2025年江苏省中考数学一轮复习课件：第4章三角形第6节相似

第6节　相似 考点梳理 1 比例的性质与黄金分割 成比例线段 两条线段 叫做这两条线段的比.如果四条线 段a，b，c，d满足 ＝ ，那么这四条线段叫做成比 例线段，简称比例线段 比例中项 若a∶b＝b∶c，则b叫做a和c的比例中项 比例的性质 （1） ＝ ⇔ （abcd≠0）； （2）若 ＝ ，则 ＝_________ 　 　 长度的比　 ad＝bc　 　 第4节 返回目录 考点梳理 黄金 分割 如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞ BC），如果 ＝ ，那么称线段AB被点C黄金分 割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫 做黄金比，它的值为 ≈0.618 第4节 返回目录 考点梳理 1. 如果ab＝cd（abcd≠0），则下列正确的是（　B　） A. a∶c＝b∶d B. a∶d＝c∶b C. a∶b＝c∶d D. d∶c＝b∶a B 第4节 返回目录 考点梳理 2. 若线段a＝4 cm，线段b＝9 cm，则线段a、b的比例中项等于 cm. 6　 3. 在比例尺是1∶1 000 000的地图上，某两个城市间的距离为8 cm，则这两 个城市之间的实际距离是 km. 80　 4. 若点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝2（AC＞BC），则AC＝ ⁠ .（保留根号） －1　 第4节 返回目录 考点梳理 平行线分线段成比例 文字语言 几何语言 图示 基 本 事 实 两条直线被一组平行线所 截，所得的对应线段成比例 如右图，l3∥l4∥l5，且被直 线l1，l2所截，那么 ＝ ， ＝ ， ＝ 第4节 返回目录 考点梳理 1. 如图，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与这三条直线分别交于点A，B，C 和D，E，F. 若AB＝6，BC＝3，DF＝12，则DE的长为 ⁠. 第1题图 8　 第4节 返回目录 考点梳理 2. 如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC. 若 AD∶AB＝3∶4，则AE∶EC＝ ⁠. 第2题图 3∶1　 第4节 返回目录 考点梳理 3. 如图，AB∥DE，若AC＝4，BC＝2，DC＝1，则EC＝ ⁠. 2　 第4节 返回目录 考点梳理 相似三角形的性质与判定（含相似多边形） 1. 相似三角形的概念与性质 （1）概念：三个角对应相等，三条边 ⁠的三角形叫做相似三 角形，相似三角形对应边的比叫做相似比. （2）性质 ①相似三角形的对应角 ，对应边 ⁠； ②相似三角形的对应线段（边、高线、中线、角平分线）的比等于 ⁠⁠； ③相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的 ⁠. 对应成比例　 相等　 成比例　 相似比 平方　 第4节 返回目录 考点梳理 2. 相似多边形的概念与性质 （1）概念：如果两个多边形的形状相同，各角分别相等，各边成比例，则 这两个多边形是相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比. （2）性质 ①相似多边形的对应角 ，对应边 ，对应边的比等于 ⁠ ⁠； ②相似多边形的周长比等于 ，面积比等于 ⁠. 相等　 成比例　 相 似比　 相似比　 相似比的平方　 第4节 返回目录 考点梳理 3. 相似三角形的判定 （1）一般三角形：①两角分别相等的两个三角形相似；②两边成比例 且 的两个三角形相似；③三边 的两个三角形相似. （2）直角三角形：① 组锐角对应相等，两个直角三角形相似；②两 组直角边对应成比例，两个直角三角形相似. （3）特殊方法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或它们的延长线） 相交，所截得的三角形与原三角形相似（选填题直接用，解答题需证明）. 夹角相等　 成比例　 一　 第4节 返回目录 考点梳理 4. 相似三角形的判定思路 已知条件 寻找条件 三角形被平行线所截 利用平行线的性质找等角 有一对等角 另一对等角或角的两条邻边对应成比例 第4节 返回目录 考点梳理 已知条件 寻找条件 有两边对应成比例 夹角相等或第三边也对应成比例 直角三角形 一对锐角相等或两组直角边对应成比例 等腰三角形 顶角相等或一对底角相等 第4节 返回目录 考点梳理 “A”型 “X”型 “子母”型 提醒 相似三角形常见的基本类型 第4节 返回目录 考点梳理 1. 如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE与BC不平行， 添加下列条件之一仍不能判定△ADE∽△ACB的是（　B　） A. ＝ B. ＝ C. ∠AED＝∠B D. ∠ADE＝∠C B 第4节 返回目录 考点梳理 2. 若两个相似三角形的面积之比为16∶9，则它们的对应中线之比 为 ⁠. 4∶3　 3. 两个相似三角形的面积之比为1∶4，小三角形的周长为4，则大三角形的 周长为 ⁠. 8　 4. 若两个相似多边形的相似比为1∶2，则它们周长的比为 ⁠，面积 的比为 ⁠. 1∶2　 1∶4　 第4节 返回目录 考点梳理 5. 如图，点D在△ABC的边AC上，且∠ABD＝∠C，若AD＝4，CD＝ 5，则AB的长为 ⁠. 