第四章　图形的性质 课件 2025年中考数学一轮总复习

第17课时　几何初步 1.（2024·北京）如图，直线AB和CD相交于点O，OE⊥OC，若∠AOC＝58°，则∠EOB的大小为（　 　） A.29° B.32° C.45° D.58° B 2.如图，直线AC∥BD，AO，BO分别是∠BAC，∠ABD的平分线，那么∠BAO与∠ABO之间的大小关系一定为（　 　） A.互余 B.相等 C.互补 D.不等 A 3.下列命题是真命题的有（　 ） ①过两点有且只有一条直线； ②相等的角是对顶角； ③两条直线被第三条直线所截，同位角相等； ④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 B　 4.（2024·泰安）如图，直线l∥m，等边三角形ABC的两个顶点B，C分别落在直线l，m上.若∠ABE＝21°，则∠ACD的度数是（　 　） A.45° B.39° C.29° D.21° B 5.（1）（2024·吉林）如图，从长春站去往胜利公园，与其他道路相比，走人民大街路程最近，其蕴含的数学道理是　 　； 两点之间，线段最短 （2）直线上依次有A，B，C，D四个点，AD＝7，AB＝2，若AB，BC，CD可构成以BC为腰的等腰三角形，则BC的长为　 　； （3）当时钟指向下午2：40时，时针与分针的夹角是 　 　度； （4）一个角的补角比这个角的2倍大60°，则这个角的度数为　 　. 2或2.5 160 40° 6.（1）如图，已知CD＝AD＝BC，E，F分别是AC，BC的中点，且BF＝40cm，则EF的长度为　 　cm； 64 （2）如图，直线AB，CD，EF相交于点O，CD⊥EF，OG平分∠BOE，且∠EOG＝36°，则∠AOC的度数为 　 　. 18° 7.（1）如图，AB∥CD，EF⊥DB，垂足为E，∠1＝50°，则∠2的度数为　 　度； 40 （2）如图，已知AB∥CD，∠ACD＝60°，∠BAE∶∠CAE＝2∶3，∠FCD＝4∠FCE.若∠AEC＝78°，则∠AFC的度数为　 　. 88° 8.如图，已知AB∥CD，BC平分∠ABD，交AD于点E. （1）求证：∠1＝∠3； （1）证明：∵BC平分∠ABD， ∴∠1＝∠2. ∵AB∥CD， ∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3. （2）若AD⊥BD于点D，∠CDA＝28°，求∠3的度数. （2）解：∵AD⊥BD，∴∠ADB＝90°. ∵∠CDA＝28°， ∴∠CDB＝∠CDA＋∠ADB ＝28°＋90°＝118°. ∵∠1＝∠3， ∴∠3＝（180°－∠CDB）＝31°. 9.如图，已知AB∥PF，∠FPB＝∠C，∠FED＝30°，∠AGF＝80°，FH平分∠EFG. （1）证明：AB∥CD； （1）证明：∵∠FPB＝∠C， ∴CD∥PF. ∵AB∥PF，∴AB∥CD. （2）求∠PFH的度数. （2）解：∵DC∥FP，∠FED＝30°，∴∠EFP＝30°. ∵AB∥FP，∠AGF＝80°，∴∠GFP＝80°， ∴∠GFE＝∠GFP＋∠EFP ＝80°＋30°＝110°. ∵FH平分∠EFG， ∴∠GFH＝∠GFE＝55°， ∴∠PFH＝∠GFP－∠GFH＝80°－55°＝25°. 10.（2024·南开）如图，已知AB∥CD，∠BAC的角平分线与CD交于点E，F为射线AB上的一个动点，连接EF，过点C作CG⊥EF，且FG＝EG.若∠AEF＝α，则∠ECG的度数为（　 　） A.45°－ B.30°＋α C.45°－α D.2α A 11.如图，AD∥BC，BD∥AE，DE平分∠ADB，且ED⊥CD.若∠AED＋∠BAD＝127.5°，则∠BCD－∠EAB＝　 　. 37.5° 12.如图，AB∥CD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，点G在CD上，点P在直线EF右侧，且在直线AB和CD之间，连接PE，PG. （1）求证：∠EPG＝∠BEP＋∠PGD； （1）证明：如答案图，延长EP交CD于点M. ∵AB∥CD， ∴∠BEP＝∠GMP. ∵∠EPG是△PGM的外角， ∴∠EPG＝∠PMG＋∠PGD＝∠BEP＋∠PGD. （2）如图1，连接EG，若EG平分∠PEF，∠BEP＋∠PGE＝110°，∠PGD＝∠EFD，∠PGD＝30°，求∠BEP的度数； （2）解：∵∠BEP＋∠PGE＝110°， ∴∠PGE＝110°－∠BEP. 由（1）知，∠EPG＝∠BEP＋∠PGD， ∵∠PGD＝∠EFD，∠PGD＝30°， ∴∠EFD＝60°，∠EPG＝∠BEP＋30°. ∵AB∥CD，∴∠EFD＋∠BEF＝180°， ∴∠BEF＝120°.∵EG平分∠PEF， ∴∠PEG＝∠PEF＝（120°－∠BEP）＝60°－∠BEP. ∵∠PEG＋∠EPG＋∠PGE＝180°， ∴60°－∠BEP＋∠BEP＋30°＋110°－∠BEP＝180°， 解得∠BEP＝40°. （3）如图2，若EF平分∠PEA，∠PGD的平分线GN所在的直线与EF相交于点H，求∠EPG与∠EHG之间的数量关系，并说明理由. （3）解：∠EPG＋2∠EHG＝180°.理由如下： ∵EF平分∠PEA，∴可设∠AEF＝∠PEF＝α. ∵AB∥CD，∴∠GFE＝∠AEF＝α. 在四边形PGFE中， ∠PGF＝360°－∠EPG－2α， ∴∠PGD＝180°－（360°－∠EPG－2α）＝∠EPG＋2α－180°.∵∠EFG是△FGH的外角， ∴∠FGH＝∠EFG－∠EHG＝α－∠EHG. 又∵GN平分∠PGD， ∴∠PGD＝2∠NGD＝2∠FGH， 即∠EPG＋2α－180°＝2（α－∠EHG）， 整理可得，∠EPG＋2∠EHG＝180°. $$第18课时　三角形的相关概念与性质 1.（2024·一中）以下列长度的三条线段为边，能组成三角形的是（　 　） A.2，3，5 B.3，4，5 C.3，3，6 D.3，4，9 B 2.（2024·南开）下列说法错误的是（　 　） A.两直线平行，同位角相等 B.等腰三角形是轴对称图形，对称轴是一边上的中线 C.锐角三角形的高一定在三角形的内部 D.若△ABC的三个内角满足∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，则△ABC是直角三角形 B 3.如图，AD，AE，AF分别是△ABC的中线、角平分线和高，则下列各式中错误的是（　 ） A.BC＝2CD B.∠BAE＝∠BAC C.∠AFB＝90° D.AE＝CE D　 4.如图，将一副直角三角板重叠摆放，其中∠B＝30°，∠CDE＝45°，且DE⊥AB于点D，交BC于点F，则∠DCF的度数为（　 　） A.25° B.55° C.35° D.15° D 5.（2024·凉山州）如图，在△ABC中，∠BCD＝30°，∠ACB＝80°，CD是边AB上的高，AE是∠CAB的平分线，则∠AEB的度数是　 　. 100° 6.（1）（2024·浙江）如图，D，E分别是△ABC边AB，AC的中点，连接BE，DE.若∠AED＝∠BEC，DE＝2，则BE的长为　 　； 4 （2）（2024·南开）如图，△ABC为钝角三角形，分别过点A，B作BC，AC边上的高AD，BE，已知AC＝10，BC＝5，BE＝3，则AD的长为　 　. 6 7.（2024·巴蜀）如图，在△ABC中，点D为BC中点，连接AD.点E为AB上一点，连接CE交AD于点F.若CF＝3EF，S△AEF＝2，则S△ABC＝　 　. 24 8.（2024·南开）如图，在△ABC中，AB＝AC，CD是△ABC的角平分线，过点B作射线BE∥CD. （1）用直尺和圆规完成以下基本作图：在BC的下方作∠BCH＝∠ADC，射线CH交BE于点H；（保留作图痕迹，不写作法和结论） （1）解：如答案图所示. （2）在（1）所作图形中，若∠A＝36°，∠CDB＝72°，求证：AC＝HB.（补全下面的证明过程） 证明：∵AB＝AC， ∴①　 　. 在△ABC中，∠A＝36°， ∴∠ABC＝＝72°. ∠ACB＝∠ABC ∵∠CDB＝72°，∴∠CDB＝∠ABC＝72°， ∴②　 　. ∵CD是△ABC的角平分线， ∴∠ACD＝∠BCD. ∵③　 　， ∴∠CBE＝∠BCD， ∴④　 　. CB＝CD BE∥CD ∠CBH＝∠DCA 在△ADC和△HCB中， ∴△ADC≌△HCB（⑤　 　）， ∴AC＝HB. ASA 9.