精品解析： 2024—2025学年人教版九年级上册数学期中考试模拟试卷

模拟卷【人教版】2024—2025学年九年级上册数学期中考试模拟试卷 一、选择题（每小题3分，共36分） 1. 如果与3互为倒数，那么是（ ） A. B. C. D. 2. 将化成的形式，则的值是( ) A. -5 B. -8 C. -11 D. 5 3. 下列不等式变形中，错误的是(　　) A. 若 a≤b，则 a+c≤b+c B. 若 a+c≤b+c，则 a≤b C. 若 a≤b，则 ac2≤bc2 D. 若 ac2≤bc2，则 a≤b 4. 如图，该图形经过折叠可以围成一个正方体，折好以后与“静”字相对的字是（ ） A. 着 B. 沉 C. 应 D. 冷 5. 若关于x的一元二次方程4x2-4x+c=0有两个相等实数根，则c的值是（ ） A. -1 B. 1 C. -4 D. 4 6. 某特警部队为了选拔“神枪手”，举行了1000米射击比赛，最后甲、乙两名战士进入决赛，在相同条件下，两人各射靶10次，经过统计计算，甲、乙两名战士的总成绩都是99.68环，甲的方差是0.28，乙的方差是是0.21．则下列说法中，正确的是（ ） A. 甲的成绩比乙的成绩稳定 B. 乙的成绩比甲的成绩稳定 C. 甲、乙两人成绩的稳定性相同 D. 无法确定谁的成绩更稳定 7. 如图，△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC的面积比是4：9，则OB′：OB为（　　） A 2：3 B. 3：2 C. 4：5 D. 4：9 8. 下列命题正确的是（ ） A. 平行四边形的对角线互相垂直平分 B. 矩形的对角线互相垂直平分 C. 菱形的对角线互相平分且相等 D. 正方形的对角线互相垂直平分且相等 9. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，若CD＝3，则BD的长是（　　） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 10. 《九章算术》是中国传统数学最重要著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术，其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就，《九章算术》中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六，问人数、鸡价各几何？”译文：“假设有几个人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱．问：有几个人共同出钱买鸡？鸡的价钱是多少？”设有x个人共同买鸡，根据题意列一元一次方程，正确的是（ ） A. 9x+11＝6x﹣16 B. 9x﹣11＝6x+16 C. ＝ D. ＝ 11. 在同一平面直角坐标系中，直线与直线的交点不可能在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 12. 如图，抛物线与轴交于、两点，是以点（0,3）为圆心，2为半径的圆上的动点，是线段的中点，连结.则线段的最大值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 13. 写出一个比3大且比4小的无理数：_____． 14. 如图，BC是⊙O的直径，点A在圆上，连接AO，AC，∠AOB=64°，则∠ACB=____． 15. 一个内角为140°正多边形的边数为______． 16. 已知，代数式的值为_____． 17. 将抛物线y=2（x﹣1）2+2向左平移3个单位，再向下平移4个单位，那么得到的抛物线的表达式为_________． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知点分别是直线和x轴上的动点，，D是线段的中点，连接交y轴于点E，连接．当的面积取得最小值时，的值是___________________． 三、解答题（共6小题） 19. 计算：． 20. 解一元一次不等式组并把解表示在如图所示的数轴上． 21. 随着通信技术的迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、更便捷．某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”的调查问卷（每人必选且只选一种），在全校范围内随机调查了部分学生，并将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图： 请结合图中所给的信息解答下列问题： （1）这次共抽查了________名学生；在扇形统计图中，表示“”的扇形圆心角的度数为_________． （2）请将条形统计图补充完整． （3）若该校共有1500名学生，请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有多少名． （4）某天，甲、乙两名同学都想从“微信”“”“电话”三种沟通方式中选一种方式与对方联系，请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率． 22. 