精品解析：贵州省2024—2025学年北师大版九年级数学上册期中模拟考试卷

贵州省2024—2025年度九年级上学期期中模拟考试试题卷 数 学 （考试范围：第一章~第四章） 同学你好！答题前请认真阅读以下内容： 1．全卷共6页，三个大题，共25题，满分150分．考试时间为120分钟．考试形式闭卷． 2．一律在答题卡相应位置作答，在试题卷上答题视为无效． 3．不能使用计算器． 一、选择题（每小题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂） 1. 一元二次方程的根是（ ） A. B. C. ， D. ， 2. 如图，在菱形中，，，则对角线的长等于（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 3. 在一个不透明的袋子里装着1个白球、2个黄球、5个红球，它们除颜色不同外其余都相同．现从袋中任意摸出一个球是黄球的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，D为中点，若，则的长为（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 6. 如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为位似中心，把线段 AB放大后得到线段CD．若点A（1，2），B（2，0），D（5，0），则点A的对应点C的坐标是（　　） A. (2，5) B. (,5) C. (3，5) D. (3，6) 7. 如图，正方形的对角线与相交于点O，则下列说法不正确的是（　　） A. B. C. D. 8. 物理某一实验的电路图如图所示，其中K1，K2，K3为电路开关，L1，L2为能正常发光的灯泡．任意闭合开关K1，K2，K3中的两个，那么能让两盏灯泡同时发光的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的实验（如图①），并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端．”在如图②所示的小孔成像实验中，若物距为20cm，像距为30cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是4.5cm，则蜡烛火焰的高度（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 9 10. 如图，小东展示了“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程，点为直线上一点，过点的一条直线分别交两条平行线于点，，则有，这一步的依据是（ ） A. 同位角相等，两直线平行 B. 三角形中位线定理 C. 平行线分线段成比例 D. 相似三角形的对应边成比例 11. 有一种“微信点名”活动，需要回答一系列问题，并将问题和自己的答案在朋友圈中发布，同时还规定“@”一定数量的其他人，邀请他们也参与活动．小明被邀请参加一次“微信点名”活动，他决定参与并按规定“@”其他人，如果收到小明邀请的人也同样参与了活动并按规定“@”其他人，且从小明开始算起，转发两轮后共有91人被邀请参与该活动．设参与该活动后规定“@”x人，则可列出的方程为（ ） A B. C. D. 12. 如图，矩形中，，，E为的中点，F为边上任意一点，G，H分别为，的中点，则的长是（ ） A. 6 B. 5.5 C. 6.5 D. 5 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 如图，在中，，点D在边上，点E在边上且．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是___________（写出一个即可）． 14. 为了解某花卉种子的发芽情况，研究所工作人员在相同条件下，对该花卉种子进行发芽试验，相关数据记录如下： 种子总数 100 400 800 1400 3500 7000 发芽种子数 91 358 724 1264 3160 6400 发芽的频率 0.91 0.895 0905 0.903 0.903 0.914 根据以上数据，可以估计该花卉种发芽概率为________（结果精确到0.1）. 15. 已知a、b是一元二次方程两个根，那么的值是______． 16. 如图，四边形为矩形，，，点P是线段上一动点，点M为线段上一点，始终保持，则的最小值为______． 三、解答题（本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）解方程； （2）小星解方程的过程如表所示． 解方程：． 解：， …… 第一步 ， …… 第二步 ，． …… 第三步 ①小星是用 　　（填“配方法”“公式法”或“因式分解法”）来求解的；从第 　　步开始出现错误； ②请你用不同于①中的方法解该方程． 18. 已知：如图三个顶点的坐标分别为、、，正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度． （1）以点为位似中心，在网格中画出△，使△与的位似比为，并直接写出点的坐标______； （2）△的面积为______． 19. 贵州有着丰富的旅游资源．小星计划假期来贵州游玩，他打算从3个自然景点（A．黄果树瀑布；B．梵净山；C．荔波小七孔）中随机选取一个，再从2个人文景点（D．遵义会议会址；E．息烽集中营）中随机选取一个． （1）小星从3个自然景点中选中梵净山的概率是 　　； （2）用画树状图或列表的方法求小星恰好选中黄果树瀑布和遵义会议会址的概率． 20. 已知关于的一元二次方程，其中，，为的三边． （1）若是方程的根，判断的形状，并说明理由； （2）若方程有两个相等的实数根，判断的形状，并说明理由． 21. 如图是某数学兴趣小组设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端C处，，且测得，，，求该古城墙的高度是多少m？ 22. 如图，菱形的对角线，相交于点O，，连接，，有下列条件：①，②． （1）请从以上①②中任选一个作为条件，求证：四边形为矩形； （2）在（1）的条件下，若，，求菱形的面积． 23. 如图，在中，，点D是边上的一个动点，点E在上，点D在运动过程中始终保持．设的长为x（）． （1）求证：； （2）用含x的代数式表示的长； （3）在（2）的条件下，当时，求x的值． 24. 近年来，电商平台直播带货成了一个火热的新兴职业，某主播带货图书《苏东坡传》，他用双语直播，风趣幽默，点燃了不同年龄者的读书热情．已知这本书的成本价为10元，规定销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍，通过前几天的销售发现，该书每天的销售量y（本）与销售单价x（元/本）之间近似满足一次函数关系，部分对应数据如表： x（元/本） … 15 25 … y（本） … 600 400 … （1）直接写出y关于x的函数关系式； （2）若销售该书每天的利润为5000元，求该书的销售单价； （3）销售该书每天的利润能否达到8000元？请说明理由． 25. 综合探究 如图1，老师指导同学们对正方形进行探究，在正方形中，过点C作射线，点P在射线上． 【动手操作】 （1）如图2，若点P是线段的中点，连接，并将绕点P逆时针旋转与交于点E，根据题意在图中画出图形，并判断线段与的数量关系：　　　　　． 【问题探究】 （2）若点P在线段的中点，连接，并将绕点P逆时针旋转与交于点E，则（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，若点P在射线上移动，将射线绕点P逆时针旋转与交于点E，如果，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 贵州省2024—2025年度九年级上学期期中模拟考试试题卷 数 学 （考试范围：第一章~第四章） 同学你好！答题前请认真阅读以下内容： 1．全卷共6页，三个大题，共25题，满分150分．考试时间为120分钟．考试形式闭卷． 2．一律在答题卡相应位置作答，在试题卷上答题视为无效． 3．不能使用计算器． 一、选择题（每小题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂） 1. 一元二次方程的根是（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可得到答案． 【详解】解： ∴， 则 则或， 解得，． 故选：C 2. 如图，在菱形中，，，则对角线的长等于（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的判定方法，是解题的关键．根据菱形的性质得出，根据，证明为等边三角形，求出结果即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴． 故选：D． 3. 在一个不透明的袋子里装着1个白球、2个黄球、5个红球，它们除颜色不同外其余都相同．现从袋中任意摸出一个球是黄球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题目中总的球的个数和黄球个数，可以计算出从袋中任意摸出一个球是黄球的概率． 【详解】解：由题意可得， 从袋中任意摸出一个球是黄球的概率为， 故选：B． 【点睛】本题考查了概率公式：随机事件A的概率事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数． 4. 如图，在中，，D为中点，若，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，解题关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】∵，D为中点， ∴． 故选：B． 5. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解． 【详解】解：由关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，可得： ， 解得：； 故选D． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 6. 如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为位似中心，把线段 AB放大后得到线段CD．若点A（1，2），B（2，0），D（5，0），则点A的对应点C的坐标是（　　） A. (2，5) B. (,5) C. (3，5) D. (3，6) 【答案】B 【解析】 【分析】利用位似图形的性质得出位似比，进而得出对应点的坐标的关系. 【详解】∵以原点O为位似中心，把线段AB放大后得到线段CD，且B（2,0），D（5,0） ∴ ∴点A的横纵坐标与点C的横纵坐标的比值也为 ∵A（1,2） ∴点C的横坐标为，纵坐标为 ∴C 故选B. 【点睛】本题考查的是位似图形的与直角坐标系的关系，能够根据位似图形得出位似比是解题的关键. 7. 如图，正方形的对角线与相交于点O，则下列说法不正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，利用正方形的性质，进行判断即可． 【详解】解：A、根据正方形的性质可知，故A选项正确，不符合题意； B、根据正方形的性质可知，故B选项不正确，符合题意； C、根据正方形的性质可知，故C选项正确，不符合题意； D、根据正方形的性质可知，故D选项正确，不符合题意． 故选：B． 8. 物理某一实验的电路图如图所示，其中K1，K2，K3为电路开关，L1，L2为能正常发光的灯泡．任意闭合开关K1，K2，K3中的两个，那么能让两盏灯泡同时发光的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，能让两盏灯泡同时发光的有2种情况， ∴能让两盏灯泡同时发光的概率为：P==． 故选A． 9. 大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的实验（如图①），并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端．”在如图②所示的小孔成像实验中，若物距为20cm，像距为30cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是4.5cm，则蜡烛火焰的高度（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用相似三角形的对应边成比例解答． 【详解】解：设蜡烛火焰的高度是x cm， 由相似三角形对应高的比等于相似比得到：20：30＝x：4.5． 解得x＝3． 即蜡烛火焰的高度是3cm． 故选：A． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，记住相似三角形对应高的比等于相似比． 10. 如图，小东展示了“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程，点为直线上一点，过点的一条直线分别交两条平行线于点，，则有，这一步的依据是（ ） A. 同位角相等，两直线平行 B. 三角形中位线定理 C. 平行线分线段成比例 D. 相似三角形的对应边成比例 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】解：由题意可知：， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 11. 有一种“微信点名”活动，需要回答一系列问题，并将问题和自己的答案在朋友圈中发布，同时还规定“@”一定数量的其他人，邀请他们也参与活动．小明被邀请参加一次“微信点名”活动，他决定参与并按规定“@”其他人，如果收到小明邀请的人也同样参与了活动并按规定“@”其他人，且从小明开始算起，转发两轮后共有91人被邀请参与该活动．设参与该活动后规定“@”x人，则可列出的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意，根据从小明开始算起，转发两轮后共有91人被邀请参与该活动列出一元二次方程即可． 【详解】解：设参与该活动后规定“@”x人，则可列出的方程为， 故选：D． 12. 如图，矩形中，，，E为的中点，F为边上任意一点，G，H分别为，的中点，则的长是（ ） A. 6 B. 5.5 C. 6.5 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，关键是由三角形中位线定理推出，由勾股定理求出的长． 连接，由矩形的性质得到，由勾股定理求出，由三角形中位线定理得到． 【详解】 解：连接， ∵四边形是矩形， ， ，E为中点， ， ， ， ∵G，H分别为，中点， 是的中位线， ． 故选：D． 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 如图，在中，，点D在边上，点E在边上且．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是___________（写出一个即可）． 【答案】 【解析】 【分析】由相似三角形判定定理可求解． 【详解】解：添加， 又∵， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是本题的关键． 14. 为了解某花卉种子的发芽情况，研究所工作人员在相同条件下，对该花卉种子进行发芽试验，相关数据记录如下： 种子总数 100 400 800 1400 3500 7000 发芽种子数 91 358 724 1264 3160 6400 发芽的频率 0.91 0.895 0.905 0.903 0.903 0.914 根据以上数据，可以估计该花卉种发芽的概率为________（结果精确到0.1）. 【答案】0.9 【解析】 【分析】仔细观察表格，发现大量重复试验发芽的频率逐渐稳定在0.9左右，从而得出结论． 【详解】解：观察表格，发现大量重复试验发芽的频率逐渐稳定在0.9左右， 该花卉种发芽的概率为0.9， 故答案为：0.9． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率． 15. 已知a、b是一元二次方程的两个根，那么的值是______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据根与系数的关系，进行计算即可． 