为，两因式中至少有一个为转化为两个一元一次方程来求解． 【详解】解：方程分解因式得：， 可得或， 解得：． 故选：C． 4. 若坐标平面上二次函数的图象，经过平移后可与的图象完全重合，则a、b、c的值可能为（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线的平移，根据二次函数平移过程中，开口方向，开口大小不变，即a的值不变，得出，进行判断即可． 【详解】解：∵二次函数的图象，经过平移后可与的图象完全重合， ∴． 故选：C． 5. 如图，绕点逆时针旋转得到，若，，则旋转角的度数是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正三角形的判定和性质，旋转的性质，识别图形，理解题意是解决问题的关键．根据可知是正三角形，则，由绕点逆时针旋转得到，所以，因为，根据几个角之间的和差关系即可得结论． 【详解】解：， 是正三角形， ， 绕点逆时针旋转得到， ， ， ， 即旋转角为， 故选：B． 6. 在抛物线上有两点和，则正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定与的大小 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，把和代入函数解析式分别计算，，从而可得答案． 【详解】解：在抛物线上有两点和， ∴，， ∴， 故选：A． 7. 临近春节的三个月，某干果店迎来了销售旺季，第一个月的销售额为9万元，第三个月的销售额为14万元，设这两个月销售额的月平均增长率为x，则根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设这两个月销售额的月平均增长率为x，则第二个月的销售额为万元，第三个月的销售额为万元，据此列出方程即可． 【详解】解：设这两个月销售额的月平均增长率为x， 由题意得，， 故选D． 【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键． 8. 已知，，若，则二次函数图象的顶点可能在（ ） A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数中系数之间的关系，根据题意可知，令时，的值为或3，得出对称轴为直线，用表示即，由题中等式可用表示．将代入函数解析式中判断的正负得出答案． 【详解】解：，， 当时，或， 对称轴为， ， 即， ， ， ， 令代入解析式中得， ， ， ， 当时，． 即顶点在第一象限． 故选：A． 9. 已知关于x的方程有两个实数根，则的化简结果是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据关于x的方程有两个实数根，得判别式，由此可得，据此可对进行化简． 【详解】解：∵关于x的方程有两个实数根， ∴判别式， 整理得：， ∴， ∴，， ∴ ． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质，理解一元二次方程根的判别式是解答此题的关键． 10. 如图，抛物线的顶点的坐标为，与轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①；②；③若图象经过点，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象，分别得出a、b、c的符号，即可判断①；根据对称轴得出，再根据图象得出当时，，即可判断②；分别计算两点到对称轴的距离，再根据该抛物线开口向下，在抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，即可判断③；将方程移项可得，根据该方程无实数根，得出抛物线与直线没有交点，即可判断④． 【详解】解：①∵该抛物线开口向下， ∴， ∵该抛物线的对称轴在y轴左侧， ∴， ∵该抛物线于y轴交于正半轴， ∴， ∴， 故①正确，符合题意； ②∵， ∴该抛物线的对称轴为直线，则， 当时，， 把得：当时，， 由图可知：当时，， ∴， 故②不正确，不符合题意； ③∵该抛物线的对称轴为直线， ∴到对称轴的距离为，到对称轴的距离为， ∵该抛物线开口向下， ∴在抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴， 故③正确，符合题意； ④将方程移项可得， ∵无实数根， ∴抛物线与直线没有交点， ∵， ∴．故④正确 综上：正确的有：①③④，共三个． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握根据二次函数图象判断各系数的方法，熟练掌握二次函数的图象和性质． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是___． 【答案】1 【解析】 【分析】根据一元二次方程解的定义把代入到进行求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个解是， ∴， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义，代数式求值，熟知一元二次方程解的定义是解题的关键． 12. 已知点与关于原点对称，则的值是________________． 【答案】-2 【解析】 【分析】直接利用关于原点对称点的性质求出，的值，进而求出答案． 【详解】∵点A（，3）与点B（，）关于原点对称， ∴，， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了关于原点对称点的性质，根据与原点对称的点的坐标特点（纵坐标，横坐标都互为相反数）得出，的值是解题关键． 13. 