5.1.1分类加法计数原理 5.1.2分步乘法计数原理 课件-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

第五章 计数原理 §1 基本计数原理 2023级高二数学集体备课组 江西省修水县第一中学 江西省修水县第一中学 学习导入 从甲地到乙地，可以乘飞机，可以乘火车，也可以乘轮船，还可以乘汽车.每天有2个班次的飞机，有4个班次的火车，有2个班次的轮船，有1个班次的汽车.那么，乘坐以上交通工具中的一种从甲地到乙地，在一天中共有多少种选择呢？ 分析　如图，该问题需要完成的是：从甲地到乙地共有多少种方法.所有方法可以分成：乘飞机、火车、轮船、汽车4类办法，每类办法中分别又有2，4，2，1种方法.于是，乘坐以上交通工具从甲地到乙地，共有2+4+2+1＝9种方法. 江西省修水县第一中学 2 完成一件事，可以有类办法，在第1类办法中有种方法，在第2类办法中有种方法……在第类办法中有种方法，那么，完成这件事共有种方法.（也称“加法原理”） 一 分类加法计数原理 江西省修水县第一中学 3 学习导入 春节到了，某同学要与父母一起参加家庭聚会. （1）她有3件不同的上衣，4条不同的裤子，如果把1件上衣和1条裤子看作一种搭配方法，那么共有多少种搭配方法？ （2）她还有5双不同的鞋子，如果把1件上衣、1条裤子和1双鞋子看作一种搭配方法，那么共有多少种搭配方法？ 分析　（1）我们先看裤子的选择方法数，有4条不同的裤子，则有4种选择方法；每一条裤子对应3件不同的上衣，如图. 因此，根据分类加法计数原理，共有N＝3+3+3+3＝3x4=12种搭配方法. 江西省修水县第一中学 4 （2）由题意知还有5双不同的鞋子，且每一双鞋子对应的裤子和上衣的搭配方法有12种，如图. 因此，根据分类加法计数原理，共有 N＝12+12+12+12+12＝12x5=3x4x5=60种搭配方法. 江西省修水县第一中学 5 二 分步乘法计数原理 完成一件事需要经过个步骤，缺一不可，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法……做第步有种不同的方法，那么，完成这件事共有每一步中的方法数相乘.种方法. （也称“乘法原理”） 江西省修水县第一中学 6 题型一　分类加法计数原理的应用 例1　(1)从高三年级的四个班中共抽出22人，其中一、二、三、四班分别为4人，5人，6人，7人，他们自愿组成数学课外小组，选其中一人为组长，有多少种不同的选法？ (2)在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？ 江西省修水县第一中学 江西省修水县第一中学 解析：(1)分四类： 从一班中选一人，有4种选法；从二班中选一人，有5种选法； 从三班中选一人，有6种选法；从四班中选一人，有7种选法． 共有不同选法N＝4＋5＋6＋7＝22种． (2)方法一　按十位上的数字分别是1，2，3，4，5，6，7，8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．由分类加法计数原理知，符合题意的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)． 方法二　按个位上的数字是2，3，4，5，6，7，8，9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别是1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个，所以按分类加法计数原理知，满足条件的两位数 共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个)． 江西省修水县第一中学 江西省修水县第一中学 利用分类加法计数原理解题的一般思路 江西省修水县第一中学 题型二　分步乘法计数原理的应用 例2 一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共十个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数的号码(个位上的数字允许重复)?   解析：按从左到右的顺序拨号可以分四步完成： 第一步，有10种拨号方式，所以＝10； 第二步，有10种拨号方式，所以＝10； 第三步，有10种拨号方式，所以＝10； 第四步，有10种拨号方式，所以＝10. 根据分步乘法计数原理，共可以组成 N＝10×10×10×10＝10 000个四位数的号码． 江西省修水县第一中学 方法归纳 1．应用分步乘法计数原理时，完成这件事情要分几个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事情，每个步骤缺一不可． 2．利用分步乘法计数原理解题的一般思路 (1)分步：将完成这件事的过程分成若干步； (2)计数：求出每一步中的方法数； (3)结论：将每一步中的方法数相乘得最终结果． 