第五章　图形的变换与作图 课件 2025年中考数学一轮总复习

第27课时　相似三角形 1.下列各组中的四条线段成比例的是（　 　） A.1cm，2cm，3cm，4cm B.2cm，3cm，4cm，5cm C.2cm，3cm，4cm，6cm D.3cm，4cm，6cm，9cm C 2.（2024·南开）如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形.若△ABC和△DEF的周长之比为1∶3，则OC∶OF等于（　 　） A.1∶2 B.1∶3 C.1∶4 D.1∶9 B 3.如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC.若AD∶DB＝3∶1，则AE∶AC＝（　 　） A.3∶1 B.3∶4 C.3∶5 D.2∶3 B 4.（2024·河南）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为OC的中点，EF∥AB交BC于点F.若AB＝4，则EF的长为（　 　） A. B.1 C. D.2 B 5.如图，在▱ABCD中，F是AD边上一点，CF交BD于点E，CF的延长线交BA的延长线于点G.若EF＝1，EC＝3，则GF的长为（　 　） A.4 B.6 C.8 D.10 C 6.已知点C是线段AB的黄金分割点（靠近点A）.若AB＝2，则BC＝ 　 . 7.（1）（2024·辽宁）如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，且△AOB与△DOC的面积比是1∶4.若AB＝6，则CD的长为　 　； 　－1 12 （2）（2024·乐山）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD交于点O.若＝，则＝ 　 　. 8.（2024·眉山）如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD＝120°，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，连接AE分别交BD，CD于点F，G，则FG的长为 　 　. 9.（2024·甘孜州）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，连接BD，过点C作CE⊥AB，垂足为E，CE交BD于点F，∠1＝∠ABC. （1）求证：∠2＝∠3； （1）证明：∵CE⊥AB， ∴∠CEB＝90°＝∠A， ∴∠1＋∠3＝90°，∠2＋∠ABC＝90°. ∵∠1＝∠ABC，∴∠2＝∠3. （2）若∠4＝45°. ①请判断线段BC，BD的数量关系，并证明你的结论； （2）解：①BC＝BD，证明如下： 设∠2＝∠3＝x，∴∠BFE＝90°－x＝∠DFC. ∵∠4＝45°，∴∠CDB＝180°－45°－ （90°－x）＝45°＋x. ∵∠BCD＝∠4＋∠2＝45°＋x， ∴∠BCD＝∠BDC，∴BC＝BD. ②若BC＝13，AD＝5，求EF的长. ②∵BC＝BD＝13，AD＝5， ∴AB＝＝12. ∵BC＝BD，∠A＝∠CEB，∠2＝∠3， ∴△ADB≌△EBC（AAS），∴BE＝AD＝5. ∵∠A＝∠CEB，∠3＝∠3， ∴△EFB∽△ADB，∴＝，∴＝，∴EF＝. 10.如图，在△ABC中，点D，E为边AB的三等分点，点F，G在边BC上，AC∥DG∥EF，点H为AF与DG的交点.若AC＝12，则DH的长为（　 　） A.1 B. C.2 D.3 C 11.（2024·成都）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的一条角平分线，E为AD的中点，连接BE.若BE＝BC，CD＝2，则BD＝　 　. 12.（2024·资阳）（1）【观察发现】如图1，在△ABC中，点D在边BC上.若∠BAD＝∠C，则AB2＝BD·BC，请证明； （1）证明：∵∠BAD＝∠C， ∠ABD＝∠CBA， ∴△ABD∽△CBA，∴＝，∴AB2＝BD·BC. （2）【灵活运用】如图2，在△ABC中，∠BAC＝60°，点D为边BC的中点，CA＝CD＝2，点E在AB上，连接AD，DE.若∠AED＝∠CAD，求BE的长； （2）解：如图2，过点C作CF⊥AB于点F，过点D作DG⊥AB于点G， ∴CF∥DG. ∵∠BAC＝60°，∴CF＝AC·sin60°＝2×＝， AF＝AC·cos60°＝2×＝1. ∵D为BC的中点， ∴BD＝CD＝BC＝2. ∵CF∥DG，∴△BDG∽△BCF， ∴＝＝＝， ∴DG＝CF＝， ∴BG＝＝＝， ∴BF＝2BG＝，∴AB＝AF＋BF＝1＋. ∵AC＝CD，∴∠CAD＝∠CDA. ∵∠AED＝∠CAD，∴∠AED＝∠CDA. ∴∠AED＋∠BED＝ ∠ADC＋∠ADB＝180°， ∴∠BED＝∠ADB. 又∵∠DBE＝∠ABD，∴△BED∽△BDA， ∴＝，即＝，∴BE＝. （3）【拓展延伸】如图3，在菱形ABCD中，AB＝5，点E，F分别在边AD，CD上，∠ABC＝2∠EBF，延长AD，BF相交于点G.若BE＝4，DG＝6，求FG的长. （3）解：如图3，连接BD. ∵四边形ABCD为菱形， ∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC，AD＝AB＝BC＝5，AD∥BC. ∵∠ABC＝2∠EBF，∴∠ABD＝∠CBD＝∠EBF， ∴∠EBF－∠DBF＝∠CBD－∠DBF， 即∠DBE＝∠CBF. ∵AD∥BC， ∴∠CBF＝∠G，∴∠DBE＝∠G. 又∵∠DEB＝∠BEG，∴△BED∽△GEB，∴＝. ∵DG＝6，∴EG＝DE＋6， ∴＝，解得DE＝2（负值舍去）， ∴EG＝2＋6＝8， ∴AE＝AD－DE＝3. ∵AE2＋BE2＝32＋42＝52＝AB2， ∴△ABE为直角三角形，∠AEB＝90°∴∠BEG＝90°， ∴BG＝＝＝4， ∴BF＝BG－FG＝4－FG. ∵AD∥BC，∴△DFG∽△CFB， ∴＝，即＝，∴FG＝. $$第28课时　锐角三角函数与解直角三角形 1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c.则下列各式中，正确的是（　 　） A.sinA＝ B.sinA＝ C.sinA＝ D.sinA＝ C 2.在△ABC中，∠C＝90°，sinB＝，则tanA的值为（　 　） A. B. C. D. B 3.（2024·深圳）如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高1.8 m的测量仪EF测得的仰角为45°，小军在小明的前面5 m处用高1.5 m的测量仪CD测得的仰角为53°，则电子厂AB的高度为（参考数据：sin 53°≈，cos 53°≈，tan 53°≈）（　 　） A.22.7 m B.22.4 m C.21.2 m D.23.0 m A 4.（2024·泸州）宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感.如图，把黄金矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点B'处，AB'交CD于点E，则sin∠DAE的值为（　 　） A. B. C. D. A 5.（1）计算：sin 45°cos 45°－tan30°sin60°tan 45°＝ 　 　； （2）已知α是锐角，sin（α＋15°）＝，则cosα＝　 　； （3）在△ABC中，若（cosA－）2＋＝0，则∠C的度数为　 　. 0 75° 6.如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C，D，则cos∠ADC的值为　 　. 7.（2024·泰安）在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识测量大汶河某河段的宽度，他们在河岸一侧的瞭望台上放飞一只无人机.如图，无人机在河上方距水面高60米的点P处测得瞭望台正对岸A处的俯角为50°，测得瞭望台顶端C处的俯角为63.6°，已知瞭望台BC高12米 （图中点A，B，C，P在同一平面内），那么大汶河此河段的宽AB为　 　米.（参考数据：sin 40°≈， sin 63.6°≈，tan 50°≈， tan 63.6°≈2） 74 8.（2024·浙江）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC边上的中线，AB＝10，AD＝6，tan∠ACB＝1. （1）求BC的长； 解：（1）在Rt△ABD中，AB＝10，AD＝6， ∴BD＝＝＝8. 在Rt△ADC中，tan∠ACB＝＝1， ∴DC＝AD＝6， ∴BC＝BD＋DC＝8＋6＝14. （2）求sin∠DAE的值. （2）∵AE是BC边上的中线，∴BE＝BC＝7， ∴DE＝BD－BE＝8－7＝1， ∴AE＝＝＝， ∴sin∠DAE＝＝＝. 9.（2024·资阳）如图，某海域有两灯塔A，B，其中灯塔B在灯塔A的南偏东30°方向，且A，B相距海里.一渔船在C处捕鱼，测得C处在灯塔A的北偏东30°方向、灯塔B的正北方向. （1）求B，C间的距离； 解：（1）如图，过点A作AE⊥BC于点E， 由题意，得∠ACE＝∠ABE＝30°， ∴AC＝AB.∵AE⊥BC，∴CE＝BE. ∵AB＝海里， ∴BE＝CE＝AB·cos 30°＝8海里， ∴BC＝8×2＝16（海里）.答：B，C间的距离为16海里. （2）该渔船从C处沿北偏东65°方向航行一段时间后，突发故障滞留于D处，并发出求救信号.此时，在灯塔B处的渔政船测得D处在北偏东27°方向，便立即以18海里/时的速度沿BD方向航行至D处救援，求渔政船的航行时间.（点A，B，C，D在同一水平面内.