专题14　几何的计算与证明及几何探究问题 课件 2025年中考数学一轮总复习

专题十四　几何的计算与证明及几何探究问题 第1课时　与中点有关的几何问题 1. （2024·八中）在△ABC中，AC＝ AB，F为AC中点，D为平面内一点. （1）如图1，点D在边BC上，连接 AD，FD. 若∠B＝30°，AB＝2，BD ＝ ，求FD的长； 图1 （第1题） 解：（1）如答案图1，过点A作AH⊥BC于点H，过点F作FG⊥BC于点G. （答案图1） ∵AC＝AB，∠B＝30°，AB＝2， ∴AH＝1，BH＝CH＝ ，∴BC＝ 2 . ∵F为AC中点，∴AF＝CF＝1， ∴FG＝ ，CG＝ ， ∴DG＝BC－BD－CG＝2 － － ＝ . 在Rt△DFG中， DF＝ ＝ ＝ . （答案图1） （2）如图2，连接AD，将AD绕点A逆 时针旋转到AE，使得∠DAE＝ ∠BAC，连接DE，DE恰好过点F. 若 ∠ABD＋2∠AFD＝180°，猜想并证 明EF与DF之间的数量关系. 图2 （第1题） 解：（2）DF＝2EF，证明如下： 如答案图2，在线段FD上截取FG＝FE，连接AG，CE. （答案图2） ∵将AD绕点A逆时针旋转到AE，使得 ∠DAE＝∠BAC， ∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE. 又∵AB＝AC， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABD＝∠ACE. ∵∠ABD＋2∠AFD＝180°， ∴∠ACE＋2∠AFD＝∠ACE＋ 2∠CFE＝180°. ∵∠ACE＋∠CFE＋∠CEF＝180°， ∴∠CFE＝∠CEF，∴CE＝CF. ∵F为AC中点，∴AF＝CF＝CE. （答案图2） 又∵FG＝FE，∠AFG＝∠CFE， ∴△AFG≌△CFE（SAS）， ∴AG＝CE＝CF＝AF， ∴∠AGF＝∠AFG，∴∠AGD＝∠AFE. ∵AD＝AE，∴∠ADG＝∠AEF， ∴△ADG≌△AEF（AAS）， ∴DG＝EF. ∵FG＝FE， ∴DF＝DG＋FG＝2EF. （答案图2） 2. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝ 90°，点D为BC上一点，点E为AD的 中点，连接BE. （1）如图1，若∠CAB＝60°，BD＝ 2CD＝4，求BE的长； 图1 （第2题） 解： （1）如答案图1，取CD的中点M，连接ME. ∵BD＝2CD＝4，∴CD＝2， ∴DM＝ CD＝1，BC＝BD＋CD＝6， ∴BM＝BD＋DM＝5. 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， ∠CAB＝60°， （答案图1） ∴AC＝ ＝ ＝2 . ∵E为AD的中点，M为CD的中点， ∴EM∥AC且EM＝ AC＝ ， ∴∠EMB＝∠ACB＝90°. 在Rt△EMB中，由勾股定理，得 BE＝ ＝ ＝2 . （答案图1） （2）如图2，若∠CAB＝45°，将BE 绕点E顺时针旋转90°得到FE，连接 FC并延长交AD于点G，过点E作 EH⊥AE交AB于点H，求证：BH＝ FG. 图2 （第2题） 解： （2）证明：如答案图2，过点D作 DN⊥AB于点N，连接EN，CE， ∴∠AND＝90°. 在Rt△ACD中，点E为AD的中点， ∴CE＝AE＝ AD，∴∠CAE＝∠ACE， ∴∠CED＝∠CAE＋∠ACE＝2∠CAE. 在Rt△AND中，点E为AD的中点， ∴NE＝AE＝ AD， （答案图2） ∴∠NAE＝∠ANE，CE＝NE， ∴∠DEN＝∠NAE＋∠ANE＝2∠NAE. ∵∠CAB＝45°， ∴∠CEN＝∠CED＋∠DEN＝2 （∠CAE＋∠NAE）＝2∠CAB＝90°. ∵BE绕点E顺时针旋转90°得到FE， ∴∠FEB＝90°，BE＝EF， ∴∠FEB＝∠CEN＝90°， ∴∠CEF＝∠NEB， （答案图2） ∴△CEF≌△NEB（SAS）， ∴∠F＝∠EBN. ∵AE⊥EH， ∴∠DEH＝∠FEB＝90°， ∴∠FEG＝∠BEH， ∴△FEG≌△BEH（ASA）， ∴BH＝FG. （答案图2） 3. （2024·巴蜀）在△ABC中，BA＝BC，D是边AC上一动点，连接BD，将BD绕点B顺时针旋转至BE的位置，使得∠ABC＋∠DBE＝180°，连接AE，交BC于点F，连接CE. （1）如图1，当∠DBE＝90°时，若AE平分∠BAC，求证：CF＝CE； 图1 （第3题） 解：（1）证明：∵∠ABC＋∠DBE＝180°， ∠DBE＝90°， ∴∠ABC＝180°－∠DBE＝90°. ∵BA＝BC，∴△ABC是等腰直角三角形， ∴∠BAC＝∠BCA＝45°. ∵AE平分∠BAC， ∴∠CAE＝ ∠BAC＝22.5°， ∴∠CFE＝∠CAE＋∠BCA＝22.5° ＋45°＝67.5°. 由旋转的性质得BE＝BD. ∵∠ABC＝∠DBE＝90°， ∴∠CBE＝∠ABD. 在△CBE和△ABD中， ​ ∴△CBE≌△ABD（SAS）， ∴∠BCE＝∠BAD＝45°， ∴∠CEF＝180°－∠BCE－∠CFE＝ 67.5°， ∴∠CEF＝∠CFE，∴CF＝CE. （2）如图2，取AE的中点M，连接 BM. 猜想BM与CD之间存在的数量关 系，并证明你的猜想. 图2 （第3题） 解： （2）猜想BM＝ CD. 理由如下： 如答案图，延长AB至点H，使BH＝ AB，连接EH，则∠ABC＋∠CBH＝ 180°. （答案图） ∵∠ABC＋∠DBE＝180°， ∴∠CBH＝∠DBE， 即∠CBE＋∠EBH＝∠DBC＋∠CBE， ∴∠EBH＝∠DBC. ∵AB＝BC，∴BH＝BC. 在△BEH和△BDC中， ​ ∴△BEH≌△BDC（SAS）， ∴EH＝CD. ∵点B，M分别是AH，AE的中点， ∴BM＝ EH，∴BM＝ CD. 4. （2024·外语校）△ABC为等边三角 形，△BDE为等腰三角形，其中DB＝ DE. （1）如图1，连接CE，AD，若A， D，E三点共线，且∠BDE＝60°，求 ∠AEC的度数； 图1 （第4题） 解：（1）∵△BDE为等腰三角形，且 ∠BDE＝60°，∴△BDE是等边三角形， ∴∠DBE＝∠DEB＝60°，BD＝BE. ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝CB，∠ABC＝60°， ∴∠ABD＝∠CBE＝60°－∠CBD， ∴△ABD≌△CBE（SAS）， ∴∠ADB＝∠CEB. ∵A，D，E三点共线，∠BDE＝60°， ∴∠ADB＝∠CEB＝120°， ∴∠AEC＝∠CEB－∠DEB＝60°. （2）如图2，连接CE，点M为线段CE 的中点，且∠BDE＝120°，连接 AM，DM，AD，用等式表示线段AM 与DM之间的数量关系，并证明. 图2 （第4题） 解：（2）AM＝ DM，证明如下： 如答案图，延长DM到点N，使MN＝ DM，连接AN，CN，延长AC，ED交 于点T. ∵M为CE的中点， ∴EM＝CM. ∵DM＝NM， ∠DME＝∠NMC， ∴△DEM≌△NCM（SAS）， 　（答案图） ∴DE＝NC，∠MDE＝∠MNC， ∴DE∥CN，∴∠ACN＝∠T. ∵DE＝BD，∴NC＝BD. ∵∠BDE＝120°，∴∠TDB＝60°. ∵∠TAB＝60°＝∠TDB， ∴∠T＝∠ABD＝∠ACN. 又∵AC＝AB， ∴△NCA≌△DBA（SAS）， 　（答案图） ∴AN＝AD，∠NAC＝∠DAB， ∴∠NAD＝∠CAB＝60°， ∴△ADN为等边三角形. ∵MN＝DM， ∴AM⊥DN，∠MAD＝ ∠NAD＝30°， ∴AM＝ DM. 　（答案图） $$专题十四　几何的计算与证明及几何探究问题 第2课时　与角平分线有关的几何问题 1. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°， AC＝BC，点D是BC边上的一个动点， 连接AD并延长，过点B作BF⊥AD交 AD的延长线于点F. （1）如图1，若AD平分∠BAC，AD＝ 6，求BF的长； 图1 （第1题） 解：（1）如答案图1，分别延长AC， BF交于点E. ∵BF⊥AD，∴∠AFB＝∠ACB＝90°. ∵∠ADC＝∠BDF，∴∠DAC＝∠EBC. 又∵AC＝BC，∠ACD＝∠BCE＝90°， ∴△ADC≌△BEC（ASA）， ∴BE＝AD＝6. （答案图1） ∵BF⊥AD， ∴∠AFB＝∠AFE＝90°. ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAF＝∠EAF. 又∵AF＝AF， ∴△ABF≌△AEF（ASA）， ∴BF＝EF＝ BE＝3. （答案图1） （2）如图2，M是FB延长线上一点， 连接AM，当AD平分∠MAC时，试探 究AC，CD，AM之间的数量关系并说 明理由. 图2 （第1题） 解：（2）AC＋CD＝AM，理由如下： 如答案图2，分别延长MF，AC交于点E. 同（1）可证得，△ADC≌△BEC， ∴CD＝CE. ∵BF⊥AD，∴∠AFM＝∠AFE＝90°. ∵AD平分∠MAC，∴∠MAF＝∠EAF. 在△AMF和△AEF中， ​ （答案图2） ∴△AMF≌△AEF（ASA）. ∴AM＝AE. ∵AE＝AC＋CE＝AC＋CD， ∴AC＋CD＝AM. （答案图2） 2. 如图，在▱ABCD中，BE⊥BC交AD 于点E，且BE＝BC，CF平分∠BCD 交AB于点F，交BE于点G，连接EF. （1）如图1，若∠A＝60°，CG＝4， 求AF的长； 图1 图2 （第2题） 解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BCD＝∠A＝60°，AD∥BC， AB∥CD. ∴∠ABC＝180°－∠A＝120°， ∠AEB＝∠EBC. ∵BE⊥BC， ∴∠CBG＝∠AEB＝90°， ∴∠ABE＝30°. ∵CF平分∠BCD， ∴∠BCG＝∠DCG＝30°. ∴BG＝CG· sin ∠BCG＝2， BC＝CG· cos ∠BCG＝2 ， ∴BE＝BC＝2 . ∵AB∥CD，∴∠BFC＝∠DCG＝30°， ∴∠BFC＝∠BCG. ∴BF＝BC＝2 . 在Rt△AEB中，∠ABE＝30°， ∴AB＝ ＝4， ∴AF＝AB－BF＝4－2 . （2）如图2，若BM平分∠ABE交GF于 点M，且EF＝GB，求证：AE＋ FM＝CD. 图2 （第2题） 解：（2）证明：如答案图，连接EM并延长交AB于点N. ∵CF平分∠BCD， ∴∠BCF＝∠DCF. ∵AB∥CD， ∴∠BFC＝∠DCF. ∴∠BFC＝∠BCF. ∴BF＝BC. 又∵BC＝BE，∴BE＝BF. ∵BM平分∠ABE，∴∠EBM＝∠FBM. 又∵BM＝BM， ∴△EBM≌△FBM（SAS）. 　（答案图） ∴∠BEM＝∠BFM＝∠BCG，ME＝MF. 又∵∠BGC＝∠EGM， ∴∠EMG＝∠CBG＝90°. ∴△EMF是等腰直角三角形. ∴EF＝ FM. ∵EF＝GB，∴GB＝ FM. 易证△BFG≌△BEN（ASA）. ∴BG＝BN＝ FM. ∵∠AEN＋∠BEM ＝∠ANE＋∠BFC＝90°， 　（答案图） ∴∠AEN＝∠ANE. ∴AE＝AN. ∴AE＋ FM＝AN＋BN＝AB. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD. ∴AE＋ FM＝CD. 　（答案图） 3. （2024·巴蜀）如图，在Rt△AEB中， ∠AEB＝90°，点C在线段BE的延长 线上，过点C作CD∥AB，连接AD， 再过点A作AF⊥CD于点F. （1）如图1，连接EF，若∠BAE＝ 30°，∠D＝45°，DF＝6，AE＝4， 求线段EF的长； 图1 图2 （第3题） 解：（1）过点E作EM⊥AF于点M， 如答案图1， （答案图1） 则∠AME＝∠EMF＝90°. ∵AF⊥CD，CD∥AB， ∴∠BAF＝∠AFD＝90°. ∵∠BAE＝30°， ∴∠EAM＝60°， ∴∠AEM＝30°.∵AE＝4， ∴AM＝ AE＝2，EM＝ AE＝2 . 在Rt△ADF中，∠D＝45°，DF＝6， ∴AF＝DF＝6， ∴MF＝AF－AM＝6－2＝4. 在Rt△EMF中，由勾股定理，得 EF＝ ＝ ＝2 . （答案图1） （2）如图2，在线段CE上取一点H，连 接AH，DH，当AH平分∠BHD， ∠ABH＝∠DAH时，求证：DH＝HC ＋2HE. 图2 （第3题） 解：（2）证明：连接AC，过点A作 AW⊥HD于点W，如答案图2， （答案图2） 则∠AWH＝∠AWD＝90°. ∵∠AEB＝90°，∴AE⊥BH. ∵AH平分∠BHD，AE⊥HB，AW⊥HD，∴AE＝AW. 在Rt△AHE和Rt△AHW中， ​ ∴Rt△AHE≌Rt△AHW（HL）， ∴HE＝HW. ∵CD∥AB，∴∠ABH＋∠BCD＝180°. ∵∠ABH＝∠DAH， ∴∠DAH＋∠BCD＝180°. ∵∠DAH与∠BCD在DH异侧， ∴A，H，C，D四点共圆， ∴∠ACH＝∠ADW. （答案图2） ∵AE＝AW， ∠AEC＝∠AWD＝90°， ∴△AEC≌△AWD（AAS）， ∴EC＝WD， ∴DH＝HW＋WD＝HE＋EC ＝HE＋HE＋HC， 即DH＝HC＋2HE. （答案图2） 4. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°. （1）如图1，将△ABC绕点C逆时针旋 转至△DEC，点D在AB上，过点C作 CF∥AB交DE于点F. 求证：F是DE的 中点； 图1 图2 图3 （第4题） 解：（1）证明：由旋转可知， ∠A＝∠CDE，AC＝CD， ∴∠A＝∠CDA. ∵CF∥AB， ∴∠DCF＝∠CDA， ∴∠DCF＝∠CDE， ∴CF＝DF. ∵∠FCE＝90°－∠DCF， ∠E＝90°－∠CDF， ∴∠E＝∠FCE，∴CF＝EF， ∴EF＝DF，即F是DE的中点. （2）如图2，将△ABC绕点A逆时针旋 转至△ADE，连接EC，BD，延长EC 交BD于点G，连接DC. 若BD＝2CD， 求证：EC＝GC； 图2 （第4题） 解：（2）证明：如答案图1，过点D作 DT∥BC交EG的延长线于点T， ∵AE＝AC，∴∠AEC＝∠ACE. ∵∠DEC＝90°－∠AEC，∠BCG＝ 90°－∠ACE， ∴∠DEC＝∠BCG. ∵DT∥BC， ∴∠T＝∠BCG＝∠DEC， ∴DE＝DT＝BC. 又∵∠DGT＝∠BGC， ∴△BCG≌△DTG（AAS）， （答案图1） ∴BG＝DG＝ BD. ∵BD＝2CD， ∴DC＝DG＝BG， ∴∠DCG＝∠DGC， ∴∠DCE＝∠DGT＝∠CGB， ∴△ECD≌△CGB（AAS）， ∴EC＝GC. （答案图1） （3）如图3，将△ABC绕点A逆时针旋 转至△ADE，连接EC交AD于点F，延 长EC交BD于点G. 若tan∠ABC＝ ， BC平分∠ABD，直接写出 的值. 图3 （第4题） 解：（3）如答案图2，延长AC交BD于 点K，过点A作AR⊥BD于点R， 由tan∠ABC＝ ，设AC＝a， 则BC＝2a， ∴AB＝ a. 由旋转的性质， 得∠CAE＝∠BAD， AC＝AE，AB＝AD， ∴∠ACE＝ （180°－∠CAE）， ∠ADB＝ （180°－∠BAD）， （答案图2） ∴∠ACE＝∠ADB，即∠ACF＝∠ADK. 又∵∠FAC＝∠KAD， ∴△AFC∽△AKD， ∴ ＝ . ∵BC平分∠ABD， ∴∠ABC＝∠KBC. 又∵∠BCA＝∠BCK＝90°， BC＝BC， ∴△ABC≌△KBC（ASA）， （答案图2） ∴AB＝BK＝AD＝ a， AC＝KC＝a， ∴AF＝ ＝ a. ∵S△ABK＝ ×2a×2a＝ BK·AR， ∴AR＝ a. 在Rt△ARB中， 由勾股定理可得BR＝ a. ∵AB＝AD，AR⊥BD， （答案图2） ∴BD＝2BR＝ a，∴ ＝ . $$专题十四　几何的计算与证明及几何探究问题 第3课时　与线段的和差倍分有关的几何问题 1. 如图，△ABC为等腰三角形，AB＝ AC. 点D，E分别在射线BA、射线BC 上，连接DE，将线段DE绕点D逆时针 旋转至DF，使得点F恰好在射线BC 上，旋转角为α. （1）当点C，E重合时，如图1，若α＝ 30°，∠B＝60°，AD＝4，求线段BC 的长度； 图1 （第1题） 解：（1）如答案图1，过点C作CG⊥BF，交BD于点G， ∴∠BCG＝90°. ∵将线段DE绕点D逆时针 旋转至DF， ∴DE＝DF，∠EDF＝α＝30°， ∴∠DEF＝∠DFE＝ ＝75°. ∵AB＝AC，∠B＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∠BGC＝90°－∠B＝30°， （答案图1） ∴AB＝BC＝AC，∠BDC ＝∠DEF－∠B＝15°， ∴∠GCD＝∠BGC－∠BDC＝15°， ∴∠GCD＝∠BDC，∴DG＝CG. ∵∠BGC＝30°， ∴BG＝2BC＝2AB，CG＝ BC， ∴AB＝AG，CG＝ AG， ∴DG＝CG＝ AG＝ （4－DG）， 解得DG＝6－2 ， ∴BC＝AB＝AG ＝4－（6－2 ）＝2 －2. （答案图1） （2）当点C，F重合时，如图2，AC与 DE交于点G，若DG＝EG，求证：BE ＝CE. 图2 （第1题） 解：（2）证明：如答案图2，在GC上截取GH＝GA，连接DH，EH，AE， （答案图2） ∵DG＝EG，AG＝GH， ∴四边形AEHD是平行四边形， ∴AE∥DH，AD∥EH， ∴∠GEH＝∠ADE. ∵DE＝DC，AB＝AC， ∴∠DEC＝∠DCE，∠B＝∠ACB， ∴∠DEC－∠B＝∠DCE－∠ACB， 即∠ADE＝∠DCA， ∴∠GEH＝∠DCA， ∴∠DEC－∠GEH＝∠DCE－∠DCA， 即∠HEC＝∠HCE， ∴EH＝CH， ∴点D，H在CE的垂直平分线上， ∴DH⊥CE， ∴AE⊥BC， ∴BE＝CE. （答案图2） 2. 如图1，已知等边△ABC，以B为直角 顶点向右作等腰直角△BCD，连接AD. （1）若AC＝6 ，求点D到AB边的距 离； 图1 （第2题） 解： （1）如答案图1，过点D作DE⊥AB交AB的延长线于点E. ∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝BC＝AC＝6 ， ∠ABC＝60°. ∵△BCD为等腰直角三角形， ∴BD＝BC＝6 ，∠CBD＝90°， ∴∠DBE＝180°－60°－90°＝30°. ∵∠DEB＝90°，∴DE＝ BD＝3 ， ∴点D到AB边的距离为3 . （答案图1） （2）如图2，过点B作AD的垂线，分别 交AD，CD于点E，F，求证：EF＝ CF＋BE. 图2 （第2题） 解：（2）证明：如答案图2，在EF上截取EG＝BE，连接AG，AF， （答案图2） ∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC， ∠ABC＝∠ACB＝∠CAB＝60°. ∵△BCD为等腰直角三角形， ∴BD＝BC，∠CBD＝90°， ∠BCD＝∠BDC＝45°， ∴AB＝BD，∠ABD＝150°.∵BE⊥AD， ∴AE＝DE，∠ABE＝ ∠DBE＝ ∠ABD＝75°. ∵BE＝GE，AE⊥BG， ∴AE垂直平分BG，∴AG＝AB， ∴∠AGB＝∠ABG＝75°， ∴∠AGF＝180°－75°＝105°. ∵∠ACF＝60°＋45°＝105°， ∴∠AGF＝∠ACF. ∵∠BDF＝45°，∠DBF＝75°， ∴∠DFB＝180°－45°－75°＝60°. （答案图2） ∵AE＝DE，BF⊥AD， ∴BF垂直平分AD，∴AF＝FD. 又∵BF⊥AD， ∴∠AFG＝∠DFB＝60°， ∴∠AFC＝180°－60°－60°＝60°， ∴∠AFC＝∠AFG. 又∵AF＝AF， ∴△AFC≌△AFG（AAS）， ∴FC＝FG， ∴EF＝FG＋EG＝CF＋BE. （答案图2） 3. （2024·巴蜀）△ABC为等腰直角三角 形，∠BAC＝90°，AB＝AC，线段 CA绕点C旋转至线段CF，点A的对应 点为F，连接AF. （1）如图1，CF在△ABC外部，且 ∠ACF＝60°，AF交BC于点N. 若BN ＝2，求AB的长度； 图1 （第3题） 解： （1）如答案图1，过点N作NM⊥AB 于点M，∵△ABC为等腰直角三角形， ∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝45°， ∴△BNM是等腰直角三角形. ∵BN＝2，∴MN＝BM＝ . ∵线段CA绕点C旋转至线段CF， ∠ACF＝60°， ∴△AFC是等边三角形， ∴∠FAC＝60°， ∴∠MAN＝90°－∠FAC＝30°， ∴AM＝ MN＝ ， ∴AB＝ ＋ . （答案图1） （2）如图2，CF在△ABC内部，延长 AF交BC于点D，延长CF交AB于点 E，∠ADC＝60°，将线段AF绕点A逆 时针旋转60°得到线段AG，H为CE的 中点，连接HG并延长交AC于点M，求 证：FH＋HG＝2HM. 图2 （第3题） 解：（2）证明：如答案图2，连接AH， ∵△ABC为等腰直角三角形， ∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠B＝45°. ∵∠ADC＝60°， ∴∠BAD＝∠ADC－∠B＝15°， ∴∠FAC＝75°. ∵线段CA绕点C旋转至线段CF， ∴CA＝CF， ∴∠AFC＝∠FAC＝75°， ∴∠ACE＝30°， （答案图2） ∴AE＝ EC. ∵在Rt△AEC中， H为CE的中点， ∴AH＝EH＝CH＝ EC， ∴AE＝AH＝EH， ∴△AEH是等边三角形， ∴∠EAH＝∠AEH＝∠EHA＝60°. ∵∠FAG＝60°，∴∠EAF＝∠HAG. 又∵AE＝AH，AF＝AG， ∴△AEF≌△AHG（SAS）， （答案图2） ∴EF＝HG，∠AHG＝∠AEF＝60°， ∴∠CHM＝∠AHM＝60°. ∵AH＝CH，∴HM⊥AC， ∴CH＝2HM＝EH＝EF＋FH， ∴FH＋HG＝2HM. （答案图2） 4. （2024·八中）如图，在△ABC中， AB＝AC. （1）如图1，D为边BC的中点，连接 AD，过点C作CE⊥AB于点E，交AD 于点F，连接BF. 若AD＝2BD＝4，求 △ABF的面积； 图1 　 图2 （第4题） 解：（1）∵AB＝AC，D为边BC的中点， ∴BD＝CD，AD⊥BC， ∴∠BAD＋∠ABD＝90°. ∵CE⊥AB， ∴∠BCE＋∠ABD＝90°， ∴∠BAD＝∠BCE. ∵AD＝2BD＝4，∴BD＝2， ∴tan∠BAD＝tan∠BCE＝ ＝ ＝ ， ∴DF＝ CD＝ BD＝1， ∴AF＝AD－DF＝4－1＝3， ∴S△ABF＝ AF·BD＝ ×3×2＝3. （2）如图2，∠BAC＝60°，D，E分 别为BC，AB边上的点，且CD＝BE， 连接CE交AD于点G. 