2025年江苏省中考数学一轮复习课件：第4章三角形第8节锐角三角函数的实际应用

第8节　锐角三角函数的实际应用 考点梳理 1 ' 坡度、坡角 名称 概念 字母表示 图示 坡度 （坡比） 坡面的铅垂高度h和水平宽 度l的比叫坡度（坡比） 坡度用字母i表示， i＝tan α＝ 坡角 坡面与水平线的夹角α叫坡角 第4节 返回目录 考点梳理 1. 如图，坡角为30°的斜坡上两树间的水平距离AC为2 m，则两树间的坡 面距离AB为（　C　） A. 4 m B. m C. m D. 4 m C 第4节 返回目录 考点梳理 2. 如果一段斜坡的铅垂高度为2 m，水平宽度为3 m，那么这段斜坡的坡比i ＝ ⁠. 1∶1.5　 3. 如图，一个小球由地面沿着坡度i＝3∶4的坡面向上前进了15 cm，则此 时小球水平方向前进的距离是 cm. 12　 第4节 返回目录 考点梳理 仰角、俯角 名称 概念 图示 仰角 在视线与水平线所成的角中，视线在 水平线上方时，所成的角叫做仰角 俯角 在视线与水平线所成的角中，视线在 水平线下方时，所成的角叫做俯角 第4节 返回目录 考点梳理 1. 如图，测角仪CD竖直放在距建筑物AB底部8 m的位置，在D处测得建 筑物顶端A的仰角为50°.若测角仪CD的高度是1.5 m，则建筑物AB的高 度约为 m.（结果精确到个位，参考数据： sin 50°≈0.77， cos 50° ≈0.64，tan 50°≈1.19） 11　 第4节 返回目录 考点梳理 2. 某飞机的飞行高度为m，从飞机上测得地面控制点的俯角为α，那么飞机 到控制点的距离是 .（控制点到地面的距离忽略不计，用m与含α的 三角函数表示） 　 第4节 返回目录 考点梳理 方向角 1. 方向角的概念 一般指以观察者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转 到目标方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成北（南）偏东 （西）多少度. 第4节 返回目录 考点梳理 2. 方向角的示例 如图所示，点A位于点O的 方向，点B位于点O的 ⁠ 方向，点C位于点O的 方向（或 方向）. 北偏东30°　 南偏东 60°　 北偏西45°　 西北　 第4节 返回目录 考点梳理 1. 甲看乙的方向为北偏东30°，那么乙看甲的方向是 ⁠. 南偏西30°　 2. 如图，射线OB的方向是南偏东45°，∠AOB＝160°，则射线OA的 方向是 ⁠. 第2题图 北偏西25°　 第4节 返回目录 考点梳理 3. 一渔船在海上A处测得灯塔C在它的北偏东60°方向，渔船向正东方向 航行12 n mile到达点B处，测得灯塔C在它的北偏东45°方向，若渔船继续 向正东方向航行，则渔船与灯塔C的最短距离是 n mile. 第3题图 （6 ＋6）　 第4节 返回目录 考点梳理 考点精研 2 坡度问题 1. 如图，公园内有一个垂直于地面的立柱AB，其旁边有一个坡 面CQ，坡角∠QCN＝30°.在阳光下，小明观察到AB在地面上的影长为 120 cm，在坡面上的影长为180 cm.同一时刻，小明测得直立于地面长60 cm 的木杆的影长为90 cm（其影子完全落在地面上）.求立柱AB的高度. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 第4节 返回目录 考点精研 解析：如图，延长AD交BN于点E，过点D作DF⊥BN于点F. 在Rt△CDF中，∠CFD＝90°，∠DCF＝30°， 则DF＝ CD＝90，CF＝CD· cos ∠DCF＝180× ＝90 . 由题意，得 ＝ ， 即 ＝ ， 解得EF＝135， ∴BE＝BC＋CF＋EF＝255＋90 ， 则 ＝ . ∴AB＝（170＋60 ）cm. 答：立柱AB的高度为（170＋60 ）cm. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 第4节 返回目录 考点精研 2. （2023连云港）渔湾是国家“AAAA”级风景区，图1是景区游览的部分 示意图.如图2，小卓从九孔桥A处出发，沿着坡角为48°的山坡向上走了 92 m到达B处的三龙潭瀑布，再沿坡角为37°的山坡向上走了30 m到达C 处的二龙潭瀑布.求小卓从A处的九孔桥到C处的二龙潭瀑布上升的高度 DC. （结果精确到0.1 m，参考数据： sin 48°≈0.74， cos 48°≈0.67， sin 37°≈0.60， cos 37°≈0.80） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 第4节 返回目录 考点精研 解析：如图，过点B作BE⊥AD于点E. 在Rt△ABE中， sin ∠BAE＝ ， ∴BE＝AB· sin ∠BAE＝92× sin 48°≈92×0.74＝68.08. 