第03讲 整式（3个知识点+11大题型+15道强化训练）【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（浙教版2024）

第03讲 整式（3个知识点+11大题型+15道强化训练） 课程标准 学习目标 1.单项式的相关概念； 2.多项式的相关概念； 3.整式的相关概念； 1.掌握单项式的相关概念； 2.掌握多项式的相关概念； 3.掌握整式的相关概念； 知识点01：单项式 1.单项式的概念：如，，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。 要点诠释： （1）单项式包括三种类型：①数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；②单独的一个数；③单独的一个字母。 （2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算．如：可以写成。但若分母中含有字母，如就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积。 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。 要点诠释： （1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数； （2）圆周率π是常数．单项式中出现π时，应看作系数； （3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写；（4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：写成。 3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。 要点诠释：单项式的次数是计算单项式中所有字母的指数和得到的，计算时要注意以下两点： （1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏； （2）不能将数字的指数一同计算。 【即学即练1】 1．对于单项式，下列说法正确的是（    ） A．系数是 B．系数是 C．次数是3次 D．次数是4次 【答案】C 【分析】单项式的次数：所有字母指数的和；单项式的系数：单项式前的数字因数． 【详解】解：根据单项式的系数和次数的定义分别为和3， 故选：C． 【点睛】本题考查单项式系数与次数的概念，熟记概念是关键． 【即学即练2】 2．下列说法正确的是（    ）． A．是二次三项式 B．的系数是0 C．是单项式 D．的次数是3 【答案】D 【分析】根据单项式、多项式次数和系数定义逐项判断即可． 【详解】解：A．是三次三项式，故A错误； B．的系数是1，故B错误； C．是多项式，故C错误； D．的次数是3，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了多项式和单项式的系数、次数，解题的关键是熟练掌握相关的定义． 知识点02：多项式 1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式。 要点诠释：“几个”是指两个或两个以上。 2. 多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。 要点诠释： （1）多项式的每一项包括它前面的符号。 （2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如：是一个三项式。 3. 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。 要点诠释： （1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数。 （2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出。 【即学即练3】 3．如果是四次三项式，那么m+n的值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】根据多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数，得到，计算即可． 【详解】解：∵多项式是四次三项式， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了多项式的次数问题，掌握多项式有关定义的应用是解题关键． 【即学即练4】 4．如果是四次三项式，那么的值是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】根据多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数，得到，计算即可． 【详解】解：∵多项式是四次三项式， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了多项式，掌握多项式有关定义的应用是解题关键． 知识点03：整式 1.整式的概念：单项式与多项式统称为整式。 要点诠释： （1） 单项式、多项式、整式这三者之间的关系如图所示。 即单项式、多项式必是整式，但反过来就不一定成立。 （2）分母中含有字母的式子一定不是整式。 【即学即练5】 5．下列代数式中整式有（    ）   ，20，，， A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据单项式和多项式统称为整式可得到答案． 【详解】解：单项式和多项式统称为整式， 单项式是由数字和字母的乘积构成的算式， 多项式是由几个单项式组合而成， 故不是整式，是分式； 不是整式，是二次根式； 故20，，是整式， 故选：B． 【点睛】本题主要考查整式的定义，掌握整式的分类是解题的关键． 【即学即练6】 6．代数式中，整式有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】根据整式包括单项式和多项式进行解答即可． 