精品解析：甘肃省庆阳市宁县第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

2024-2025学年度高二第一学期数学期中考试试题 一、单选题 1. 将自然数，，，，，，按照如图排列，我们将，，，，，都称为“拐角数”，则下列哪个数不是“拐角数”（ ） A. B. C. D. 2. 在等差数列中，已知，，则数列的通项公式可以为（ ） A. B. C. D. 3. 已知等比数列的前n项和为，且，若，，则（ ） A. 550 B. 520 C. 450 D. 425 4. 过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（    ） A. B. C. D. 5. 直线：，：，若，则实数的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 或1 6. 已知直线与直线平行，则与之间的距离为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 若点在圆C：的外部，则m的取值可能为（ ） A. 5 B. 1 C. D. 8. 已知线段的端点B的坐标是，端点A在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知是的前项和，，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 是以为周期的周期数列 10. 已知等比数列中，，，则（ ） A. 公比为 B. C. 当时， D. 的前10项积为1 11. 若方程表示的曲线为圆，则实数的值可以为（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2 三、填空题 12. 设等差数列与的前n项和分别为，，且，则__________． 13. 设直线与直线的交点为P，则P到直线的距离的最大值为____________． 14. 已知，，，第三个顶点C在曲线上移动，则的重心的轨迹方程是______． 四、解答题 15. 等差数列的前项和为，已知，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 16. 已知是各项均为正数的等比数列，，且，，成等差数列． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 17. 已知点，直线. （1）求点P到直线l的距离； （2）求点P关于直线l的对称点Q的坐标. 18. 已知的圆心在x轴上，经过点和． （1）求的方程； （2）过点的直线l与交于A、B两点． （ⅰ）若，求直线l的方程； （ⅱ）求弦AB最短时直线l的方程． 19. 把满足任意总有的函数称为和弦型函数. （1）已知为和弦型函数且，求的值； （2）在（1）的条件下，定义数列：，求的值； （3）若为和弦型函数且对任意非零实数，总有．设有理数满足，判断与的大小关系，并给出证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度高二第一学期数学期中考试试题 一、单选题 1. 将自然数，，，，，，按照如图排列，我们将，，，，，都称为“拐角数”，则下列哪个数不是“拐角数”（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据题中规律找到拐角数的通项公式，进而可得. 【详解】由题意得第1个“拐角数”为，第2个“拐角数”为， 第3个“拐角数”为，第4个“拐角数”为， 则第个“拐角数”为． 对于A：第6个“拐角数”是，故A不合题意； 对于B、C：第7个“拐角数”是，第8个“拐角数”是， 因在上单调递增，则30不是“拐角数”，故B符合题意，C不合题意； 对于D：第9个“拐角数”是，故D不合题意． 故选：B. 2. 在等差数列中，已知，，则数列的通项公式可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方法一，设出首项，公差为d，代入已知条件即可求解；方法二，根据等差数列性质可求出，代入到已知可求出公差为d，即可求解；方法三，根据韦达定理可求出，是方程的两根，再根据等差数列可求出通项公式. 【详解】方法一（基本量法）设的首项为，公差为d， 则由，得，∴． 代入，整理得，解得． 当时，，； 当时，，． 方法二（等差数列的性质）∵，∴． ， ∴，∴． 当时，； 当时，． 方法三（方程思想）∵，∴， ∴，（由和与积，联想到根与系数的关系） ∴，是方程的两根，∴或 由，，得，∴． 同理，由，，得． 故选： 3. 已知等比数列的前n项和为，且，若，，则（ ） A. 550 B. 520 C. 450 D. 425 【答案】D 【解析】 【分析】由等比数列前n项和的性质可得答案. 【详解】由等比数列前n项和的性质可得，，，，成等比数列， 则，设，则，∵等比数列中，， ∴解得，，故，∴， 故选：D． 4. 过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题知直线的斜率，再根据斜率范围求解倾斜角的范围即可. 【详解】 设直线的倾斜角为，， 当直线的斜率不存在时，，符合， 当直线的斜率存在时，设直线的斜率为， 因为点， ，，则，， 因为直线经过点，且与线段总有公共点，所以， 因为，又，所以， 所以直线的倾斜角范围为. 故选：B. 5. 直线：，：，若，则实数的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 或1 【答案】C 【解析】 【分析】根据两直线垂直的公式求解即可. 【详解】因为：，：垂直， 所以， 解得或， 将，代入方程，均满足题意， 所以当或时，. 故选：. 6. 已知直线与直线平行，则与之间的距离为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据两条直线平行，求出值，再应用平行线间的距离公式求值即可. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，解之得. 于是直线，即， 所以与之间的距离为. 故选：A 7. 若点在圆C：的外部，则m的取值可能为（ ） A. 5 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点在圆外及方程表示圆求出的范围得解. 【详解】因为点在圆C：的外部， 所以，解得， 又方程表示圆，则，即， 所以，结合选项可知，m的取值可以为. 故选：C 8. 已知线段的端点B的坐标是，端点A在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设出动点和动点的坐标，找到动点和动点坐标的关系，再利用相关点法求解轨迹方程即可. 【详解】设，，由中点坐标公式得， 所以，故， 因为A在圆上运动， 所以， 化简得，故B正确. 故选：B 二、多选题 9. 已知是的前项和，，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 是以为周期的周期数列 【答案】BD 【解析】 【分析】由已知数列递推式，可得是以3为周期的周期数列，判断；结合数列的周期性逐一分析选项 【详解】，， ，，，， 则数列是以为周期的周期数列，故正确； 则，故错误； ，故正确； 可得，故错误． 故选： 10. 已知等比数列中，，，则（ ） A. 公比为 B. C. 当时， D. 的前10项积为1 【答案】ABD 【解析】 【分析】由等比数列中，，，可求得公比，根据等比数列的性质结合等比数列通项公式即可判断各个选项. 【详解】对于A项，设等比数列的公比为， 由，得，解得，故A正确； 对于B项，，则，故B正确； 对于C项，，当时，，则，故C错误； 对于D项，由，可得的前10项积为，故D正确． 故选：ABD. 11. 若方程表示的曲线为圆，则实数的值可以为（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2 【答案】AD 【解析】 【分析】先将方程合理转化，后结合二元二次方程表示圆的条件求解即可. 【详解】方程，即， 若方程表示圆，则，解得或， 结合选项可知AD正确，BC错误. 故选：AD 三、填空题 12. 设等差数列与的前n项和分别为，，且，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】由等差数列的性质，推导出，代入题干所给公式得到结果. 【详解】， 故答案为：． 13. 设直线与直线的交点为P，则P到直线的距离的最大值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出的坐标，再求出直线所过的定点，则所求距离的最大值就是的长度. 【详解】由可以得到，故， 直线的方程可整理为：，故直线过定点， 因为到直线的距离，当且仅当时等号成立， 故， 故答案为：. 14. 已知，，，第三个顶点C在曲线上移动，则的重心的轨迹方程是______． 【答案】 【解析】 【分析】设，由题可得重心坐标为：，后由横纵坐标间关系可得答案. 【详解】设，因，则. 因，，则重心坐标为. 设，则，则. 故重心轨迹方程为：. 故答案为：. 四、解答题 15. 等差数列的前项和为，已知，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件转化为首项和公差的方程，即可求解； （2）根据数列正项和负项的分界，讨论与的关系，求解. 【小问1详解】 设数列的公差为， ∵，∴，∵，∴ ，∴公差为，∴， ∴ ； 【小问2详解】 由已知， 时，； 时，； 综上. 16. 已知是各项均为正数的等比数列，，且，，成等差数列． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设公比为，根据等差中项可得，根据等比数列通项公式列式求解即可； （2）由（1）可知：，利用分组求和结合等差、等比数列求和公式运算求解. 【小问1详解】 设等比数列的公比为，且， 因为，，成等差数列，则， 即，解得或（舍去）， 所以的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）可知：， 则 ， 所以. 17. 已知点，直线. （1）求点P到直线l的距离； （2）求点P关于直线l的对称点Q的坐标. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由点到直线距离公式即可得解； （2）设对称点坐标为，利用两直线垂直的性质与中点坐标公式列方程组即可得解. 【小问1详解】 因为点，直线， 所以点P到直线l的距离为； 【小问2详解】 设点关于直线对称的点的坐标为， 则中点的坐标为，又直线的斜率为， 所以，解得，即. 18. 已知的圆心在x轴上，经过点和． （1）求的方程； （2）过点的直线l与交于A、B两点． （ⅰ）若，求直线l的方程； （ⅱ）求弦AB最短时直线l的方程． 【答案】（1） （2）①或；②. 【解析】 【分析】（1）设圆心为，根据题中条件求出的值，可求出圆的半径，即可得出圆的标准方程； （2）①求出圆心到直线的距离，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，直线写出直线的方程，直接验证即可； 在直线的斜率存在时，设直线的方程为，利用点到直线的距离公式求出的值，综合可得出结果； ②分析可知，当时，取最小值，求出直线的斜率，可得出直线的斜率，再利用点斜式可得出直线的方程. 【小问1详解】 设圆心为，由题意可得，解得， 所以，圆的半径为，因此，圆的标准方程为. 【小问2详解】 ①当时，圆心到直线的距离为， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，圆心到直线的距离为，合题意， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 则，解得，此时，直线的方程为. 综上所述，直线的方程为或. ②当时，圆心到直线的距离最大，此时，取最小值， 因为，则， 此时，直线的方程为，即. 19. 把满足任意总有的函数称为和弦型函数. （1）已知为和弦型函数且，求的值； （2）在（1）的条件下，定义数列：，求的值； （3）若为和弦型函数且对任意非零实数，总有．设有理数满足，判断与的大小关系，并给出证明． 【答案】（1）； （2） （3），证明：由题意得：函数定义域为，定义域关于原点对称，令为任意实数， 则，即是偶函数， 因为， 又因为当时，， 所以当时，有，所以， 为有理数，不妨设，令为，分母的最小公倍数， 且均为自然数，且， 设，则， 令，则， 即，， 故数列单调递增，则， 又是偶函数，所以有. 【解析】 【分析】（1）利用所给定义，使用赋值法分别令、代入计算即可得解； （2）令代入计算可得，即可得其通项公式，结合对数运算与等差数列求和公式计算即可得解； （3）令，数列满足，从而只需证明数列为递增数列即可得证. 【小问1详解】 令，则，可得， 令，则，则； 【小问2详解】 令，则， ， 即，又，所以数列为以为公比，为首项的等比数列， 即，则 ； 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：根据递推关系的特点，灵活应用特殊值法求函数值及函数关系，最后一问需根据有理数的性质：令，将问题转化为判断的增减性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $