精品解析：河南省新乡市河南师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷

2024-2025学年河南师大附中高二（上）月考数学试卷（10月份） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 直线的方向向量为，则该直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线的方向向量，结合直线斜率与倾斜角的关系进行求解即可. 【详解】由题意知：直线的斜率为，则直线的倾斜角为. 故选：C 2. 在中，若，，，则等于（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理，求得，再由，且，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，在中，由正弦定理可得， 即， 又由，且， 所以或， 故选：D. 【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，其中解答中熟记三角形的正弦定理，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 3. 三棱柱中，为棱的中点，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算法则与空间向量基本定理，求解即可. 【详解】 故选：D. 4. 已知不重合的平面、、和直线，则“”的充分不必要条件是（ ） A. 内有无数条直线与平行 B. 内的任何直线都与平行 C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】利用面面位置关系可判断AC选项；利用面面平行的定义可判断B选项；利用线面垂直的性质定理可判断D选项. 【详解】对于A选项，若内有无数条直线与平行且这无数条直线是平行直线，则、平行或相交， 即“内有无数条直线与平行”“”，A不满足； 对于B选项，由面面平行的定义可知，“内的任何直线都与平行”“”，B不满足； 对于C选项，若且，则、平行或相交， 则“且”“”，C不满足； 对于D选项，由线面垂直的性质可知，若且，则， 反之，若，则“且”不一定成立， 故“且”是“”的充分不必要条件，D满足. 故选：D. 5. 已知点，在直线和轴上各找一点和，则的周长的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据点关于直线对称的性质进行求解即可. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则有，解得，所以， 点关于轴的对称点为， 由对称可得，， 所以的周长为， 如图所示，当四点共线时，的周长最小， 最小值为. 故选：D. 6. 如图，在平行六面体中，底面是菱形，侧面是正方形，且，，，若P是与的交点，则异面直线与的夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行六面体的结构特征及向量对应线段位置关系，结合向量加法、数乘的几何意义,将、，用基底表示出来，在应用向量数量积的运算律即可. 【详解】在平行六面体中, 四边形是平行四边形,侧面是正方形, 又是的交点, 所以是的中点, 因为,,, 所以， 所以 ， 所以 又， 所以 ， 可得, 所以异面直线与的夹角的余弦值为. 故选：A. 7. 如图扇形所在圆的圆心角大小为，是扇形内部（包括边界）任意一点，若，那么的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，由可得出关于的表达式，结合正弦型函数的基本性质可求得的最大值. 【详解】以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 设扇形的半径为，则、， 设点， 因为， 所以，，所以，， 所以，， 其中为锐角，且， 因为，则， 当且时，取得最大值. 故选：C. 8. 已知直角三角形的三个顶点分别在等边三角形的边，，上，且，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设,,然后利用两个未知数表示出，然后求面积化简即可. 【详解】由题得示意图， 设,, 在中，,， 得， 在中，,， 得， 所以， 整理得， 所以， 显然当最大时，最小， 由辅助角公式可知，， 其中，， 所以可知， 因为，所以， 所以当时，有最大值， 此时有最小值，. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 直线过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线在轴上的截距可能是（ ） A. 3 B. 0 C. D. 1 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过讨论直线截距是否为的情况，即可得出结论 【详解】由题意，直线过点，在两坐标轴上的截距的绝对值相等， 当直线的截距为0时，显然满足题意，为：； 当直线的截距不为0时，设横、纵截距分别为，则直线方程为：， ∴，解得：或， ∴直线的纵截距可取. 故选：ABD. 10. 设为夹角为的两个单位向量，则（ ） A. B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 对任意的实数有恒成立 【答案】CD 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的定义和运算性质逐一判断即可. 【详解】因为为夹角为的两个单位向量， 所以. 对A：，故A错误； 对B：， 当且仅当时，的最小值为，故B错误； 对C： ，当且仅当时取得最小值，故C正确. 对D：，两边平方可得：对任意的恒成立，故D正确；故选：CD 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用这一公式、配方法求解最值. 11. 