参考数据：tan 65°≈2.1，tan 27°≈0.5） （2）如图，过点D作DF⊥BC于点F， 设CF＝x海里，∵∠DCF＝65°， ∴DF＝CF·tan65°≈2.1x海里. 由（1）可知，BC＝16海里， ∴BF＝海里. ∵∠DBF＝27°， ∴DF＝BF·tan 27°≈0.5海里， ∴2.1x＝0.5，解得x＝5， ∴BF＝BC＋CF＝21海里，DF＝10.5海里， 由勾股定理，得BD＝＝海里， ∴渔政船的航行时间为÷18＝（小时）. 答：渔政船的航行时间为小时. 10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的中线，过点E作EF⊥AB交AC于点F.若BC＝4，△AEF的面积为5，则sin∠CEF的值为（　 　） A. B. C. D. A 11.（2024·贵州）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是BC，CD的中点，连接AE，AF.若sin∠EAF＝，AE＝5，则AB的长为　 　. 解析：如答案图，过点E作EG⊥AF，延长AF，EC交于点H.∵sin∠EAF＝，AE＝5，∴EG＝4，AG＝3.易证得△ADF≌△ABE≌△HCF，∴AF＝FH＝AE＝5，AD＝CH＝BC，∴GH＝7， ∴EH＝＝. ∵CH＝BC＝2CE， ∴BC＝CH＝EH＝. 故答案为. 12.【阅读新知】 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.即：如图1，在 △ABC中，已知AB＝c，BC＝a，CA＝b，则有a2＝b2＋c2－2bc·cosA，b2＝a2＋c2－2ac·cosB，c2＝a2＋b2－2ab·cosC. 利用这个正确结论可求解下列问题： 在△ABC中，已知a＝2，b＝2，c＝＋，求∠A的度数. 解：∵a2＝b2＋c2－2bc·cosA， ∴cosA＝＝＝， ∴∠A＝60°. 【应用新知】 （1）在△ABC中，已知b＝c·cosA，a＝c·sinB，那么△ABC是　 　； A.等边三角形 　　　 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 　　　D.直角三角形 C （2）如图2，某客轮在A处看港口D在客轮的北偏东50°方向，在A处看灯塔B在客轮的北偏西30°方向，距离为2海里，客轮由A处向正北方向航行到C处时，再看港口D在客轮的南偏东80°方向，距离为6海里.求此时C处到灯塔B的距离. 解：（2）∵∠ADC＝180°－80°－50°＝50°， ∴CA＝CD＝6. ∵BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC ＝（2）2＋62－2×2×6×＝12， ∴BC＝2. 答：C处到灯塔B的距离为2海里. $$第29课时　轴对称与 中心对称 1.（2024·长沙）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　 　） B 2.（2024·河北）如图，AD与BC交于点O，△ABO和△CDO关于直线PQ对称，点A，B的对称点分别是点C，D.下列不一定正确的是（　 　） A.AD⊥BC B.AC⊥PQ C.△ABO≌△CDO D.AC∥BD A 3.如图，正方形ABCD的面积为1，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，则PD＋PE的最小值为（　 　） A.1 B. C. D.不能确定 A 4.（2024·巴蜀）如图，在△ABC中，点D在AC上，将△ABD沿BD翻折得到△EBD，且DE∥BC.若∠C＝70°，则∠DBC的度数为（　 　） A.70° B.65° C.55° D.50° C 5.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝46°，∠BAC的平分线与AB边的垂直平分线OD交于点O，点E在BC上，点F在AC上，连接EF.将∠C沿EF折叠，点C与点O恰好重合时，∠OEC的度数为（　 　） A.90° B.92° C.95° D.98° B 6.如果点P（x，y）关于直线x＝2的对称点是（－3，4），那么点P的坐标是　 　. （7，4） 7.围棋起源于中国，古代称为“弈”.如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点 　 　的位置，则所得的对弈图是轴对称图形.（填写A，B，C，D中的一处即可，A，B，C，D位于棋盘的格点上） A或C 8.（2024·绥化）如图，已知∠AOB＝50°，点P为∠AOB内部一点，点M为射线OA上的一个动点，点N为射线OB上的一个动点，当△PMN的周长最小时，则∠MPN＝　 　. 80° 9.（2024·无锡）【操作观察】 如图，在四边形纸片ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，BC＝8，AB＝12，AD＝13. 