若F为AC的中 点，连接BG，FG，猜想线段BG和FG 之间存在的数量关系，并证明你的猜想. 图1 　图2 （第4题） 解：（2）BG＝2FG，证明如下： ∵∠BAC＝60°，AB＝AC， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝∠ABC＝∠BAC＝60°， AB＝BC＝AC. 在△ACD与△CBE中， ​ ∴△ACD≌△CBE（SAS）， ∴∠CAD＝∠BCE， ∴∠AGE＝∠ACG＋∠CAD ＝∠ACG＋∠BCE＝∠ACB＝60°. 如答案图，在GE上截取GH＝CG，连接AH，把△ACD绕着点A顺时针旋转60°得到△ABM，延长CE交AM于点N，连接BN， ∴AD＝AM，∠GAN＝60°， ∠ADC＝∠AMB，BM＝CD， ∴△AGN是等边三角形， ∴AG＝AN＝GN， ∠ANG＝∠AGN＝60°， ∴AM－AN＝AD－AG， 即MN＝DG. （答案图） 在△CDG与△BMN中， ​ ∴△CDG≌△BMN（SAS）， ∴∠CGD＝∠BNM＝∠AGN＝60°， CG＝BN. 又∵∠ANG＝60°， ∴∠GNB＝60°. ∵CG＝GH， ∴BN＝GH. （答案图） 又∵∠BNG＝∠HGA＝60°， NG＝GA， ∴△BNG≌△HGA（SAS）， ∴BG＝AH. ∵GH＝CG，F为AC的中点， ∴AH＝2FG， ∴BG＝2FG. （答案图） $$专题十四　几何的计算与证明及几何探究问题 第4课时　含2或3倍的线段关系问题 1. 如图，在等腰直角三角形ABC中， AB＝AC，∠BAC＝90°，过点A作 AP∥BC，连接CP交AB于点O，连接 BP. （第1题） （第1题） （1）如图1，若∠BOP＝75°，BC＝ 6 ＋6，求线段OC的长； 解：（1）如答案图1，过点O作OE⊥BC于点E. ∵在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝45°， ∴△BEO为等腰直角三角形.∴BE＝EO. ∵∠BOP＝75°， ∴∠OCE＝75°－∠ABC＝30°. 在Rt△CEO中，∵∠OCE＝30°， ∴OC＝2EO， EC＝ EO. 设BE＝EO＝x， 则EC＝ x， （答案图1） ∴BC＝BE＋EC＝（ ＋1）x ＝6 ＋6. ∴x＝6，∴OC＝12. （答案图1） （第1题） （2）如图2，点K为BC的中点，连接AK，延长AK至点Q，使AQ＝AP，连接CQ. 若PB＝PO，求证：OC＝ OP. 解：（2）证明：如答案图2，连接OQ， 在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点 K为BC的中点， ∴∠3＝∠1＝∠2＝ ∠BAC＝45°. ∵AP∥BC，∴∠3＝∠4＝45°. ∴∠4＝∠1＝∠2.在△ABP和△ACQ中， （答案图2） ∴△ABP≌△ACQ（SAS）. ∴BP＝CQ，∠BPA＝∠5. 在△APO和△AQO中， ∴△APO≌△AQO（SAS）. ∴PO＝QO，∠7＝∠6. ∵PO＝BP，∴QO＝CQ. 在等腰△PBO中， 设∠8＝2α， ∴∠PBO＝∠9＝90°－α. （答案图2） ∴∠10＝90°－α. ∴∠6＝∠7＝∠10－∠4＝45°－α. ∴∠5＝∠BPA＝∠7＋∠8＝45°＋α. ∴∠OQC＝∠6＋∠5＝90°. ∴△OQC为等腰直角三角形. ∴OC＝ QO＝ OP. （答案图2） 2. （2024·西附）在△ABC中，∠ACB＝ 90°，AC＝BC，点D为平面内一点. （1）如图1，若点D在线段AC上，且 ∠ABD＝∠CBD，求tan∠CBD的值； 图1 图2 （第2题） 解：（1）如答案图1，过点D作 DH⊥AB于点H，则∠AHD＝∠BHD ＝90°. ∵∠ACB＝90°，∠ABD＝∠CBD， ∴DC＝DH. 设DC＝DH＝x. ∵∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴∠A＝∠ABC＝45°. ∵∠AHD＝90°， ∴△ADH是等腰直角三角形， ∴AD＝ DH＝ x， （答案图1） ∴BC＝AC＝（ ＋1）x， ∴tan∠CBD＝ ＝ ＝ －1. （答案图1） （2）如图2，若点D为△ABC内部一 点，且∠CDB＝135°，连接AD，点E 为AD的中点，连接CE，求证： BD ＋CD＝ CE. 图1 图2 （第2题） （2）证明：如答案图2，过点C作 CJ⊥CD交BD的延长线于点J，延长 CE至点K，使EK＝EC，连接AK. ∵∠CDB＝135°，CJ⊥CD， ∴∠CDJ＝180°－135°＝45°， ∴△CDJ是等腰直角三角形， ∴CD＝CJ，DJ＝ CD. ∵点E为AD的中点， ∴AE＝ED. （答案图2） 在△AEK和△DEC中， ​ ∴△AEK≌△DEC（SAS）， ∴AK＝DC＝CJ，∠AKE＝∠DCE， ∴AK∥CD. 设∠DCB＝α，则∠JCB＝90°＋α， ∠ACD＝90°－α，∠KAC ＝180°－（90°－α） ＝90°＋α， （答案图2） ∴∠JCB＝∠KAC. 在△KAC和△JCB中， ​ ∴△KAC≌△JCB（SAS）， ∴CK＝BJ＝2CE. 又∵BJ＝BD＋DJ，∴2CE＝BD＋ CD， ∴ BD＋CD＝ CE. （答案图2） 3. （2024·重庆A卷节选）在△ABC中， AB＝AC，点D是BC边上一点（点D不 与端点重合）.点D关于直线AB的对称 点为点E，连接AD，DE. 在直线AD上 取一点F，使∠EFD＝∠BAC，直线 EF与直线AC交于点G. （第3题） （1）如图，若∠BAC＝60°，BD＜ CD，∠BAD＝α，求∠AGE的度数（用 含α的代数式表示）； （第3题） 解：（1）∵BD＜CD， ∴点F在线段AD上. ∵∠EFD＝∠BAC，∠BAC＝60°， ∴∠AFG＝∠EFD＝60°. ∵∠BAD＝α，∴∠FAG＝60°－α. ∵∠AGE＋∠AFG＋∠DAC＝180°， ∴∠AGE＝180°－60°－（60°－α） ＝60°＋α. （2）如图，若∠BAC＝60°，BD＜CD，用等式表示线段CG与DE之间的数量关系，并证明. （第3题） （2）DE＝ CG. 证明如下： 在CG上截取CM＝BD，连接BM， BE，BM交AD于点H，如答案图， （答案图） ∵AB＝AC，∠BAC＝60°， ∴△ABC为等边三角形， ∴∠ABC＝∠C＝60°，BC＝AB， ∴△ABD≌△BCM（SAS）， ∴∠3＝∠4， ∴∠AHM＝∠3＋∠5 ＝∠4＋∠5＝∠ABC＝60°. ∵∠EFD＝∠BAC＝60°， ∴∠AHM＝∠EFD，∴EG∥BM. ∵点D关于直线AB的对称点为点E， ∴BE＝BD，∠ABE＝∠ABD＝60°， （答案图） ∴∠EBC＝120°， ∴∠EBC＋∠C＝180°， ∴EB∥AC， ∴四边形EBMG是平行四边形， ∴BE＝GM，∴BE＝GM＝BD＝CM， ∴CG＝2BD. 记AB与DE的交点为点N， 则由轴对称可知，DE⊥AB，NE＝ND， 在Rt△DNB中，DN＝BD· sin ∠ABC ＝ BD， ∴DE＝2DN＝ BD， ∴ ＝ ＝ ， 即DE＝ CG. （答案图） 4. （2024·巴蜀）如图1，在等腰△ABC 中，∠ABC＝∠ACB＝30°，AB＝AC ＝2，D是BC边上一动点，以AD为边 在AD的右侧作一个等边△ADE. （1）当AD与BC所夹锐角为45°时， 求CD的长； 图1 图2 （第4题） 如答案图1，当点D在BH的延长线上时， ∵∠C＝30°，AC＝2， ∴AH＝AC· sin C＝1， CH＝AC· cos C＝ . ∵∠ADB＝45°，∠AHC＝90°， ∴∠DAH＝∠ADH＝45°， ∴DH＝AH＝1， ∴CD＝CH－DH＝ －1； 解：（1）作AH⊥BC于点H， ∴∠AHC＝90°. 　