【详解】解：代数式中， 是整式，共4个， 故选B． 【点睛】本题考查整式的识别，熟记整式的定义是解题的关键． 题型01 单项式的判断 1．在代数式：，0，，，，中，单项式有（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了单项式，数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式，根据单项式的意义，即可解答． 【详解】解：在代数式：，0，，，，中， 单项式有，0，，，共有4个， 故选：B． 2．在代数式、、、、a中，单项式的个数是 个． 【答案】3 【分析】本题考查了单项式的概念，只含加、减、乘、乘方的代数式叫做整式，不含有加减运算的整式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．据此求解即可． 【详解】解：、、a是单项式，共3个； 是多项式； 的分母含字母，不是整式． 故答案为：3． 3．指出下列代数式中的单项式，并写出各单项式的系数和次数． ，，，，，a－3，，， 【答案】见解析 【分析】根据单项式的定义以及单项式次数与系数的定义分别分析得出即可． 【详解】，，，，，，是单项式，其中 的系数是，次数是3；的系数是－1，次数是1；的系数是，次数是4；的系数是，次数是4；为非零常数，只有数字因式，系数是它本身，次数为0；的系数为－3×108，次数是3；只含有字母因数，系数是1，次数为3． 【点睛】本题考查单项式的定义、单项式的系数和次数，熟练掌握相关的定义是解题关键． 题型02 单项式的系数、次数 1．单项式的系数和次数分别是（   ） A．2和4 B．和4 C．和2 D．和6 【答案】D 【分析】本题考查了单项式的概念，解题的关键是正确理解单项式的概念，本题属于基础题型．根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 【详解】解：根据单项式系数、次数的定义的系数与次数分别是，6． 故选：D． 2．已知是关于x，y的五次单项式，则m的值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了单项式的概念单项式中的数字因数叫做单项式的的系数，系数包括它前面的符号，单项式的次数是所有字母的指数的和．根据次数等于5且系数不等于0列式求解即可． 【详解】解：由题意，得 且， 解得． 故答案为：3． 3．若是关于x，y的五次单项式，求a，b应满足的条件． 【答案】 【分析】本题考查单项式，掌握单项式的次数是所有字母的指数和，对于一个次数不小于1的单项式，其系数不能为0是解题的关键． 【详解】因为是关于x，y的五次单项式． 所以， 解得． 题型03 写出满足某些特征的单项式 1．在下列代数式中，次数为4的单项式是（　　） A．xy3 B．x4+y4 C．x2y D．4xy 【答案】A 【分析】直接利用单项式的次数确定方法分析得出答案． 【详解】A、xy3，是次数为4的单项式，故此选项符合题意； B、x4+y4，是多项式，不合题意； C、x2y，是次数为3的单项式，故此选项不合题意； D、4xy，是次数为2的单项式，故此选项不合题意； 故选A． 【点睛】此题考查单项式，解题关键在于掌握其定义. 2．写出一个同时满足以下三个条件的单项式：①系数是负数；②次数是4；③只含有a和b两个字母．这个单项式可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了单项式的概念，根据题目要求写出这个单项式即可，答案不唯一． 【详解】根据题意，这个单项式可以是． 故答案为：（答案不唯一） 3．写出满足条件的单项式． (1)写出所有系数是2，且只含字母和的五次单项式； (2)系数是，含，两个字母，且的指数是2，单项式的次数是6； (3)系数是，次数是3，含，两个字母，且的指数是2． 【答案】(1)，，， (2) (3) 【分析】本题考查了单项式，利用单项式的系数是数字因数，次数是所有字母的指数和． （1）直接利用单项式的定义分析得出答案； （2）根据单项式的系数是数字因数，次数是所有字母的指数和，可得答案； （3）根据单项式的系数是数字因数，次数是所有字母的指数和，可得答案． 【详解】（1）解：由题意可得：，，，； （2）解：由题意可得：； （3）解：由题意可得：． 题型04 单项式规律题 1．观察下列关于的单项式，探究其规律：，，，，，，…按照上述规律，第个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式的规律计算，理解单项式的概念，掌握整式的运算是解题的关键． 根据题意，分别找出单项式的系数，次数的关系即可求解． 【详解】解：根据题意，系数的特点满足：，指数依次增加1，即为，这里的为的整数， ∴单项式的规律为：， ∴第个单项式为：， 故选：A ． 2．观察下列单项式：x，，，，，…考虑它们的系数和次数．请写出第8个： ． 【答案】 【分析】本题考查数字的变化类，根据题目中的单项式可以发现数字因数和字母的指数的变化特点，即可写出第n个单项式，即可得出结果． 【详解】解：∵一列单项式：x，，，，，… ∴第n个单项式为：， 当时，这个单项式是， 故答案为：． 3．观察下列各式： (1)请你写出第2019个和第2020个单项式； (2)请你写出第n个单项式． 【答案】(1) ；；(2) 【分析】(1)首先分析给出的各式的特点和规律，利用规律即可得出答案； (2)根据规律即可求出第n个单项式． 【详解】(1)第1个单项式：， 第2个单项式：， 第3个单项式：， …… 第2019个单项式：； 第2020个单项式：． (2)根据规律可知，第n个单项式：． 【点睛】本题主要考查根据规律求单项式，找到规律是解题的关键． 题型05 多项式的判断 1．下列说法正确的是（    ） A．不是一个代数式 B．单项式的系数是 C．一个多项式的次数为5，那么这个多项式的各项的次数都小于5 D．0是一个单项式 【答案】D 【分析】本题考查了单项式和多项式，解题时需注意单项式和多项式的区别和联系．单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数． 根据单项式和多项式的相关定义解答即可． 【详解】A、是多项式，原说法错误，故此选项不符合题意； B、单项式的系数是，原说法错误，故此选项不符合题意； C、一个多项式的次数为5，那么这个多项式的各项的次数都小于等于5，原说法错误，故此选项不符合题意； D、0是一个单项式，说法正确，故此选项符合题意； 故选：D． 2．将下列代数式的序号填入相应的横线上． ①；②；③；④0；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨． (1)单项式：___________； (2)整式：___________； (3)二项式：___________． 【答案】(1)③④⑨ (2)①②③④⑤⑨ (3)②⑤ 【分析】本题考查了整式，关键是熟练掌握单项式，多项式，整式，二项式的定义． （1）根据单项式的定义即可求解． （2）根据整式的定义即可求解． （3）根据二项式的定义即可求解． 【详解】（1）单项式有：③，④0，⑨； 故答案为：③④⑨． （2）整式有：①，②，③，④0，⑤，⑨； 故答案为：①②③④⑤⑨； （3）二项式有：②，⑤； 故答案为：②⑤． 3．已知下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦ (1)其中单项式有_______（写序号），它们的系数分别是_________（按前一空答案的顺序作答）． (2)其中多项式有_______（写序号），它们的次数分别是_________（按前一空答案的顺序作答）． 【答案】(1)①②⑦；、、 (2)④⑥；、 【分析】（1）根据单项式是由数字与字母的积组成的整式即可解答； （2）根据多项式是由若干个单项式相加组成的整式即可解答． 【详解】（1）解：∵单项式是由数字与字母的积组成的整式， ∴，，是单项式， 即①②⑦是单项式， ∴的系数为，的系数为，的系数是， 故答案为①②⑦；、、； （2）解：∵多项式是由若干个单项式相加组成的整式， ∴，， 即④⑥， ∴的次数为，的次数为， 故答案为④⑥；、． 【点睛】本题考查了多项式是由若干个单项式相加组成的整式，单项式是由数字与字母的积组成的整式，多项式的次数，单项式的系数，掌握单项式的定义及多项式的定义是解题的关键． 题型06 多项式的项、项数或次数 1．下列说法中，错误的是（      ） A．单项式、多项式统称为整式 B．是二次四项式 C．和是同类项 D．不能写成 【答案】B 【分析】本题考查同类项、整式、单项式与多项式统称为整式；几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数；单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数；熟练掌握相关定义是解题关键.根据整式、多项式的项与次数、代数式及单项式的系数的定义解答即可. 【详解】A.单项式与多项式统称为整式，正确，故该选项不符合题意， B. 是二次三项式，原说法错误，故该选项符合题意， C. 和是同类项，正确，该选项不符合题意， D. 不能写成，正确，故该选项不符合题意. 故选:B. 2．若多项式是关于的三次多项式，则代数式的值为 ． 【答案】2或4． 【分析】本题主要考查了多项式次数的定义，代数式求值，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数，据此可得或，则或，再代值计算即可． 【详解】解：∵多项式是关于的三次多项式， ∴或， ∴或， ∴或， 故答案为：2或4． 3．指出多项式 的下面各项： (1)次数； (2)二次项系数； (3)常数项； (4)是几次几项式． 【答案】(1)4 (2) (3)2 (4)四次四项式 【分析】本题考查了多项式的概念，几个单项式的和叫做多项式．多项式中的每个单项式都叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项，多项式的每一项都包括前面的符号，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数． （1）根据多项式次数的定义求解； （2）根据单项式的系数的定义求解； （3）根据常数项的定义求解； （4）根据多项式的定义求解． 【详解】（1）解：多项式的次数是：4； （2）解：二次项系数是：； （3）解：常数项是：2； （4）解：是四次四项式． 题型07 多项式系数、指数中字母求值 1．如果多项式是关于x的二次二项式，那么a,b的值可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了多项式的定义，多项式的项的定义及次数的定义，由此多余的项的系数应为0，据此解答． 【详解】∵多项式是关于x的二次二项式， ∴ 得 故选C． 2．若多项式是关于的二次三项式，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式，解题关键是熟练掌握多项式的次数和项数的定义．由题意可知，解方程和不等式即可． 【详解】解：∵多项式是关于的二次三项式， ， 解得：， 故答案为：． 3．若是关于x，y的四次三项式，求代数式的值． 【答案】的值为或10 【分析】本题考查多项式的概念，解题的关键是熟练运用多项式概念，本题属于基础题型． 【详解】解：由题意可知：是关于x，y的四次三项式， ∴，， ∴，， 当时， 原式 ； 当时， 原式 ． 综上分析可知，的值为或10． 题型08 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 1．下列关于多项式的说法中，正确的是（   ） A．它是二次三项式 B．它的常数项是 C．它的最高次项是 D．它按字母的降幂排列为： 【答案】B 【分析】本题考查了多项式的概念，正确掌握多项式的相关概念是解答本题的关键． 根据多项式的基本概念，可以判断是四次三项式，最高次项为，常数项为，按字母的降幂排列为：，由此选出答案． 【详解】解：已知多项式， 的次数为：， 多项式是四次三项式， 不符合题意． 多项式的最高次项为，常数项为， 符合题意，不符合题意． 多项式按字母的降幂排列为：， 不符合题意． 故选：． 2．把多项式按照的降幂排列是 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的重新排列，我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．根据x的指数从大到小排列即可． 【详解】解： ． 3．已知多项式，按要求解答下列问题： (1)指出该多项式的项； (2)该多项式的次数是______，三次项的系数是______，常数项是______． (3)按x的降幂排列为：______． (4)若，求该多项式的值． 【答案】(1)、、、 (2)该多项式的次数4，三次项的系数，常数项是 (3)或 (4) 【分析】（1）多项式中每一个单项式叫做多项式的项，所以写出多项式中所有单项式即可； （2）多项式中最高单项式的次数叫做多项式的次数，三次项系数是指多项式中次数为3的单项式的系数，不含字母的项叫常数项，根据定义依次解决； （3）按照x的指数从大到小的顺序排列多项式即可； （4）由题可知， ， ，解得 ，将其代入多项式求值即可. 【详解】（1）解：多项式各项依次为：、、、； （2）解：该多项式的次数4，三次项的系数，常数项是， 故答案为：4，，； （3）解：按x的降幂排列为：或， 故答案为：或； （4）解：由题意可知，，， 解得：， 把代入，得： ． 【点睛】本题考查的是多项式相关概念、绝对值的非负性及代数式求值求值，掌握多项式定义是解题关键． 题型09 整式的判断 1．下列代数式中，整式有（　　） ；；；；；；a． A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】B 【分析】此题主要考查了整式，单项式和多项式统称为整式，正确掌握整式的定义是解题关键． 根据整式的概念可判断得出答案． 【详解】解：整式有；；；；a．共5个． 故选：B． 2．在，，，，0，中，整式的个数是 ． 【答案】4 【分析】此题主要考查了整式的知识，正确把握整式的定义是解题关键．单项式是字母和数的乘积，单个的数或单个的字母也是单项式；多项式是若干个单项式的和．整式的定义：单项式和多项式统称为整式．据此即可获得答案． 【详解】解：在，，，，0，中，整式有，，0，，共计4个． 故答案为：4． 3．把下列各代数式填在相应的大括号里．（只需填序号） ①；②；③；④；⑤；⑥y；⑦；⑧；⑨；⑩；⑪；⑫；⑬ 单项式集合_______________； 多项式集合_______________； 整式集合_______________ 【答案】②③⑥⑫⑬；①⑧⑨⑩；①②③⑥⑧⑨⑩⑫⑬ 【分析】根据单项式的定义：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式；多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式；整式的定义：单项式和多项式统称为整式；解答即可． 【详解】解：单项式有：②，③，⑥，⑫，⑬； 多项式有：①，⑧，⑨，⑩； 整式有：①；②；③；⑥；⑧；⑨；⑩；⑫；⑬； 故答案为：②③⑥⑫⑬；①⑧⑨⑩；①②③⑥⑧⑨⑩⑫⑬． 【点睛】本题主要考查的是整式，熟练掌握单项式、多项式、整式的定义是解题的关键． 题型10 数字类规律探索 1．如表，从左到右在每个小格子中都填入一个正数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，则第2024个格子的数为（    ） 3 2 A．3 B．2 C．0 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，根据题意可得格子中的数3，，2循环出现，再由循环规律求解即可． 【详解】解：∵任意三个相邻格子中所填整数之和都相等， ∴，， ∴，， ∴数据从左到右依次为：3、、b、3、、b、…， ∴第9个数与第3个数相同， ∵第9个数是2， ∴， ∴格子中的数每3个数为一个循环，按3，，2依次出现， ∵， ∴第2024个格子的数为， 故选：D． 2．观察下列算式： ；；；；；…… 若字母n表示自然数，请你把观察到的规律用含有字母n的式子表示出来： ． 【答案】（n为正整数） 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，观察可知两相邻自然数的平方的差（大数的平方减去小数的平方）等于这两个自然数的和且等于较大数的2倍减去1，据此规律求解即可． 【详解】解：； ； ； ； ， ……， 以此类推可知，（n为正整数） 故答案为：（n为正整数）． 3．观察下列等式，，，将以上三个等式两边分别相加得． (1)猜想并写出_______； (2)_______； (3)探究并计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式的规律探究，有理数的加法运算，有理数的乘法运算．将分数进行正确的拆分是解题的关键． （1）由题意得，； （2）根据，计算求解即可； （3）根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ， 故答案为：； （3）解： ． 题型11 图形类规律探索 1．如图，每个图案均由边长相等的黑、白两色正方形按规律拼接而成，照此规律，第10个图案中白色正方形比黑色正方形多（   ）个． A．43 B．47 C．53 D．57 【答案】A 【分析】本题考查了图形类规律的探究．利用给出的三个图形寻找规律，发现白色正方形个数=总的正方形个数-黑色正方形个数，而黑色正方形个数第1个为1，第二个为2，由此寻找规律，总个数只要找到边与黑色正方形个数之间关系即可，依此类推，寻找规律． 【详解】解：第1个图形黑、白两色正方形共个，其中黑色1个，白色个， 第2个图形黑、白两色正方形共个，其中黑色2个，白色个， 第3个图形黑、白两色正方形共个，其中黑色3个，白色个， 依此类推， …… 第n个图形黑、白两色正方形共个，其中黑色n个，白色个， ∴第n个图案中白色正方形比黑色正方形多个， ∴第10个图案中白色正方形比黑色正方形多， 故选：A． 