6.2离散型随机变量及其分布列 课件-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

第六章 概率 §2离散型随机变量及其分布列 2023级高二数学集体备课组 江西省修水县第一中学 数学 情境引入 江西省修水县第一中学 数学 2024/10/30 2 情境引入 以上为第32届东京奥运会奥运射击冠军杨倩夺冠的精彩瞬间，在整个奥运会她比赛记录如下，每次比赛可能出现命中总环为251.5环、252.3环等结果， 若用X来表示他一次射击比赛所命中的总环数，则X即为随机变量. 2021年2月1日 东京奥运会最终队伍选拔赛第一场 女子10米气步枪 251.5环 2021年2月6日 东京奥运会最终队伍选拔赛第二场 女子10米气步枪 253.1环 2021年3月13日 东京奥运会最终队伍选拔赛第三场 女子10米气步枪 251.6环 2021年3月22日 东京奥运会最终队伍选拔赛第四场 女子10米气步枪 252.3环 江西省修水县第一中学 数学 2024/10/30 3 一、新知初探 （随机变量的概念） 问题　下述现象有哪些共同特点？ (1)某人在射击训练中，射击一次，命中的环数X是1,2,3，…10中的某一个数； (2)抛掷一颗骰子，向上的点数Y是1,2,3,4,5,6中的某一个数； (3)新生婴儿的性别，抽查的结果可能是男，也可能是女.如果将男婴用0表示， 女婴用1表示，那么抽查的结果Z是0和1中的某一个数. 提示　上述现象中的X，Y，Z，实际上是把每个随机试验的样本点都对应一个确定的实数，即在试验结果(样本点)与实数之间建立了一个对应关系. 江西省修水县第一中学 数学 2024/10/30 4 一、新知初探 （随机变量的概念） 在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得样本空间的每一个样本点都用一个确定的 表示.在这个对应关系下， 随着试验结果的变化而变化.像这种取值随着试验结果的变化而变化的量称为 .随机变量常用字母X，Y，ξ，η等来表示. 数值 数值 随机变量 江西省修水县第一中学 数学 2024/10/30 5 二、例题讲解 例1 判断下列各个量是否为随机变量，并说明理由. (1)从10张已编好号码的卡片(从1号到10号)中任取一张，被抽出卡片的号数； 解析：被抽取卡片的号数可能是1,2，…，10，出现哪种结果是随机的，是随机变量. (2)体积为8 cm3的正方体的棱长. 解析：正方体的棱长为定值，不是随机变量. （随机变量的概念） 江西省修水县第一中学 数学 6 二、例题讲解 （列举随机现象的结果） 课本例1　已知在10件产品中有2件不合格品.试验E：从这10件产品中任取3件，观察不合格品的件数. (1)写出该随机现象可能出现的结果； 依题意知这10件产品中有2件不合格品，8件合格品. 因此，从10件产品中任取3件，所有可能出现的结果是：“没有不合格品”“恰有1件不合格品”“恰有2件不合格品”. 江西省修水县第一中学 数学 7 二、 (2)试用随机变量来描述上述结果. 例题讲解 令随机变量X表示取出的3件产品中的不合格品的件数，则X所有可能的取值为0,1,2，对应着任取3件产品所有可能的结果.即 {X＝0}表示“没有不合格品”； {X＝1}表示“恰有1件不合格品”； {X＝2}表示“恰有2件不合格品”. （列举随机现象的结果） 江西省修水县第一中学 数学 二、例题讲解 例2　写出下列随机变量可能取的值，并说明这些值所表示的随机试验的结果. (1)袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，取后不放回，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数； 设所需的取球次数为X，则X＝1,2,3,4，…11，{X＝i}表示“前(i－1)次取到的均是红球，第i次取到白球，这里i＝1,2,3,4，…，11”. （列举随机现象的结果） 江西省修水县第一中学 数学 9 二、例题讲解 (2)从分别标有数字1,2,3,4的4张卡片中任取2张，所取卡片上的数字之和. 设所取卡片上的数字之和为X, 则X＝3,4,5,6,7. {X＝3}表示“取出标有1,2的两张卡片”； {X＝4}表示“取出标有1,3的两张卡片”； {X＝5}表示“取出标有2,3或1,4的两张卡片”； {X＝6}表示“取出标有2,4的两张卡片”； {X＝7}表示“取出标有3,4的两张卡片”. （列举随机现象的结果） 江西省修水县第一中学 数学 2024/10/30 10 二、例题讲解 （用随机变量表示事件） 课本例2　连续抛掷一枚均匀的硬币2次，用X表示这2次抛掷中出现正面的次数，则X是一个随机变量.分别说明下列集合所代表的随机事件： (1){X＝0}；　 {X＝0}表示使得随机变量对应于0的那些结果组成的事件，即2次都是出现反面.所以{X＝0}表示“2次都是出现反面”. (2){X＝1}； {X＝1}表示“恰有1次出现正面”. 江西省修水县第一中学 数学 (3){X≤1}； 　 (4){X>0}. {X≤1}表示“至多1次出现正面”. {X>0}表示“至少1次出现正面”. 二、例题讲解 （用随机变量表示事件） 江西省修水县第一中学 数学 用表示抛掷一枚均匀的骰子掷出的点数，则X是一个随机变量，它的可能取值为1，2，…，6；由于掷出各点数的概率相等，因而事件{}（＝1，2，…，6）发生的概率为，记作 ＝（＝1，2，…，6）. 知道了上述两点，抛掷一枚均匀的骰子掷出点数的规律也就弄明白了.我们也常将上式列成表，如表: 实例分析 1 2 3 4 5 6 江西省修水县第一中学 数学 取值能够一一列举出来的随机变量称为离散型随机变量. 二、离散型随机变量及其分布列 若离散型随机变量X的取值为随机变量取的概率为（＝1，2，…，，…），记作（＝1，2，…，，…）. ① ①式也可以列成表，如表： … … … … 上表或①式称为离散型随机变量的分布列，简称为的分布列. 分布列性质：（1）；（2）. 江西省修水县第一中学 数学 若在某个试验中，每次试验只有两个相互对立的结果，可以分别称为“成功”和“失败”，每次“成功”的概率均为，每次“失败”的概率均为，则称这样的试验为伯努利试验. 三、两点分布 如果随机变量X的分布列如表 1 0 其中0<<1，，那么称离散型随机变量服从参数为的两点分布（又称分布或伯努利分布）. 江西省修水县第一中学 数学 判断正误 (1)在离散型随机变量分布列中，每一个可能值对应的概率可以为任意的实数．(　　) (2)随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．(　　) (3)随机变量是随机试验结果和实数之间的一个对应关系，这种对应是人为的，但又是客观存在的．(　　) 即时训练 √ √ 江西省修水县第一中学 数学 一、随机变量的概念 例1　（1）抛掷一枚均匀硬币一次，随机变量为 （　　） A.抛掷硬币的次数 B.出现正面的次数 C.出现正面或反面的次数 D.出现正面和反面的次数之和 （2）6件产品中有2件次品、4件正品，从中任取1件，则可以作为随机变量的是 （　　） A.取到的产品件数 B.取到的正品件数 C.取到正品的概率 D.取到次品的概率 典例剖析 解析 （1）抛掷一枚均匀硬币一次，可能的结果是出现正面或出现反面.以某一个为标准，如出现正面的次数来描述这一随机试验，那么出现正面的次数就是随机变量ξ，ξ的取值是0，1，故选B.而A项中抛掷次数就是1，不是随机变量；C项中标准不明；D项中，出现正面和反面的次数之和为必然事件，试验前便知是必然出现的结果，也不是随机变量. （2）由随机变量的定义知，随机变量是随机试验的结果，排除C，D项，又取到的产品件数是一个确定值，排除A项. 江西省修水县第一中学 数学 例2　有以下随机试验：①统计某路口一天内经过的机动车的辆数；②统计一天内的温度；③统计某单位的某部电话在单位时间内被呼叫的次数；④统计某篮球运动员在一次训练中投中球的个数.上述问题中的是离散型随机变量的是 （　　） A.①②③④ B.②③④ C.①③④ D.①②④ 解析 随机试验的结果可以一一列出的，就是离散型随机变量.一天内的温度的取值不能一一列出，是连续型随机变量. 答案 C 江西省修水县第一中学 数学 反思感悟 “三步法”判定离散型随机变量 （1）依据具体情境分析变量是否为随机变量. （2）由条件求解随机变量的值域. （3）判断变量的取值能否被一一列举出来，若能，则是离散型随机变量；否则，不是离散型随机变量. 