折叠四边形纸片ABCD，使得点C的对应点C'始终落在AD上，点B的对应点为点B'，折痕MN与AB，CD分别交于点M，N. 【解决问题】 （1）当点C'与点A重合时，求B'M的长； 解：（1）易知CD＝AD＝13.当点C'与点A重合时，如答案图1，连接AC，由折叠的性质可得出MN垂直平分AC，点N与点D重合， 则有AM＝MC. 设B'M＝MB＝x，则AM＝MC＝12－x. ∵∠ABC＝90°， ∴在Rt△MBC中，x2＋82＝， 解得x＝，∴B'M＝. （2）设直线B'C'与直线AB相交于点F，当∠AFC'＝∠ADC时，求AC'的长. （2）当点F在线段AB上时，如答案图2，过点C作CH⊥AD于点H， 则CH＝AB＝12，AH＝BC＝8， ∴HD＝AD－AH＝13－8＝5， ∴CD＝＝＝13， tan∠ADC＝＝. ∵∠B'FM＝∠AFC'＝∠ADC， ∴tan∠B'FM＝tan∠AFC'＝， 设AF＝5x，AC'＝12x，则C'F＝13x ， 由折叠的性质，得B'C'＝BC＝8， ∴B'F＝8－13x. ∴FM＝B'F＝， B'M＝MB＝B'F＝， 则5x＋＋＝12， 解得x＝，∴AC'＝12x＝. 如答案图3，当点F在线段BA的延长线上时， 同理可得tan∠AFC'＝. 在Rt△AFC'中， 设AF＝5x，AC'＝12x， 则FC'＝13x，FB'＝13x－8， 在Rt△MFB'中，FM＝，B'M＝MB＝， 则5x＋12＝＋，解得x＝， ∴AC'＝12x＝12×＝. 综上，AC'的长为或. 10.（2024·大庆）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝6，点M是AB边的中点，点N是AD边上任意一点，将线段MN绕点M顺时针旋转90°，点N旋转到点N'，则△MBN'周长的最小值为（　 　） A.15 B.5＋5 C.10＋5 D.18 B 11.如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝4，M是边AB上一动点（不含端点），将△ADM沿直线DM对折，得到△NDM.当射线CN交线段AB于点P时，连接DP，则△CDP的面积为 　 　；DP的最大值为　 　. 10 2 12.【问题提出】 （1）如图1，在等腰直角三角形ABC中，斜边AC＝4，点D为AC上一点，连接BD，则BD的最小值为　 　； 2 【问题探究】 （2）如图2，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点M是BC上一点，且BM＝4，点P是边AB上一动点，连接PM，将△BPM沿PM翻折得到△DPM，点D与点B对应，连接AD，求AD的最小值； 解：（2）如答案图1，由题意，得DM＝MB， ∴点D在以点M为圆心，BM为半径的☉M上，连接AM交☉M于点D'， 此时AD的值最小， 过点A作AE⊥BC于点E. ∵AB＝AC＝5，∴BE＝EC＝BC＝3. 由勾股定理，得AE＝＝4. ∵BM＝4，∴EM＝BM－BE＝1， ∴AM＝＝. ∵D'M＝BM＝4， ∴AD'＝AM－D'M＝－4. 即线段AD的最小值为－4. 【问题解决】 （3）如图3，四边形ABCD是规划中的休闲广场示意图，其中∠BAD＝∠ADC＝135°，∠DCB＝30°，AD＝2km，AB＝3km，点M是BC上一点，MC＝4km.现计划在四边形ABCD内选取一点P，把△DCP建成商业活动区，其余部分建成景观绿化区.为方便进入商业区，需修建小路BP，MP，从实用和 美观的角度，要求满足∠PMB＝∠ABP，且景观绿化区面积足够大，即△DCP区域面积尽可能小.则在四边形ABCD内是否存在这样的点P？若存在，请求出△DCP面积的最小值；若不存在，请说明理由. （3）如答案图2，假设在四边形ABCD内存在点P. ∵∠BAD＝∠ADC＝135°，∠DCB＝30°∴∠ABC＝60°. ∵∠PMB＝∠ABP， ∴∠BPM＝180°－∠PBM－∠PMB ＝180°－（∠PBM＋∠ABP）＝ 180°－∠ABC＝120°. 以BM为边向下作等边三角形BMF， 作△BMF的外接圆☉O. ∵∠BFM＋∠BPM＝60°＋120°＝180°， ∴点P在上. 过点O作OQ⊥CD于点Q，交☉O于点P， 设点P'是上任意一点，连接OP'， 过点P'作P'H⊥CD于点H，可得 OP'＋P'H≥OQ＝OP＋PQ，即P'H≥PQ， ∴点P即为所求的位置. 延长CD，BA交于点E. ∵∠BAD＝∠ADC＝135°，∠DCB＝30°，∠ABC＝60°， ∴∠E＝90°，∠EAD＝∠EDA＝45°. ∵AD＝2km，∴AE＝DE＝2km， ∴BE＝AE＋AB＝5km，BC＝2BE＝10km， CE＝5km， ∴BM＝BC－MC＝6km，CD＝（5－2）km. 