【详解】解：∵a、b是一元二次方程的两个根， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查根与系数的关系，因式分解，代数式求值．熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键． 16. 如图，四边形为矩形，，，点P是线段上一动点，点M为线段上一点，始终保持，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，连接，．证明，推出，点的运动轨迹是以为圆心，为半径的．利用勾股定理求出，可得结论． 【详解】解：如图，取的中点，连接，． 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 三、解答题（本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）解方程； （2）小星解方程的过程如表所示． 解方程：． 解：， …… 第一步 ， …… 第二步 ，． …… 第三步 ①小星是用 　　（填“配方法”“公式法”或“因式分解法”）来求解的；从第 　　步开始出现错误； ②请你用不同于①中的方法解该方程． 【答案】（1），；（2）①配方法，二；②， 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握直接开平方法，配方法解方程是解本题的关键； （1）把方程化为，再利用直接开平方法解方程即可； （2）①由方程的解法可得小星是用配方法解的方程，由配方法的步骤可得第二步开始出现错误； ②把方程化为，再化为两个一次方程即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴，． （2）①小星是用配方法来求解的；从第 二步开始出现错误； ②∵， ∴， 则或， 解得，． 18. 已知：如图三个顶点的坐标分别为、、，正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度． （1）以点为位似中心，在网格中画出△，使△与的位似比为，并直接写出点的坐标______； （2）△的面积为______． 【答案】（1）作图见解析； （2）8 【解析】 【分析】（1）延长到使，延长到使，从而得到；然后写出点的坐标； （2）利用面积公式直接进行求解即可． 【小问1详解】 解：如图，为所作；点的坐标为； 【小问2详解】 解：由图可知：． 【点睛】本题考查位似三角形的作图，解题的关键是：熟练掌握位似三角形的定义：如果两个三角形不仅是相似三角形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，那么这两个三角形叫做位似三角形． 19. 贵州有着丰富的旅游资源．小星计划假期来贵州游玩，他打算从3个自然景点（A．黄果树瀑布；B．梵净山；C．荔波小七孔）中随机选取一个，再从2个人文景点（D．遵义会议会址；E．息烽集中营）中随机选取一个． （1）小星从3个自然景点中选中梵净山的概率是 　　； （2）用画树状图或列表的方法求小星恰好选中黄果树瀑布和遵义会议会址的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了画树状图求概率，正确理解题意并画出树状图是解题的关键． （1）先列举事件总的可能性结果及符合条件的等可能结果，再根据概率的计算公式计算，即得答案； （2）先画出树状图，再列举事件总的可能性结果及符合条件的等可能结果，最后根据概率的计算公式计算，即得答案． 【小问1详解】 解：小星从3个自然景点（A．黄果树瀑布；B．梵净山；C．荔波小七孔）中随机选取一个，共有三种等可能结果，符合条件的结果只有一种：B．梵净山，所以小星从3个自然景点中选中梵净山的概率是； 故答案为：． 【小问2详解】 解：画树状图如下： 由树状图可得，共有6种等可能的结果，其中小星恰好选中黄果树瀑布和遵义会议会址的结果有1种， 所以小星恰好选中黄果树瀑布和遵义会议会址的概率为． 20. 已知关于的一元二次方程，其中，，为的三边． （1）若是方程的根，判断的形状，并说明理由； （2）若方程有两个相等的实数根，判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）等腰三角形，理由见解析 （2）直角三角形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据方程的解把x=1代入方程得到c﹣b=0，即c=b，于是由等腰三角形的判定即可得到ABC是等腰三角形； （2）根据根的判别式得出a，b，c的关系，即可根据勾股定理的逆定理判断△ABC的形状． 【小问1详解】 解：把x=1代入方程得， ， 化简得， 则该三角形的形状为等腰三角形． 【小问2详解】 解：由题意可得方程有两个相等的实数根 则的判别式： 化简可得 则该三角形的形状为直角三角形． 【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程、等腰三角形的判定、直角三角形的判定，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 21. 如图是某数学兴趣小组设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端C处，，且测得，，，求该古城墙的高度是多少m？ 【答案】该古城墙的高度为8米 【解析】 【分析】利用物理中光线入射原理可以得到，再结合已知不难证明；接下来，根据相似三角形性质可得，再代值进行计算即可求得的值． 