（答案图1） 如答案图2，当点D在BH上时， 由前面计算知：CH＝ ，DH＝1， ∴CD＝CH＋DH＝ ＋1. 综上所述，CD＝ －1或 ＋1. 　（答案图2） （2）如图2，连接BE，取BE的中点 F，连接AF，DF. 求证：AB＝ AF ＋DF. 图1 图2 （第4题） （2）证明：如答案图3，过点D作 DK⊥AC于点K，延长AF到点M，使 得FM＝AF，连接BM，BM和AD所在 的直线交于点N. ∵△ADE是等边三角形， ∴AD＝AE，∠DAE＝60°. ∵点F是BE的中点， ∴EF＝BF. 在△AFE和△MFB中， ​ 　（答案图3） ∴△AFE≌△MFB（SAS）， ∴BM＝AE＝AD，∠MBF＝∠AEF， ∴BM∥AE，∴∠N＝∠DAE＝60°， ∴∠ABM＋∠BAD＝120°. ∵∠BAC＝120°， ∴∠BAD＋∠CAD＝120°， ∴∠ABM＝∠DAC. 在△ABM和△CAD中， ​ 　（答案图3） ∴△ABM≌△CAD（SAS）， ∴∠BAM＝∠C＝30°，AM＝CD， ∴∠CAF＝∠BAC－∠BAM ＝120°－30°＝90°. ∵DK⊥AC， ∴∠CKD＝90°＝∠CAF， ∴FA∥DK. ∵∠C＝30°， 　（答案图3） ∴CD＝2DK，CK＝ DK. ∵AM＝2FA， ∴FA＝DK， ∴四边形AFDK是平行四边形， ∴DF＝AK， ∴AC＝AK＋CK＝DF＋ DK ＝DF＋ AF， ∴AB＝ AF＋DF. 　（答案图3） $$专题十四　几何的计算与证明及几何探究问题 第5课时　与角度有关的几何问题 1. 如图，在▱ABCD中，E为AB边上一 点，连接DE，F为DE的中点， CF⊥DE，M为线段CF上一点，使DM ＝BE，CM＝BC. （1）若AB＝13，CF＝12，求DE的长； （第1题） 解： （1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD＝AB＝13. 又∵CF⊥DE，CF＝12，∴DF＝5. 又∵F为DE的中点，∴DE＝2DF＝10. （2）求证：∠DCM＝ ∠DMF. （第1题） 解：（2）证明：如答案图，连接CE. ∵CF⊥DE，F为DE的中点， ∴CD＝CE，∴∠DCF＝∠ECF. 又∵CM＝CB，DM＝EB， ∴△CDM≌△CEB（SSS）. ∴∠CDM＝∠CEB. ∵四边形ABCD是平行四边形， （答案图） ∴∠CDM＝2∠DCM. ∴∠DMF＝∠CDM＋∠DCM＝3∠DCM. ∴∠DCM＝ ∠DMF. ∴AB∥DC，∴∠CEB＝∠ECD. ∴∠CEB＝∠DCM＋∠ECF＝2∠DCM. （答案图） 2. 在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC. 图1 （第2题） （1）如图1，在AB边上找一点E，连 接CE，使得∠ACE＝30°，过点B作 CE的垂线交CE的延长线于点G，延长 BG，CA交于点D. 若AD＝3，求CE的 长； 解： （1）∵∠ACE＝30°， ∠BAC＝90°，∴∠AEC＝60°＝∠BEG. ∵∠BGE＝90°， ∴∠DBA＝90°－60°＝30°＝∠ACE. 在Rt△ADB中，AD＝3，∠DBA＝30°， ∴BD＝2AD＝6.在△ACE和△ABD中， ∴△ACE≌△ABD（ASA）， ∴CE＝BD＝6. （2）如图2，在△ABC内部找一点E，连接BE，将BE绕点E顺时针旋转至FE，FE交AC于点O，使得∠ABE＋∠AOE＝180°，连接CF，取CF的中点D，连接AD，DE，AE. 求证：△ADE是等腰直角三角形. 图2 （第2题） ∵D为CF的中点， ∴DF＝DC. 在△ADC和△GDF中， ∴△ADC≌△GDF（SAS）， ∴AC＝GF＝AB，∠DCA＝∠DFG， ∴AC∥FG，∴∠EOC＝∠EFG. （2）证明：如答案图，延长AD到点 G，使DG＝AD，连接EG，FG，CG. （答案图） ∵∠ABE＋∠AOE＝180°， ∠EOC＋∠AOE＝180°，∠BAC＝90°， ∴∠ABE＝∠EOC＝∠EFG， ∠FEB＝360°－180°－90°＝90°. 由旋转可知，BE＝FE. 在△ABE和△GFE中， （答案图） ∴△ABE≌△GFE（SAS）， ∴AE＝EG，∠AEB＝∠FEG， ∴∠AEG＝∠AEF＋∠FEG＝∠AEF ＋∠AEB＝∠BEF＝90°. 又∵AD＝DG，AE＝EG， ∴AD＝DG＝DE，DE⊥AG， 即AD＝DE，AD⊥DE， ∴△ADE是等腰直角三角形. （答案图） 3. （2024·南开）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是AB边上一点，连接CD. （1）如图1，当∠B＝67.5°且 CD⊥AB时，将线段DC绕着点D逆时针 旋转到DC'，连接AC'，CC'，若∠CDC' ＋∠CAC'＝45°，求∠ADC'的度数； 图1 （第3题） 解：（1）∵AB＝AC，∠B＝67.5°， ∴∠ACB＝∠B＝67.5°， ∴∠BAC＝45°.∵CD⊥AB， ∴∠ACD＝∠BAC＝45°， ∴AD＝CD，设∠CDC'＝α， 则∠ADC'＝90°－α. ∵∠CDC'＋∠CAC'＝45°， ∴∠CAC'＝45°－α， ∴∠DAC'＝∠BAC＋∠CAC'＝ 45°＋（45°－α）＝90°－α， ∴∠DAC'＝∠ADC'，∴AC'＝DC'. ∵线段DC绕着点D逆时针旋转到DC'， ∴DC＝DC'， ∴AC'＝DC'＝AD， ∴∠ADC'＝60°. （2）如图2，过点D作DE⊥BC于点 E，线段BD的垂直平分线交DE于点 F，点G为线段CD的中点，连接AG， FG，AF，BF，求证：AG⊥FG. 图2 （第3题） 解：（2）证明：如答案图，延长AG至点W，使WG＝AG，连接DW，FW，CW，DW交BC于点V. ∵G是CD的中点， ∴DG＝CG， ∴四边形ACWD是平行四边形， ∴DW＝AC，DW∥AC， ∴∠WDB＝∠CAB， ∠ACB＝∠DVB. ∵AC＝AB， 　（答案图） ∴∠ACB＝∠ABC，DW＝AB， ∴∠DVB＝∠ABC， ∴DB＝DV. ∵DE⊥BC，∴∠VDE＝∠BDE. ∵点F在BD的垂直平分线上， ∴DF＝BF， ∴∠ABF＝∠BDF， ∴∠ABF＝∠VDE， ∴△ABF≌△WDF（SAS）， ∴AF＝FW. 又∵AG＝GW，∴AG⊥FG. 　（答案图） 4. 在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝ α，点D是BC边上任意一点，点E是直 线AD上一动点，连接BE，将BE绕点B 顺时针旋转，旋转角为α，得到线段 BF，连接EF. 图1 图2 （第4题） （1）如图1，若AC＝6，α＝90°， ∠BAD＝15°，点F在射线AD上，求 BF的长； 图1 （第4题） 解：（1）如图1，过点B作BH⊥AF于 点H. 图1 图1 由题意可知，AC＝BC＝6， ∠ACB＝90°，∠EBF＝∠ACB＝90°，BE＝BF，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∠BEF＝∠F＝45°. ∵∠BAD＝15°，∴∠ADC＝∠BDF＝∠BAD＋∠ABC＝60°， ∠CAE＝∠CAB－∠BAD＝30°. ∴在Rt△ACD中，CD＝ AC·tan30°＝2 . 由题意可知，AC＝BC＝6， ∠ACB＝90°， ∠EBF＝∠ACB＝90°，BE＝BF， ∴∠CAB＝∠CBA＝45°， ∠BEF＝∠F＝45°. ∵∠BAD＝15°， ∴∠ADC＝∠BDF＝ ∠BAD＋∠ABC＝60°， 图1 ∠CAE＝∠CAB－∠BAD＝30°. ∴在Rt△ACD中，CD＝AC·tan30°＝ 2 . ∴BD＝BC－CD＝6－2 . 在Rt△BDH中，∠BDF＝60°， ∴BH＝BD· sin 60°＝3 －3. 在Rt△BHF中，∠F＝45°， ∴BF＝ BH＝3 －3 . 图1 （2）如图2，若BF∥AD，CG⊥AE于 点G，2∠ABF－3∠EBF＝4∠BAE， 求证：BE＋GE＝ AC. 图2 （第4题） 解：（2）证明：如图2，过点C作 CP⊥BE，交BE的延长线于点P. ∵BF∥AD，∴∠BAE＋∠ABF＝180°， ∠AEB＝∠EBF. ∵2∠ABF－3∠EBF＝4∠BAE， ∴2（180°－∠BAE）－3∠EBF＝ 4∠BAE， 化简，得2∠BAE＋∠EBF＝120°. 由题意，可知AC＝BC＝6， 图2 图2 ∠AEB＝∠EBF＝∠ACB＝α， BE＝BF， ∴∠ABC＝∠BAC. ∵∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝180°， ∴2∠BAC＋∠ACB＝2∠BAE＋2∠CAE＋∠EBF＝2∠CAE＋120°＝180°，∴∠CAE＝30°. ∵CG⊥AE，∴∠AGC＝90°， ∴CG＝ AC＝ BC， AG＝ AC. ∵在△ADC和△BDE中， 图2 ∠ADC＝∠BDE，∠ACD＝∠BED， ∴∠CBE＝∠CAE＝30°， ∴CP＝ BC，∴CG＝CP. 又∵CE＝CE，AC＝BC， ∴Rt△CAG≌Rt△CBP（HL）， Rt△CEG≌Rt△CEP（HL）， ∴GE＝PE，AG＝BP， ∴BP＝BE＋PE＝BE＋GE ＝AG＝ AC， ∴BE＋GE＝ AC. 图2 $$专题十四　几何的计算与证明及几何探究问题 第6课时　与存在性有关的几何问题 1. （2024·南岸区）在△ABC中，AB＝ AC，D是平面内一点，连接AD. 将AD 绕点A逆时针旋转一定角度α（0°＜α＜ 180°），得到AE，且满足α＋∠BAC ＝180°，连接BE，CE. 图1 图2 （第1题） （1）如图1，若∠BAC＝90°，D是 BC边上一点，求∠BCE的度数； 图1 （第1题） ∴∠ACE＝∠ABD. ∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°， ∴∠ACE＝∠ABC＝45°， ∴∠BCE＝∠ACE＋∠ACB＝90°. 解：（1）由旋转的性质，得AD＝AE，∠DAE＝α. ∵α＋∠BAC＝180°，∠BAC＝90°，∴α＝90°，∴∠BAD＋∠DAC ＝∠CAE＋∠DAC＝90°， ∴∠BAD＝∠CAE. 又∵AB＝AC， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， （2）如图2，D是平面内一点，连接CD，F是BE的中点，连接AF. 若α＝ 120°，在直线CE上存在一点M，使以 点A，E，F，M为顶点的四边形是锐 角为60°的菱形，求 的值. 图2 （第1题） ∴∠ABC＝60°. 当以点A，E，F，M为顶点的四边形 是锐角为60°的菱形时， 由题意可知，AF与ME为菱形的对边， 则△AEF为等边三角形. 解：（2）∵α＋∠BAC＝180°， α＝120°，∴∠BAC＝60°. 又∵AB＝AC， ∴△ABC为等边三角形， ∴ ＝ ＝tan∠ABE＝ . ∴∠FAE＝∠AFE＝∠AEF＝60°， AF＝AE＝EF. ∵F是BE的中点，∴BF＝EF＝AF， ∴∠BAF＝∠ABF＝30°， ∴∠BAE＝90°， 2. （2024·江北区）在Rt△ABC中， ∠ACB＝90°，AC＝BC，过点B作直 线l，点M在直线l上，连接CM， AM，且CM＝BC，过点C作CN⊥AM 于点N. 图1 图2 备用图 （第2题） （1）如图1，猜想∠ACN和∠MCN有 怎样的数量关系，并证明你的猜想； 解：（1）∠ACN＝∠MCN. 证明如下： ∵AC＝BC，CM＝BC，∴AC＝CM. ∵CN⊥AM，∴∠ACN＝∠MCN. 图1 （第2题） （2）如图2，直线CN交直线l于点H， 求证： CH＝HB＋HM； 图2 （第2题） （答案图1） ∴∠HCB＋∠DCB＝90° ＝∠HCB＋∠HCA， 即∠DCB＝∠HCA， ∴∠DCB＝∠HCM. ∵BC＝MC， （2）证明：如答案图1，过点C作 CD⊥CH交直线l于点D， ∴BD＝HM，CD＝CH， ∴∠CDB＝∠CHM＝45°. ∴DH＝ CH. ∵DH＝HB＋BD＝HB＋HM， ∴∠CBM＝∠CMB， ∴∠CBD＝∠CMH. ∴△CBD≌△CMH（ASA）， （答案图1） （3）在图2的基础上，已知BC＝4，在 直线l绕点B旋转的过程中，当∠CBM ＝15°时，求MH的长度. ①当点M在BC上方时，如答案图2. （答案图2） ∵CM＝BC＝AC＝4，∠CBM＝15°， ∴∠CMB＝∠CBM＝15°， 解：（3）分两种情况分析： ∴∠MCB＝150°， ∴∠MCA＝∠MCB－∠ACB＝60°. ∵MC＝AC，CN⊥AM， ∴∠MCN＝ ∠MCA＝30°， ∴MN＝ CM＝2，∠CMN＝60°， ∴∠HMN＝∠CMN－∠CMB＝45°， ∴∠MHN＝45°＝∠HMN， ∴MH＝ MN＝2 ； ②当点M在BC下方时，如答案图3， （答案图3） （答案图2） 同理可得，∠MCB＝150°， ∴∠MCA＝360°－∠MCB －∠ACB＝120°， ∴∠MCN＝ ∠MCA＝60°， ∴∠CMN＝30°， ∴CN＝ CM＝2，MN＝ CM＝2 . ∵∠HMN＝∠CMB＋∠CMN＝45°， ∴∠MHN＝∠HMN＝45°， ∴MH＝ MN＝2 . 综上所述，MH的长为2 或2 . （答案图3） 3. （2024·外语校）如图，在△ABC中， AD平分∠CAB交BC边于点D，在CA 边上取点E，使得CE＝CD，连接DE. 图1 图2 图3 （第3题） （1）如图1，当∠ABC＝100°时，求 ∠ADE的大小； 图1 （第3题） 解：（1）设∠CAB＝2x. ∵∠ABC＝100°， ∴∠ACB＝180°－∠ABC－∠CAB ＝180°－100°－2x＝80°－2x. ∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠CED ＝ ＝50°＋x. ∵AD平分∠CAB， ∴∠DAE＝ ∠CAB＝x， ∴∠ADE＝∠CED－∠DAE ＝50°＋x－x＝50°. （2）如图2，过点C作CF⊥ED于点 F，当AB＝BC时，求证：AD＝2CF； 图2 （第3题） 解：（2）证明：取AE的中点G，连接FG，如答案图1. （答案图1） ∵AB＝BC，∴∠CAB＝∠ACB. ∵CE＝CD，CF⊥ED， ∴F是ED的中点， ∠ECF＝∠DCF. 又∵点G是AE的中点， ∴GF∥AD且AD＝2GF， ∴∠CGF＝∠CAD＝ ∠CAB＝ ∠ACB＝∠GCF， ∴GF＝CF，∴AD＝2GF＝2CF. （3）如图3，在（2）问的条件下，连 接BE，当BE⊥AD时，在四边形 ABDE内部是否存在点Q，使得点Q到 四边形ABDE四条边的距离相等？若存 在，求 sin ∠QEB的值；若不存在，请 说明理由. 图3 （第3题） 又∵AD＝AD， ∴△AED≌△ABD（SSS）， ∴∠AED＝∠ABD，∠ADE＝∠ADB， ∴AD平分∠EDB. 当点Q为∠ABD角平分线BI与AD交点 时，点Q到四边形ABDE四条边的距离 相等. ∵AB＝BC，设∠CAB＝2y， 则∠ACB＝2y， 解：（3）存在.理由如下： ∵BE⊥AD，AD平分∠EAB，∴易证 AB＝AE，DE＝DB. ∴∠AED＝∠ABD ＝180°－∠ACB－∠BAC ＝180°－4y. ∵CE＝CD， ∴∠CED＝∠CDE＝ ＝ （180°－2y）＝90°－y. ∵∠AED＋∠CED＝180°， 即180°－4y＋90°－y＝180°， ∴y＝18°， ∴∠CAB＝∠ACB＝2y＝36°. 作∠CDE的平分线DG交AC于点G，如 答案图2， （答案图2） ∴∠EDG＝∠CDG＝ × ＝36°＝∠ECD， ∴DG＝CG，∠DGE＝72°， ∴∠DEG＝72°＝∠DGE， ∴CG＝DG＝DE. 设CE＝CD＝a，DE＝b， 则GE＝CE－CG＝CE－DE＝a－b. 易知△CED∽△DEG， ∴ ＝ ，即 ＝ ， 解得b＝ a或b＝ a（舍去）， ∴ ＝ ＝ ， ∴ sin ∠FCD＝ sin 18° ＝ ＝ ＝ . ∵∠CAB＝∠ACB＝36°， ∴∠ABC＝108°. ∵BI平分∠ABC， （答案图2） ∴∠QBD＝ ∠ABC＝54°. ∵AD平分∠CAB， ∴∠BAD＝ ∠BAC＝18°， ∴∠BDA＝54°.∵BE⊥AD， ∴∠DBE＝90°－∠ADB ＝90°－54°＝36°， ∴∠QBE＝∠DBQ－∠DBE ＝54°－36°＝18°， 由对称性可知，∠QEB＝∠QBE＝18°. ∴ sin ∠QEB＝ sin 18°＝ . （答案图2） $$专题十四　几何的计算与证明及几何探究问题 第7课时　与最值有关的几何问题（一） 1. 在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝ CB，D为线段CB上一点，连接AD，将 线段AD绕着点A逆时针旋转α（0°＜α ＜90°）得到线段AD'，延长AD'交CB 延长线于点E. （1）如图1，当点D与点C重合时，连 接CD'，若AC＝3，D'E＝2，求线段CD' 的长； 图1 （第1题） 解：（1）由旋转的性质， 得AD'＝AC＝3. 如答案图1，过点D'作D'M⊥AC于点M， （答案图1） 则∠AMD'＝∠CMD'＝90°. ∵∠AMD'＝∠ACE＝90°， ∴D'M∥EC. ∴ ＝ ＝ . ∴AM＝ AC＝ ，CM＝ AC＝ . 在Rt△AMD'中，D'M＝ ＝ . 在Rt△CMD'中， CD'＝ ＝ . （答案图1） （2）如图2，当α＝45°时，过点B作 BF⊥BC交AE于点F，过点F作FG⊥AC，垂足为G，AD与FG交于点 H，求证：CD＝BF－GH； 图2 　　 （第1题） 解： （2）证明：如答案图2，过点F作 FK⊥AD交AC于点T，垂足为K，则 ∠FKA＝∠AKT＝90°. （答案图2） ∵FG⊥AC，FB⊥EC， ∴∠FGC＝∠FBC＝∠ACB＝90°. ∴四边形BFGC为矩形. ∴FG＝BC＝AC，BF＝GC. ∵∠FGT＝∠AKT＝90°， ∴∠HFK＝90°－∠GTF＝∠TAK. ∵∠AKF＝90°，∠FAK＝45°， ∴∠AFK＝90°－∠FAK＝45°＝ ∠FAK. ∴AK＝FK. 又∵∠AKT＝∠FKH， （答案图2） ∴△AKT≌△FKH（ASA）. ∴FH＝AT. ∵∠ACD＝∠FGT， ∴△ACD≌△FGT（ASA）. ∴CD＝GT. ∴CD＝GT＝AT－AG ＝FH－（AC－GC） ＝FG－HG－（FG－GC） ＝GC－GH＝BF－GH. （答案图2） （3）如图3，当点D与点B重合且α＝ 30°时，将△D'AB沿着AB边翻折到同 一平面内得到△D″AB，点P，Q分别为 线段AB，AD″上的动点，且AP＝ D″Q，连接D'Q，PD″，当D'Q＋PD″ 取得最小值时，请直接写出 的值. 图3　　 （第1题） 解：（3） ＝ .提示：如答案图 3，连接D'D″，连接并延长D″C至点T 使D″T＝AD″，连接TD'，TP，作 CS⊥AB于点S，D'D″交AB于点R. （答案图3） ∵△D″AB是由△D'AB沿AB翻折得到 的，且∠D'AB＝30°， ∴∠D'AB＝∠BAD″＝30°， AD'＝AD″，BD'＝BD″，AB⊥D'D″. ∴∠D'AD″＝60°. ∴△D'AD″是等边三角形. 易得CS＝ AB＝ D'D″＝D″R. 易证得四边形CSRD″为矩形， ∴AR∥TD″， ∴∠AD″T＝∠BAD″＝30°，∴∠D'D″T＝90°. （答案图3） ∵D″T＝AD″＝D'D″， ∴△D'D″T为等腰直角三角形， ∴∠T＝45°. ∵AP＝D″Q，易证得 △AD″P≌△D″TQ（SAS）. ∴D″P＝TQ. 则D'Q＋D″P＝D'Q＋TQ≥D'T. 当点D'，Q，T共线时取得最小值. 如答案图4，∠AD″P＝∠T＝45°. ∴∠BPD″＝∠PD″C＝75°， （答案图3） （答案图4）　 ∴∠PD″R＝90°－∠PD″C＝15°. 设PR＝x，则易得RD″＝（2＋ ）x，PD″＝（ ＋ ）x， ∴D″Q＝AP＝（2＋2 ）x（过点P 作AD″的垂线）， 易得此时PQ＝PD″＝（ ＋ ）x. 易得PR＝BR， ∴AD'＝D'D″＝（4＋2 ）x. （答案图4）　 ∴ ＝ . 2. （2024·巴南区）把△ABC的BC边绕 点C逆时针旋转90°得到线段CD，连接 BD，过点D作DE⊥AB于点E，连接 CE. 图1 图2 图3　　 （第2题） 解： （1）由旋转得，CD＝CB， ∠BCD＝90°， ∵BD＝2 ，∴BC＝2 . ∵∠ACB＝90°， ∴AC＝ ＝ ＝2. （1）如图1，已知∠ACB＝90°，DB ＝2 ，AB＝4.求AC的长； 图1 （第2题） （2）如图2，求证：DE＝ CE＋BE； 图2 （第2题） （答案图1） 由旋转，得CD＝CB，∠BCD＝90°， ∴∠BDC＝45°. ∵DE⊥AB， ∴∠AED＝∠BED＝∠BCD＝90°， ∴B，D，C，E四点共圆， 解： （2）证明：如答案图1，过点C作 CF⊥CE交AB于点F，∴∠ECF＝90°. ∴∠CED＝∠CBD＝45°， ∴∠CEF＝45°. ∵CF⊥CE， ∴∠CFE＝∠CEF＝45°， ∴CE＝CF，∴EF＝ CE. ∵∠ECF＋∠BCE＝∠DCB＋∠BCE， ∴∠BCF＝∠DCE， ∴△BCF≌△DCE（SAS）， ∴BF＝DE， ∴DE＝EF＋BE＝ CE＋BE. （答案图1） （3）如图3，已知∠ACB＝150°， ∠A＋∠BCE＝45°，将△BCE沿着直 线BC折叠，得到△BCE'，连接EE'， M是直线AB上的一个动点，当CM＋ AM的最小值为6＋3 时，求△BEE' 的面积. 图3　　 （第2题） 解： （3）如答案图2，将AM绕点A顺 时针旋转60°至AA'，连接A'M，过点M 作MN⊥AA'于点N， （答案图2） ∴∠MAN＝60°，∠MNA＝90°， ∴MN＝AM· sin 60°＝ AM， ∠AMN＝30°， ∴CM＋ AM＝CM＋MN. 当C，M，N三点共线时，CM＋MN的 值最小，此时CM＋ AM的值最小， ∴CN＝CM＋MN＝6＋3 . 由（2）得，∠CEA＝45°， ∴∠BCE＋∠CBE＝45°. ∵∠BAC＋∠BCE＝45°， ∴∠BAC＝∠CBE，∴AC＝BC. ∵∠ACB＝150°，∴∠CBE＝15°， ∴∠CAN＝75°，∠BCE＝30°. （答案图2） ∴∠ACN＝15°＝∠CAM， ∴CM＝AM. ∵MN＝ AM＝ CM， CM＋MN＝6＋3 ， ∴CM＝AM＝6. 