6　 第4节 返回目录 考点梳理 位似 概 念 如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线 ⁠， 对应边互相平行或在同一条直线上，那么这样的两个图形叫做位似图 形，这个点叫做位似中心 相交于一点　 第4节 返回目录 考点梳理 性 质 （1）位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离的比等于 ⁠； （2）位似图形对应点的连线或延长线相交于同一点； （3）位似图形对应边平行或在 ⁠上； （4）位似图形的对应角相等； （5）在平面直角坐标系中，如果位似图形是以原点为位似中心，相似 比为k，那么位似图形对应点的坐标比值为 ⁠ 位似比 同一条直线　 k或－k　 第4节 返回目录 考点梳理 画 法 （1）确定位似中心； （2）分别连接位似中心和能代表原图的关键点，并延长； （3）根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点； （4）顺次连接各点，得到所求作的图形 第4节 返回目录 考点梳理 提醒 　　两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一 侧，因此已知位似中心、相似比作位似图形时，有两种画法. 第4节 返回目录 考点梳理 1. 如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC与△A1B1C1位似，原点O是位 似中心，点A的坐标是（9，3）.若 ＝ ，则点A1的坐标是 ⁠. （3，1）　 第4节 返回目录 考点梳理 2. 如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，相似比为 2∶3，则△ABC和△DEF的面积比是 ⁠. 4∶9　 第4节 返回目录 考点梳理 考点精研 2 比例的性质 1. 若线段a＝2 cm，线段b＝8 cm，则a，b的比例中项c为（　A　） A. 4 cm B. 5 cm C. 6 cm D. 32 cm A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 第4节 返回目录 考点精研 2. 若4m＝5n（m≠0），则下列等式成立的是（　B　） A. ＝ B. ＝ C. ＝ D. ＝ B 3. 若 ＝ ，则 ＝ 　 　. 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 第4节 返回目录 考点精研 4. 在20世纪70年代，著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选 法”，在全国大规模推广，取得了很大成果.如图，利用黄金分割法，作 EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，其中点E为边AB的黄金分割点 （AE＜BE）.已知AB为2 m，则线段BE的长为 m.（结果保 留根号） （ －1）　 第4题图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 第4节 返回目录 考点精研 5. 如图，已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC. 若S1表示以AC 为边的正方形的面积，S2表示长为BD（BD＝AB）、宽为BC的矩形的面 积，则S1与S2的大小关系为 ⁠. 第5题图 S1＝S2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 第4节 返回目录 考点精研 6. 如图所示，已知上海东方明珠电视塔塔尖A到底部B的距离是468 m，第 二球体点P处恰好是整个塔高的一个黄金分割点（点A，B，P在同一条直 线上），且BP＞AP，那么底部B到球体P之间的距离是 ⁠m（结果保留根号）. （234 － 234）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 第4节 返回目录 考点精研 平行线分线段成比例 7. 如图，在△ABC中，D是AC的中点，△ABC的角平分线AE交BD于点 F. 若BF∶FD＝3∶1，AB＋BE＝3 ，则△ABC的周长为 　5 　. 5 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 第4节 返回目录 考点精研 相似三角形的性质与判定（含相似多边形） 8. （2024连云港）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分 别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（　D　） A. 甲和乙 B. 乙和丁 C. 甲和丙 D. 甲和丁 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 第4节 返回目录 考点精研 9. （2024镇江）如图，小杰从灯杆AB的底部点B处沿水平直线前进到达点 C处，他在灯光下的影长CD＝3 m，然后他转身按原路返回到点B处，返 回过程中小杰在灯光下的影长可以是（　D　） A. 4.5 m B. 4 m C. 3.5 m D. 2.5 m D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 第4节 返回目录 考点精研 10. 