如图1，在△ABC中，∠A＝60°，∠CBM，∠BCN是△ABC的外角，∠CBM，∠BCN的平分线BD，CD交于点D. （1）求∠D的度数； （1）解：∵∠A＝60°，∴∠ABC＋∠ACB＝120°， ∴∠CBM＋∠BCN＝360°－120°＝240°. 又∵BD，CD是∠CBM，∠BCN的平分线， ∴∠DBC＋∠BCD＝（∠CBM＋∠BCN）＝120°， ∴∠D＝180°－（∠DBC＋∠BCD）＝60°. （2）证明：∵DE⊥BD，BF∥DE， ∴∠DBF＝180°－90°＝90°， 即∠FBC＋∠DBC＝90°. ∴∠ABF＋∠MBD＝90°. 又∵∠MBD＝∠DBC，∴∠ABF＝∠FBC， ∴BF是∠ABC的平分线. （2）过点D作DE⊥BD，交AN于点E，垂足为D，过点B作BF∥DE交DC的延长线于点F，如图2，求证：BF是∠ABC的平分线. 10.（2024·南开）如图，点D为△ABC边AB上一点，点M，N为边AC，BC上的点，将△ADM，△BDN分别沿着DM，DN翻折，得到△A'DM和△B'DN，若MA'∥NB'，设∠C＝α，则∠MDN的度数为（　 　） A.180°－α B.180°－α C.90°＋α D.90°＋α A 11.（1）如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线，CE是∠ACB的平分线，FG为△ACE的中位线，连接DF.若∠DFG＝108°，则∠AED＝　 　； 126° （2）（2024·八中）如图，△ABC的两条角平分线CF，AE相交于点D，且∠BAC＝90°，过点A作AM⊥AE交CF的延长线于点M.则下列结论： ①若∠B＝60°，则∠BFD＝∠AEC； ②AC＝AF＋EC；③2∠ADC－∠B＝180°；④∠M＝∠B. 其中正确的有　 　.（填序号） ①③④ 12.在△ABC中，三个内角的平分线交于点O，过点O作OD⊥OB，交边AB于点D. （1）如图1. ①若∠ABC＝50°， 则∠AOC＝　 　， ∠ADO＝　 　； 115° 115° ②猜想∠AOC与∠ADO的关系，并说明你的理由； 解：（1）②∠AOC＝∠ADO，理由如下： 设∠ABC＝α， ∴∠BAC＋∠BCA＝180°－α. ∵在△ABC中，三个内角的平分线交于点O， ∴∠OAC＋∠OCA＝（∠BAC＋∠BCA）＝90°－α， ∴∠AOC＝180°－（∠OAC＋∠OCA）＝90°＋α. ∵OB平分∠ABC， ∴∠ABO＝∠ABC＝α. ∵OD⊥OB，∴∠BOD＝90°， ∴∠ADO＝∠BOD＋∠ABO＝90°＋α. ∴∠AOC＝∠ADO. （2）如图2，作∠ABC外角∠ABE的平分线交CO的延长线于点F.若∠ADO＝110°，∠F＝32°，求∠AOD的度数. （2）∵BF平分∠ABE，CF平分∠ACB， ∴∠FBE＝∠ABE，∠FCB＝∠ACB， ∴∠FBE＝∠F＋∠FCB＝ （∠BAC＋∠ACB）＝∠BAC＋∠FCB， ∴∠BAC＝2∠F＝64°， ∴∠DAO＝∠BAC＝32°， ∴∠AOD＝180°－∠ADO－∠DAO＝38°. $$第19课时　全等三角形 1.如图，点E，F在BC上，BE＝CF，∠B＝∠C，添加一个条件，不能证明△ABF≌△DCE的是（　 　） A.∠A＝∠D B.∠AFB＝∠DEC C.AB＝DC D.AF＝DE D 2.如图，已知△CAD≌△CBE.若∠A＝20°，∠C＝60°，则∠CEB的度数为（　 　） A.80° B.90° C.100° D.110° C 3.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD与BE相交于点F.若BF＝AC，则∠ABC的大小是（　 　） A.40° B.45° C.50° D.60° B 4.如图，在四边形ABCD中，AC，BD为对角线，且AC＝AB，∠ACD＝∠ABD，AE⊥BD于点E.若BD＝6.4，CD＝5.2，则DE的长度为（　 　） A.1.2 B.0.6 C.0.8 D.1 B 5.（2024·成都）如图，△ABC≌△CDE，若∠D＝35°，∠ACB＝45°，则∠DCE的度数为　 　. 100° 6.（1）如图，已知△ABC≌△A'BC'，且A，A'，C三点在一条直线上，∠ABC＝107°，∠CA'C'＝81°，则∠A'BC＝　 　； 26° （2）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是BC边上的一点，过点B，C作BE⊥AD，CF⊥AD分别交直线AD于点E，F.若BE＝5，CF＝3，则EF＝　 　. 2 7.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＜90°，点D在边BC上，CD＝2BD，点E，F在线段AD上，∠BED＝∠CFD＝∠BAC.若△ABC的面积为9，则S△ABE＋S△CDF＝　 　. 6 8.如图，在△ABC中，点D是BC上一点，且AD＝AB，AE∥BC，∠BAD＝∠CAE，连接DE交AC于点F. （1）若∠B＝70°，求∠C的度数； 解：（1）∵∠B＝70°，AB＝AD， ∴∠ADB＝∠B＝70°，∴∠BAD＝40°. ∵∠CAE＝∠BAD，∴∠CAE＝40°. ∵AE∥BC，∴∠C＝∠CAE＝40°. （2）若AE＝AC，AD平分∠BDE是否成立？请说明理由. （2）成立.理由如下：∵∠BAD＝∠CAE， ∴∠BAD＋∠CAD＝∠CAE＋∠CAD， 即∠BAC＝∠DAE. ∵AB＝AD，AC＝AE， ∴△BAC≌△DAE（SAS），∴∠B＝∠ADE. ∵∠B＝∠ADB，∴∠ADE＝∠ADB，即AD平分∠BDE. 9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D在直线AB上，点E在直线AC上，连接BE，DE，且BE＝DE，直线DE交BC于点F. （1）如图1，当点D在线段AB上时，AD＝，AC＝4，求BE的长； （1）解：如答案图1， 过点D作DG⊥AC于点G. ∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠CBA＝45°. ∵BE＝DE，∴∠EDB＝∠EBD， ∴∠A＋∠AED＝∠ABC＋∠CBE，∴∠AED＝∠CBE. ∵DG⊥AE，∴∠DGE＝90°＝∠BCE， ∴△DGE≌△ECB（AAS），∴DG＝CE. 在Rt△ADG中，AD＝，∠A＝45°， ∴DG＝AG＝CE＝1，∴AC＝GE＝4. 在Rt△DGE中，DE＝＝， ∴BE＝DE＝. （2）如图2，当点D是AB的中点时，求证：CE＋CF＝BF. （2）证明：如答案图2，过点D作DN⊥AC于点N，作DM⊥BC于点M.则易得DN＝BC，DM＝AC，BM＝CM＝DM， ∴DN＝DM＝BM＝CM. 由（1）知，△DNE≌△ECB， ∴DN＝EC，∴EC＝BM＝DM. ∵DM⊥BC，AC⊥BC， ∴CE∥DM，∴∠CEF＝∠MDF. ∵∠CFE＝∠MFD，CE＝DM， ∴△ECF≌△DMF（AAS）， ∴CF＝FM， ∴CE＋CF＝BM＋MF＝BF. 10.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC交AC于点E，交AD于点G，过点A作AF⊥BE于点H，交BC于点F，下列结论： ①∠AGE＝∠AEG；②AE＝DF； ③GD＋DC＝AB；④S△ABF＝2S△AFC＋S△AGE. 其中正确的有（　 　） A.①② B.②④ C.①②③ D.①③④ D 11.（2024·巴蜀）如图，点C在线段BD上，AB⊥BD于点B，ED⊥BD于点D.∠ACE＝90°，且AC＝5 cm，CE＝6 cm，点P以2 cm/s的速度沿A→C→E向终点E运动，同时点Q以3 cm/s的速度从点E开始，在线段EC上往返运动 （即沿E→C→E→C→…运动），当点P到达终点时，P，Q同时停止运动.过点P，Q分别作BD的垂线，垂足为M，N，设运动时间为t s.当以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等时，t的值为　 　. 1或或 12.