江西省修水县第一中学 跟踪训练2　张老师要从教学楼的一层走到三层，已知从一层到二层有4个扶梯可走，从二层到三层有2个扶梯可走，则张老师从一层到三层有多少种不同的走法？ 解析：第1步，从一层到二层有4种不同的走法； 第2步，从二层到三层有2种不同的走法. 根据分步乘法计数原理知，张老师从教学楼的一层到三层的不同走法 有4×2＝8(种). 江西省修水县第一中学 题型三　两个计数原理的应用 例3　现有高一四个班的学生34人，其中一、二、三、四班各有7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组. (1)选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？ (2)每班选一名组长，有多少种不同的选法？ (3)推选两人做中心发言，这两人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？ 江西省修水县第一中学 解析：(1)分四类：第1类，从一班学生中选1人，有7种选法；第2类，从二班学生中选1人，有8种选法；第3类，从三班学生中选1人，有9种选法；第4类，从四班学生中选1人，有10种选法. 由分类加法计数原理知共有不同的选法N＝7＋8＋9＋10＝34(种). (2)分四步：第1、2、3、4步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长. 由分步乘法计数原理知共有不同的选法N＝7×8×9×10＝5 040(种). (3)分六类，每类又分两步．从一、二班学生中各选1人，有7×8种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有7×9种不同的选法；从一、四班学生中各选1人，有7×10种不同的选法；从二、三班学生中各选1人，有8×9种不同的选法；从二、四班学生中各选1人，有8×10种不同的选法；从三、四班学生中各选1人，有9×10种不同的选法．由分类加法计数原理知共有不同的选法 N＝7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431(种). 江西省修水县第一中学 方法归纳 1．使用两个原理的原则 使用两个原理解题时，一定要从“分类”“分步”的角度入手．“分类”是对于较复杂应用问题的元素分成互相排斥的几类，逐类解决，用分类加法计数原理；“分步”就是把问题分化为几个互相关联的步骤，然后逐步解决，这时可用分步乘法计数原理. 2．应用两个计数原理计数的四个步骤 (1)明确完成的这件事是什么. (2)思考如何完成这件事. (3)判断它属于分类还是分步，是先分类后分步，还是先分步后分类. (4)选择计数原理进行计算. 江西省修水县第一中学 随堂小测 1.（不能正确分步）把3封信投到4个信箱中，所有可能的 投法共有（ ） A.24种 B.4种 C.种 D.种 解析：第1封信投到信箱中共有4种投法； 第2封信投到信箱中共有4种投法； 第3封信投到信箱中共有4种投法； 只要把这3封信投完，就完成了这件事，由分步乘法计数原理可 得共有 种投法。 C 江西省修水县第一中学 16 随堂小测 C 江西省修水县第一中学 17 易错辨析　因忽视限制条件而致误 例　有3张卡片的正、反两面上分别写有1和2，4和5，8和9，将它们并排组成三位数，其有多少个不同的三位数？ 解析：分三步进行： 第一步：确定个位上数字有6种选法． 第二步：确定十位上数字，因个位上数字已定，其反面数字不能选取，只能从剩余的2张卡片中选取，有4种选法． 第三步：确定百位上数字，只能从剩余的1张卡片中选取，有2种选法． 由分步乘法计数原理知，其有6×4×2＝48(个)不同的三位数． 江西省修水县第一中学 两个原理的联系与区别 1.联系:分类加法计数原理和分步乘法计数原理都是解决计数问题最基本、最重要的方法. 课堂小结 江西省修水县第一中学 19 2.区别  类别 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 区别一 完成一件事共有n类办法,关键词是“分类” 完成一件事共有n个步骤,关键词是“分步” 区别二 每类办法中的每种方法都能独立地完成这件事,它是独立的、一次的且每种方法得到的都是最后结果,只需一种方法就可完成这件事 除最后一步外,其他每步得到的只是中间结果,任何一步都不能独立完成这件事,缺少任何一步也不能完成这件事,只有各个步骤都完成了,才能完成这件事 区别三 各类办法之间是互斥的、并列的、独立的 各步之间是关联的、独立的,“关联”确保不遗漏,“独立”确保不重复 江西省修水县第一中学 20 ▲必做题： 教材第160页 练习 1 课后作业 ▲选做题： 教材第160页 练习 2 江西省修水县第一中学 江西省修水县第一中学 2．(易错点：分步乘法计数原理的应用)已知某公园有4个门，从一个门进，另一个门出，则不同的走法的种数为(　　) A．16 B．13 C．12 D．10 解析：将4个门编号为1，2，3，4，从1号门进入后，有3种出门的方式，共3种走法，从2，3，4号门进入，同样各有3种走法，共有不同走法3×4＝12(种)． $$