过点B作BF⊥CD于点F， 在Rt△CBF中， sin ∠CBF＝ ， ∴CF＝BC· sin ∠CBF≈30×0.60＝18.00. ∵FD＝BE＝68.08， ∴DC＝FD＋CF＝68.08＋18.00＝86.08≈86.1（m）. 答：从A处的九孔桥到C处的二龙潭瀑布上升的高度DC约为86.1 m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 第4节 返回目录 考点精研 仰角、俯角问题 3. （2024盐城）如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上 升距地面30 m的点P处，测得教学楼底端点A的俯角为37°，再将无人机沿 教学楼方向水平飞行26.6 m至点Q处，测得教学楼顶端点B的俯角为 45°，则教学楼AB的高度约为 m.（精确到1 m，参考数据： sin 37°≈0.60， cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75） 17　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 第4节 返回目录 考点精研 4. （2023南京）如图，为了测量无人机的飞行高度，在水平地面上选择观 测点A，B. 无人机悬停在C处，此时在A处测得C的仰角为36°52'；无人 机垂直上升5 m悬停在D处，此时在B处测得D的仰角为63°26'.AB＝10 m，点A，B，C，D在同一竖直平面内，A，B两点在CD的同侧.求无人 机在C处时离地面的高度.（参考数据：tan 36°52'≈0.75，tan 63°26'≈2.00） 重难点拨 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 第4节 返回目录 考点精研 解析：如图，延长DC交AB于点E. 由题意，得DE⊥AB，CD＝5，设BE＝x， ∵AB＝10， ∴AE＝AB＋BE＝10＋x. 在Rt△ACE中，∠CAE＝36°52'， ∴CE＝AE·tan 36°52'≈0.75（10＋x）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 第4节 返回目录 考点精研 在Rt△BDE中，∠DBE＝63°26'， ∴DE＝BE·tan 63°26'≈2x. ∵DC＋CE＝DE，∴5＋0.75（10＋x）＝2x，解得x＝10， ∴CE＝0.75（10＋x）＝15（m）， ∴无人机在C处时离地面的高度约为15 m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 第4节 返回目录 考点精研 5. （2024宿迁）双塔是古黄河宿迁景观带的标志性建筑之 一，由九层的九龙塔和七层的七凤塔构成.某校数学实践小组开展测量七凤 塔高度的实践活动，该小组制定了测量方案，在实地测量后撰写活动报 告，报告部分内容如下表： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 第4节 返回目录 考点精研 测量七凤塔高度 测量 工具 测角仪、 皮尺等 活动形式 以小组为单位 测量示意图 测量步骤及结果 如图，步骤如下： ①在C处使用测角仪测得塔的顶部点B的仰角 ∠BDG＝37°； ②沿着CA方向走到E处，用皮尺测得CE＝24 m； ③在E处使用测角仪测得塔的顶部点B的仰角∠BFG＝45°. … 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 第4节 返回目录 考点精研 已知测角仪的高度为1.2 m，点C，E，A在同一水平直线上.根据以上信 息，求塔AB的高度.（参考数据： sin 37°≈0.60， cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75） 解析：由题意得，DF＝CE＝24 m，AG＝EF＝CD＝1.2 m， 在Rt△BDG中，tan∠BDG＝tan 37°＝ ≈0.75，∴GD＝ ， 在Rt△BFG中，∵∠BFG＝45°，∴FG＝BG， ∵DF＝24 m，∴DG－FG＝ －BG＝24， 解得BG＝72，∴AB＝72＋1.2＝73.2（m）. 答：塔AB的高度为73.2m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 第4节 返回目录 考点精研 6. 如图，游客从旅游景区山脚下的地面A处出发，沿坡角α＝ 30°的斜坡AB步行50 m至山坡B处，乘直立电梯上升30 m至C处，再乘缆 车沿长为180 m的索道CD至山顶D处，此时观测C处的俯角为19°30'，索 道CD看作在一条直线上，求山顶D的高度DG. （结果精确到1 m，参考数 据： sin 19°30'≈0.33， cos 19°30'≈0.94，tan 19°30'≈0.35） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 第4节 返回目录 考点精研 解析：如图，过点C，B分别作CE⊥DG，BF⊥DG，垂足分别为E，F，延长 CB交AG于点H. 由题意可知，∠DCE＝19°30'，CD＝180，BC＝EF＝30. 在Rt△ABH中，∠α＝30°，AB＝50， ∴BH＝ AB＝25，∴FG＝BH＝25. 在Rt△DCE中，∠DCE＝19°30'，CD＝180， ∴DE＝CD· sin ∠DCE≈0.33×180＝59.4， ∴DG＝DE＋EF＋FG＝59.4＋30＋25＝114.4≈114（m）. 答：山顶D的高度DG约为114 m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 第4节 返回目录 考点精研 方向角问题 7. 如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔50 n mile的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东45° 方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为 n mile.（结果保留根 号） 25 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 第4节 返回目录 考点精研 8. （2024连云港）数学兴趣小组在阅读了《九章算术》中“邑”的计算 后，进行了如下探究：如图，正八边形游乐城A1A2A3A4A5A6A7A8的边长为 km，南门O设立在A6A7边的正中央，游乐城南侧有一条东西走向的道路 BM，A6A7在BM上（门宽及门与道路间距离忽略不计），东侧有一条南北 走向的道路BC，C处有一座雕塑.在A1处测得雕塑在北偏东45°方向上， 在A2处测得雕塑在北偏东59°方向上. （1）∠CA1A2＝ 　 　°，∠CA2A1＝ 　 　°； 解析：（1）∵正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8，∴外角＝ ＝45°， ∴∠CA1A2＝45°＋45°＝90°，∠CA2A1＝45°＋（90°－59°）＝76°， 故答案为90；76. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 第4节 返回目录 考点精研 （2）求点A1到道路BC的距离； 解析：（2）如图，过点A1作A1D⊥BC于点D， 在Rt△CA2A1中，A2A1＝ ，∠CA2A1＝76°， ∴CA1＝A1A2·tan76°≈ ×4.00＝2 （km）， 在Rt△CA1D中，易知∠CA1D＝45°， ∴A1D＝CA1· cos 45°＝2 × ＝2.0（km）， 答：点A1到道路BC的距离为2.0 km. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 第4节 返回目录 考点精研 （3）若该小组成员小李出南门O后沿道路MB向东行走，求她离B处不超 过多少千米，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响？ （结果精确到0.1 km，参考数据： ≈1.41， sin 76°≈0.97，tan 76°≈4.00， sin 59°≈0.86，tan 59°≈1.66） 重难点拨 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 第4节 返回目录 考点精研 解析：（3）如图，连接CA8并延长交BM于点E，延长A1A8交BE于点G，过点A8 作A8F⊥BC于点F， ∵正八边形的外角均为45°， ∴在Rt△A7A8G中，A8G＝ ， ∴FB＝A8G＝ ， 又∵A8F＝A1D＝CD＝2，DF＝A1A8＝ ， ∴CB＝CD＋DF＋FB＝ ， ∵∠CFA8＝∠B，∠FCA8＝∠BCE， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 第4节 返回目录 考点精研 ∴△CA8F∽△CEB，∴ ＝ ，∴ ＝ ， ∵ ≈1.41，∴EB≈2.4 km. 答：小李离点B不超过2.4 km，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 第4节 返回目录 考点精研 9. （2022南京）如图，灯塔B位于港口A的北偏东58°方向，且A，B之 间的距离为30 km，灯塔C位于灯塔B的正东方向，且B，C之间的距离为 10 km.