（2024·八中）已知AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE. （1）如图1，求证：BD＝CE； （1）证明：∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAD＋∠DAC＝∠CAE＋∠DAC， ∴∠BAD＝∠CAE. ∵AB＝AC，AD＝AE， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD＝CE. （2）如图2，若∠BAC＝90°，点D，E分别在AB，AC上，连接BE，过点D作DH⊥BE于点H，过点A作AF∥BC交HD的延长线于点F，连接BF，求证：BF＋DF＝BE； （2）证明：如答案图1，过点A作AM⊥DE于点M，延长AM交BE于点N，∵∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°. ∵∠BAC＝∠DAE＝90°， AD＝AE，AM⊥DE， ∴∠DAN＝∠EAN＝45°. ∵AF∥BC，∴∠DAF＝∠ABC＝45°， ∴∠EAN＝∠DAF＝45°. ∵∠DHB＝∠BAE＝90°， ∠DBH＝∠EBA， ∴∠BDH＝∠BEA. ∵∠BDH＝∠ADF， ∴∠ADF＝∠BEA，即∠ADF＝∠AEN， ∴△AEN≌△ADF（ASA）， ∴EN＝DF，AN＝AF. 又∵AB＝AB，∠BAN＝∠BAF＝45°， ∴△BAN≌△BAF（SAS）， ∴BN＝BF， ∴BF＋DF＝BN＋NE＝BE. （3）如图3，若∠BAC＝90°，延长BD和EC相交于点F，过点A作AQ⊥BD于点Q，若FC＝2.4，BF＝7.6，求BQ的长. （3）解：如答案图2，过点A作AG⊥EF于点G， 同（1）可证△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，S△ABD＝S△ACE， ∴BD·AQ＝CE·AG，∴AQ＝AG. 在Rt△AQB和Rt△AGC中， ∴Rt△AQB≌Rt△AGC（HL）， ∴BQ＝CG，∠BAQ＝∠CAG. ∵∠BAQ＋∠QAC＝90°， ∴∠CAG＋∠QAC＝90°， 即∠QAG＝90°. ∵AQ⊥BF，AG⊥EF，∴四边形AGFQ为矩形. ∵AQ＝AG， ∴四边形AGFQ为正方形，∴FG＝FQ. 设BQ＝CG＝x， 则FQ＝FG＝CF＋CG＝2.4＋x. ∵BF＝BQ＋FQ， ∴7.6＝x＋2.4＋x， ∴x＝2.6，∴BQ＝2.6. $$第20课时　等腰三角形 1.（2024·青海）如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OB，PD＝2，则点P到OA的距离是（　 　） A.4 B.3 C.2 D.1 C 2.（2024·云南）已知AF是等腰△ABC底边BC上的高，若点F到直线AB的距离为3，则点F到直线AC的距离为（　 　） A. B.2 C.3 D. C 3.（2024·育才）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝6，D为边BC的中点，点E，F分别在边AB，AC上，AE＝CF，则四边形AEDF的面积为（　 　） A.18 B.9 C.9 D.6 C 4.（2024·兰州）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝130°，DA⊥AC，则∠ADB＝（　 　） A.100° B.115° C.130° D.145° B 5.（2024·巴蜀）已知一个等腰三角形的两边a，b满足＋（3a＋b－12）2＝0，则此三角形的周长为　 　. 14 6.（1）（2024·内江）如图，在△ABC中，∠DCE＝40°，AE＝AC，BC＝BD，则∠ACB的度数为 　 　； 100° （2）（2024·南开）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在△ABC外，连接BD交AC于点E，连接AD，∠D＝2∠CBD，若∠BAC＝30°，∠EAD＝28°，则∠AEB的度数为　 　； 122° （3）如图，在等腰△ABC中，∠ABC＝116°，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，BC的垂直平分线PQ交BC于点P，交AC于点Q，连接BE，BQ，则∠EBQ的度数为　 　. 52° 7.（1）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，点E在AC边上，∠ADE＝∠AED.若∠BAD＝24°，则∠CDE＝　 　； 12° （2）如图，过边长为1的等边三角形ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连接PQ交AC边于点D，则DE的长为　 　. 8.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC的平分线交AC于点D，过点A作AE∥BC交BD的延长线于点E. （1）若∠BAC＝50°，求∠E的度数； （1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝50°， ∴∠ABC＝∠ACB＝（180°－∠BAC）＝65°. ∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABC＝32.5°. ∵AE∥BC，∴∠E＝∠CBD＝32.5°. （2）若F是DE上的一点，且AD＝AF，求证：BF＝DE. （2）证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD. ∵AE∥BC，∴∠E＝∠CBD， ∴∠ABD＝∠E. ∵AD＝AF，∴∠ADF＝∠AFD， ∴∠ADB＝∠AFE， ∴△ABD≌△AEF（AAS），∴BD＝EF， ∴BD＋DF＝EF＋DF，∴BF＝DE. 9.（2024·八中）如图1，在等边三角形ABC中，点D在BC上，点E在AB上，CE，AD交于点F，CG⊥AD于点G，延长CG交AB于点H，∠HCE＝30°. （1）求证：AE＝BD； 证明：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC， ∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°. ∵CG⊥AD，∠HCE＝30°， ∴CF＝2FG，∠CFG＝60°， ∴∠CAF＋∠ACF＝∠CAF＋∠BAD， ∴∠ACF＝∠BAD. 在△CAE和△ABD中， ∴△CAE≌△ABD（ASA）， ∴AE＝BD. （2）如图2，连接BF，若BF⊥CE，求证：点F是AG的中点. （2）如答案图，延长BF交AC于点Q， ∵BF⊥CE，∠ECH＝30°， ∴∠FBC＋∠BCG＝60°. ∵∠ABF＋∠FBC＝∠ABC＝60°， ∴∠ABF＝∠BCG. 在△ABQ和△BCH中， ∴△ABQ≌△BCH（ASA）， ∴AQ＝BH， ∴AB－BH＝AC－AQ， ∴AH＝CQ. 在△CFQ和△AGH中， ∴△CFQ≌△AGH（AAS）， ∴AG＝CF. 由（1）知CF＝2FG，∴AG＝2FG， ∴点F是AG的中点. 10.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上的一点，∠BAD＝28°，在AD的右侧作△ADE，使得AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE，DE交AC于点O.若CE∥AB，则∠DOC的度数为（　 　） A.124° B.102° C.92° D.88° C 11.如图，△ABC是等边三角形，点D为BC的中点，点P在△ABC的内部，连接PA，PB，PC，PD，∠BPC＝105°，PC＝2，PB＝2，则△APD的面积为　 　. 12.（2024·牡丹江）数学老师在课堂上给出了一个问题，让同学们探究.