江西省宜春市上高二中2024-2025学年高三上学期10月期中考试数学试题

江西省宜春市上高二中2024-2025学年高三上学期10月期中数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 数据的分位数为（ ） A. 9 B. 8.5 C. 8 D. 7.5 2.设平面向量，均为单位向量，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 甲、乙、丙、丁4个学校将分别组织部分学生开展研学活动，现有五个研学基地供选择，每个学校只选择一个基地，则4个学校中至少有3个学校所选研学基地不相同的选择种数共有（ ） A. 420 B. 460 C. 480 D. 520 4. 已知函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且2an－Sn＝2，记数列的前n项和为Tn，若对于任意n∈N*，不等式k＞Tn恒成立，则实数k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为，若对任意有，，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7.已知抛物线过点，动点M，N为C上的两点，且直线AM与AN的斜率之和为0，直线L的斜率为，且过C的焦点F，直线L把分成面积相等的两部分，则直线MN的方程为（ ） A. B. C. D. 8.已知，且，函数，若关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ） A B. C. D. 2、 选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 函数的图像恒过定点 B. “”的必要不充分条件是“” C. 函数的最小正周期为2 D. 函数的最小值为2 10. 函数的部分图象如图所示，点是图象上的最高点，点是图象与轴的交点，点在轴上.若是等腰直角三角形，则下列结论正确的是（ ） A. B. 在区间上单调递增 C. 的图象关于点对称 D. 区间上有个极值点 11. 已知函数图象上的点均满足 对有成立，则（ ） A. B. 的极值点为 C. D. 三、填空题 12. 的展开式中的系数为__________. 13. 若直线与曲线相切，则的最小值为__________. 14. 已知圆，抛物线.若对于上任意一点，使得对圆上的任意两点A，B，总有，则的取值范围是______. 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知平面向量，，记， （1）对于，不等式（其中m，）恒成立，求的最大值． （2）若的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，a，b，c成等比数列，求的值． 16. 已知函数，为自然对数的底数. （1）若，求实数的值； （2）当时，试求单调区间； （3）若函数在上有三个不同的极值点，求实数的取值范围. 17. 如图，在多面体中，四边形为平行四边形，且平面，且.点分别为线段上的动点，满足. （1）证明：直线平面； （2）是否存在，使得直线与平面所成角的正弦值为？请说明理由. 18. 某品牌国产电动车近期进行了一系列优惠促销方案．既要真正让利于民，更要保证品质兼优，工厂在车辆出厂前抽取了100辆汽车作为样本进行单次最大续航里程的测试．现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图． （1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）． （2）根据大量的测试数据，可以认为该款汽车的单次最大续航里程X近似地服从正态分布，经计算第（1）问中样本标准差s的近似值为50，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差s作为的估计值，现从该款汽车的生产线任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰在250千米到400千米之间的概率． （3）某线下销售公司现面向意向客户推出“玩游戏，赢大奖，送车模”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，指挥车模在方格图上行进，若车模最终停在“幸运之神”方格，则可获得购车优惠券8万元；若最终停在“赠送车模”方格时，则可获得车模一个．已知硬币出现正、反面的概率都是0.5，车模开始在第0格，客户每掷一次硬币，车模向前移动一次．若掷出正面，车模向前移动一格，若掷出反面，车模向前移动两格，直到移到第4格（幸运之神）或第5格（赠送车模）时游戏结束．若有6人玩游戏，每人参与一次，求这6人获得优惠券总金额的期望值． 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，， 19.数列满足：是等比数列，，且． (1)求； (2)求集合中所有元素的和； (3)对数列，若存在互不相等的正整数，使得也是数列中的项，则称数列是“和稳定数列”．试分别判断数列是否是“和稳定数列”．若是，求出所有的值；若不是，说明理由． 江西省宜春市上高二中2024-2025学年高三上学期10月期中数学试卷 参考答案 1.D 2.C 3. C 4.D 5. A 6. B 7.D 8.B 9. AB 10. AC 11. AD 12. -25 13.## 14. 15. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）化简得到，确定得到，，得到最值. （2）计算得到，确定，化简得到，根据正弦定理结合等比数列性质得到答案. 【小问1详解】 ， ，则，故，， 恒成立，故，， 当，时，有最大值为. 【小问2详解】 ，即， ，，故，， ，，成等比数列，则， . 16. （1） （2）的单调增区间为，单调减区间为 （3） 【解析】 【分析】（1）求导，根据题意运算求解；（2）注意到当时，对于，恒成立，利用导数求原函数的单调区间；（3）根据题意分析可得在上有两个不同的根，且，构建新函数，结合导数解决方程根的问题. 【小问1详解】 . 由，得. 【小问2详解】 ∵函数的定义域为， 当时，对于，恒成立， ∴当，，当，， 故的单调增区间为，单调减区间为. 【小问3详解】 由条件可知，在上有三个不同的根， ∵是的根， ∴，即在上有两个不同的根，且， 令，则， ∵当时，，当时，， 则在上单调递增，在上单调递减， ∴的最大值为，且，， 又∵，即， ∴， 故. 17. （1）证明见解析 （2）存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）以为原点，分别以方向为轴建立如图所示空间直角坐标系，证明与平面的法向量垂直即可证； （2）由线面角的向量法求线面角后可得结论． 【小问1详解】 如图，以为原点，分别以方向为轴建立坐标系. . . 设平面的法向量为， 则由，取得. 因为，所以 解得. 所以，且平面，所以平面 小问2详解】 设平面的法向量为 则由，解得. 所以， 解得. 18. （1）300千米 （2）08186 （3）33万元 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图的平均数的计算方法即可得出． （2）由，．利用正态分布的对称性可得． （3）计算车模移到第4格或第5格时的概率，计算一次游戏优惠券金额的期望值，再求6人获得优惠券总金额的期望值． 【小问1详解】 估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值为： 千米 【小问2详解】 由，它的单次最大续航里程恰在250千米到400千米之间的概率为： ． 【小问3详解】 硬币出现正、反面的概率都是， 第一次掷出正面，车模移动到第1格，其概率为， 移动到第2格有两类情况：掷出2次正面或掷出1次反面，， 同理，， ， ， 设参与游戏一次的顾客获得优惠券金额为X万元，或0， ∴X的期望万元 设这6人获得优惠券总金额为Y万元，优惠券总金额的期望值万元. 19.(1)， (2) (3)数列是“和稳定数列”，，数列不是“和稳定数列”，理由见解析 【分析】（1）根据已知及等比数列的定义求出的通项公式，由已知和求通项可得的通项公式， （2）根据等差数列及等比数列的求和公式可得结果 （3）根据“和稳定数列”的定义可判定. 【详解】（1）， 又，，解得： 因为是等比数列，所以的公比， 又当时，， 作差得： 将代入，化简：， 得： 是公差的等差数列， （2）记集合的全体元素的和为， 集合的所有元素的和为， 集合的所有元素的和为， 集合的所有元素的和为，则有 对于数列： 当时，是数列中的项 当时，不是数列中的项 ，其中 即（其中表示不超过实数的最大整数） （3）①解：当时，是的正整数倍， 故一定不是数列中的项； 当时，，不是数列中的项； 当时，，是数列中的项； 综上，数列是“和稳定数列”，； ②解：数列不是“和稳定数列”，理由如下： 不妨设：，则，且 故不是数列中的项. 数列不是“和稳定数列”. 学科网（北京）股份有限公司 $$