2025年江苏省中考数学一轮复习课件：第4章三角形第7节锐角三角函数

第7节　锐角三角函数 考点梳理 1 锐角三角函数 1. 锐角三角函数的概念 在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c. 正弦： sin A＝ ，即 sin A＝ 　 　； 余弦： cos A＝ ，即 cos A＝ 　 　； 正切：tan A＝ ，即tan A＝ . 　 　 第4节 返回目录 考点梳理 提醒 （1）一个锐角的正弦、余弦、正切只与角的大小有关，与锐角所在的三角 形的大小无关. （2）当∠A在0°～90°范围内变化时， sin A随∠A的增大而增大， cos A 随∠A的增大而减小，tan A随∠A的增大而增大. 第4节 返回目录 考点梳理 2. 特殊角的三角函数值 ∠A 30° 45° 60° sin A ⁠ ⁠ cos A ⁠ ⁠ tan A ⁠ ⁠ ​ ​ ​ ​ 1 第4节 返回目录 考点梳理 1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝1，则tan A＝ ， cos A ＝ 　 　， sin B＝ 　 　. 2　 　 　 2. 若2 cos A＝1，则锐角∠A＝ ⁠°. 60　 3. 若 sin （x－10°）＝ ，则锐角x＝ ⁠°. 70　 4. 计算： cos 245°＋tan 60°· sin 60°＝ ⁠. 2　 第4节 返回目录 考点梳理 解直角三角形 1. 解直角三角形的常用关系 在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，则 （1）三边关系： ⁠； （2）两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°； （3）边角之间的关系： sin A＝ ＝ ， cos A＝ sin B＝ ，tan A＝ ＝ . a2＋b2＝c2　 cos B　 第4节 返回目录 考点梳理 2. 解直角三角形的常见类型及解法 已知条件 一般解法 两边 两直角边a，b （1）c＝ ； （2）由tan A＝ 求出∠A； （3）∠B＝90°－∠A 一直角边a，斜边c （1）b＝ ； （2）由 sin A＝ 求出∠A； （3）∠B＝90°－∠A 第4节 返回目录 考点梳理 已知条件 一般解法 一边 一锐角 一直角边a，锐角A （1）∠B＝90°－∠A； （2）b＝ ； （3）c＝ 斜边c，锐角A （1）∠B＝90°－∠A； （2）a＝c· sin A； （3）b＝c· cos A 第4节 返回目录 考点梳理 1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，AB＝7，则BC的长为 （　C　） A. 7 sin 35° B. C. 7 cos 35° D. 7tan 35° C 第4节 返回目录 考点梳理 2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，斜边上的高是 ，则BC ＝ ，AC＝ ，AB＝ ⁠. 2 　 2　 4　 3. 若在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2 ，BC＝2，则∠A ＝ ⁠°. 30　 第4节 返回目录 考点梳理 4. 如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2 ，则AB的长 为 ⁠. 3＋ 　 第4节 返回目录 考点梳理 考点精研 2 特殊角的三角函数值及其运算 1. 如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OA交于点B，再以B为 圆心，BO长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC，则 sin ∠AOC的值 为（　D　） A. B. C. D. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 第4节 返回目录 考点精研 2. 在△ABC中，若 ＋ ＝0，则∠C的度数是 （　C　） A. 45° B. 75° C. 105° D. 120° C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 第4节 返回目录 考点精研 3. （2023宿迁）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方 形的顶点称为格点.A，B，C三点都在格点上，则 sin ∠ABC＝ ⁠. 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 第4节 返回目录 考点精研 4. （2023常州）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D在边AB上，连接 CD. 若BD＝CD， ＝ ，则tan B＝ 　 　. 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 第4节 返回目录 考点精研 5. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，DB平分 ∠ADC. 若AD＝1，CD＝3，则 sin ∠ABD＝ ⁠. 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 第4节 返回目录 考点精研 6. 计算： （1）（2024镇江）（ ）0－4 cos 30°＋ ； 解析：原式＝1－4× ＋2 ＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 第4节 返回目录 考点精研 （2）2tan 45°－ －2 sin 260°. 解析：原式＝2×1－ －2×（ ）2 ＝2－2－2× ＝2－2－ ＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 第4节 返回目录 考点精研 解直角三角形 7. （2024南通）社团活动课上，九年级学习小组测量学校旗杆的高度.如 图，他们在B处测得旗杆顶部A的仰角为60°，BC＝6 m，则旗杆AC的高 度为 m. 6 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 第4节 返回目录 考点精研 8. （2023盐城）如图1，位于市区的“铁军”雕塑“大铜马” 是盐城市标志性文化名片.如图2，线段AB表示“铁军”雕塑的高，点B， C，D在同一条直线上，且∠ACB＝60°，∠ADB＝30°，CD＝17.5 m，则线段AB的长约为 m.（计算结果保留整数，参考数据： ≈1.7） 15　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 第4节 返回目录 考点精研 9. 已知△ABC为钝角三角形，其中∠A＞90°，有下列条件： ①AB＝10；②AC＝6 ；③tan B＝ ；④tan C＝ . （1）你认为从中至少选择 个条件，可以求出BC边的长； 解析：（1）根据解直角三角形的条件可知，至少选择3个条件，可以求出BC边的长. 故答案为3. 3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 第4节 返回目录 考点精研 （2）你选择的条件是 （填序号），并写出求BC的长的解答 过程. 解析：（2）答案不唯一，参考如下： 若选择①②④，则计算过程如下： 如图，过点A作AD⊥BC于点D. 设AD＝x，∵tan C＝ ， ∴CD＝2x. ①②④　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 第4节 返回目录 考点精研 在Rt△ACD中，AC＝6 ， 根据勾股定理，得x2＋（2x）2＝（6 ）2， 解得x＝6或x＝－6（不合题意，舍去）， ∴AD＝6，CD＝2x＝12. 在Rt△ABD中，AB＝10， 根据勾股定理，得BD＝ ＝8， ∴BC＝CD＋BD＝12＋8＝20. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 第4节 返回目录 考点精研 10. （2024镇江）图1，2是一个折叠梯的实物图.图3是折叠梯展开、折叠过 程中的一个主视图.图4是折叠梯充分展开后的主视图，此时点E落在AC 上，已知AB＝AC， sin ∠BAC≈ ，点D，F，G，J在AB上，DE， FM，GH，JK均与BC所在直线平行，DE＝FM＝GH＝JK＝20 cm， DF＝FG＝GJ＝30 cm.点N在AC上，AN，MN的长度固定不变.图5是折 叠梯完全折叠时的主视图，此时AB，AC重合，点E，M，H，N，K， C在AB上的位置如图5所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 第4节 返回目录 考点精研 【分析问题】 （1）用图5中的线段填空：AN＝MN＋EM＋AD－ ⁠； 解析：（1）∵AE＝AD－DE， ∴AN＝MN＋EM＋AE＝MN＋EM＋（AD－DE）＝MN＋EM＋AD－DE. DE　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 第4节 返回目录 考点精研 （2）如图4， sin ∠MEN≈ ，由AN＝EN＋AE＝EN＋AD，且AN 的长度不变，可得MN与EN之间的数量关系为 ⁠. 解析：（2）∵DE，FM，GH，JK均与BC所在直线平行， ∴DE∥FM， ∵DE＝FM＝20 cm，∴四边形DEMF是平行四边形， ∴EM∥DF，∴∠MEN＝∠BAC， ∴ sin ∠MEN＝ sin ∠BAC≈ ， ∵AN＝MN＋EM＋AD－DE，AN＝EN＋AD， ∴MN＋EM＋AD－DE＝EN＋AD， ∴MN＋EM－DE＝EN， ∴MN＋30－20＝EN，∴MN＋10＝EN. 　 MN＋10＝EN　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 第4节 返回目录 考点精研 【解决问题】 （3）求MN的长. 解析：（3）如图，过点M作MW⊥AC于点W， ∴∠MWN＝∠MWE＝90°， ∴MW2＋WN2＝MN2，MW＝EM· sin ∠MEN≈30× ＝24 cm， ∴EW＝ ＝ ＝18 cm， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 第4节 返回目录 考点精研 设MN＝a cm，则EN＝（a＋10）cm，WN＝EN－EW＝a＋10－18＝ （a－8）cm， ∴242＋（a－8）2＝a2， ∴a＝40，∴MN＝40 cm. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 第4节 返回目录 考点精研 $$