江西省修水县第一中学 数学 跟踪训练 写出下列各随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果： （1）在2020年某大学的自主招生中，参加面试的5名考生中，通过面试的考生人数. （2）一个袋中装有5个同样的球，编号分别为1，2，3，4，5.现从该袋内随机取出3个球，被取出的球的最大编号数. 江西省修水县第一中学 数学 跟踪训练 写出下列各随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果： （1）在2020年某大学的自主招生中，参加面试的5名考生中，通过面试的考生人数. （2）一个袋中装有5个同样的球，编号分别为1，2，3，4，5.现从该袋内随机取出3个球，被取出的球的最大编号数. 解 （1）可能取0，1，2，3，4，5.表示“通过面试的有人”，其中＝0，1，2，3，4，5. （2）可取3，4，5.＝3表示“取出的3个球的编号为1，2，3”；＝4表示“取出的3个球的编号为1，2，4或1，3，4或2，3，4”；＝5表示“取出的3个球的编号为1，2，5或1，3，5或1，4，5或2，3，5或2，4，5或3，4，5”. 江西省修水县第一中学 数学 例3　袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X表示取出的3个小球上的最大数字，求： （1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率；（2）随机变量X的分布列； （3）计算取球得分介于20分到40分之间的概率. 三、离散型随机变量的分布列 江西省修水县第一中学 数学 三、离散型随机变量的分布列 例3　袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X表示取出的3个小球上的最大数字，求： （1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率；（2）随机变量X的分布列； （3）计算取球得分介于20分到40分之间的概率. 解 （1）（方法一）记“取出的3个小球上的数字互不相同”为事件A，则P（A）＝＝. （方法二）记“取出的3个小球上的数字互不相同”为事件A，“取出的3个小球上的数字中有两个数字相同”为事件B，事件A和事件B是对立事件. 因为P（B）＝＝，所以P（A）＝1-P（B）＝1-＝. 江西省修水县第一中学 数学 （2）由题意得，所有可能的取值为2，3，4，5. （＝2）＝＝；（＝3）＝＝； （＝4）＝＝；（＝5）＝＝. 所以随机变量的分布列为 2 3 4 5 （3）记“取球得分介于20分到40分之间”为事件， 则＝（＝3或＝4）＝（＝3）+（＝4）＝+＝. 江西省修水县第一中学 数学 25 四、两点分布 例4　一个袋中装有除颜色外其他都相同的3个白球和4个红球. （1）从中任意摸出1个球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，即＝求的分布列； （2）从中任意摸出两个球，用＝0表示“两个球全是白球”，用＝1表示“两个球不全是白球”，求的分布列. 江西省修水县第一中学 数学 （2）由题意知（＝0）＝＝，所以（＝1）＝1-（＝0）＝. 所以的分布列为 0 1 反思感悟 两步法判断一个分布为两点分布 （1）看取值：随机变量只取两个值0和1. （2）验概率：. 如果一个分布满足以上两点，则该分布是两点分布，否则不是两点分布. 0 1 江西省修水县第一中学 数学 课堂小结 1.知识清单： (1)离散型随机变量. (2)离散型随机变量的分布列. (3)两点分布. 2.常见误区： 忽视随机变量的性质致误. （＝1，2，…，，…） … … … … 1 0 江西省修水县第一中学 数学 ▲必做题： 教材第201页 习题6-2 A组题3、4、5 课后作业 ▲选做题： 教材第202页 习题 6-2 B组题1、2、3 江西省修水县第一中学 数学 谢 谢！ 江西省修水县第一中学 数学 $$