如图，直四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，,，点P是经过点的半圆弧上的动点（不包括端点），点Q是经过点D的半圆弧上的动点（不包括端点），则下列说法正确的是（ ） A. 四面体PBCQ的体积的最大值为 B. 的取值范围是 C. 若二面角的平面角为，则 D. 若三棱锥的外接球表面积为S，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据棱锥的体积公式可判断A；根据向量的相等以及数量积的定义可判断B；结合二面角平面角定义找出，结合解直角三角形判断C；确定三棱锥的外接球球心位置，列等式求得半径表达式，求得其取值范围，即可求出三棱锥外接球表面积取值范围，判断D. 【详解】由题意知在直四棱柱中，半圆弧经过点D，故， 点P到底面的距离为， 当点Q位于半圆弧上的中点时最大，即四面体PBCQ体积最大， 则 ，故A正确； 由于，则， 又在中， ， 故， 因为，所以，则 ，故B错误； 因为平面，平面，故，而, 平面，故平面，平面， 故，所以是二面角的平面角， 则，因为 ，所以，故C正确； 设线段BC的中点为N， 线段的中点为K，则三棱锥的外接球球心O在NK上， 在四边形中，,, 设，在中，在中， 故， 整理得，所以 ，所以外接球的表面积为，D正确， 故选：ACD 【点睛】难点点睛：解答本题的难点在选项D的判断，解答时要发挥空间想象，明确空间的点线面位置关系，确定外接球球心位置，进而找出等量关系，求得球的半径取值范围，即可求解球表面积取值范围. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线互相垂直，则的值为______ . 【答案】. 【解析】 【分析】根据两条直线垂直的条件，得到所满足的等量关系式，解方程，求得的值. 【详解】因为直线 互相垂直， 则有，即， 进一步化简得， 解得或，故答案是0或2. 【点睛】该题所考查的是有关两条直线垂直的条件，利用 垂直的条件是，得到关于所满足的等量关系式，求得结果. 13. 在中，角的对边分别为，且，，则 _________. 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理及得到，求出，再利用正弦定理得到，代入得到答案. 【详解】由正弦定理得， 即， ， ∵， ∴， ，， ， ∴， 由正弦定理得， 所以 . 故答案为： 14. 如图，在正方体中，，点分别为的中点，则平面截正方体所得截面面积为__________，动点满足，且，则的最小值为___________ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先画出截面计算面积即可；先计算，然后利用求解解最值即可. 【详解】如图所示，连接 显然，,，则梯形 是平面截正方体所得截面； 由题易知， 所以截面面积为； 由题可知， 由柯西不等式 ，当且仅当时等号成立， 可知 得，当且仅当时等号成立， 故的最小值为. 故答案为：18； 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱，的中点. （1）求点到直线的距离； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用计算距离的方式计算即可. 【小问1详解】 建立如图所示空间直角坐标系 得,,,, 所以, 所以点到直线的距离为 【小问2详解】 设平面的一个法向量为 由（1）可知,, 易知 令，得 所以 所以点到平面的距离为 16. 如图，已知的顶点为，，是边AB的中点，AD是BC边上的高，AE是的平分线． （1）求高AD所在直线的方程； （2）求AE所在直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据互相垂直的直线斜率的性质，结合直线点斜式方程进行求解即可； （2）根据角平分线的性质，结合两点式方程进行求解即可. 【小问1详解】 因为是边AB的中点， 所以， 因为， 所以， 因此高AD所在直线的方程为：； 【小问2详解】 因为AE是的平分线， 所以， 所以，设， 所以， 所以AE所在直线的方程为：. 17. 已知的内角所对的边分别为，且 （1）求角A； （2）若为边上一点，为的平分线，且，求的面积 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意利用正弦定理边化角，再结合三角恒等变换运算求解； （2）根据面积关系可得，再结合余弦定理解得，进而可得面积. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得， 且， 即， 整理可得， 且，则，可得， 又因为，则，可得，所以. 【小问2详解】 因为为的平分线，则， 因为，则， 即，可得， 在中，由余弦定理可得， 即，整理可得，解得或（舍去）， 所以的面积. 18. 如下图，在中，，，D是AC中点，E、F分别是BA、BC边上的动点，且；将沿EF折起，将点B折至点P的位置，得到四棱锥； （1）求证：； （2）若，二面角是直二面角，求二面角的正切值； （3）当时，求直线PE与平面ABC所成角的正弦值的取值范围． 【答案】（1） 因为， 所以，即平面， 平面，平面， 所以 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直判定定理证明线面垂直得出线线垂直； （2）根据直二面角建立空间直角坐标系求二面角余弦进而求出正弦值计算正切值即可； （3）先建立空间直角坐标系，再设坐标结合垂直关系求参，最后结合线面角的正弦应用以及对勾函数单调性得出范围即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为二面角是直二面角， 所以平面平面，平面平面，平面，平面， 以分别为轴建立空间直角坐标系， 设平面法向量为， 设平面法向量为 ， 令，得，所以， 设二面角为，则为锐角， 故， ， 【小问3详解】 分别以反方向和方向分别为轴，过做的垂线为z轴， 设，，显然， ， ，得出，则，则， 因为，，故， 化简得， 而在轴上的射影、构成直角三角形，则，且，解得， 设平面的法向量为， 设直线PE与平面ABC所成角为， ， 则， 令，，令，则，且， ， 根据对勾函数在上单调递减，且恒大于0， 则函数在单调递增，则，即， 则，即正弦值的取值范围. 【点睛】方法点睛：先建立空间直角坐标系，再设坐标结合垂直关系求参，最后结合线面角的正弦应用基本不等式得出范围即可. 19. 人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设，，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中（为坐标原点）． （1）若，，求，之间的曼哈顿距离和余弦距离； （2）若点，，求的最大值； （3）已知点，是直线上的两动点，问是否存在直线使得，若存在，求出所有满足条件的直线的方程，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）存在，和 【解析】 【分析】（1）代入和的公式，即可求解； （2）首先设，代入，求得点的轨迹，再利用数形结合，结合公式，结合余弦值，即可求解； （3）首先求的最小值，分和两种情况求的最小值，对比后，即可判断直线方程. 【小问1详解】 ， ， ； 【小问2详解】 设，由题意得：， 即，而表示的图形是正方形， 其中、、、． 即点在正方形的边上运动，，， 可知：当取到最小值时，最大，相应的有最大值． 因此，点有如下两种可能： ①点为点，则，可得； ②点在线段上运动时，此时与同向，取， 则． 因为，所以的最大值为． 【小问3详解】 易知，设，则 当时，，则，，满足题意； 当时，， 由分段函数性质可知， 又且恒成立，当且仅当时等号成立． 综上，满足条件的直线有且只有两条，和． 【点睛】关键点点睛：本题第二问为代数问题，转化为几何问题，利用数形结合，易求解，第3问的关键是理解，同样是转化为代数与几何相结合的问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年河南师大附中高二（上）月考数学试卷（10月份） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 直线的方向向量为，则该直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 在中，若，，，则等于（ ） A. B. 或 C. D. 或 3. 三棱柱中，为棱的中点，若，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知不重合的平面、、和直线，则“”的充分不必要条件是（ ） A. 内有无数条直线与平行 B. 内的任何直线都与平行 C. 且 D. 且 5. 已知点，在直线和轴上各找一点和，则的周长的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平行六面体中，底面是菱形，侧面是正方形，且，，，若P是与的交点，则异面直线与的夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图扇形所在圆的圆心角大小为，是扇形内部（包括边界）任意一点，若，那么的最大值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知直角三角形的三个顶点分别在等边三角形的边，，上，且，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 直线过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线在轴上的截距可能是（ ） A. 3 B. 0 C. D. 1 10. 设为夹角为的两个单位向量，则（ ） A. B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 对任意的实数有恒成立 11. 如图，直四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，,，点P是经过点的半圆弧上的动点（不包括端点），点Q是经过点D的半圆弧上的动点（不包括端点），则下列说法正确的是（ ） A. 四面体PBCQ的体积的最大值为 B. 的取值范围是 C. 若二面角的平面角为，则 D. 若三棱锥的外接球表面积为S，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线互相垂直，则的值为______ . 13. 在中，角的对边分别为，且，，则 _________. 14. 如图，在正方体中，，点分别为的中点，则平面截正方体所得截面面积为__________，动点满足，且，则的最小值为___________ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱，的中点. （1）求点到直线的距离； （2）求点到平面的距离. 16. 如图，已知的顶点为，，是边AB的中点，AD是BC边上的高，AE是的平分线． （1）求高AD所在直线的方程； （2）求AE所在直线的方程． 17. 已知的内角所对的边分别为，且 （1）求角A； （2）若为边上一点，为的平分线，且，求的面积 18. 如下图，在中，，，D是AC中点，E、F分别是BA、BC边上的动点，且；将沿EF折起，将点B折至点P的位置，得到四棱锥； （1）求证：； （2）若，二面角是直二面角，求二面角的正切值； （3）当时，求直线PE与平面ABC所成角的正弦值的取值范围． 19. 人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设，，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中（为坐标原点）． （1）若，，求，之间的曼哈顿距离和余弦距离； （2）若点，，求的最大值； （3）已知点，是直线上的两动点，问是否存在直线使得，若存在，求出所有满足条件的直线的方程，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $