2.3.2抛物线的简单几何性质 课件-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

第二章 圆锥曲线 3.2 抛物线的简单几何性质（第一课时） 2023级高二数学集体备课组 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 1.抛物线的定义 2.抛物线的标准方程 焦点坐标是,它的准线方程是 旧知回顾 平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的集合（或轨迹）叫作抛物线. 点F叫作抛物线的焦点,直线l叫作抛物线的准线. l F K M H x O y 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 由方程①可知，对于抛物线①上的任意一点，都有， 所以这条抛物线在轴的右侧，开口向右； 当的值增大时，也随之增大，这说明 抛物线向右上方和右下方无限延伸. 类比用方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法，你认为应研究抛物线 ①的哪些几何性质？如何研究这些性质？ 1.范围 探究新知 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 2.对称性 根据方程①的结构特点，可以发现： 若满足方程①，则也满足方程①，所以抛物线是关于轴对称的曲线. 注：抛物线只有一条对称轴，没有对称中心． 探究新知 3.顶点 抛物线和它的对称轴的交点叫作抛物线的顶点. 在方程①中，当时，，因此，抛物线的顶点就是坐标原点. 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 4.离心率 抛物线上的点M到焦点的距离和它到准线的距离之比，叫作抛物线的离心率. 用 e 表示，e = 1． 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 图 象 标准方程 焦点坐标 准线方程 范围 顶点 对称轴 e y2 = 2px （p>0） y2 = -2px （p>0） x2 = 2py （p>0） x2 = -2py （p>0） ≥0 ∈R ≤0 ∈R ≥0 ∈R ≤ 0 ∈R (0,0) x轴 y轴 1 探究新知 四种抛物线的几何性质的对比 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 概念深化 抛物线的几何性质的特点 （1）表示焦点F到准线l的距离. （2）抛物线的标准方程中，等号左边为二次项，右边为一次项. 若对称轴为x轴，焦点在x轴上； 若对称轴为y轴，焦点在y轴上. （3）抛物线的标准方程中，若一次项前面的系数为正数，开口为坐标 轴正方向；若一次项前面的系数为负数，开口为坐标轴负方向. 对称轴看一次项 一次项系数的符号决定开口方向 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线; 2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心; 3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线; 4.抛物线的离心率e是确定的,e为1; 概念深化 注意事项 5.抛物线与双曲线都是“开放型”曲线，但抛物线不能看作是双曲线的一支. 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 典例剖析 例3 求顶点在原点，经过点，且以坐标轴为对称轴的抛物线的标准方程. 解 因为点在第四象限，所以 ①若x轴是抛物线的对称轴，则设抛物线的标准方程为 因为点在抛物线上，所以 解得，所求抛物线标准方程为. ①若y轴是抛物线的对称轴，同理可得抛物线的标准方程为. 故抛物线的标准方程为或 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 典例剖析 例3 求顶点在原点，经过点，且以坐标轴为对称轴的抛物线的标准方程. x O y x O y 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 待定系数法： 若已知抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p 值即可， 若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论， 另外，焦点在 x 轴上的抛物线方程统一设成 y2＝ax (a ≠ 0) ， 焦点在 y 轴上的抛物线方程可统一设成 x2＝ay (a ≠ 0)． 方法点睛 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 例4 已知点到点的距离比它到直线的距离小2，求点的轨迹方程. 【解】如图，点到点的距离比它到直线的距离小2， 即“点到点的距离等于它到直线的距离”. 由此可知，点的轨迹是以为焦点，以直线为准线的抛物线. 故点的轨迹方程是. 典例剖析 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 例5已知抛物线上的点P到焦点F的距离为5，求点P的坐标. 【解法1】由抛物线方程，可得焦点. 设点的坐标为依题意有 将①代入②，消去，然后两边平方，得，解得或. 将代入①，得无解，故舍去； 将代入①，得，即. 所以点的坐标为（4，4）或（4，-4）. 典例剖析 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 例5 已知抛物线上的点P到焦点F的距离为5，求点P的坐标. 【解法2】设点P的坐标为，由点在抛物线上，得. 由抛物线方程，可得其准线方程为. 由点到焦点的距离为5可知，点到抛物线的准线的距离也为5， 即 ，解得. 将代入，得，即. 所以点的坐标为（4，4）或（4，-4）. 典例剖析 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 解:如图，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为轴，建立平面直角坐标系，则点的坐标为. 设抛物线的标准方程为. 将点的坐标代入上式，得，即. 所以抛物线的标准方程为. 将代入抛物线的标准方程，得，则.5. 这说明，即使集装箱处于隧道的正中位置，车与集装箱的总高也会高于， 所以此车不能安全通过隧道.   