7.1.1一元线性回归 课件-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

第七章 统计案例 1.1 直线拟合 1.2 一元线性回归方程（第一课时） 2023级高二数学集体备课组 江西省修水县第一中学 “不同学科成绩之间是否存在相关性? ”“吸烟与患 肺癌是否有关? ”……这些都是日常生活中常见的一些问题. 本章将在已经学习的统计和概率知识的基础上, 通过对以上问题进行讨论，了解和使用一些常见的统计方法,进一步体会运用统计方法解决实际问题的基本思想，以及统计方法使用的广泛性,提升数据分析、 逻辑推理等核心素养. 情景导入 江西省修水县第一中学 2 2 在现实生活中，反映量与量之间的函数关系非常普遍，但也存在一些量与量之间不满足函数关系，如人的身高与体重.一般说来,人的身高越高，体重就越重，二者确实有关系.但是身高相同的人，体重却不一定相同，也就是说，给定身高h没有唯一的体重m与之对应.在现实生活中,这样的例子还有很多，如人的年龄与血压、农作物的施肥量与产量等. 探究点1 多直线拟合与曲线拟合 探究导学 江西省修水县第一中学 为了了解人的身高与体重的关系,我们随机抽取9名15岁的男生，测得他们的身高（单 位:cm）、体重（单位:kg）如表7-1： 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 身高/cm 165 157 155 175 168 157 178 160 163 体重/kg 52 44 45 55 54 47 62 50 53 从表7-1中不难看出，同一身高157 cm对应着不同的体重44 kg和47 kg,即体重不是身高的函数.如果把身高看作横坐标、体重看作纵坐标,在平面直角坐标系中画出对应的点（如图7 - 1）,就会发现，随着身高的增长,体重基本上呈现直线增加的趋势. 江西省修水县第一中学 1.在图7-1中，每个点对应的一对数据(xi, yi ),称为 成对数据.这些点构成的图称为散点图. 2.从散点图上可以看出，如果变量之间存在着某种关 系，这些点会有一个大致趋势,这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似地描述.这样近似描述的过程称为曲线拟合. 3.若在两个变量x和y的散点图中，所有点看上去都在一条直线附近波动，此时就可以用一条直线 来近似地描述这两个量之间的关系，称之为直线拟合. 江西省修水县第一中学 那么,应当如何求出这条直线呢？ 方法1：选取散点图中的两个点，使得其余的点在这两个点所连直线两侧分布得尽可能一样多，如有人选取了（165,52）和（168,54）这两个成对数据，得到直线方程为2x-3y-174 = 0.因此，一个身高166 cm的15岁男生，他的体重大致为52.667kg. 江西省修水县第一中学 方法2：将所有的点分成两部分，一部分是身高在165 cm以下的，一部分是身高在 165 cm以上（含165 cm）的;然后每部分的点求一个平均点：165cm以下的身高、体重的平均数（取整近似）作为一个平均点，即（158,48）,165 cm以上（含165 cm）的身高、体重的平均数（取整近似）作为另一个平均点，即（172,56）；最后将这两点连接成一条直线，得到直线方程为4x-7y-296 = 0,因此，一个身高166 cm的15岁男生，他的体重大致为52.571 kg. 江西省修水县第一中学 上面两种方法都有一定的道理.用方法1,若x=175 cm,则可计算 y≈58.667 kg；用方法2,若x=175 cm,则可计算y≈57.714 kg.每一种方法均与实际观测值有偏差.在实际应 用时,我们通常选择本章第1.2节中介绍的方法进行处理. 江西省修水县第一中学 探究点2 一元线性回归方程 对于给定的两个变量x和y（如身高和体重），可以把其成对的观测值（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）表示为平面直角坐标系中的n个点. 现在希望找到一条直线Y = a +bX,使得对每一个xi(i=1,2, …,n），由这个直线方程计算出来的值a+bxi与实际观测值yi的差异尽可能小.为此,希望［y1-（a+bx1）]2+［y2-（a+bx2）]2+…+［yn-（a+bxn）]2达到最小.换句话说，我们希望a,b的取值能使上式达到最小.这个方法称为最小二乘法. 江西省修水县第一中学 推广到n对数值=, -.其中， =(x1+x2+…+xn), =(y1+y2+…+yn). 这时直线方程Y=+X称作Y关于X的线性回归方程，相应的直线称作Y关于X的回归直线（如图7-3）,,是这个线性回归方程的系数. 根据表7-1中身高、体重的数据，利用上述方 法得到身高和体重满足的线性回归方程为 Y=0.648X-55.139. 由此可知，一个身高166cm的15岁男生，他 的体重大致为52.429 kg. 同理，一个身高175cm 的15岁男生，他的体重大致为58.261 kg. 江西省修水县第一中学 在这里需要强调的是:身高和体重之间并没有函数关系，我们得到的线性回归方程只是对其变化趋势的一种近似描述.对一个给定身高的人，人们可以用这个方程来估计这个人的体重,这是十分有意义的. 江西省修水县第一中学 1.变量之间的常见关系 分类 概念 函数关系 两个变量之间的关系可以用函数表示.如圆的面积与半径之间的关系,就可以用函数S=r2表示 相关关系 如果两个变量中一个变量的取值一定时,另一个变量的取值带有一定的随机性,那么这两个变量之间的关系,叫做相关关系 不相关 两个变量间没有任何关系 概念解析 知识梳理 江西省修水县第一中学 思考 相关关系和函数关系有什么异同？ （1）相同点：两者均是指两个变量的关系. （2）不同点： ①函数关系是一种确定的关系，如匀速直线运动中时间t与路程s的关系；相关关系是一种非确定的关系，如一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系. ②函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系(带有随机性). 江西省修水县第一中学 2.直线方程称作称作Y关于X的线性回归方程，相应的直线称作Y关于X的回归直线,称为这个方程的线性回归方程的系数. 江西省修水县第一中学 1．下列关系中，属于相关关系的是　　　　（填序号）. ①圆形的半径与面积之间的关系；②农作物的产量与施肥量之间的关系； ③出租车费与行驶的里程之间的关系；④降雪量与交通事故的发生率之间的关系. 巩固练习 ②④ 解析 在①中，圆形的半径与面积之间的关系是函数关系； 在②中，农作物的产量与施肥量之间不具有严格的函数关系，但具有相关关系； ③为确定的函数关系； 在④中，降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系. 江西省修水县第一中学 2.以下四个散点图中,两个变量的关系适合用直线拟合描述的有______. A.①② B.①③ C.②③ D.③④ 解析 ①③中的点分布在一条直线附近,适合直线拟合描述. ①③ 江西省修水县第一中学 例1 在本章1.1节的练习中，从散点图可以看出，某小卖部6天卖出热茶的杯数Y（单位:杯）与当天气温X（单位:°C）之间存在近似的线性关系.数据如表7-2. （1）试用最小二乘法求岀Y关于X的线性回归方程； （2）如果某天的气温是-3℃,请预测这天可能会 卖出热茶多少杯. 解（1）从散点图7-6中可以看岀，表7-2中的两 个变量有近似的线性关系. 江西省修水县第一中学 先列表（如表7-3），并求得，=. 江西省修水县第一中学 进而,由.的表达式可得 =≈-1.648,=57.557. 于是，Y对X的线性回归方程为 Y = 57.557 -1.648X. (2)由最小二乘法得出的线性回归方程可知，当某天的气温是-3℃时,卖出热茶的杯 数估计为 57.557- 1.648×(-3) = 62.501≈63 江西省修水县第一中学 D x 0 1 2 3 y 1 3 5 7 江西省修水县第一中学 20 1.知识清单： (1)相关关系. (2)散点图. (3)直线拟合. (4)最小二乘法. (5)线性回归方程. 2.注意事项：根据提供的样本数据，先画散点图判断两变量是否具备线性相关关系. 课堂小结 江西省修水县第一中学 ▲必做题： 教材第240页 习题7-1 第1、2题 课后作业 ▲选做题： 教材第240页 练习第1题 江西省修水县第一中学 (2)线性回归方程Y＝X＋必经过样本点的中心(，). 计算，公式：＝，＝－. 注意点：(1)线性回归方程的系数的计算，有时利用公式＝； 例2．已知x与y之间的一组数据：则y与x的线性回归方程 表示的直线必过点( ) A. B. C. D. 解析 根据题意知，变量 ； 分别求出它们的平均值为 ； .所以样本中心点为 ，即回归方程表示的直线必过点 . $$ 第七章 统计案例 1.1 直线拟合 1.2 一元线性回归方程（第二课时） 2023级高二数学集体备课组 江西省修水县第一中学 复习回顾 (1)相关关系. (2)散点图. (3)直线拟合. (4)最小二乘法. (5)线性回归方程. 江西省修水县第一中学 一、相关关系的判定 例1下列图形中具有线性相关关系的两个变量是 （　　） 　 　 　 　 　　　 　 A　　　　　 B　　　　　　　 　C　　　　　　　　　D 解析 A和B符合函数关系，即对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与之对应；从C，D中的散点图来看，D的散点都在某一条直线附近波动，因此两变量具有线性相关关系. 