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D在直线BC上，将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE，过点E作EF∥BC，交直线AB于点F. （1）当点D在线段BC上时，如图1，求证：BD＋EF＝AB； 【分析问题】 某同学在思考这道题时，想利用AD＝AE构造全等三角形，便尝试着在AB上截取AM＝EF，连接DM，通过证明两个三角形全等，最终证出结论； 【推理证明】写出图1的证明过程； （1）证明：如图1，在AB边上截取AM＝EF，连接DM. 在Rt△ABC中，∠B＝90°－∠BAC＝90°－30°＝60°. ∵EF∥BC，∴∠EFB＝∠B＝60°. 又∵∠EAD＝60°，∴∠EFB＝∠EAD. ∵∠BAD＝∠EAD－∠EAF， ∠AEF＝∠EFB－∠EAF， ∴∠BAD＝∠AEF. 又∵AD＝EA，AM＝EF， ∴△DAM≌△AEF（SAS）.∴AF＝DM. ∴∠AMD＝∠EFA＝180°－∠EFB＝180°－60°＝120°. ∴∠BMD＝180°－∠AMD＝180°－120°＝60°. ∵∠B＝60°，∴∠BMD＝∠B＝∠BDM. ∴△BMD是等边三角形，∴BD＝BM＝DM. ∵AB＝AM＋BM，∴BD＋EF＝AB. 【探究问题】 （2）当点D在线段BC的延长线上时，如图2；当点D在线段CB的延长线上时，如图3，请直接写出线段BD，EF，AB之间的数量关系；（不需要证明） （2）解：当点D在线段BC的延长线上时，AB＝BD－EF； 当点D在线段CB的延长线上时，AB＝EF－BD. 提示：可根据答案图1，2证明. （答案图1） （答案图2） 【拓展思考】 （3）在（1）（2）的条件下，若AC＝6，CD＝2BD，则EF＝　　　. （3）解：10或18.提示：如题图1， ∵∠BAC＝30°，∠C＝90°，AC＝6， ∴BC＝6，∴AB＝12. ∵CD＝2BD，BC＝BD＋CD，∴BD＝BC＝2. 由（1）可知，BD＋EF＝AB， ∴EF＝AB－BD＝12－2＝10； 如答案图1所示，当点D在线段BC的延长线上时， ∵CD＜BD，与CD＝2BD矛盾， ∴不符合题意； （答案图1） 如答案图2所示，当点D在线段CB的延长线上时， ∵CD＝2BD＝BD＋BC，BC＝6， ∴BD＝BC＝6， 由（2）可知，AB＝EF－BD， ∵AB＝2BC＝12， ∴EF＝AB＋BD＝12＋6＝18. 综上所述，EF＝10或18. （答案图2） $$第21课时　直角三角形与勾股定理 1.（2024·外语校）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（　 　） A.∠A＋∠B＝∠C B.∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3 C.a2＝c2－b2 D.a∶b∶c＝∶2∶ D 2.如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，DF⊥AC，垂足为F，DE⊥AB，垂足为E.若DE＝DF＝1，则△ABD的面积与△ACD的面积的比值为（　 　） A. B.2 C. D.3 C 3.（2024·南开）如图1，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，以这个直角三角形两直角边为边作正方形.图2由图1的两个小正方形向外分别作直角边之比为4∶3的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形，…，按此规律，则图6中所有正方形的面积和为（　 　） A.200 B.175 C.150 D.125 B 4.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝8，线段DE的两个端点D，E分别在边AC，BC上滑动，且DE＝6.若点M，N分别是DE，AB的中点，则MN的最小值为（　 　） A.10－ B.－3 C.2－6 D.3 B 5.（1）直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边长是　 　； （2）在△ABC中，AB＝10，AC＝17，BC边上的高AD＝8，则△ABC的面积为　 　. 4或 36或84 6.（1）（2024·甘孜州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝4，折叠△ABC，使点A与点B重合，折痕DE与AB交于点D，与AC交于点E，则CE的长为　 　； 3 （2）如图，在桌面上的长方体中，AB为8m，BC为6m，BF为4m，点M在棱HG上，且HM＝3MG.一只蚂蚁从点A出发沿长方体的表面爬到M点，则它爬行的最短路程为　 　m. 2 7.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点F为BC上一点，将△DFC沿DF翻折，点C的对应点恰好是点O，连接AF.若AD＝3，则AF的长为　 　. 8.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于点G，CD＝AB，连接DE. （1）求证：CG＝EG； （1）证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°. ∵点E是AB的中点，∴DE＝BE＝AB. ∵CD＝AB，∴CD＝DE.∵DG⊥CE，∴CG＝EG. （2）已知BC＝13，CD＝5，求△BEC的面积. （2）解：如答案图，过点E作EF⊥BC，垂足为F， ∵BC＝13，DC＝5，∴BD＝BC－DC＝8. ∵BE＝DE，EF⊥BD，∴DF＝BD＝4. 在Rt△EFD中，DE＝DC＝5， ∴EF＝＝＝3， ∴S△BEC＝BC·EF＝×13×3＝. 9.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，∠CBE＝45°，BE分别交AC，AD于点E，F. （1）如图1，若AB＝13，BC＝10，求AF的长度； （1）解：∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝BC＝×10＝5. 在Rt△ABD中，AD＝＝12. ∵∠BFD＝90°－∠CBE＝45°＝∠CBE， ∴DF＝DB＝5，∴AF＝AD－DF＝12－5＝7. （2）如图2，若AF＝BC，求证：BF2＋EF2＝AE2. （2）证明：过点C作CM⊥CB，交BE的延长线于点M，连接CF，如答案图， ∴∠M＝90°－∠1＝45°＝∠1， ∴CM＝CB＝AF. ∵∠2＝∠3＝∠1，∴∠2＝∠M. 在△CME和△AFE中， ∴△CME≌△AFE（AAS），∴CE＝AE. ∵AB＝AC，AD⊥BC，∴CF＝BF， ∴∠6＝∠3＝45°，即∠CFE＝90°， ∴在Rt△CEF中，CF2＋EF2＝CE2， ∴BF2＋EF2＝AE2. 10.（2024·宜宾）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，以BC为边作Rt△BCD，BC＝BD，点D与点A在BC的两侧，则AD的最大值为（　 　） A.2＋3 B.6＋2 C.5 D.8 D 解析：如答案图，把△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△HBD，连接AH，∴AB＝BH＝3，AC＝DH＝2，∠ABH＝90°，∴AH＝＝6.∵AD≤DH＋AH（A，H，D三点共线时取等号），∴AD的最大值为6＋2＝8.故选D. 11.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝5，点E，F分别为边AB与BC上两点，连接EF，将△BEF沿着EF翻折，使得点B落在AC边上的点D处，连接BD交EF于点O.若AD＝2，则EO的值为　 　. 12.已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠MAN＝∠BAC，∠MAN在∠BAC的内部，点M，N在BC上，点M在点N的左侧，探究线段BM，NC，MN之间的数量关系. （1）如图1，当∠BAC＝90°时，探究如下： 由∠BAC＝90°，AB＝AC可知， 将△ACN绕点A顺时针旋转90°，得到△ABP，则CN＝BP且∠PBM＝90°，连接PM， 易证△AMP≌△AMN，可得MP＝MN， 在Rt△PBM中，BM2＋BP2＝MP2， 则有BM2＋NC2＝MN2； （2）当∠BAC＝60°时，如图2；当∠BAC＝120°时，如图3，分别写出线段BM，NC，MN之间的数量关系，并选择图2或图3进行证明. 