【详解】解：根据题意得， ，， ， ， ，即 解得：， 答：该古城墙的高度为 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，正确利用入射与反射的原理构建相似三角形，然后利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等是解题关键． 22. 如图，菱形的对角线，相交于点O，，连接，，有下列条件：①，②． （1）请从以上①②中任选一个作为条件，求证：四边形为矩形； （2）在（1）的条件下，若，，求菱形的面积． 【答案】（1）①，见解析（答案不唯一） （2）96 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质和判定、勾股定理、平行四边形的判定与性质等知识． （1）先证四边形为平行四边形，再由菱形的性质得，即可得出结论； （2）由勾股定理和菱形的面积公式解答即可． 【小问1详解】 证明：菱形对角线交于点， ， ， 选择①． ∵，， 四边形是平行四边形， 四边形为矩形； 选择②． ∵，， 四边形是平行四边形， 四边形为矩形； 【小问2详解】 解：四边形是菱形，， ，，， ， ， ， 菱形的面积． 23. 如图，在中，，点D是边上的一个动点，点E在上，点D在运动过程中始终保持．设的长为x（）． （1）求证：； （2）用含x的代数式表示的长； （3）在（2）的条件下，当时，求x的值． 【答案】（1）见解析 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定， 对于（1），先根据三角形的外角的性质得，再根据两角相等的两个三角形相似得出答案； 对于（2），根据相似三角形的对应边成比例可得答案； 对于（3），将数值代入，再计算即可． 【小问1详解】 ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 ∵， ∴， 即， ∴． 【小问3详解】 ∵， ∴， 解得或． 24. 近年来，电商平台直播带货成了一个火热的新兴职业，某主播带货图书《苏东坡传》，他用双语直播，风趣幽默，点燃了不同年龄者的读书热情．已知这本书的成本价为10元，规定销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍，通过前几天的销售发现，该书每天的销售量y（本）与销售单价x（元/本）之间近似满足一次函数关系，部分对应数据如表： x（元/本） … 15 25 … y（本） … 600 400 … （1）直接写出y关于x函数关系式； （2）若销售该书每天的利润为5000元，求该书的销售单价； （3）销售该书每天的利润能否达到8000元？请说明理由． 【答案】（1） （2）20元 （3）销售该书每天的利润不能达到8000元，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用．掌握利用待定系数法求一次函数解析式和理解题意，找出等量关系，列出方程是解题关键． （1）设y关于x的函数关系式为，再利用待定系数法求解即可； （2）根据题意可列出关于x的一元二次方程，求解，再舍去不合题意的解即可； （3）根据题意可列出关于x的一元二次方程，根据其根的判别式小于0，可判断其无解，即说明销售该书每天的利润不能达到8000元． 【小问1详解】 解：设y关于x的函数关系式为， 根据题意得：， 解得：． ∵规定销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍， ∴， ∴y关于x的函数关系式为； 【小问2详解】 解：根据题意得：，即，， 整理得：， 解得：，（舍）， 答：该书的销售单价为20元； 【小问3详解】 解：根据题意得：，即，， 整理得：， ∵， ∴原方程无解， ∴销售该书每天的利润不能达到8000元． 25 综合探究 如图1，老师指导同学们对正方形进行探究，在正方形中，过点C作射线，点P在射线上． 【动手操作】 （1）如图2，若点P是线段的中点，连接，并将绕点P逆时针旋转与交于点E，根据题意在图中画出图形，并判断线段与的数量关系：　　　　　． 【问题探究】 （2）若点P在线段中点，连接，并将绕点P逆时针旋转与交于点E，则（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，若点P在射线上移动，将射线绕点P逆时针旋转与交于点E，如果，，求的长． 【答案】（1）轶闻见解析，；（2）成立，见解析；（3）或 【解析】 【分析】（1）求出，，取的中点，连接，证明，得出； （2）过点作交于点，证出，，同理，则可得出结论； （3）若点在线段上时，过点作交于点，由（2）可知，，，，由直角三角形的性质可得出结论；若点在线段的延长线上时，过点作交于点，同理可得出答案． 【详解】解：（1）如图所示 ； 理由如下：正方形， ，，， ， ，， 取的中点，连接， 点是线段中点， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ； 故答案为：； （2）还成立， 理由如下，过点作交于点， ， 是等腰直角三角形， ， ， 即，， 同理， ； （3）若点在线段上时，过点作交于点， 由（2）可知，，，， ， ， ， ， ，， ． 若点在线段的延长线上时，过点作交于点， ，， ， 等腰直角三角形，， ，，， 同理， ； ， ， ，， ， ． 综上所述，的长为或． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识；熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$