2．黑白两种颜色、大小相同的正方形方砖，按如图所示的规律拼成若干个图案，则第10个图案中有黑色方砖 个． 【答案】10 【分析】本题考查了图形的变化规律，解决此类题首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．观察发现：第1个图里有黑色地砖个；第2个图里有黑色地砖个；第3个图里有黑色地砖个；……由此发现，第n个图形中有黑色地砖个，从而可得答案． 【详解】解：观察发现：第1个图里有黑色地砖个； 第2个图里有黑色地砖个； 第3个图里有黑色地砖个； ……； 由此发现，第n个图形中有黑色地砖个， 则第10个图案中有黑色方砖个． 故答案为：． 3．如图，观察由棱长为1的小立方体摆成的图形，寻找规律：如图①中共有1个小立方体，其中1个看得见，0个看不见；如图②中共有8个小立方体，其中7个看得见，1个看不见；如图③中共有27个小立方体，其中19个看得见，8个看不见，… (1)第6个图形中，看得见的小立方体有___________个； (2)猜想并写出第n个图形中看不见的小立方体的个数． 【答案】(1)91； (2)个． 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索： （1）观察前三个图形可知，小立方体总数为序号数的立方，看不见的小立方体数是序号减1后的立方，据此规律求解即可； （2）根据（1）所求可得答案． 【详解】（1）解：第1个图形中，小立方体个数为个，看不见的小立方体的个数为 个； 第2个图形中，小立方体个数为个，看不见的小立方体的个数为 个； 第3个图形中，小立方体个数为个，看不见的小立方体的个数为 个； … 以此类推可知，第n个图形中，小立方体个数为个，看不见的小立方体的个数为个； ∴第6个图形中，小立方体的个数为 个，看不见的小立方体的个数为 个； ∴第6个图形中，看得见的小立方体有个； （2）解：由（1）可知第n个图形中看不见的小立方体的个数为个； 1．观察图，找出规律，，，根据规律＝（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 本题考查了数字类规律探索，有理数的加减，由题意得出计算顺序与方法，列数式子，根据有理数的加减运算法则计算即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：由题意得：，，， ， 故选：B． 2．如果是六次单项式，则的值为（  ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了单项式的次数，根据次数的定义来求解即可，解题的关键是熟悉一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数． 【详解】解：∵是六次单项式， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 3．已知有理数，我们把称为的差倒数，如：的差倒数是，的差倒数是．如果，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数……依此类推，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数字类规律，根据题意，求出这列数的前几项，从而可以发现数列以，，循环出现，通过规律即可求得所求式子的值，读懂题意，找出规律是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ； ； ； ； ∴数列依次以，，循环出现， ∵，， ∴， 故选：． 4．下列说法正确的是（   ） A．不是整式 B．3是单项式 C．的系数是 D．多项式是六次二项式 【答案】B 【分析】本题考查了整式的定义，单项式的系数与次数，以及多项式的定义，掌握以上知识是解题的关键．数或字母的积叫单项式．（单独的一个数或一个字母也是单项式）．其中单项式中的数字因数称这个单项式的系数；一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．单项式与多项式统称为整式．根据相关概念逐项分析判断即可解题． 【详解】解：A、是整式，选项说法错误，不符合题意； B、3是单项式，选项说法正确，符合题意； C、的系数是，选项说法错误，不符合题意； D、多项式是四次二项式，选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 5．小明利用计算机设计了一个程序，输入与输出的数据如表所示： 输入 1 2 3 4 5 6 输出 3 15 35 那么当输入数据为7和8时，输出的数据分别是和，则（ ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】B 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，代数式求值，观察表格中的数字可知，当输入的数为时，输出的结果为，据此规律求出的值，再代值计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ……， 以此类推可知，当输入的数为时，输出的结果为， ∴， ∴， 故选：B． 6．若是关于x、y的3次单项式，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了单项式的次数．熟练掌握解单项式的次数的定义是解决问题的关键．单项式的次数的定义：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数． 根据单项式的次数的定义，且满足系数不为0，得到，，综合解方程和不等式即得． 【详解】∵是关于x、y的3次单项式， ∴，， ∴，， ∴， ∴，或． ∴． 故答案为：1． 7．按一定规律排列的单项式：，第2021个单项式是 ． 【答案】 【分析】本题考查数字的变化规律，能够通过所给单项式的特点，探索出单项式的一般规律是解题的关键．通过观察可得规律：第n个单项式是，即可求第2021个单项式． 【详解】解：∵， ∴第n个单项式是， 当时，第2021个单项式是， 故答案为：． 8．观察多项式的构成规律，则： （1）它的第5项是 ； （2）当时，多项式前100项的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式中的规律探究．解题的关键是得到多项式按照的升幂排列，第项为． （1）由多项式的构成，可知第项为，进而得到第5项即可； （2）当时，得到和为：，进行计算即可． 【详解】解：（1）由题意，可知：多项式按照的升幂排列，第项为， ∴它的第5项是； 故答案为：； （2）当时，多项式前100项的和为 ． 故答案为：． 9．将下列代数式的序号填入相应的横线上． ①；②；③；④0；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨． （1）单项式： ； （2）多项式： ； （3）整式： ； （4）二项式： ． 【答案】 ③④⑨ ①②⑤ ①②③④⑤⑨ ②⑤ 【分析】根据单项式，多项式，整式，二项式的定义即可求解． 【详解】（1）单项式有：③，④0，⑨； （2）多项式有：①，②，⑤； （3）整式有：①，②，③，④0，⑤，⑨； （4）二项式有：②，⑤； 故答案为：（1）③④⑨；（2）①②⑤；（3）①②③④⑤⑨；（4）②⑤ 【点睛】本题考查了整式，关键是熟练掌握单项式，多项式，整式，二项式的定义． 10．若是不等于1的实数，我们把称为的差倒数，如2的差倒数为，的差倒数为，现已知，是的差倒数，是的差倒数，……，依此类推，则 ． 【答案】/0.75 【分析】本题主要考查数字的变化规律，根据题意列出前几项数字，根据所得规律求出 【详解】解：， ， ， ， 每三个数字为一循环， ∴， ∴， 故答案为： 11．已知是关于x，y的七次单项式，求的值． 【答案】5或29 【分析】此题主要考查了单项式，直接利用单项式的系数和次数得出关于m的方程，得出m的值代入计算即可得出答案． 【详解】解：∵是关于，的七次单项式， ∴且， 解得：， 当时，； 当时，； ∴的值是5或29． 12．多项式是关于x、y的四次三项式． (1)求m和n的值； (2)将这个多项式按字母x的降幂排列，并直接写出它的常数项． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了多项式的项数与次数，常数项以及把一个多项式按某个字母的降幂排列等知识内容，涉及分类讨论的初步应用， （1）根据多项式为四次多项式，分类讨论，求出m与n的值； （2）把多项式按字母x的次数由大到小顺序排列，即为降幂排列，即可作答． 【详解】（1）解：∵是关于x、y的四次三项式， ∴， 当时，则，此时多项式为，是关于x、y的四次三项式， 当，则，此时多项式为，是关于x、y的七次三项式，不符合所以，； （2）解：由（1）知，；此时多项式为， 因为将这个多项式按字母x的降幂排列， 所以，常数项为； 即将这个多项式按字母x的降幂排列为，常数项为． 13．（1）已知多项式是四次四项式，单项式的次数与这个多项式相同．求的值． （2）是一个关于的二次三项式，满足，求这个多项式的值． 【答案】（1）的值是；（2）这个多项式的值是． 【分析】此题考查了整式的概念与非负数性质的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识． （1）先运用整式的概念求得的值，再代入计算； （2）先运用整式的概念和非负数的性质求得的值，再代入求解． 【详解】解：（1）由题意得： 且， 解得，， ∴， 即的值是； （2）由题意得，， 解得或，且， ∴， ∵， ∴且， 解得，， ∴ ； ∴这个多项式的值是． 14．请观察下列算式，找出规律并填空 ，，，则： (1)第10个算式是____________． (2)第个算式为____________． (3)根据以上规律解答下题：的值． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索： （1）观察前面几个式子可知，相邻两个正整数的乘积的倒数等于较小的正整数的倒数减去较大正整数的倒数，据此规律求解即可； （2）根据（1）所求即可得到答案； （3）根据得到的规律把所求式子裂项，然后计算求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ……， 以此类推可知，第n个算式为， ∴第10个算式为， 故答案为：，； （2）解：由（1）得第n个算式为， 故答案为：，； （3）解： ． 15．多项式的三次项系数、二次项系数和常数项在数轴上分别对应、、三个点，请回答下列各题： (1)、、这三个点表示的数分别是______，______，______，请在数轴上标出来． (2)若点每秒向右移动个单位长度，点每秒向右移动个单位长度，点每秒向左移动个单位长度，几秒钟时点到点和点的距离相等？ 【答案】(1)，，，数轴表示见解析 (2)秒或秒 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、数轴以及多项式，解题的关键是熟悉多项式的定义和找准等量关系列出一元一次方程． 由多项式的三次项系数、二次项系数和常数项在数轴上分别对应、、三个点，可找出，，这三个点表示的数，再将其标在数轴上即可； 当运动时间为秒时，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，根据点到点和点的距离相等，可列出关于的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：∵多项式的三次项系数、二次项系数和常数项在数轴上分别对应、、三个点， 点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是． 在数轴上标如图所示． （2）解：当运动时间为秒时，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是， 根据题意得：， 即或， 解得：或． 答：秒或秒时点到点和点的距离相等． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 整式（3个知识点+11大题型+15道强化训练） 课程标准 学习目标 1.单项式的相关概念； 2.多项式的相关概念； 3.整式的相关概念； 1.掌握单项式的相关概念； 2.掌握多项式的相关概念； 3.掌握整式的相关概念； 知识点01：单项式 1.单项式的概念：如，，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。 要点诠释： （1）单项式包括三种类型：①数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；②单独的一个数；③单独的一个字母。 （2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算．如：可以写成。但若分母中含有字母，如就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积。 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。 要点诠释： （1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数； （2）圆周率π是常数．单项式中出现π时，应看作系数； （3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写；（4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：写成。 3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。 要点诠释：单项式的次数是计算单项式中所有字母的指数和得到的，计算时要注意以下两点： （1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏； （2）不能将数字的指数一同计算。 【即学即练1】 1．对于单项式，下列说法正确的是（    ） A．系数是 B．系数是 C．次数是3次 D．次数是4次 【即学即练2】 2．下列说法正确的是（    ）． A．是二次三项式 B．的系数是0 C．是单项式 D．的次数是3 知识点02：多项式1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式。 要点诠释：“几个”是指两个或两个以上。 2. 多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。 要点诠释： （1）多项式的每一项包括它前面的符号。 （2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如：是一个三项式。 3. 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。 要点诠释： （1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数。 （2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出。 【即学即练3】 3．如果是四次三项式，那么m+n的值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【即学即练4】 4．如果是四次三项式，那么的值是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 知识点03：整式 1.整式的概念：单项式与多项式统称为整式。 要点诠释： （1） 单项式、多项式、整式这三者之间的关系如图所示。 即单项式、多项式必是整式，但反过来就不一定成立。 （2）分母中含有字母的式子一定不是整式。 【即学即练5】 5．下列代数式中整式有（    ）   ，20，，， A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【即学即练6】 6．代数式中，整式有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 题型01 单项式的判断 1．在代数式：，0，，，，中，单项式有（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．在代数式、、、、a中，单项式的个数是 个． 3．指出下列代数式中的单项式，并写出各单项式的系数和次数． ，，，，，a－3，，， 题型02 单项式的系数、次数1．单项式的系数和次数分别是（   ） A．2和4 B．和4 C．和2 D．和6 2．已知是关于x，y的五次单项式，则m的值是 ． 3．若是关于x，y的五次单项式，求a，b应满足的条件． 题型03 写出满足某些特征的单项式 1．在下列代数式中，次数为4的单项式是（　　） A．xy3 B．x4+y4 C．x2y D．4xy 2．写出一个同时满足以下三个条件的单项式：①系数是负数；②次数是4；③只含有a和b两个字母．这个单项式可以是 ． 3．写出满足条件的单项式． (1)写出所有系数是2，且只含字母和的五次单项式； (2)系数是，含，两个字母，且的指数是2，单项式的次数是6； (3)系数是，次数是3，含，两个字母，且的指数是2． 题型04 单项式规律题 1．观察下列关于的单项式，探究其规律：，，，，，，…按照上述规律，第个单项式是（    ） A． B． C． D． 2．观察下列单项式：x，，，，，…考虑它们的系数和次数．请写出第8个： ． 3．观察下列各式： (1)请你写出第2019个和第2020个单项式； (2)请你写出第n个单项式． 题型05 多项式的判断 1．下列说法正确的是（    ） A．不是一个代数式 B．单项式的系数是 C．一个多项式的次数为5，那么这个多项式的各项的次数都小于5 D．0是一个单项式 2．将下列代数式的序号填入相应的横线上． ①；②；③；④0；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨． (1)单项式：___________； (2)整式：___________； (3)二项式：___________． 3．已知下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦ (1)其中单项式有_______（写序号），它们的系数分别是_________（按前一空答案的顺序作答）． (2)其中多项式有_______（写序号），它们的次数分别是_________（按前一空答案的顺序作答）． 题型06 多项式的项、项数或次数 1．下列说法中，错误的是（      ） A．单项式、多项式统称为整式 B．是二次四项式 C．和是同类项 D．不能写成 2．若多项式是关于的三次多项式，则代数式的值为 ． 3．指出多项式 的下面各项： (1)次数； (2)二次项系数； (3)常数项； (4)是几次几项式． 题型07 多项式系数、指数中字母求值 1．如果多项式是关于x的二次二项式，那么a,b的值可能是（　　） A． B． C． D． 2．若多项式是关于的二次三项式，则的值为 ． 3．若是关于x，y的四次三项式，求代数式的值． 题型08 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 1．下列关于多项式的说法中，正确的是（   ） A．它是二次三项式 B．它的常数项是 C．它的最高次项是 D．它按字母的降幂排列为： 2．把多项式按照的降幂排列是 ． 3．已知多项式，按要求解答下列问题： (1)指出该多项式的项； (2)该多项式的次数是______，三次项的系数是______，常数项是______． (3)按x的降幂排列为：______． (4)若，求该多项式的值． 题型09 整式的判断 1．下列代数式中，整式有（　　） ；；；；；；a． A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 2．在，，，，0，中，整式的个数是 ． 3．把下列各代数式填在相应的大括号里．（只需填序号） ①；②；③；④；⑤；⑥y；⑦；⑧；⑨；⑩；⑪；⑫；⑬ 单项式集合_______________； 多项式集合_______________； 整式集合_______________ 题型10 数字类规律探索 1．如表，从左到右在每个小格子中都填入一个正数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，则第2024个格子的数为（    ） 3 2 A．3 B．2 C．0 D． 2．观察下列算式： ；；；；；…… 若字母n表示自然数，请你把观察到的规律用含有字母n的式子表示出来： ． 3．观察下列等式，，，将以上三个等式两边分别相加得． (1)猜想并写出_______； (2)_______； (3)探究并计算：． 题型11 图形类规律探索 1．如图，每个图案均由边长相等的黑、白两色正方形按规律拼接而成，照此规律，第10个图案中白色正方形比黑色正方形多（   ）个． A．43 B．47 C．53 D．57 2．黑白两种颜色、大小相同的正方形方砖，按如图所示的规律拼成若干个图案，则第10个图案中有黑色方砖 个． 3．如图，观察由棱长为1的小立方体摆成的图形，寻找规律：如图①中共有1个小立方体，其中1个看得见，0个看不见；如图②中共有8个小立方体，其中7个看得见，1个看不见；如图③中共有27个小立方体，其中19个看得见，8个看不见，… (1)第6个图形中，看得见的小立方体有___________个； (2)猜想并写出第n个图形中看不见的小立方体的个数． 1．观察图，找出规律，，，根据规律＝（    ） A． B． C． D． 2．如果是六次单项式，则的值为（  ） A．1 B． C． D． 3．已知有理数，我们把称为的差倒数，如：的差倒数是，的差倒数是．如果，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数……依此类推，那么的值是（   ） A． B． C． D． 4．下列说法正确的是（   ） A．不是整式 B．3是单项式 C．的系数是 D．多项式是六次二项式 5．小明利用计算机设计了一个程序，输入与输出的数据如表所示： 输入 1 2 3 4 5 6 输出 3 15 35 那么当输入数据为7和8时，输出的数据分别是和，则（ ） A．11 B．12 C．13 D．14 6．若是关于x、y的3次单项式，则 ． 7．按一定规律排列的单项式：，第2021个单项式是 ． 8．观察多项式的构成规律，则： （1）它的第5项是 ； （2）当时，多项式前100项的和为 ． 9．将下列代数式的序号填入相应的横线上． ①；②；③；④0；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨． （1）单项式： ； （2）多项式： ； （3）整式： ； （4）二项式： ． 10．若是不等于1的实数，我们把称为的差倒数，如2的差倒数为，的差倒数为，现已知，是的差倒数，是的差倒数，……，依此类推，则 ． 11．已知是关于x，y的七次单项式，求的值． 12．多项式是关于x、y的四次三项式． (1)求m和n的值； (2)将这个多项式按字母x的降幂排列，并直接写出它的常数项． 13．（1）已知多项式是四次四项式，单项式的次数与这个多项式相同．求的值． （2）是一个关于的二次三项式，满足，求这个多项式的值． 14．请观察下列算式，找出规律并填空 ，，，则： (1)第10个算式是____________． (2)第个算式为____________． (3)根据以上规律解答下题：的值． 15．多项式的三次项系数、二次项系数和常数项在数轴上分别对应、、三个点，请回答下列各题： (1)、、这三个点表示的数分别是______，______，______，请在数轴上标出来． (2)若点每秒向右移动个单位长度，点每秒向右移动个单位长度，点每秒向左移动个单位长度，几秒钟时点到点和点的距离相等？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$