过点O作OG⊥BM于点G，连接OB，OM. ∵∠BOM＝2∠BFM＝120°，OB＝OM， ∴∠OBM＝30°， ∴∠ABO＝∠ABM＋∠MBO＝90°， OB＝2km， ∴∠E＝∠ABO＝∠OQE＝90°， ∴四边形OBEQ是矩形， ∴OQ＝BE＝5km， ∴PQ＝OQ－OP＝（5－2）km， ∴S△DPC＝PQ·CD＝×（5－2）× （5－2）＝（－20）km2， ∴存在点P，使得△DCP的面积最小， △DCP面积的最小值是（－20）km2. $$第30课时　平移与旋转 1.（2024· 巴蜀）如图，△ABC沿射线BC方向平移到△DEF.若BC＝7，CE＝3，则平移的距离为（　 　） A.2 B.8 C.4 D.5 C 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝20°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△EDC，其中点E与点A是对应点，点D与点B是对应点.若点D恰好落在AB边上，则∠ACE等于（　 　） A.70° B.60° C.50° D.40° D 3.（2024·天津）如图，在△ABC中，∠B＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，延长BA交DE于点F，下列结论一定正确的是（　 　） A.∠ACB＝∠ACD B.AC∥DE C.AB＝EF D.BF⊥CE D 4.（2024·广元）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE，点B，C的对应点分别为点D，E，连接CE，点D恰好落在线段CE上.若CD＝3，BC＝1，则AD的长为（　 　） A. B. C.2 D.2 A 5.如图，在Rt△DEF中，∠DEF＝90°，M是斜边DF的中点，将△DEF绕点F按顺时针方向旋转，使点E落在EM延长线上的点E'处，点D落在点D'处.若DE＝2，EF＝4，则EE'的长为（　 　） A.7.5 B.6 C.6.4 D.6.5 C 6.如图，将△ABC沿BC方向平移3cm得到△DEF.若四边形ABFD的周长是16cm，则△DEF的周长是　 　. 10cm 7.（1）如图，直线y＝2x＋2与x轴、y轴分别相交于点A，B，将△AOB绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ACD，则点D的坐标为　 　； （－3，1） （2）（2024·内蒙古）如图，点A，B（1，0），将线段AB平移得到线段DC.若∠ABC＝90°，BC＝2AB，则点D的坐标是　 　. （4，－4） 8.（1）（2024·雅安）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，∠BAC＝∠DAE＝40°，将△ADE绕点A按顺时针旋转一定角度，当AD⊥BC时，∠BAE的度数是　 　； 60°或120° （2）（2024·盐城）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点D是AC的中点，连接BD，将△BCD绕点B旋转，得到△BEF.连接CF，当CF∥AB时，CF＝　 　. 2＋或－2 9.（1）【阅读材料】如图1，已知P是正方形ABDC内一点，连接PA，PB，PC.若PC＝2，PA＝4，∠APC＝135°，求PB的长. 小明看到题目后，思考了许久，仍没有思路，就去问数学老师，数学老师给的提示是：将△PAC绕点A顺时针旋转90°得到△P'AB，再利用勾股定理即可求解本题. 请根据数学老师的提示帮小明求出图1中线段PB的长为　 ； 6　 （2）【方法迁移】如图2，已知△ABC为正三角形，P为△ABC内部一点.若PC＝1，PA＝2，PB＝，求∠APB的大小； 解：（2）如答案图1，将△PAC绕点C 逆时针旋转60°得到△P'BC， 连接PP'. 由旋转的性质可知， CP＝CP'＝1，∠PCP'＝60°， AP＝BP'＝2， ∴△PCP'是等边三角形， ∴PP'＝1，∠CP'P＝∠CPP'＝60°. ∵PP'＝1，P'B＝2，PB＝， ∴P'B2＝PP'2＋PB2， ∴∠P'PB＝90°，∴∠CPB＝150°. ∵cos∠PP'B＝＝， ∴∠PP'B＝60°， ∴∠CP'B＝∠APC＝120°， ∴∠APB＝360°－∠APC－∠CPB ＝360°－120°－150° ＝90°. （3）【能力拓展】如图3，已知等腰三角形ABC中，∠ACB＝120°，D，E是底边AB上两点且∠DCE＝60°.若AD＝2，BE＝3，求DE的长. （3）如答案图2，将△ACD绕点C逆时针旋转120°得到△BCD'，连接ED'，过点D'作D'H⊥BE于点H. 由旋转的性质可知，AD＝BD'＝2， CD＝CD'，∠ACD＝∠BCD'，∠A＝∠CBD'. ∵∠ACB＝120°，∠DCE＝60°， ∴∠ECD'＝∠BCD'＋∠ECB＝∠ACD＋∠BCE＝60°， ∴∠ECD＝∠ECD'.又∵EC＝EC， ∴△ECD≌△ECD'（SAS），∴DE＝D'E. ∵CA＝CB，∠ACB＝120°， ∴∠A＝∠CBA＝30°， ∴∠EBD'＝∠ABC＋∠CBD'＝60°. 