如图，以△ABC的边AB为直径画⊙O，交AC于点D，半径OE//BD，连接BE，DE，BD，设BE交AC于点F，若∠DEB=∠DBC． (1)求证：BC是⊙O的切线； (2)若BF=BC=2，求图中阴影部分面积． 23. 某购物广场要修建一个地下停车场，停车场的入口设计示意图如图所示，其中斜坡AD与地平线的夹角为18°，一楼到地下停车场地面的距离CD＝2.8米，地平线到一楼的垂直距离BC＝1米． （1）应在地面上距点B多远的A处开始斜坡施工？（精确到0.1米） （2）如果给该购物广场送货的货车高度为2.5米，那么按这样的设计能否保证货车顺利进入地下停车场？请说明理由．（参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32） 24. 如图，在矩形中，E为边上一点，平分，F为中点，连接，，过点E作分别交，于G，H两点． （1）求证：； （2）求证：； （3）设，与相交于点M ，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 模拟卷【人教版】2024—2025学年九年级上册数学期中考试模拟试卷 一、选择题（每小题3分，共36分） 1. 如果与3互为倒数，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：3的倒数是．故选D． 【点睛】本题考查了倒数． 2. 将化成的形式，则的值是( ) A -5 B. -8 C. -11 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】首先把x2-6x+1化为（x-3）2-8，然后根据把二次函数的表达式y=x2-6x+1化为y=a（x-h）2+k的形式，分别求出h、k的值各是多少，即可求出h+k的值是多少． 【详解】解：∵y=x2-6x+1=（x-3）2-8， ∴（x-3）2-8=a（x-h）2+k， ∴a=1，h=3，k=-8， ∴h+k=3+（-8）=-5． 故选A． 【点睛】此题主要考查了二次函数的三种形式，要熟练掌握三种形式之间相互转化的方法. 3. 下列不等式变形中，错误的是(　　) A. 若 a≤b，则 a+c≤b+c B. 若 a+c≤b+c，则 a≤b C. 若 a≤b，则 ac2≤bc2 D. 若 ac2≤bc2，则 a≤b 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质逐一进行分析判断即可. 【详解】A、在不等式 a≤b的两边同时加c，不等式仍然成立，即a+c≤b+c，故本选项不符合题意； B、在不等式a+c≤b+c的两边同时减去c，不等式仍然成立，即a≤b，故本选项不符合题意； C、不等式 a≤b的两边同时乘以c2,不等式ac2≤bc2仍立，故本选项不符合题意； D、在不等式ac2≤bc2的两边同时除以c2，当c=0时，即a≤b不成立，故本选项符合题意， 故选D． 【点睛】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握“(1)不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；(2)不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；(3)不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变”是解题的关键． 4. 如图，该图形经过折叠可以围成一个正方体，折好以后与“静”字相对的字是（ ） A. 着 B. 沉 C. 应 D. 冷 【答案】A 【解析】 【分析】正方体的平面展开图中，相对面的特点是中间必须间隔一个正方形，据此作答 【详解】这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“沉”与面“考”相对，面“着”与面“静”相对，“冷”与面“应”相对． 故选A 【点睛】本题主要考查了利用正方体及其表面展开图的特点解题，明确正方体的展开图的特征是解决此题的关键 5. 若关于x的一元二次方程4x2-4x+c=0有两个相等实数根，则c的值是（ ） A. -1 B. 1 C. -4 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式可得：当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根． 【详解】解：根据题意可得： △=－4×4c=0，解得：c=1 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式． 6. 某特警部队为了选拔“神枪手”，举行了1000米射击比赛，最后甲、乙两名战士进入决赛，在相同条件下，两人各射靶10次，经过统计计算，甲、乙两名战士的总成绩都是99.68环，甲的方差是0.28，乙的方差是是0.21．则下列说法中，正确的是（ ） A. 甲的成绩比乙的成绩稳定 B. 乙的成绩比甲的成绩稳定 C. 甲、乙两人成绩的稳定性相同 D. 无法确定谁的成绩更稳定 【答案】B 【解析】 【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 【详解】解：甲的方差是0.28，乙的方差是0.21， ， 乙的成绩比甲的成绩稳定； 故选：B． 