解：（2）图2的结论是： BM2＋NC2＋BM·NC＝MN2. 证明如下： ∵AB＝AC，∠BAC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°. 如答案图1，将△ACN绕点A顺时针旋转60°，得到△ABQ，连接QM，过点Q作QH⊥CB的延长线，垂足为H， ∴AN＝AQ，CN＝BQ， ∠ABQ＝∠ACB＝60°，∠CAN＝∠QAB. ∵∠BAC＝60°，∠MAN＝∠BAC＝30°， ∴∠CAN＋∠BAM＝30°，∴∠BAM＋∠QAB＝30°， 即∠QAM＝∠MAN.又∵AM＝AM， ∴△AQM≌△ANM（SAS），∴MN＝MQ. ∵∠ABQ＝60°，∠ABC＝60°， ∴∠QBH＝60°，∴∠BQH＝30°， ∴BH＝BQ，QH＝BQ， ∴HM＝BM＋BH＝BM＋BQ. 在Rt△QHM中，QH2＋HM2＝QM2， 即＋＝QM2， 整理，得BM2＋BQ2＋BM·BQ＝QM2， ∴BM2＋NC2＋BM·NC＝MN2. 图3的结论是：BM2＋NC2－BM·NC＝MN2. 证明如下：∵AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠ABC＝∠ACB＝30°. 如答案图2，将△ACN绕点A顺时针旋转120°，得到△ABQ，连接QM，过点Q作QH⊥BC，垂足为H， ∴AN＝AQ，CN＝BQ，∠ABQ＝∠ACB＝30°， ∠CAN＝∠QAB. ∵∠BAC＝120°，∠MAN＝∠BAC＝60°， ∴∠CAN＋∠BAM＝60°， ∴∠BAM＋∠QAB＝60°， 即∠QAM＝∠NAM. 又∵AM＝AM，∴△AQM≌△ANM（SAS），∴MN＝MQ. 在Rt△BQH中，∠QBH＝60°，∠BQH＝30°， ∴BH＝BQ，QH＝BQ，∴HM＝BM－BH＝BM－BQ. 在Rt△QHM中，QH2＋HM2＝QM2， 即＋＝QM2， 整理，得BM2＋BQ2－BM·BQ＝QM2， ∴BM2＋NC2－BM·NC＝MN2. $$第22课时　多边形与 平行四边形 1.（2024·资阳）一个正多边形的每个外角度数都等于60°，则这个多边形的边数为（　 　） A.4 B.5 C.6 D.8 C 2.直线l与正六边形ABCDEF的边AB，EF分别相交于点M，N，如图所示，则α＋β＝（　 　） A.115° B.120° C.135° D.144° B 3.如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD，若AC＝3，BD＝5，则四边形OCED的周长为（　 　） A.4 B.6 C.8 D.16 C 4.（2024·眉山改编）如图，在▱ABCD中，点O是BD的中点，E为AD上一动点，F为BC上一动点且EF过点O，下列结论：①AB∥DC；②EO＝ED；③EF∥CD； ④S四边形ABOE＝S四边形CDOF.其中正确结论的个数为（　 　） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 B 5.若九边形的内角中有一个角为50°，则其余八个内角之和为　 　. 6.（1）（2024·巴蜀）如图，在▱ABCD中，AD＝4，E，F分别为边BC，CD的中点，连接EF，AE，BD，当AE平分∠BEF时，BD的长为　 　； 6 1 210° （2）如图，在▱ABCD中，AC与BD相交于点O，若∠DAC＝∠EAC，AE＝4，AO＝3，则△AEC的面积为　 　. 3 7.（2024·广元）如图，点F是正五边形ABCDE边DE的中点，连接BF并延长与CD的延长线交于点G，则∠BGC的度数为　 　. 18° 8.（2024·西附）如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线BD，AE⊥BC于点E，交BD于点G. （1）用尺规完成以下基本作图：过点C作AD的垂线，交AD于点F，交BD于点H；（不写作法，保留作图痕迹） （1）解：如答案图，CF为所作. （2）在（1）所作的图形中，求证：BG＝DH.（请补全下面的证明过程） 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴∠ADB＝ ①　 　. ∵CF⊥AD，AE⊥BC， ∴∠DFC＝∠AEB＝90°. ∠CBD ∵②　 　， ∴∠GAD＝∠AEB＝90°， ∠HCB＝∠DFC＝90°， 即 ③　 　， ∴△BCH≌△DAG（ASA）， ∴④　 　， ∴BH－GH＝DG－GH，∴BG＝DH. AD∥BC ∠GAD＝∠BCH BH＝DG 9.如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，交DC于点E，DF⊥BC于点F，交AE于点G，且DF＝AD. （1）若∠C＝60°，AB＝2，求EC的长； （1）解：在▱ABCD中， AB＝DC＝2，∠C＝60°，DF⊥BC， ∴∠BAD＝∠C＝60°，∠CDF＝30°， ∴CF＝1，DF＝CF＝. ∵DF＝AD，∴AD＝DF＝. ∵AE平分∠BAD， ∴∠DAE＝∠BAE＝30°. ∵AB∥CD， ∴∠AED＝∠BAE＝∠DAE＝30°， ∴AD＝DE＝，∴EC＝DC－DE＝2－. （2）求证：AB＝DG＋FC. （2）证明：如答案图，延长FD至点M，使DM＝FC，连接AM. 在△ADM和△DFC中， ∴△ADM≌△DFC（SAS）， ∴∠DAM＝∠FDC，AM＝DC. 由（1），知∠DAE＝∠AED， ∴∠DAE＋∠DAM＝∠AED＋∠FDC， 即∠MAG＝∠MGA，∴AM＝MG， ∴DC＝AM＝MG＝DG＋DM＝DG＋FC. ∵AB＝CD，∴AB＝DG＋FC. 10.（2024·自贡）如图，在▱ABCD中，∠B＝60°，AB＝6 cm，BC＝12 cm.点P从点A出发，以1 cm/s的速度沿A→D运动，同时点Q从点C出发，以3 cm/s的速度沿C→B→C→…往复运动，当点P到达终点D时，点Q随之停止运动.在此运动过程中，线段PQ＝CD出现的次数是（　 　） A.3 B.4 C.5 D.6 B 11.如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝OB，点E，F分别是OA，OD的中点，连接EF，∠CEF＝45°，EM⊥BC于点M，EM交BD于点N，FN＝，则线段BC的长为　 　. 4 12.（2024·兰州） 综合与实践 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题：如图，在△ABC中，点M，N分别为AB，AC上的动点（不含端点），且AN＝BM. 【初步尝试】（1）如图1，当△ABC为等边三角形时，小颜发现：将MA绕点M逆时针旋转120°得到MD，连接BD，则MN＝DB，请思考并证明； （1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝60°，AB＝AC. ∵MA绕点M逆时针旋转120°得到MD， ∴DM＝AM，∠AMD＝120°， ∴∠DMB＝60°＝∠A. 又∵AN＝MB，∴△ANM≌△MBD（SAS），∴MN＝DB. 【类比探究】（2）小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AE⊥MN于点E，交BC于点F，将MA绕点M 逆时针旋转90°得到MD，连接DA，DB.试猜想四边形AFBD的形状，并说明理由； （2）解：四边形AFBD为平行四边形.理由如下： ∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝45°. 由旋转的性质，得 MA＝MD，∠AMD＝90°， ∴∠MAD＝∠MDA＝45°， ∴∠MAD＝∠ABF，∴AD∥BF. 同（1）可证△ANM≌△MBD，∴∠AMN＝∠MDB. ∵AE⊥MN，∴∠AMN＋∠MAE＝90°. ∵∠MDB＋∠MBD＝90°， ∴∠MBD＝∠MAE， ∴DB∥AF， ∴四边形AFBD为平行四边形. 