又∵BD'＝2，∠BHD'＝90°， ∴BH＝BD'＝1，D'H＝BD'＝， ∴EH＝BE－BH＝2， ∴DE＝D'E＝＝＝. 10.（2024·赤峰）如图，在△ABC中，AB＝BC＝1，∠C＝72°.将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB'C'，点B'与点B是对应点，点C'与点C是对应点.若点C'恰好落在BC边上，下列结论：①点B在旋转过程中经过的路径长是π；②B'A∥BC；③BD＝C'D；④＝.其中正确的是（　 ） A.①②③④ B.①②③ C.①③④ D.②④ A　 11.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，tan∠BAC＝，BC＝2，AD＝1，线段AD绕点A旋转，点P为CD的中点，则BP的最大值是　 　. 2＋ 解析：如答案图1，取AC的中点M，连接PM，BM.∵∠ACB＝90°，tan∠BAC＝，BC＝2，∴AC＝4，∴AM＝CM＝AC＝2，∴BM＝＝2.∵P，M分别是CD，AC的中点，∴PM＝AD＝. 如答案图2，当AD在AC下方时，若B，P，M三点共线，则BP有最大值，最大值为BM＋MP＝2＋. 故答案为2＋. 12.（2024·泰安）如图1，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB，点D，E分别在AB，CB上，DB＝EB，连接AE，CD，取AE的中点F，连接BF. （1）求证：CD＝2BF，CD⊥BF； （1）证明：在△ABE和△CBD中， ∵AB＝CB，∠ABE＝∠CBD＝90°，BE＝BD， ∴△ABE≌△CBD（SAS）， ∴AE＝CD，∠FAB＝∠BCD. ∵F是Rt△ABE斜边AE的中点， ∴AE＝2BF，∴CD＝2BF. ∵BF＝AE＝AF， ∴∠FAB＝∠FBA， ∴∠FBA＝∠BCD， ∵∠FBA＋∠FBC＝90°， ∴∠FBC＋∠BCD＝90°.∴CD⊥BF. （2）将△DBE绕点B顺时针旋转到图2的位置. ①求证：CD＝2BF； （2）①证明：如答案图1，延长BF到点G，使FG＝FB，连接AG. ∵AF＝EF，∠AFG＝∠EFB，FG＝FB， ∴△AGF≌△EBF， ∴∠FAG＝∠FEB，AG＝BE，∴AG∥BE， ∴∠GAB＋∠ABE＝180°. ∵∠ABC＝∠EBD＝90°， ∴∠ABE＋∠DBC＝180°， ∴∠GAB＝∠DBC. ∵BE＝BD，∴AG＝BD. 又∵AB＝BC，∴△AGB≌△BDC，∴CD＝BG. ∵BG＝2BF，∴CD＝2BF. ②请直接写出BF与CD的位置关系. ②解：BF⊥CD.理由如下： 如答案图2，延长BF到点G， 使FG＝FB，连接AG，延长EB到点M， 使BM＝BE，连接AM并延长交CD于点N. 同①可证得△AGB≌△BDC， ∴∠ABG＝∠BCD. ∵F是AE的中点，B是EM的中点， ∴BF∥AN， ∴∠ABG＝∠BAN＝∠BCD， ∴∠ANC＝180°－∠NAC－∠CAN ＝180°－∠NAC－∠ACB－∠BCD ＝180°－∠BAC－∠ACB ＝∠ABC＝90°， ∴AN⊥CD. ∵BF∥AN，∴BF⊥CD. $$第31课时　视图、投影 1.（2024·定西）如图所示，该几何体的主视图是（　 　） C 2.（2024·内蒙古）如图是由七个完全相同的小正方体组成的立体图形，选项给出的四个平面图形中不属于其三视图的是（　 　） C 3.（2024·吉林）南湖公园是长春市著名旅游景点之一，图1是公园中“四角亭”景观的照片，图2是其航拍照片，则图3是“四角亭”景观的（　 　） A.主视图 B.俯视图 C.左视图 D.右视图 B 4.如图所示，平地上一棵树高为6m，两次观察地面上的影子，第一次是当阳光与地面成60°角时，第二次是阳光与地面成30°角时，第二次观察到的影子比第一次长（　 　） A.（6－3）m B.4m C.6m D.（3－2）m B 5.（2024·德阳）走马灯，又称仙音烛，据史料记载，走马灯的历史起源于隋唐时期，盛行于宋代，是中国特色工艺品，常见于除夕、元宵、中秋等节日.在一次综合实践活动中，一同学用如图所示的纸片，沿折痕折合成一个棱锥形的“走马灯”，正方形做底，侧面有一个三角形面上写了“祥”字，当灯旋转时，正好看到“吉祥如意”的字样，则在A，B，C处依次写上的字可以是（　 　） A.吉　如　意 B.意　吉　如 C.吉　意　如 D.意　如　吉 A 6.如图，用小立方块搭一几何体，从正面看和从上面看得到的图形如图所示，这样的几何体最少要　 　个立方块，最多要　 　个立方块. 9 13 7.如图为一个几何体的三视图，主视图和左视图均为矩形，俯视图为正三角形，尺寸如图，则该几何体的侧面积为　 　. 36 8.用小立方块搭一个几何体，使它从正面、上面看到的形状图如图所示，从上面看到的形状图的小正方形中的字母表示在该位置小立方块的个数.试回答下列问题： （1）a，b，c各表示几？ 