【点睛】本题考查方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，解题的关键是掌握方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 7 如图，△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC的面积比是4：9，则OB′：OB为（　　） A. 2：3 B. 3：2 C. 4：5 D. 4：9 【答案】A 【解析】 【分析】根据位似的性质得△ABC∽△A′B′C′，再根据相似三角形的性质进行求解即可得. 【详解】解：由位似变换的性质可知，， ∴△A′B′C′∽△ABC， ∵△A'B'C'与△ABC的面积的比4：9， ∴△A'B'C'与△ABC的相似比为2：3， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，理解此定义及性质是解题关键． 8. 下列命题正确的是（ ） A. 平行四边形的对角线互相垂直平分 B. 矩形的对角线互相垂直平分 C. 菱形对角线互相平分且相等 D. 正方形的对角线互相垂直平分且相等 【答案】D 【解析】 【分析】利用平行四边形的性质，矩形到现在，菱形的性质，正方形的性质一一判断即可． 【详解】解：A、平行四边形的对角线互相垂直平分，是假命题，应该是平行四边形的对角线互相平分，本选项不符合题意． B、矩形的对角线互相垂直平分，是假命题，应该是矩形的对角线相等且互相平分，本选项不符合题意． C、菱形的对角线互相平分且相等，是假命题，应该是菱形的对角线互相平分且垂直，本选项不符合题意． D、正方形的对角线互相垂直平分且相等，是真命题，本选项符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的性质，菱形的性质，正方形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握特殊平行四边形的性质． 9. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，若CD＝3，则BD的长是（　　） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可知，AD是∠BAC的角平分线， ∵∠C=90°，∠B=30°， ∴∠BAC=60°， ∴∠CAD=∠BAD=30°， ∴AD=2CD=6，∠B=∠BAD， ∴BD=AD=6. 故选B. 10. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术，其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就，《九章算术》中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六，问人数、鸡价各几何？”译文：“假设有几个人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱．问：有几个人共同出钱买鸡？鸡的价钱是多少？”设有x个人共同买鸡，根据题意列一元一次方程，正确的是（ ） A. 9x+11＝6x﹣16 B. 9x﹣11＝6x+16 C. ＝ D. ＝ 【答案】B 【解析】 【分析】可设有x个人共同买鸡，等量关系为：9×买鸡人数-11=6×买鸡人数+16，即可解答． 【详解】解：设有x个人共同买鸡，可得：9x-11=6x+16， 故选：B． 【点睛】此题考查考查一元一次方程的应用，根据鸡价得到等量关系是解决本题的关键． 11. 在同一平面直角坐标系中，直线与直线的交点不可能在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【详解】∵直线y=4x+1过一、二、三象限； ∴当b＞0时，直线y=﹣x+b过一、二、四象限， 两直线交点可能在一或二象限； 当b＜0时，直线y=﹣x+b过二、三、四象限， 两直线交点可能在二或三象限； 综上所述，直线y=4x+1与直线y=﹣x+b的交点不可能在第四象限， 故选D． 12. 如图，抛物线与轴交于、两点，是以点（0,3）为圆心，2为半径的圆上的动点，是线段的中点，连结.则线段的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线解析式可求得点A（-4,0），B（4,0），故O点为AB的中点，又Q是AP上的中点可知OQ=BP，故OQ最大即为BP最大，即连接BC并延长BC交圆于点P时BP最大，进而即可求得OQ的最大值． 【详解】解：连结BP， ∵抛物线与轴交于A、两点， 当y=0时，， 解得， ∴A（-4,0），B（4,0），即OA=4， 在直角△COB中， BC=， ∵Q是AP上的中点，O是AB的中点， ∴OQ为△ABP中位线，即OQ=BP， 又∵P在圆C上，且半径为2， ∴当B、C、P共线时BP最大，即OQ最大， 此时BP=BC+CP=5+2=7， OQ=BP=． 故选择C． 【点睛】本题考查了勾股定理求长度，二次函数解析式求点的坐标及线段长度，中位线，点到圆上最长的距离，解本题的关键是将求OQ最大转化为求BP最长时的情况． 二、填空题（每小题3分，共18分） 13. 