【拓展延伸】（3）孙老师提出新的探究方向：如图3，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，连接BN，CM，请直接写出BN＋CM的最小值. （3）解：如答案图，过点A作AG∥BC，且使AG＝CB，连接GM，GC，BG，GC交AB于点O. 易证△GAM≌△BCN， ∴GM＝BN， ∴BN＋CM＝GM＋CM≥CG， 当G，M，C三点共线时，BN＋CM最小，最小值为CG. ∴四边形ACBG为平行四边形. ∴AO＝＝2. CG＝2CO＝2 ＝2＝4， ∴BN＋CM的最小值为4. $$第23课时　矩形与菱形 1.下列说法正确的是（　 　） A.四边相等的四边形是矩形 B.对角线互相垂直的四边形是矩形 C.对角线相等的四边形是菱形 D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D 2.（2024·兰州）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ABD＝60°，AB＝2，则AC的长为（　 　） A.6 B.5 C.4 D.3 C 3.（2024·八中）如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，点E为垂足，连接DF.若∠BAD＝α，则∠CDF为（　 　） A.α B.α C.180°－α D.180°－2α C 4.如图，在矩形ABCD中，O为AC的中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连接BF交AC于点M，连接DE，BO.若∠COB＝60°，FO＝FC，则下列结论： ①FB⊥OC，OM＝CM；②△EOB≌△CMB；③四边形EBFD是菱形；④MB∶OE＝3∶2.其中正确的结论有（　 　） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 C 5.（1）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，E为BC上一点，ED平分∠AEC，ED＝，则AD的长为　 　； 5 （2）（2024·南开）如图，在矩形ABCD中，BC＝6，AB＝3，矩形外一点E满足∠EAD＝∠ECD，点O为对角线BD的中点，则OE的长度为　 　. 6.（1）（2024·甘孜州）在菱形ABCD中，AB＝2，则菱形的周长是　 　cm； （2）（2024·巴蜀）如图，四边形ABCD是菱形，AC，BD交于点E，DF⊥AB于点F，连接EF.若AC＝16，EF＝6，则DF＝　 　. 9.6 8 7.（2024·外语校）如图，已知四边形ABCD为菱形，∠BAD＝60°，E为AD中点，AB＝6 cm，P为AC上任一点，则PE＋PD的最小值是　 　cm. 3 8.（2024·长沙）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ABC＝90°. （1）求证：AC＝BD； （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，且∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD. （2）点E在BC边上，满足∠CEO＝∠COE.若AB＝6，BC＝8，求CE的长及tan∠CEO的值. （2）解：在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8， ∴AC＝＝＝10. ∵四边形ABCD是矩形， ∴CO＝AC＝5，OB＝OC. ∵∠CEO＝∠COE，∴CE＝CO＝5. 如答案图，过点O作OF⊥BC于点F， 则CF＝BC＝4，∴EF＝CE－CF＝5－4＝1， 在Rt△COF中， OF＝＝＝3， ∴tan∠CEO＝＝3. 9.（2024·西附）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，若∠ABC＝45°，过点A作AM⊥BC于点M，交BD于点N. （1）求证：OC＝BN； （1）证明：∵AM⊥BC，∠ABC＝45°， ∴∠AMB＝∠AMC＝90°， ∠BAM＝45°＝∠ABC， ∴AM＝MB. ∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AC＝2OC. ∴∠ACB＋∠MAC＝90°＝∠OBC＋∠ACB， ∴∠MAC＝∠OBC， ∴△BMN≌△AMC（ASA）， ∴BN＝AC＝2OC， ∴OC＝BN. （2）若AB＝4，求AN的长度. （2）解：如图，过点N作NH⊥AB于点H， ∵四边形ABCD是菱形， ∴BD平分∠ABC. 又∵NH⊥AB，AM⊥BC， ∴NM＝NH.设NM＝NH＝x. ∵∠ABC＝∠BAM＝45°， ∴△ABM与△AHN均为等腰直角三角形， ∴AH＝x，AN＝x，BM＝2， ∴x＋x＝2， 解得x＝4－2，∴AN＝4－4. 10.（2024·泰安）如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，点E是AB边上的点，AE＝4，BE＝8，点F是BC上的一点，△EGF是以点G为直角顶点，∠EFG为30°角的直角三角形，连接AG.当点F在直线BC上运动时，线段AG的最小值是（　 　） A.2 B.4－2 C.2 D.4 C 提示：过点E作EM⊥BF于点M，过点M作MH⊥AB于点H，连接MG，过点A作AI⊥MG于点I，易得四边形AHMI为矩形，E，M，F，G四点共圆，∴线段AG的最小值为AI的长. 11.（2024·巴中）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，DE⊥AC于点E，延长DE与BC交于点F.若AB＝3，BC＝4，则点F到BD的距离为　 　. 12.（2024·甘肃）如图1，在矩形ABCD中，点E为AD边上不与端点重合的一动点，点F是对角线BD上一点，连接BE，AF交于点O，且∠ABE＝∠DAF. 【模型建立】（1）求证：AF⊥BE； （1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝90°，∴∠ABE＋∠AEB＝90°. ∵∠ABE＝∠DAF，∴∠DAF＋∠AEB＝90°， ∴∠AOE＝90°，∴AF⊥BE. 【模型应用】（2）若AB＝2，AD＝3，DF＝BF，求DE的长； （2）解：延长AF交CD于点G，如图1， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD，∠BAD＝∠ADG＝90°， ∴△AFB∽△GFD， ∴＝＝，∴DG＝AB＝1. ∵∠BAD＝∠ADG＝90°，∠ABE＝∠DAF， ∴△ABE∽△DAG， ∴＝＝， ∴AE＝DG＝， ∴DE＝AD－AE＝3－＝. 【模型迁移】（3）如图2，若矩形ABCD是正方形，DF＝BF，求的值. （3）解：设正方形ABCD的边长为a，则AB＝AD＝a， 延长AF交CD于点G，如图2， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD＝∠ADG＝90°，AB∥CD， ∴△AFB∽△GFD，∴＝＝＝， ∴DG＝AB＝a，FG＝AF， ∴AG＝＝a， ∴AF＝AG＝a，∴＝＝. $$第24课时　正方形 1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，添加下列一个条件，能使矩形ABCD成为正方形的是（　 　） A.DC＝AD B.OA＝OD C.∠AOB＝60° D.OD＝CD A 2.（2024·南开）下列说法错误的是（　 　） A.对角线互相平分的四边形是平行四边形 B.四个角都相等的四边形是矩形 C.四条边都相等的四边形是菱形 D.对角线互相垂直的菱形是正方形 D 3.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，BC上，且DE＝CF，连接AE，DF，DG平分∠ADF交AB于点G.若∠AED＝70°，则∠AGD的度数为（　 　） A.50° B.55° C.60° D.65° B 4.