如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的 面积为（　C　） A. 5 B. 6 C. D. 第10题图 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 第4节 返回目录 考点精研 11. （2023徐州）如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝2， D为AB的中点.若点E在边AC上，且 ＝ ，则AE的长为（　D　） A. 1 B. 2 C. 1或 D. 1或2 第11题图 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 第4节 返回目录 考点精研 12. （2024盐城）两个相似多边形的相似比为1∶2，则它们的周长的比 为 ⁠. 1∶2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 第4节 返回目录 考点精研 13. （2024扬州）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用 光的直线传播特性实现图像投影的方法.如图，燃烧的蜡烛（竖直放置） AB经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像A'B'，设AB＝36 cm，A'B'＝24 cm，小孔O到AB的距离为30 cm，则小孔O到A'B'的距离为 cm. 20　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 第4节 返回目录 考点精研 14. （2023南通）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连 接DE，则 ＝ 　 　. 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 第4节 返回目录 考点精研 15. （2024常州）如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线分别交 边AB，CD于点E，F. 若AD＝8，BE＝10，则tan∠ABD＝ ⁠. 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 第4节 返回目录 考点精研 16. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D 是AC边上的一点，过点D作DF∥AB，交BC于点F，作∠BAC的平分线 交DF于点E，连接BE. 若△ABE的面积是2，则 的值是 　 　. 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 第4节 返回目录 考点精研 17. （2024无锡）如图，在△ABC中，AC＝2，AB＝3，直线CM∥AB， E是BC上的动点（端点除外），射线AE交CM于点D. 在射线AE上取一 点P，使得AP＝2ED，作PQ∥AB，交射线AC于点Q. 设AQ＝x，PQ ＝y.当x＝y时，CD＝ ；在点E运动的过程中，y关于x的函数表达 式为 ⁠. 2　 y＝ 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 第4节 返回目录 考点精研 位似 18. 《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆.” 度方知圆，感悟数学之美.如图，正方形ABCD的面积为4，以它的对角线 的交点为位似中心，作它的位似图形A'B'C'D'，若AB∶A'B'＝1∶2，则四边 形A'B'C'D'的外接圆的半径为（　C　） A. B. 2 C. 2 D. 4 第18题图 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 第4节 返回目录 考点精研 19. 如图，△AOB与△CDB关于点B位似，其中B（1，1），D（3，3）. 若S△AOB＝2，则S△CDB＝ ⁠. 第19题图 8　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 第4节 返回目录 考点精研 20. 如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，且每个小 正方形的顶点称为格点，△OAB的顶点均在格点上，按要求完成如图画图. （要求仅用无刻度的直尺，且保留必要的画图痕迹） （1）在图1中，以BO为边，画出△OBC，使△OBC∽△ABO，C为格 点； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 第4节 返回目录 考点精研 （2）在图2中，以点O为位似中心，画出△ODE，使△ODE与△OAB位 似，且位似比k＝ ＝2，点D，E为格点； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 第4节 返回目录 考点精研 （3）在图3中，在OA边上找一个点F，且满足 ＝3. 　 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 第4节 返回目录 考点精研 $$