解：（1）由图形可知 a＝3，b＝1，c＝1. （2）这个几何体最少由几个小立方块搭成？最多呢？ （2）这个几何体最少由 4＋2＋3＝9（个）小立方块搭成； 最多由6＋2＋3＝11（个）小立方块搭成. （3）当d＝e＝1，f＝2时，画出这个几何体从左面看到的形状图. （3）如答案图所示. 9.如图，一路灯距地面5.6m，身高1.6m的小方从距离灯的底部（点O）5m的A处沿OA所在的直线行走到点C时，人影长度增长3m，求小方行走的路程. 解：记路灯在点G处，易知△AEB∽△OGB， ∴＝，即＝，解得AB＝2 m. 由题意可知，CD＝AB＋3＝5（m）， 易知△DFC∽△DGO，∴＝， 即＝，解得AC＝7.5 m. 答：小方行走的路程为7.5m. 10.（2024·宜宾）如图是正方体表面展开图.将其折叠成正方体后，距顶点A最远的点是（　 　） A.B点 B.C点 C.D点 D.E点 B 11.A，B两人位于东西朝向的大道上，相距6m，如图所示，在靠近B的区域，离大道2m高处有一摄像机C，镜头可视角度为90°，此时B恰好位于视野边缘，而A需向东前进1m才能刚好出现在视野边缘；若A，B两人保持原位置不变，摄像机需向上移动　 　m， 再适当旋转镜头，使A，B两人刚好处于视野边缘. （－2） 12.如图1，平面内有两条直线l1，l2，点A，B在直线l1上，点C，D在直线l2上，过点A，B分别作直线l2的垂线，垂足分别为A1，B1，我们把线段A1B1叫做线段AB在直线l2上的正投影，其长度可记作T（AB，CD）或. 特别地，线段AC在直线l2上的正投影就是线段A1C. 请依据上述定义解决如下问题： （1）如图2，在锐角△ABC中，AB＝5，T（AC，AB）＝3，则T（BC，AB）＝　 　； 2 （2）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，T（AC，AB）＝4， T（BC，AB）＝9，求△ABC的面积； 解：（2）如答案图1，过点C作CF⊥AB于点F. ∵∠ACB＝90°，CF⊥AB，∴△ACF∽△CBF， ∴＝，即CF2＝AF·BF. ∵T（AC，AB）＝4，T（BC，AB）＝9， ∴AF＝4，BF＝9， ∴CF＝6（负值舍去）， ∴S△ABC＝AB·CF＝×（4＋9）×6＝39. （3）如图4，在钝角△ABC中，∠A＝60°，点D在AB边上，∠ACD＝90°，T（AD，AC）＝2，T（BC，AB）＝6，求T（BC，CD）. （3）如答案图2，过点C作CM⊥AB于点M， 过点B作BN⊥CD交CD的延长线于点N. ∵∠ACD＝90°，T（AD，AC）＝2， T（BC，AB）＝6， ∴AC＝2，BM＝6.∵∠A＝60°，CM⊥AB，∠ACD＝90°， ∴AM＝1，CM＝，∠CDA＝30°， ∴CD＝2，MD＝3，∴BD＝BM－MD＝3. ∵∠BDN＝∠CDA＝30°，∴DN＝， ∴CN＝CD＋DN＝2＋＝， ∴T（BC，CD）＝CN＝. $$第32课时　几何（网格、尺规）作图 1.（2024·深圳）在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线AD平分∠BAC的是（　 　） A.①② B.①③ C.②③ D.只有① B 2.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在格点上，如果将△ABC先沿y轴翻折，再向上平移3个单位长度，得到△A'B'C'，那么点B的对应点B'的坐标为（　 　） A.（1，7） B.（0，5） C.（3，4） D.（－3，2） C 3.如图，在△ABC中，按以下步骤作图： ①分别以点B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N； ②作直线MN交边AB于点E. 若AC＝5，BE＝4，∠B＝45°， 则AB的长为（　 　） A.4＋2 B.6 C.4＋ D.7 D 4.（2024·泰安）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，分别以顶点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧分别相交于点M，N，作直线MN分别与BC，AC交于点E，F；以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点H，G， 再分别以点H，G为圆心，大于HG的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP.若射线AP恰好经过点E，则下列四个结论：①∠C＝30°；②AP垂直平分线段BF；③CE＝2BE；④S△BEF＝S△ABC.其中正确结论的个数有（　 　） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 D 5.