（2024·南开）如图，在正方形ABCD中，E为BC上一点，BE＝BC，过点B作BF⊥AE于点G，交CD于点F，H为EF的中点，连接GH.若AB＝6，则GH的长为（　 　） A.2 B. C.3 D.2 B 5.如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边△AEF的顶点E，F分别在BC，CD上，则△EFC的面积为　 　. 1 6.如图，延长正方形ABCD的边BA至点E，使AE＝BD，连接EC，则∠E＝　 　. 22.5° 7.（2024·兰州）如图，四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，EF⊥AB于点F，若AD＝4，则EF＝　 　. 2 8.如图1，正方形ABCD中，点E是BC延长线上一点，连接DE，过点B作BF⊥DE于点F，交CD于点G. （1）求证：CG＝CE； 证明：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝DC，∠BCG＝∠DCE＝90°. ∵BF⊥DE，∴∠DFG＝∠BCG＝90°. ∵∠DGF＝∠BGC，∴∠GBC＝∠EDC. ∴△BCG≌△DCE（ASA），∴CG＝CE. （2）如图2，连接FC，AC，若BF平分∠DBE，求证：CF平分∠ACE. （2）∵BF平分∠DBE，BF⊥DE， ∴DF＝EF，∴CF是Rt△DCE的中线， ∴CF＝EF，∴∠E＝∠FCE. ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DBE＝∠ACB＝45°. ∵BF平分∠DBE， ∴∠FBE＝∠DBE＝22.5°， ∴∠E＝90°－∠FBE＝67.5°， ∴∠FCE＝67.5°， ∴∠ACF＝180°－∠FCE－∠ACB＝67.5°， ∴∠ACF＝∠FCE，∴CF平分∠ACE. 9.如图，点E是正方形ABCD的边BC上的一点，∠DAE的平分线AF交BC的延长线于点F，交CD于点G. （1）若AB＝4，BF＝8，求CE的长； （1）解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝BC＝AB＝4，∠B＝90°，AD∥BC， ∴∠DAG＝∠F. ∵AF平分∠DAE，∴∠DAG＝∠EAF， ∴∠EAF＝∠F，∴AE＝EF. 设CE＝x， 则BE＝4－x，AE＝EF＝4＋x， 在Rt△ABE中，AE2＝AB2＋BE2， 即42＋（4－x）2＝（4＋x）2， 解得x＝1，∴CE＝1. （2）求证：AE＝BE＋DG. （2）证明：如答案图，延长CB到点M，使BM＝DG，连接AM. ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠D＝∠ABM＝90°，AD＝AB， ∴△ABM≌△ADG（SAS）， ∴∠MAB＝∠GAD，∠AGD＝∠AMB. 设∠GAD＝∠MAB＝α，则∠AGD＝∠AMB＝90°－α. ∵AF平分∠DAE， ∴∠EAF＝α， ∴∠BAE＝90°－2α， ∴∠MAE＝∠MAB＋∠BAE＝90°－α， ∴∠M＝∠MAE，∴AE＝ME. ∴AE＝ME＝MB＋BE＝DG＋BE. 10.（2024·南开）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，满足CE＝DF，连接AF，DE，点G在AB边上，连接DG交AF于点H，使得∠DHF＝45°， 连接GE，若∠DAF＝α，则∠BGE的度数为（　 　） A.90°－2α B.45°＋α C.4α D.3α＋15° A 11.（2024·泸州）如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC上的动点，且满足AE＝BF，AF与DE交于点O，点M是DF的中点，G是边AB上的点，AG＝2GB，则OM＋FG的最小值是　 　. 5 解析：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠DAB＝∠ABC＝90°.又∵AE＝BF，∴△ADE≌△BAF（SAS），∴∠ADE＝∠BAF，∴∠DOF＝∠ADO＋∠DAO＝∠BAF＋∠DAO＝∠DAB＝90°.∵点M是DF的中点，∴OM＝DF.如答案图，在AB的延长线上截取BH＝BG，连接FH， ∵∠FBG＝∠FBH＝90°，FB＝FB，BG＝BH，∴△FBG≌△FBH（SAS），∴FH＝FG，∴OM＋FG＝DF＋HF＝（DF＋HF），∴当H，F，D三点共线时，DF＋HF有最小值，即此时OM＋FG有最小值，最小值即为DH的长的一半.∵AG＝2GB，AB＝6，∴BH＝BG＝2，∴AH＝8，在Rt△ADH中，由勾股定理，得DH＝＝10，∴OM＋FG的最小值为5. 12.【模型建立】 （1）如图1，已知△ABE和△BCD，AB⊥BC，AB＝BC，CD⊥BD，AE⊥BD.用等式写出线段AE，DE，CD的数量关系，并说明理由； 解：（1）DE＋CD＝AE.理由如下： ∵CD⊥BD，AE⊥BD，AB⊥BC， ∴∠ABC＝∠D＝∠AEB＝90°， ∴∠ABE＋∠CBD＝∠C＋∠CBD＝90°， ∴∠ABE＝∠C. 又∵AB＝BC，∴△ABE≌△BCD， ∴BE＝CD，AE＝BD. ∵BD＝BE＋DE＝CD＋DE， ∴DE＋CD＝AE. 【模型应用】 （2）如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在对角线BD和边CD上，AE⊥EF，AE＝EF.用等式写出线段BE，AD，DF的数量关系，并说明理由； （2）AD＝BE＋DF.理由如下： 过点E作EM⊥AD于点M， 过点E作EN⊥CD于点N，如答案图1， ∵四边形ABCD是正方形， BD是正方形的对角线， ∴BD平分∠ADC，∠ADC＝90°，BD＝AD， ∴∠ADB＝∠CDB＝45°. ∵EN⊥CD，EM⊥AD，∴EM＝EN. ∵AE＝EF，∴Rt△AEM≌Rt△FEN， ∴AM＝NF. ∵ED＝ED，∴Rt△DEM≌Rt△DEN， ∴MD＝ND＝DE. ∵NF＝AM＝AD－MD＝AD－DE， NF＝ND－DF＝DE－DF，∴AD－DE＝DE－DF， 即AD＝DE－DF. ∵DE＝BD－BE＝AD－BE， ∴AD＝－DF， 即AD＝BE＋DF. 【模型迁移】 （3）如图3，在正方形ABCD中，点E在对角线BD上，点F在边CD的延长线上，AE⊥EF，AE＝EF.用等式写出线段BE，AD，DF的数量关系，并说明理由. （3）AD＝BE－DF.理由如下： 过点A作AH⊥BD于点H，过点F作FG⊥BD，交BD的延长线于点G，如答案图2， ∵AH⊥BD，FG⊥BD，AE⊥EF， ∴∠AHE＝∠G＝∠AEF＝90°， ∴∠AEH＋∠HAE＝∠AEH＋∠FEG＝90°， ∴∠HAE＝∠FEG.又∵AE＝EF，∴△HAE≌△GEF，∴HE＝FG. ∵在正方形ABCD中，∠BDC＝45°， ∴∠FDG＝∠BDC＝45°， ∴∠DFG＝45°，∴△DFG是等腰直角三角形， ∴FG＝DF，∴HE＝FG＝DF. ∵∠ADB＝45°，AH⊥HD， ∴△ADH是等腰直角三角形，∴HD＝AD， ∴DE＝HD－HE＝AD－DF. ∵BD－BE＝DE，BD＝AD， ∴AD－BE＝AD－DF，∴AD＝BE－DF. $$第25课时　圆的有关性质及与圆有关的位置关系 1.在平面直角坐标系中，以原点O为圆心，5为半径作圆，点P的坐标是（4，3），则点P与☉O的位置关系是（　 　） A.点P在☉O内 B.点P在☉O外 C.点P在☉O上 D.点P在☉O上或在☉O外 C 2.（2024·长沙）如图，在☉O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离OE＝4，则☉O的半径长为（　 　） A.4 B.4 C.5 D.5 B 3.（2024·牡丹江）如图，四边形ABCD是☉O的内接四边形，AB是☉O的直径，若∠BEC＝20°，则∠ADC的度数为（　 　） A.100° B.110° C.120° D.130° B 4.如图，AB为☉O的直径，点C在☉O上，连接AC，BC，过点O作OD⊥BC于点D，过点C作☉O的切线交OD的延长线于点E，连接AD.若CE＝4，BC＝8，则AD的长为（　 　） A.2 B.2 C.3 D.4 D 5.