例6 某单行隧道横断面由一段抛物线及一个矩形的三边组成，尺寸如图2-28（单位：m），某卡车载一集装箱，车宽3 m，车与集装箱总高4.5 m，此车能否安全通过隧道？说明理由. 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 例7抛物线y2=4x上的点P(x,y)到(0,3)的距离与到准线距离之和的最小值是　　 　 .  【解析】如图所示, 设此抛物线的焦点为F(1,0),准线l:x=-1. 过点P作PM⊥l,垂足为M.则|PM|=|PF|. 设Q(0,3),因此当F,P,Q三点共线时,|PF|+|PQ|取得最小值. ∴(|PF|+|PQ|)min=|QF|=. 即|PM|+|PQ|的最小值为. 典例剖析 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 课堂练习 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 练2 河上有抛物线型拱桥，当水面距拱桥顶5米时，水面宽为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露出水面上的部分高0.75米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？ 【解】如图建立直角坐标系， 设桥拱抛物线方程为， 由题意可知，在抛物线上，所以，得， 当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航， 设此时船面宽为AA’，则， 由,得， 又知船面露出水面上部分高为0.75米，所以=2米. 课堂练习 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 1.掌握抛物线的几何性质: 范围、对称性、顶点、离心率; 2.会利用抛物线的几何性质求抛物线的标准方程、焦点坐标及解决其它问题. 课堂小结 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 谢谢！ 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 【解】（1）依题意，抛物线的焦点为，准线方程为. 由已知及抛物线的定义，可知，于是问题转化为求的最小值. 由平面几何知识知，当F，P，A三点共线时，取得最小值， 最小值为，即的最小值为. （2）把点B的横坐标代入中，得， 因为，所以点B在抛物线的内部. 过B作垂直准线于点Q，交抛物线于点（如图所示）. 由抛物线的定义，可知，则， 所以的最小值为4. 练1设P是抛物线上的一个动点，F为抛物线的焦点. （1）若点P到直线的距离为，求的最小值； （2）若，求的最小值. $$ 第二章 圆锥曲线 抛物线的简单几何性质（第二课时） 直线与抛物线的位置关系 2023级高二数学集体备课组 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 问题：你能说出直线与抛物线位置关系吗？ 一.直线与抛物线位置关系 F x y 1.相离 2.相切 3.相交 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 二. 直线与抛物线的位置关系的判定 kx2+2 (km-p)x+m2=0 <0 方程组无解 相离 无交点 =0 方程组有一解 相切 一个交点 >0 相交 方程组有两解 两个交点 y=kx+m 由方程组： y2=2px 1.k=0时 2.k≠0时 方程组有一解 一个交点 另外，还要注意直线斜率不存在的情形 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 例1.已知抛物线y2=4x,过定点A(-2, 1)的直线l的斜率为k,由下列情况下分别求k的取值范围： （1） l与抛物线有且仅有一个公共点； （2） l与抛物线恰有两个公共点； （3） l与抛物线没有公共点. y-1=k(x+2) y2=4x { 化简得：ky2-4y+4(2k+1)=0 分析： （１）k=-1或k＝0.5或k＝０时，只有一个公共点． （２）－１＜k＜0.5，且k≠０时，有两个公共点． （３）k＜－１或k＞0.5时，没有公共点． 联立方程得： 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 分析:（1）k不存在时，y=1 （2）k存在时 练1 过点 且和抛物线C: 仅有一个公共点的直线的方程是__________________________. 若改为求过点M的切线方程？ 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 例3 三、求弦长 例2 过点M(2,0)作斜率为1的直线l，交抛物线y2=4x于两点A、B，求焦点，求|AB|． 解：设A(,), B(,), 直线l为抛物线方程，得x2-8x+4=0， ∴ +=8, =4 . 1.求两交点坐标，用两点间距离公式. 2.列方程组，消元化为一元二次方程，应用韦达定理，代入弦长公式 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 四、中点弦问题 说明：中点弦问题的解决方法： ①联立直线方程与曲线方程，用韦达定理 ②点差法 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 四、中点弦问题 例3已知抛物线C：y2=4x，设直线与抛物线两交点为A、B，且线段AB中点为M（2，1），求直线l的方程. 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 例3 已知抛物线C：y2=4x，设直线与抛物线两交点为A、B,且线段AB中点为M(2,1),求直线l的方程. 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 练2.过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|＝7，求AB的中点M到抛物线准线的距离． 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 解：方法一:设A(t,-t2)为抛物线上的点,则点A到直线4x+3y-8=0的距离 d===. 所以当t=时,d有最小值. 例4 求抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0的最小距离. 