写出一个比3大且比4小的无理数：_____． 【答案】答案不是唯一， 【解析】 【分析】利用估算思想，确定无理数的被开方数范围是大于9小于16，从中确定一个整数，用算术平方根的形式表示出来即可． 【详解】设无理数的被开方数为x， ∵无理数比3大且比4小， ∴9＜x＜16， ∴其中的一个无理数为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了无理数的估算思想，正确理解估算思想的意义是解题的关键． 14. 如图，BC是⊙O的直径，点A在圆上，连接AO，AC，∠AOB=64°，则∠ACB=____． 【答案】32°． 【解析】 【详解】∵AO=OC， ∴∠ACB=∠OAC， ∵∠AOB=64°， ∴∠ACB+∠OAC=64°， ∴∠ACB=64°÷2=32°． 故答案为32°. 15. 一个内角为140°的正多边形的边数为______． 【答案】9 【解析】 【分析】由题意易得正多边形外角度数为40°，进而根据多边形外角和进行求解即可． 【详解】解：由题意得： 正多边形的外角为：180°-140°=40°， ∴该正多边形的边数为：； 故答案为9． 【点睛】本题主要考查正多边形的性质及外角和，熟练掌握正多边形的性质及外角和是解题的关键． 16. 已知，代数式的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键，根据整式的运算法则即可得到答案． 【详解】解： ． ∵， ∴， ∴原式． 故答案为：． 17. 将抛物线y=2（x﹣1）2+2向左平移3个单位，再向下平移4个单位，那么得到的抛物线的表达式为_________． 【答案】y=2（x+2）2﹣2． 【解析】 【详解】按照“左加右减，上加下减”的规律可得抛物线y=2（x﹣1）2+2向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到y=2（x﹣1+3）2+2﹣4=2（x+2）2﹣2． 故答案为y=2（x+2）2﹣2． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知点分别是直线和x轴上的动点，，D是线段的中点，连接交y轴于点E，连接．当的面积取得最小值时，的值是___________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，坐标与图形的性质，直线与圆的位置关系，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．如图，设直线交轴于．由题意，推出点的运动轨迹是以为圆心，5为半径的圆，推出当直线与相切时，的面积最小，作于．求出，即可解决问题． 【详解】解：如图，设直线交轴于．由题意， 点的运动轨迹是以为圆心，5为半径的圆， 当直线与相切时，的面积最小， 是切线，点是切点， ， ，， ， ， ， ， ， 作于． ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（共6小题） 19. 计算：． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，正确的化简各数是解题的关键，直接利用负指数幂的性质，特殊角的三角函数值以及二次根式化简即可得到答案． 【详解】解：原式． 20. 解一元一次不等式组并把解表示在如图所示的数轴上． 【答案】，画图见解析 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式组的解集，熟练掌握求不等式组的解集是解题的关键．分别求出每一个不等式的解集，然后把解集表示在数轴上，根据数轴即可确定不等式的解集． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴， 解集表示在数轴上为： 不等式组的解集为：． 21. 随着通信技术的迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、更便捷．某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”的调查问卷（每人必选且只选一种），在全校范围内随机调查了部分学生，并将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图： 请结合图中所给的信息解答下列问题： （1）这次共抽查了________名学生；在扇形统计图中，表示“”的扇形圆心角的度数为_________． （2）请将条形统计图补充完整． （3）若该校共有1500名学生，请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有多少名． （4）某天，甲、乙两名同学都想从“微信”“”“电话”三种沟通方式中选一种方式与对方联系，请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率． 【答案】（1）100，108° （2）见解析 （3）600名 （4） 【解析】 【分析】（1）根据喜欢电话沟通的人数与百分比即可求出共抽查人数； （2）计算出短信与微信的人数即可补全统计图； （3）用样本中喜欢用微信进行沟通的百分比来估计2500名学生中喜欢用微信进行沟通的人数即可； （4）列出树状图分别求出所有情况以及甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的情况后，利用概率公式即可求出甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率． 