（2024·巴中）如图，四边形ABCD是☉O的内接四边形，若四边形OABC为菱形，则∠ADC的度数是　 　. 60° 6.（2024·北京）如图，☉O的直径AB平分弦CD（不是直径）.若∠D＝35°，则∠C＝　 　°. 55 7.（2024·安徽改编）如图，☉O是△ABC的外接圆，D是直径AB上一点，∠ACD的平分线交AB于点E，交☉O于另一点F，FA＝FE.作FM⊥AB，垂足为M.若OM＝OE＝1，则BE＝　 　，AC＝　 　. 2 4 8.（2024·烟台改编）如图，AB是☉O的直径，△ABC内接于☉O，点I为△ABC的内心，连接CI并延长交☉O于点D，E是上任意一点，连接AD，BD，BE，CE. 若CI＝2，DI＝， 则AB＝　 　， △ABC的周长为　 　. 13 30 9.如图，AB是☉O的直径，＝，点E在AD的延长线上，且∠ADC＝∠AEB. （1）求证：BE是☉O的切线； （1）证明：连接BD，OC，OD，令AB与CD的交点为F，如图所示. ∵＝，∴BC＝BD.∵OC＝OD，∴点O，B在CD的垂直平分线上， ∴OB垂直平分CD，∴∠AFD＝90°. ∵∠ADC＝∠AEB，∴CD∥BE，∴∠ABE＝∠AFD＝90°，∴AB⊥BE. ∵AB是☉O的直径，∴BE是☉O的切线. （2）当☉O的半径为2，BC＝3时，求tan∠AEB的值. （2）解：∵AB是☉O的直径，☉O的半径为2， ∴AB＝4，∠ACB＝90°. ∵BC＝3， ∴AC＝＝＝. ∵∠ADC＝∠ABC，∠AEB＝∠ADC， ∴∠AEB＝∠ABC. ∴tan∠AEB＝tan∠ABC＝＝. 10.如图，点E是☉O中弦AB的中点，过点E作☉O的直径CD，P是☉O上一点，过点P作☉O的切线，与AB的延长线交于点F，与CD的延长线交于点G.若点P为FG中点， A. B. C. D. cosF＝，☉O的半径长为3，则CE的长为（　 　） B 11.（2024·深圳改编）如图，在△ABD中，AB＝BD，☉O为△ABD的外接圆，BE为☉O的切线，AC为☉O的直径，连接DC并延长交BE于点E. 若AB＝5，BE＝5， 则DE＝　 　， ☉O的半径为　 　. 5 3 12.（2024·赤峰）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，☉O经过B，C两点，与斜边AB交于点E，连接CO并延长交AB于点M，交☉O于点D，过点E作EF∥CD，交AC于点F. （1）求证：EF是☉O的切线； （1）证明：如答案图，连接OE， ∵AC＝BC，∠ACB＝90°， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴∠ABC＝45°，∴∠COE＝2∠ABC＝90°. ∵EF∥CD， ∴∠FEO＝180°－∠COE＝90°，即OE⊥EF. ∵OE是☉O的半径，∴EF是☉O的切线. （2）若BM＝4，tan∠BCD＝，求OM的长. （2）解：如答案图，连接BD. ∵CD是☉O的直径，∴∠CBD＝90°， ∴∠DBE＝∠CBD－∠ABC ＝90°－45°＝45°. ∵tan∠BCD＝＝，BC＝AC，∴＝. ∵∠DMB＝∠CMA，∠A＝∠DBM， ∴△DBM∽△CAM， ∴＝＝＝. ∵BM＝4，∴AM＝2BM＝8， ∴AB＝AM＋BM＝8＋4＝12， ∴AC＝BC＝AB＝12，∴DB＝BC＝6. 在Rt△BDC中， CD＝＝＝6， ∴CO＝DO＝3. 又∵＝，∴CM＝2DM， ∴2DM＋DM＝CD＝6，∴DM＝2， ∴OM＝OD－DM＝3－2＝. $$第26课时　与圆有关的计算 1.（2024·贵州）如图，在扇形纸扇中，若∠AOB＝150°，OA＝24，则的长为（　 　） A.30π B.25π C.20π D.10π C 2.如图，正六边形ABCDEF内接于☉O，☉O的半径为6，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（　 　） A.，π B.，π C.， D.3，2π D 3.如图，在△ABC中，AB＝2，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，AB1恰好经过点C.则阴影部分的面积为（　 　） A.π B.π C.π D.π A 4.家具厂利用如图所示直径为1m的圆形材料加工成一种扇形家具部件，已知扇形的圆心角∠BAC＝90°，则扇形部件的面积为（　 　） A.πm2 B.πm2 C.πm2 D.πm2 C 5.（2024·齐齐哈尔）若圆锥的底面半径是1 cm，它的侧面展开图的圆心角是直角，则该圆锥的高为 　 cm. 　 6.如图，对折边长为2的正方形纸片ABCD，OM为折痕，以点O为圆心，OM为半径作弧，分别交AD，BC于E，F两点，则的长度为　 　.（结果保留π） 7.（2024·南开）如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝60°，BC＝AB＝6，以点B为圆心，先以AB为半径画弧，交BC于点E，再以BC为半径画弧，交AD于点F，则图中阴影部分的面积为　 　.（结果不取近似值） π＋3 8.（2024·资阳）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2.以点A为圆心，AD长为半径作弧交AB于点E，再以AB为直径作半圆，与交于点F，则图中阴影部分的面积为　 　.（结果不取近似值） ＋π 9.（2024·山东）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAB＝60°，AB＝BC＝2AD＝2.以点A为圆心，以AD为半径作交AB于点E，以点B为圆心，以BE为半径作交BC于点F，连接FD交于另一点G，连接CG. （1）求证：CG为所在圆的切线； （1）证明：如图，连接BG， 根据题意可知，AD＝AE，BE＝BF. 又∵AB＝BC＝2AD， ∴CF＝BF＝BE＝AE＝AD. ∵AD∥BC，∴四边形ABFD是平行四边形， ∴∠BFD＝∠DAB＝60°. ∵BG＝BF，∴△BFG是等边三角形， ∴GF＝BF＝FC， ∴点G在以BC为直径的圆上， ∴∠BGC＝90°， ∴CG为所在圆的切线. （2）求图中阴影部分的面积.（结果保留π） （2）过点D作DH⊥AB于点H，如图，在Rt△AHD中， AD＝1，∠DAB＝60°，∴DH＝.分析可知，S扇形AED＝S扇形BGE， ∴S阴影＝S▱ABFD－S扇形AED－S扇形BEG－S△BFG ＝2×－×2－×1× ＝－－＝－. 10.（2024·泰安）两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆O'的一个直径端点与半圆O的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是（　 　） A.π－ B.π C.π－ D.π－ A 11.（2024·南开）如图，在▱ABCD中，E为BC边的中点.以C为圆心，CD为半径画弧，恰好经过点A.以C为圆心，CE为半径画弧，恰好与AD相切于点F.若BC＝4，则阴影部分的面积为　 　.（结果保留π） π 12.（2024·乐山）如图，☉O是△ABC的外接圆，AB为直径，过点C作☉O的切线CD交BA的延长线于点D，点E为上一点，且＝. （1）求证：DC∥AE； （1）证明：如图，连接OC. ∵CD为☉O的切线， ∴∠OCD＝90°，即∠DCA＋∠OCA＝90°. ∵AB为直径，∴∠ACB＝90°， 即∠1＋∠OCA＝90°，∴∠DCA＝∠1. ∵OC＝OB，∴∠1＝∠2. ∵＝，∴∠2＝∠3. ∴∠DCA＝∠3.∴DC∥AE. （2）若EF垂直平分OB，DA＝3，求阴影部分的面积. （2）解：如图，连接OE，BE. ∵EF垂直平分OB，∴OE＝BE. 又∵OE＝OB， ∴△OEB为等边三角形. ∴∠BOE＝60°，∠AOE＝120°. ∵＝，∴∠AOC＝∠COE＝60°. ∵OA＝OC，∴△AOC为等边三角形. ∴∠OCA＝60°，OA＝OC＝AC. ∵∠OCD＝90°，∴∠D＝∠DCA＝30°. ∴DA＝AC＝OA＝OC＝OE＝3. ∴EF＝OE·sin60°＝. ∴S阴影＝S扇形OAE－S△OAE＝－AO·EF＝3π－. $$