如答案图2，过点C作CH⊥AB于点H. ∵∠CMH＝∠AMN＝30°， ∴CH＝ CM＝3，HM＝3 ， ∴HE＝CH＝3，CE＝ CH＝3 ， BH＝AH＝AM＋MH＝6＋3 ， （答案图2） ∴BE＝BH－EH＝3＋3 . 由翻折，得BC⊥EE'， ∠BCE＝∠BCE'＝30°，CE＝CE'， ∴△CEE'是等边三角形. ∵S△BCE＝ BE·CH ＝ ×（3＋3 ）×3＝ ＋ . ∴S△BEE'＝2S△BCE－S△CEE' ＝2×（ ＋ ）－ ×（3 ）2 ＝9＋ . （答案图2） $$专题十四　几何的计算与证明及几何探究问题 第8课时　与最值有关的几何问题（二） 1. 如图，四边形ABCD为菱形，AB＝m，∠DAB＝60°，F为BC上任意一点，连接DF，BD，H为DF上任意一点. （1）若DF⊥BC，求DF的长（用m表 示）； （第1题） 解：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∠DAB＝60°， ∴BC＝AB＝DC＝m，△BCD是等边 三角形. ∴BD＝BC＝m. ∵DF⊥BC，∴DF＝ DC＝ m. （2）在点F的运动过程中，当HB＋ HC＋HD的值最小时，请直接写出HF 的长（用m表示）. （第1题） 解：（2）如答案图，在线段DF上任取 一点H，连接BH，CH. （答案图） 将△DHC绕点D逆时针旋转60°得到 △DH'C'，连接HH'. 由旋转的性质可知，CH＝C'H'，DH ＝DH'，∠HDH'＝60°， ∴△DHH'为等边三角形， ∴∠DHH'＝60°，DH＝HH'. 观察图象可知，当B，H，H'，C'四点 在一条直线上时， BH＋HC＋HD的值最小， 为BC'的值. （答案图） 此时∠BHD＝120°＝∠DHC， ∴H为△BDC的中心. 此时，DF⊥BC，HF＝ DF. 由（1）得，DF＝ m， ∴HF＝ × m＝ m. （答案图） 2. （2024·八中）在Rt△ABC中，AB＝ BC，∠ABC＝90°，点D是边BC上一 点，连接AD，∠ABD的平分线交AD于 点E. （1）如图1，若∠BAD＝30°，CD＝2，求DE的长； 解：（1）如答案图1，连接CE， ∵BE平分∠ABC， ∠ABC＝90°，∴∠ABE＝ ∠CBE＝ ∠ABC＝45°. ∵AB＝CB，BE＝BE， ∴△ABE≌△CBE（SAS）， ∴∠BCE＝∠BAD＝30°. ∵∠ADB＝90°－∠BAD＝60°， ∴∠DEC＝∠ADB－∠BCE＝30°， ∴∠BCE＝∠DEC， ∴DE＝CD＝2. （答案图1） （2）如图2，点P为边AC上一点，且满 足AP＝BE，过点P作PQ⊥AD于点Q，连接BQ，当BQ最短时，求 的值. 图1 图2 （第2题） 解：（2）如答案图2，过点B作 BV⊥AD于点V，过点A作AW⊥AB， 交QP的延长线于点W. ∵∠ABC＝∠AQP＝∠BVE＝90°， ∴∠BAD＋∠ADB＝90°， ∠ADB＋∠DBV＝90°， ∴∠BAD＝∠DBV. ∵BE平分∠ABC， ∠ABC＝90°， ∴∠EBD＝45°， ∴∠DBV＋∠EBV＝45°. （答案图2） 又∵∠BAD＋∠DAC＝45°， ∴∠DAC＝∠EBV. 又∵AP＝BE，∠AQP＝∠BVE＝90°， ∴△APQ≌△BEV（AAS）， ∴AQ＝BV. ∵∠WAQ＋∠BAV＝90°， ∠BAV＋∠ABV＝90°， ∴∠WAQ＝∠ABV. ∵∠AQW＝∠AVB＝90°， ∴△AQW≌△BVA（ASA）， ∴AW＝AB. （答案图2） ∴Q在以AW为直径的☉O上运动， 如答案图3，连接BO，交☉O于点Q， 此时BQ的值最短， 过点Q作QR⊥AB于点R， 不妨设AW＝AB＝2a， 则OA＝OW＝OQ＝a， ∴OB＝ ＝ a， ∴BQ＝OB－OQ＝ a. ∵AW∥BC， ∴△AOQ∽△DBQ， （答案图3） ∴ ＝ ＝1， ∴BD＝BQ＝ a. ∵BE平分∠ABD， ∴易得 ＝ ＝ . ∴ ＝ ＝ . ∵AO∥RQ∥BD， （答案图3） ∴ ＝ ＝ ＝ ＝ ， ∴ ＝ ＝ ， ∴ ＝ ＝ . （答案图3） 3. 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B ＝60°，点D为线段AB上一动点，连接 CD. 图1 图2 （第3题） （1）如图1，若AC＝9，BD＝ ，求 线段AD的长； 解： （1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，∴AB＝ ＝6 . ∵BD＝ ，∴AD＝AB－BD＝5 . 图1 （2）如图2，以CD为边在CD上方作等 边△CDE，点F是DE的中点，连接BF 并延长，交CD的延长线于点G. 若∠G ＝∠BCE，求证：GF＝BF＋BE； 图2 解： （2）证明：如答案图1，延长FB至点H，使得FH＝FG，连接EH. （答案图1） ∵F是DE的中点，∴DF＝FE. 又∵GF＝HF，∠GFD＝∠HFE， ∴△GFD≌△HFE（SAS）， ∴∠H＝∠G，∴EH∥GC， ∴∠HEC＝∠ECD. ∵△DEC是等边三角形， ∴∠DEC＝∠EDC＝ ∠ECD＝∠HEC＝60°. ∵∠DEC＝∠DBC＝60°，∴B，C，D，E四点共圆， ∴∠EDB＝∠BCE，∠BEC＝∠BDC， ∴∠BEH＝60°－∠BEC＝60°－ ∠BDC＝∠EDB. ∵∠G＝∠BCE＝∠BDE＝∠H， ∴∠H＝∠BEH，∴BE＝BH， ∴GF＝FH＝BF＋BH＝BF＋BE. （答案图1） （3）在CD取得最小值的条件下，以 CD为边在CD右侧作等边△CDE. 点M 为CD所在直线上一点，将△BEM沿 BM所在直线翻折至△ABC所在平面内 得到△BNM. 连接AN，点P为AN的中 点，连接CP. 当CP取最大值时，连接 BP，将△BCP沿BC所在直线翻折至 △ABC所在平面内得到△BCQ，请直接 写出此时 的值. 图2 解： （3）由题意可知，当CD⊥AB 时，CD取得最小值. 设AB＝4a，则BC＝2a，AC＝2 a， ∴CD＝ AC＝ a，BD＝ BC＝a. 易得BE＝BD＝a. ∵将△BEM沿BM所在直线翻折至 △ABC所在平面内得到△BNM. ∴BE＝BN， ∴点N在以点B为圆心，a为半径的圆 上运动. 如答案图2，取AB的中点S，连接SP， 则SP是△ABN的中位线， ∴点P在半径为 a的☉S上运动， 当CP取最大值时，即P，S，C三点共 线，如答案图2，过点P作PT⊥AC于点 T，过点N作NR⊥AC于点R. （答案图2） ∵S是AB的中点，∠ABC＝60°， ∴CS＝BS＝BC， ∴∠PCA＝∠BAC＝30°， ∠BCP＝60°. ∵BC＝2a，AB＝4a，∴CS＝BC＝2a， ∴CP＝ a，∴PT＝ CP＝ a，TC＝ PT＝ a. ∵AC＝2 a， ∴AT＝ a. （答案图3） 如答案图3，连接PQ，交NR于点U，则 四边形PURT是矩形， （答案图3） ∴PU∥AR，PT∥NR. 又∵P是AN的中点，∴ ＝ ＝1， ∴PU是△ANR的中位线，PT是△ANR 的中位线， ∴NU＝UR＝PT＝ a，PU＝TR＝AT ＝ a. ∵∠BCP＝60°，将△BCP沿BC所在 直线翻折至△ABC所在平面内得到△BCQ， ∴∠QCP＝2∠BCP＝120°， ∴PQ＝ QC＝ CP＝ a， （答案图3） ∴UQ＝PQ－PU＝ a－ a＝ a. 在Rt△NUQ中，NQ＝ ＝ ＝ a， ∴ ＝ ＝ . （答案图3） $$