（2024·甘孜州）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，按如下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于DE长为半径画弧，两弧在∠ABC的内部相交于点F，作射线BF交AC于点G.则∠ABG的大小为　 度. 35　 6.如图，在平面直角坐标系中，若将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A1B1C，则点B的对应点B1的坐标为　 　. （2，－1） 7.如图，在菱形ABCD中，按如下步骤作图： ①分别以点C，D为圆心，大于CD长为半径作弧，两弧交于点M，N； ②作直线MN，且MN恰好经过点A， 与CD交于点E，连接BE. 若AD＝4，则BE的长为　 . 2　 8.（2024·龙东）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（－1，1），B（－2，3），C（－5，2）. （1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点B1的坐标； 解：（1）如图，△A1B1C1为所求， B1. （2）画出△ABC绕点A逆时针旋转90°后得到的△AB2C2，并写出点B2的坐标； （2）如图，△AB2C2为所求， B2. （3）在（2）的条件下，求点B旋转到点B2的过程中所经过的路径长（结果保留π）. （3）AB＝＝， 点B旋转到点B2的过程中 所经过的路径长为＝π. 9.如图，在正方形ABCD中，直线l1经过点D，与AB交于点E. 解：（1）作图如图所示. （1）用直尺和圆规作图：过点C作DE的垂线l2，垂足为G，交AD于点F；（不写作法，保留作图痕迹） （2）同学们作图完成后，通过测量发现DE＝CF，并且推理论证了该结论，请你根据他们的推理论证过程完成以下证明： 如图，在正方形ABCD中，DE，CF分别是直线l1，直线l2被一组对边所截得的线段，当DE⊥CF时，求证：DE＝CF. 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝DC，∠EAD＝∠CDF＝90°. ∴①　 　＋∠AED＝90°. ∵DE⊥CF， ∴∠FGD＝90°. ∴②　 　. ∠ADE ∠ADE＋∠DFG＝90° ∴∠AED＝∠DFG. 在△DAE和△CDF中， ∴△DAE≌△CDF（AAS）. ∴DE＝CF. 同学们进一步研究发现，一条直线被正方形的一组对边所截得的线段与另一条直线被正方形的另一组对边所截得的线段垂直时均具备此特征，请你依据题目中的相关描述，完成下列真命题：两条直线分别被正方形的一组对边所截，若所截得的线段 ④　 　. 互相垂直，那么这两条线段相等 10.（2024·长春）如图，在△ABC中，O是边AB的中点.按下列要求作图： ①以点B为圆心，适当长为半径画弧，交线段BO于点D，交BC于点E； ②以点O为圆心，BD长为半径画弧，交线段OA于点F； ③以点F为圆心，DE长为半径画弧，交前一条弧于点G，点G与点C在直线AB同侧； ④作直线OG，交AC于点M. 下列结论不一定成立的是（　 　） A.∠AOM＝∠B B.∠OMC＋∠C＝180° C.AM＝CM D.OM＝AB D 11.线段AB，MN的端点均在正方形的网格格点上，如图建立平面直角坐标系，线段MN由线段AB绕点P旋转得到，点A（3，1）的对应点M的坐标为（2，2），则点P的坐标是　 　. （2，1） 12.学习了图形的旋转等相关知识后，小高同学进行了一次拓展性研究.他发现，若一个四边形有一组对角均为90°，且这组对角中有一个直角的两边相等，则连接这组对角的顶点，此对角线平分另一个直角.他的解决思路是通过作一个角等于已知角等知识证明两个三角形全等得出的结论.请根据他的思路完成以下作图与填空： （1）用直尺和圆规作图：如图，以AD为边在四边形ABCD外部作∠DAE＝∠BAC，AE＝AC，连接DE；（保留作图痕迹） 解：（1）作图如答案图所示. （2）已知：如图，AC是四边形ABCD的对角线，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，AC＝AE，∠BAC＝∠DAE.求证：∠ACB＝∠ACD. 证明：∵∠BAD＝∠BCD＝90°， ∴∠ABC＋①　 　＝180°. ∵AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，AC＝AE， ∠ADC ∴△ABC≌△ADE（SAS）， ∴∠ACB＝∠AED， ∠ABC＝②　 　， ∴③　 　＋∠ADC＝180°， ∴C，D，E三点共线. 又∵AC＝AE， ∠ADE ∠ADE ∴∠ACD＝∠AED＝∠ACB， 即∠ACB＝∠ACD. 小高再进一步研究发现，线段CD，BC，AC存在一定的数量关系，请你根据以上信息，直接写出CD，BC，AC三者之间的数量关系为④　 　. CD＋BC＝AC $$