一艘轮船从港口A出发，沿正南方向航行到达D处，测得灯塔C在 北偏东37°方向上，这时，D处距离港口A有多远？（结果取整数，参考 数据： sin 58°≈0.85， cos 58°≈0.53，tan 58°≈1.60， sin 37°≈0.60， cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 第4节 返回目录 考点精研 解析：如图，延长CB交DA的延长线于E. 由题意，得∠E＝90°. ∵∠BAE＝58°，AB＝30， ∴BE＝AB· sin 58°≈30×0.85＝25.5， AE＝AB· cos 58°≈30×0.53＝15.9. ∵BC＝10，∴CE＝BE＋BC＝35.5， ∴DE＝ ≈ ≈47.33， ∴AD＝DE－AE＝47.33－15.9≈31（km）. 答：D处距离港口A约有31 km. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 第4节 返回目录 考点精研 10. 在笔直的湖岸上有A，B两个码头，B在A的正东方向，A， B相距5 km.湖中一小岛上有一码头C，从A处测得码头C位于A的北偏东 30°.一游船从A出发，以20 km/h的速度，经过24 min到达码头C. （1）求码头C到湖岸的距离； 解析：如图，过点C作CH⊥AB于点H， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 第4节 返回目录 考点精研 （1）在Rt△ACH中，∠ACH＝30°，AC＝20× ＝8， cos ∠ACH＝ ， ∴CH＝AC· cos 30°＝8× ＝4 （km）. 答：码头C到湖岸的距离是4 km. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 第4节 返回目录 考点精研 （2）若该游船准备以同样的速度从C开往B，则从C到B需航行多少分 钟？ 解析：（2）在Rt△BCH中，CH＝4 ，BH＝5－4＝1， ∴BC＝ ＝ ＝7. ∴t＝ ×60＝21（min）. 答：从C到B需航行21分钟. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 第4节 返回目录 考点精研 锐角三角函数的其他实际应用 11. （2024苏州）图1是某种可调节支撑架，BC为水平固定杆，竖直固定 杆AB⊥BC，活动杆AD可绕点A旋转，CD为液压可伸缩支撑杆，已知 AB＝10 cm，BC＝20 cm，AD＝50 cm. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 第4节 返回目录 考点精研 （1）如图2，当活动杆AD处于水平状态时， 求可伸缩支撑杆CD的长度（结果保留根号）； 解析：（1）如图1，过点C作CE⊥AD，垂足为E， 由题意得AB＝CE＝10 cm，BC＝AE＝20 cm， ∵AD＝50 cm， ∴ED＝AD－AE＝50－20＝30（cm）， 在Rt△CED中，CD＝ ＝ ＝10 （cm）， ∴可伸缩支撑杆CD的长度为10 cm. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 第4节 返回目录 考点精研 （2）如图3，当活动杆AD绕点A由水平状态按逆时针方向旋转角度α，且 tan α＝ （α为锐角），求此时可伸缩支撑杆CD的长度（结果保留根号）. 解析：（2）如图2，过点D作DF⊥BC， 交BC的延长线于点F，交AD'于点G， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 第4节 返回目录 考点精研 由题意得，AB＝FG＝10 cm，AG＝BF，∠AGD＝90°， 在Rt△ADG中，tan α＝ ＝ ， 设DG＝3x cm，则AG＝4x cm， ∴AD＝ ＝ ＝5x（cm）， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 第4节 返回目录 考点精研 ∵AD＝50 cm， ∴5x＝50，解得x＝10， ∴AG＝40 cm，DG＝30 cm， ∴DF＝DG＋FG＝30＋10＝40（cm）， ∴BF＝AG＝40 cm， ∵BC＝20 cm，∴CF＝BF－BC＝40－20＝20（cm）， 在Rt△CFD中，CD＝ ＝ ＝20 （cm）， ∴此时可伸缩支撑杆CD的长度为20 cm. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 第4节 返回目录 考点精研 12. 2022年6月5日，神舟十四号载人航天飞船搭载“明星”机 械臂成功发射.如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA是垂 直于工作台的移动基座，AB，BC为机械臂，OA＝1 m，AB＝5 m，BC ＝2 m，∠ABC＝143°.