方法二:如图,设与直线4x+3y-8=0平行的抛物线的切线方程为4x+3y+m=0, 由 消去y得3x2-4x-m=0,∴Δ=16+12m=0,∴m=-. 故最小距离为. 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 1.求抛物线上一点到定直线的距离的最值,最常见的解题思路: 一是利用抛物线的标准方程进行消元代换,得到有关距离的含变量的代数式,以计算函数最值来解决. 二是转化两平行线间距离,代入两平行线间距离公式可求得. 2.建立形与数的联系,提升数形结合的能力,有利于优化解题的方式与方法. 解惑提高 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 课堂小结 1.进一步学习了直线与抛物线的位置关系. 2.学会用函数和方程的思想方法来解决直线与抛物线相交的有关问题.研究方法：方程组解的个数就是交点个数。注意二次项系数可能为0. 3.熟练掌握“设而不求”以及数形结合的数学思想方法. 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 谢谢! 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 联立 消去 得 ,方程只有一解时，求k 解：抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1. 由抛物线定义知|AB|＝|AF|＋|BF| ＝x1＋eq \f(p,2)＋x2＋eq \f(p,2) ＝x1＋x2＋p， 即x1＋x2＋2＝7，得x1＋x2＝5， M的横坐标为eq \f(5,2)， ∴ 点M到抛物线准线的距离为eq \f(5,2)＋1＝eq \f(7,2). $$ 第二章 圆锥曲线 抛物线的简单几何性质(第三课时） 抛物线的焦点弦性质 2023级高二数学集体备课组 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 焦半径 连接焦点与抛物线上的点的线段叫作抛物线的焦半径. x O y F P (x0, y0) 通径 通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的通径. 通径的长度为____, 这就是抛物线方程中的几何意义. 由通径的定义我们还可以看出，p 刻画了抛物线开口的大小， p 值越大，开口越宽；p 值越小，开口越窄． 新知导入 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 新知导入 已知斜率为1的直线 l经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长. 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 新知导入 法二:由已知得抛物线的焦点为F(1,0),所以直线AB的方程为y=x-1, 法三: x y O F A B 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 题后感悟：　 一、求抛物线弦长的一般方法 1.求两交点坐标，用两点间距离公式. 2.设而不求，列方程组，消元化为一元二次方程，应用韦达定理，代入弦长公式 二.若弦过焦点，即为焦点弦则据定义转化为 |AB| ＝ x1＋x2 +p或|AB| ＝y1＋y2+p. 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 (1) |AB|＝x1+x2+p； 探究新知 抛物线焦点弦性质 设AB是抛物线y2=2px(p>0)过焦点F的一条弦，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，AB的中点M(x0,y0)，过A、B、M分别向抛物线的准线作垂线，垂足为A1、B1、M1，则 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 探究新知 抛物线焦点弦性质 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 探究新知 抛物线焦点弦性质 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 (7)以AB为直径的圆与准线相切； (8)∠AM1B=90°, ∠A1FB1=90°. (9)焦半径 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 典例剖析 例1 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 典例剖析 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 典例剖析 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 典例剖析 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 典例剖析 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 典例剖析 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 课堂练习 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 课堂练习 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 课堂小结 (1) |AB|＝x1+x2+p； 抛物线焦点弦性质 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 (7)以AB为直径的圆与准线相切； (8)∠AM1B=90°, ∠A1FB1=90°. (9)焦半径 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 谢谢！ 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 解这题,你有什么方法呢? 法一:直接求两点坐标,计算弦长(运算量一般较大); 法二:设而不求,运用韦达定理,利用弦长公式计算(运算量一般)； 法三:设而不求,数形结合,活用性质,运用韦达定理,计算弦长. $$