典例剖析 D 江西省修水县第一中学 反思感悟 判断两个变量具有相关关系的方法 （1）根据直观感觉判断，这时要用到已有的知识或生活、学习中的经验等. （2）根据散点图判断，这时要由两个变量相应值的对应关系，作出散点图，通过观察散点图 中变量的对应点是否分布在某条曲线的周围判断这两个变量是否具有相关关系. 江西省修水县第一中学 二、线性相关关系的应用 例2 某品牌服装的广告费支出x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）之间有如下的对应数据： 广告费支出x 2 4 6 8 10 销售额y 64 138 205 285 360 （1）试画出散点图，并判断广告费支出x与销售额y是否具有线性相关关系； （2）若取过点（2，64）和点（8，285）的直线作为拟合直线，试预测当x＝10和15时销售额y的值是多少？（结果保留一位小数） 江西省修水县第一中学 解 （1）根据题中数据画出散点图如图 观察散点图，可以发现5个样本点从整体上看大致在一条直线附近，所以变量x，y之间具有线性相关关系. （2）过点（2，64）和点（8，285）的直线方程是221x-6y-58＝0. 令x＝10，则221×10-6y-58＝0，∴ y≈358.7； 令x＝15，则221×15-6y-58＝0，∴ y≈542.8， 即当x＝10时，销售额y的值大约是358.7万元；当x＝15时，销售额y的值大约是542.8万元. 江西省修水县第一中学 反思 利用拟合直线进行预测时应注意的问题 （1）首先要理解线性相关和拟合直线方程的意义. （2）利用拟合直线方程求得的预测值只是实际问题的一个估计值，因此在回答结论时不能说成是准确值，而只能用“大约”等词来回答. 江西省修水县第一中学 三、求线性回归方程 例3　一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，测得数据如下： 请判断其是否具有线性相关关系，如果具有线性相关关系，求线性回归方程. 解 在直角坐标系中画出数据的散点图，如图所示 观察判断出散点在一条直线附近，故具有线性相关关系.由测得的数据列表如右图： 零件数 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 加工时间/分 62 68 75 81 89 95 102 108 115 122 江西省修水县第一中学 i xi yi xi yi 1 10 62 100 620 2 20 68 400 1 360 3 30 75 900 2 250 4 40 81 1 600 3 240 5 50 89 2 500 4 450 6 60 95 3 600 5 700 7 70 102 4 900 7 140 8 80 108 6 400 8 640 9 90 115 8 100 10 350 10 100 122 10 000 12 200 合计 550 917 38 500 55 950 ＝＝≈0.668， ＝- ＝91.7-0.668×55＝54.96. 所以线性回归方程为＝54.96+0.668x. 江西省修水县第一中学 反思感悟 求线性回归方程的技巧和注意点 （1）求解线性回归方程时，需要进行复杂的计算，采用列表法会使计算进行得更有条理.将需要计算的量列在表格中，再按照公式求解线性回归方程即可. （2）求线性回归方程的注意事项： ①利用散点图判断两个变量是否具有线性相关关系，注意不要受个别点的位置的影响. ②求线性回归方程，关键在于正确求出回归系数，，由于，的计算量较大，计算时应仔细谨慎，分层进行，避免因计算而产生错误. 江西省修水县第一中学 四、线性回归方程的性质 例4　某大型超市开业天数x与每天的销售额y（万元）的情况如下表所示： 已知y关于x的线性回归方程为＝0.67x+54.9，由于表中有一个数据模糊不清，请你推断出该数 据的值为（　　） A. 67 B. 68 C.68.3 D. 71 解析设该数为m，＝（10+20+30+40+50）＝30， ＝（62+m+75+81+89）＝（307+m）， 因为点（，）在回归直线上，所以（307+m）＝0.67×30+54.9， 解得m＝68. 开业天数 10 20 30 40 50 每天销售额/万元 62 75 81 89 B 江西省修水县第一中学 跟踪训练 通过实验分析知工人月工资y（元）与生产创收总额x（万元）变化的线性回归方程为＝900+600x，下列判断正确的是 （　　） A.生产创收总额为1万元时，工资为1 500元 B.生产创收总额提高1万元时，工资平均提高900元 C.生产创收总额提高1万元时，工资平均提高600元 D.