机械臂端点C到工作台的距离CD＝6 m. （1）求A，C两点之间的距离； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 第4节 返回目录 考点精研 解析：（1）如图，连接AC，过点A作AE⊥CB，垂足为E. 在Rt△ABE中，AB＝5，∠ABE＝37°， ∵ sin ∠ABE＝ ， cos ∠ABE＝ ， ∴ ≈0.60， ≈0.80， ∴AE＝3，BE＝4，∴CE＝BC＋BE＝6. 在Rt△ACE中，由勾股定理， 得AC＝ ＝3 ≈6.7（m）. 答：A，C两点之间的距离约为6.7 m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 第4节 返回目录 考点精研 （2）求OD长. （结果精确到0.1 m，参考数据： sin 37°≈0.60， cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75， ≈2.24） 解析：（2）如图，过点A作AF⊥CD，垂足为F. ∴FD＝AO＝1，∴CF＝5. 在Rt△ACF中，由勾股定理，得AF＝ ＝2 ， ∴OD＝2 ≈4.5（m）. 答：OD的长约为4.5 m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 第4节 返回目录 考点精研 13. 小强在物理课上学过平面镜成像知识后，在老师的带领下到 某厂房做验证实验.如图，老师在该厂房顶部安装一平面镜MN，MN与墙 面AB所成的角∠MNB＝118°，厂房高AB＝8 m，房顶AM与水平地面平 行，小强在点M的正下方C处从平面镜观察，能看到的水平地面上最远处 D到他的距离CD是多少？（结果精确到0.1 m，参考数据： sin 34°≈0.56，tan 34°≈0.68，tan 56°≈1.48） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 第4节 返回目录 考点精研 解析：如图，过点M作HM⊥NM. 由题意，得∠DMC＝2∠CMH， ∠MCD＝∠HMN＝90°，AB＝MC＝8， AB∥MC， ∴∠CMN＝180°－∠MNB＝180°－118°＝62°. ∴∠CMH＝∠HMN－∠CMN＝28°. ∴∠DMC＝2∠CMH＝56°. 在Rt△CMD中，CD＝CM·tan 56°≈8×1.48≈11.8（m）， ∴能看到的水平地面上最远处D到他的距离CD约为11.8 m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 第4节 返回目录 考点精研 14. （2023苏州）四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题. 如图是某篮球架的侧面示意图，BE，CD，GF为长度固定的支架，支架 在A，D，G处与立柱AH连接（AH垂直于MN，垂足为H），在B，C 处与篮板连接（BC所在直线垂直于MN），EF是可以调节长度的伸缩臂 （旋转点F处的螺栓改变EF的长度，使得支架BE绕点A旋转，从而改变四 边形ABCD的形状，以此调节篮板的高度）. 已知AD＝BC，DH＝208 cm，测得∠GAE＝60°时， 点C离地面的高度为288 cm.调节伸缩臂EF，将∠GAE 由60°调节为54°，则点C离地面的高度升高还是降低了？ 升高（或降低）了多少？（参考数据： sin 54°≈0.8， cos 54°≈0.6） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 第4节 返回目录 考点精研 解析：点C离地面的高度升高了. 理由：如图1，当∠GAE＝60°时，过点C作CK⊥HA，交HA的延长线于点K. ∵BC⊥MN，AH⊥MN， ∴BC∥AH. ∵AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠ADC＝∠GAE＝60°. ∵点C离地面的高度为288，DH＝208， ∴DK＝288－208＝80. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 第4节 返回目录 考点精研 在Rt△CDQ中，∠ADC＝54°，CD＝160， ∴DQ＝CD· cos 54°≈160×0.6＝96， ∴96－80＝16（cm）， ∴点C离地面的高度升高约16 cm. 在Rt△CDK中，CD＝ ＝ ＝160. 如图2，当∠GAE＝54°时，过点C作CQ⊥HA， 交HA的延长线于点Q， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 第4节 返回目录 考点精研 $$