【小问1详解】 解：，； 故答案为：100，． 【小问2详解】 解：使用短信的人数：；使用微信的人数：， 条形统计图补充图如图： 【小问3详解】 解：名． 答：喜欢用“微信”进行沟通的学生有名． 【小问4详解】 如图所示：列出树状图如下： 所有情况共有9种等可能情况，其中两人恰好选中同一种沟通方式共有3种情况， 因此，甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率为：． 【点睛】本题考查了列表法与树状图，利用列表法或树状图法展示所有可能的结果n，从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．也考查了统计图和用样本估计总体． 22. 如图，以△ABC的边AB为直径画⊙O，交AC于点D，半径OE//BD，连接BE，DE，BD，设BE交AC于点F，若∠DEB=∠DBC． (1)求证：BC是⊙O的切线； (2)若BF=BC=2，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析；(2). 【解析】 【分析】（1）求出∠ADB的度数，求出∠ABD+∠DBC=90，根据切线判定推出即可；（2）连接OD，分别求出三角形DOB面积和扇形DOB面积，即可求出答案. 【详解】(1)是的直径， ， ， ，， ， ， 是的切线； (2)连接， ，且， ， ， ， ， ， ， ， ， 的半径为， 阴影部分的面积扇形的面积三角形的面积． 【点睛】本题考查了切线判定的定理和三角形及扇形面积的计算方法，熟练掌握该知识点是本题解题的关键. 23. 某购物广场要修建一个地下停车场，停车场的入口设计示意图如图所示，其中斜坡AD与地平线的夹角为18°，一楼到地下停车场地面的距离CD＝2.8米，地平线到一楼的垂直距离BC＝1米． （1）应在地面上距点B多远的A处开始斜坡施工？（精确到0.1米） （2）如果给该购物广场送货的货车高度为2.5米，那么按这样的设计能否保证货车顺利进入地下停车场？请说明理由．（参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32） 【答案】（1）应在地面上距点B为5.6米处的A处开始施工；（2）货车能顺利进入地下停车场，理由见详解． 【解析】 【分析】（1）由题意易得∠BAD=18°，BD=1.8米，然后根据三角函数可进行求解； （2）过点C作CE⊥AD于点E，由题意可得∠CDA=72°，则有∠DCE=18°，然后根据三角函数进行求解CE的长，进而与货车的高度进行比较即可得出答案． 【详解】解：（1）由题意得：∠BAD=18°， ∵CD＝2.8米，BC＝1米， ∴BD=1.8米， ∴（米）； 答：应在地面上距点B为5.6米处的A处开始施工． （2）过点C作CE⊥AD于点E，如图所示： ∴∠CED=90°， 由题意得∠CDA=72°，则∠DCE=18°， ∵CD＝2.8米， ∴（米）， ∵2.66＞2.5， ∴货车能顺利进入地下停车场． 【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数是解题的关键． 24. 如图，在矩形中，E为边上一点，平分，F为的中点，连接，，过点E作分别交，于G，H两点． （1）求证：； （2）求证：； （3）设，与相交于点M ，求． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质以及角平分线的定义即可得到，进而得到； （2）连接，根据等腰三角形的性质得出，再根据直角三角形斜边上中线的性质得出，再根据判定，即可得出，据此可得； （3）过取的中点，连接，与交于点，过点作于点，设，，则，，，，，由（2）中的，则为直角三角形，由勾股定理得：，中位线定理可知，求出，，再求出，因此的值． 【小问1详解】 证明：∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴平分， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：连接，如图所示： ∵，F为的中点， ∴， ∴， 在矩形中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：过取的中点，连接，与交于点，过点作于点，如图所示： 设，， ∴，，， 在中，由勾股定理得：， ∵F为的中点， ∴， ∵， 由勾股定理得：， ∵F为的中点，点为的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴ 解得：， ∵，，即，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数值，相似三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质锐角三角函数的求法是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$