已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程的两根，那么这个直角三角形斜边的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，先解方程得到，再用勾股定理计算即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴直角三角形两条直角边长分别为、， ∴这个直角三角形斜边的长为， 故答案为：． 14. 如图，在正方形中，，E为的中点，连接，将绕点D按逆时针方向旋转得到，连接，则的长为 ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是正方形的性质、旋转的性质、勾股定理等知识点，熟记旋转的性质是解本题的关键． 由正方形的性质可得，进而得到，运用勾股定理可得，由旋转的性质可得、，即为等腰直角三角形，最后运用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∵将绕点D按逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴． 答案为：． 15. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，P为抛物线对称轴上动点，则取最小值时，点P坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线与轴的交点，函数图像上点的坐标特征，熟练掌握函数图形是解题的关键．点关于抛物线对称轴的对称点是点，连接交函数对称轴于点P，设的函数表达式为：，求出的函数表达式，即可求出答案． 【详解】解：令，即， 解得， 令，， 故A、B、C的坐标为：， 函数对称轴， 点关于抛物线对称轴的对称点是点，连接交函数对称轴于点P，即为所求， 设的函数表达式为：， 将代入， 得， 解得， 的函数表达式为：， 将代入，， 故点P坐标． 故答案为：． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16. 用适当方法解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）， （2）， （3） （4）无解 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程解法，解题关键是根据方程的特点选择合适的方法解方程． （1）利用开平方法解一元二次方程即可． （2）利用配方法解一元一次方程即可． （3）利用因式分解法解一元二次方程即可． （4）利用公式法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： ， 【小问2详解】 ， 【小问3详解】 ， 【小问4详解】 ∵， ∴此方程无解． 17. 已知关于x的方程， （1）求证：方程恒有两不等实根； （2）若x1，x2是该方程的两个实数根，且，求a的值． 【答案】（1）证明见详解 （2）-1 【解析】 【分析】（1）先计算出，根据非负数的性质得到，然后根据判别式的意义得到方程恒有二不等实根； （2）利用方程根与系数的关系得到，，再把变形为，整体代入得到关于a的方程求解即可． 【小问1详解】 证明：∵ ∴该方程恒有二不等实根； 【小问2详解】 解：由根与系数的关系，， ∵， ∴， ∴， 解得． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式以及一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系，解题关键是熟记一元二次方程的根的判别式以及一元二次方程根与系数的关系式． 18. 如图，将一个钝角（其中）绕点顺时针旋转得，使得点落在的延长线上的点处，连结． （1）直接写出旋转角的度数； （2）求证：． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）即为旋转角，其中，所以，； （2）由题意知，，易证是等边三角形，得到，继而得出结论； 【小问1详解】 解：， ， 旋转角为； 【小问2详解】 证明：由题意可知：， ，， 由（1）知，， 是等边三角形， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质及等边三角形的判定和性质，熟练掌握这些性质是解答本题的关键． 19. 某村为了提高广大农户的生活水平，经过市场调查，决定推广种植某特色水果． 该水果每千克成本为20元，每千克售价需超过成本，但不高于50元，某农户日销售量（千克）与售价（元/千克）之间存在一次函数关系，部分图象如图所示，设该水果的日销售利润为元． （1）分别求出与，与之间的函数解析式； （2）该农户决定从每天的销售利润中拿出100元设立“救助基金”，以帮助其他邻居共同致富，若捐款后该农户的剩余利润是900 元，求此时水果的售价； （3）若该水果的日销量不低于90千克，当售价单价定为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少元． 【答案】（1）； （2）该食品的售价为30元/千克 （3）售价为35元时，每天获利最大为1350元 【解析】 【分析】（1）设与的函数关系式为：，代入，，可求得和；根据利润（售价进价）销量，可表示出； （2）根据利润（售价进价）销量，列出一元二次方程，然后解方程即可求得答案，注意售价的范围是否满足要求； （3）根据该水果的日销量不低于90千克，可求得，由可知，该图象开口向下，对称轴为直线，从而判断出时，有最大值，将代入，可求得答案． 【小问1详解】 解：设与的函数关系式为：， 把，代入得， 解得， 与的函数关系式为： 即 小问2详解】 解：由题意得，， 整理得， 解得， 答：此时水果的售价为30元/千克； 【小问3详解】 解：， 解得， ， ，对称轴为直线， ∴该图象开口向下， 在时，随的增大而增大， 时，取最大值，此时（元）， 答：售价为35元时，每天获利最大为1350元． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，二次函数与利润问题，二次函数的最值问题，一元二次方程与利润问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 20. 与都是等边三角形，连接． （1）如图①，当点在同一条直线上时，______；若与交于点，则______． （2）将图②中的绕着点逆时针旋转到如图②的位置，求证：． 【答案】（1）， （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据是等边三角形及邻补角即可求解，再证明，根据对应角相等结合三角形内角和定理即可求解； （2）证明即可求解． 【小问1详解】 解：如图： ∵是等边三角形， ∴， ∵点B、C、D在同一条直线上， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 证明：∵与都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，邻补角的意义，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法． 21. 已知中，．以为直径的与的交点分别为D，E． （1）如图①，求的大小： （2）如图②，当时，求的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，“弧，弦，圆周角”之间的关系，直径所对的圆周角是直角． （1）根据圆内接四边形对角互补得出，进而得出答案； （2）连接，根据“弧，弦，圆周角”的关系得出，再根据“直径所对的圆周角是直角”得出，最后根据直角三角形的两个锐角互余得出答案． 【小问1详解】 解：∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：连接， ∵， ∴． ∵是的直径， ∴． 在中，． 22. 【综合与实践】数学综合实践课上，同学们以“等腰三角形的旋转”为主题，开展如下探究活动： （1）【操作探究】如图1，为等边三角形，将绕点A旋转，得到，连接；则______．若F是的中点，连接，则与的数量关系是______． （2）【迁移探究】如图2，将（1）中的绕点A逆时针旋转，得到，其他条件不变，求出此时的度数及与的数量关系． （3）【拓展应用】如图3，在中，，，将绕点A旋转，得到，连接，F是的中点，连接．在旋转过程中，当时，直接写出线段的长． 【答案】（1）90； （2）， （3）的长为或1 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形中位线定理等，解题的关键是掌握旋转前后对应边相等、对应角相等，第三问注意分情况讨论． （1）由旋转的性质可得也是等边三角形，点A，B，D在同一直线上，利用等腰三角形的性质、平行线的性质可证；利用三角形中位线定理可得； （2）先根据旋转的性质证明是等腰直角三角形，推出，进而得出，再根据等腰直角三角形的性质即可求解； （3）分点E在下方和点E在上方两种情况，参照（2）中方法分别求解即可． 【小问1详解】 解：∵为等边三角形， ，， ∵绕点A旋转，得到， ，，点A，B，D在同一直线上， ∵， ， ，即， ∵， ， ， ， ， ∵F是的中点，， ． 故答案为：90，； 【小问2详解】 解：由旋转的性质，可知 ，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：分以下两种情况进行讨论： ①如图3﹣1．当点E在下方时， 根据题意，得为等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴， ∵，F是的中点， ∴， ∴； ②如图3﹣2，当点E在上方时， 同理，可得，． 综上所述，的长为或1． 23. 如图，抛物线的对称轴是直线，与x轴交于点A，，与y轴交于点C，连接． （1）求此抛物线的解析式； （2）已知点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作轴，垂足为点M，交直线于点N，是否存在这样的点N，使得以A，C，N为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由； （3）已知点E是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点F，使以点B、C、E、F为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，或或； （3）存在，或或或 【解析】 【分析】本题属于二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象和性质、等腰三角形的性质、矩形的性质等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）根据抛物线的对称轴是直线，再把点、代入求得a、b的值即可解答； （2）先求出，再运用待定系数法求得直线的解析式为；设点D坐标为，则点，进而得到，，，再分、、三种情况分别求解即可； （3）设，再求得，然后分以为对角线和边两种情况分别求解即可． 【小问1详解】 解：抛物线的对称轴是直线，与x轴交于点A， ∴，， ∴，解得， ∴抛物线的解析式． 【小问2详解】 解：∵， ∴， 设直线的解析式为， 将点代入得：，解得：， ∴直线的解析式为； 设点D坐标为，则点， ∵， ∴，，， ①当时，， ∴，解得（不合题意，舍去）， ∴点N的坐标为； ②当时，， ∴，解得：，（不合题意，舍去）， ∴点N的坐标为； ③当时，， ∴，解得：， ∴点N的坐标为． 综上，存在，点N的坐标为或或． 【小问3详解】 解：设， ∵， ∴， ①以为对角线时，， ∴，解得：，或， ∴或， ∵， ∴，或 ∴，或， ∴点F的坐标为或； ②以为边时，或， ∴或， 解得：或， ∴或， ∵， ∴或， ∴或， ∴点F的坐标为或， 综上所述：存在，点F的坐标为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$