当月工资为2 700元时，生产创收总额约为2万元 解析 当生产创收总额为1万元时，工资约为1 500元，A错误； 当生产创收总额提高1万元时，工资平均提高600元，B错误，C正确； 当月工资为2 700元时，生产创收总额约为3万元，D错误. C 江西省修水县第一中学 五、利用回归方程对总体进行估计 例5　在本章第1.1节的练习中，从散点图可以看出，某小卖部6天卖出热茶的杯数Y（单位：杯）与当天气温X（单位：℃）之间存在近似的线性关系.数据如表  （1）试用最小二乘法求出Y关于X的线性回归方程； （2）如果某天的气温是-3℃，请预测这天可能会卖出热茶多少杯. 气温X / ℃ 26 18 13 10 4 -1 杯数Y / 杯 20 24 34 38 50 64 解 （1）从散点图中可以看出，上表中的两个变量有近似的线性关系.   先列表，并求得x=，＝. 江西省修水县第一中学 i xi yi xiyi 1 26 20 676 520 2 18 24 324 432 3 13 34 169 442 4 10 38 100 380 5 　4 50 16 200 6 -1 64 1 -64 合　计 70 230 1 286 1 910 进而，由，的表达式可得＝≈-1.648， 于是，Y对X的线性回归方程为Y＝57.557-1.648X.   （2）由最小二乘法得出的线性回归方程可知，当某天的气温是- 3℃时，卖出热茶的杯数估计为57.557-1.648×（-3）＝62.501≈63.   江西省修水县第一中学 反思感悟 应用线性回归方程解题的常见思路 （1）利用回归直线过样本点中心，可以求参数，参数可涉及回归系数或样本点数据. （2）利用回归系数的意义，分析实际问题. （3）利用线性回归方程进行预测时需关注两点：①求得的预测值只是一个估计值，不是精确值； ②变量x与y呈线性相关关系时，线性回归方程才有意义，否则即使求出线性回归方程也是毫无意义的，用其估计或预测的量也是不可信的.   江西省修水县第一中学 随堂小测 x 6 8 10 12 y 6 m 3 2 1.已知变量x，y之间的一组数据如表： 若y关于x的线性回归方程为y＝0.7x+a，则a＝（　　） A.0.1 B.0.2 C.0.35 D.0.45 2 已知变量x，y之间的线性回归方程为y＝-0.7x+10.3，且变量x，y之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是 （　　） A.变量x，y之间呈负相关关系 B. 可以预测，当x＝20时，y＝-3.7 C.m＝4.7 D. 该回归直线必过点（9，4） x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 C C 江西省修水县第一中学 水稻产量/ kg 320 330 360 410 460 470 480 施肥量/kg 15 20 25 30 35 40 45 3.下面是水稻产量与施肥量的一组统计数据： （1）将上表中的数据制成散点图. （2）你能从散点图中发现施肥量与水稻产量近似有什么关系吗？水稻产量会一直随施肥量增加而增加吗？ （3）若近似呈线性关系，请画出一条直线来近似地表示这种线性关系. 江西省修水县第一中学 解 （1）以x轴表示施肥量，y轴表示水稻产量， 可得散点图如图所示. （2）从图中可以发现施肥量与水稻产量近似呈线性关系，当施肥量由小到大变化时，水稻产量大致由小变大.但水稻产量只是在一定范围内随着施肥量的增加而大致增加. （3）近似直线如图所示 . 江西省修水县第一中学 4.语音交互是人工智能的方向之一，现在市场上流行多种可实现语音交互的智能音箱，它们可以通过语音交互满足人们的部分需求.经市场调查，某种新型智能音箱的广告费支出x（万元）与销售额y（万元）之间有如下对应数据： （1）求y关于x的线性回归方程（数据精确到0.01）； （2）利用（1）中的回归方程，预测广告费支出10万元时的销售额. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ＝＝，＝-. x 1 4 5 6 9 y 20 35 50 65 80 江西省修水县第一中学 解　（1）由对应数据，计算得＝（1+4+5+6+9）＝5， ＝（20+35+50+65+80）＝50， ∴＝＝≈7.94， ＝50-×5≈10.29. ∴ y关于x的线性回归方程为＝7.94x+10.29. （2）当x＝10时，＝10×7.94+10.29＝89.69， ∴ 当广告费支出10万元时，销售额大约为89.69万元. 江西省修水县第一中学 1.知识清单： (1)相关关系. (2)散点图. (3)直线拟合. (4)最小二乘法. (5)线性回归方程. 2.注意事项：根据提供的样本数据，先画散点图判断两变量是否具备线性相关关系. 课堂小结 江西省修水县第一中学 ▲必做题： 教材第240页 习题7-1 第1、2题 课后作业 ▲选做题： 教材第240页 练习第1题 江西省修水县第一中学 $$