第7课时　与最值有关的几何问题（一） 课件 2025年中考数学一轮总复习

第7课时　与最值有关的 几何问题（一） 一、“将军饮马”问题（已知两个定点求最值） 1.在一条直线m上，求一点P，使PA＋PB的值最小 （1）点A，B在直线m两侧： （2）点A，B在直线m同侧： 其中点A，A'是关于直线m的对称点，下同. 2.在直线m，n上分别找两点P，Q，使PA＋PQ＋QB的值最小. （1）两个点都在直线外侧： （2）一个点在内侧，一个点在外侧： （3）两个点都在内侧： 3.台球两次碰壁模型 变式一：已知点A，B位于直线m，n的内侧，在直线n，m上分别求点D，E，使得围成的四边形ADEB周长最短. 变式二：已知点A位于直线m，n的内侧，在直线m，n上分别求点P，Q，使得△APQ的周长最短. 4.已知点A，B是两个定点，点P，Q是直线m上的两个动点，点P在点Q的左侧，且PQ间长度恒定，在直线m上求P，Q两点，使得PA＋PQ＋QB的值最小.（原理用平移知识解） ①点A，B在直线m两侧： 过点A作AC∥m，且AC＝PQ，连接BC，交直线m于点Q，点Q向左平移PQ的长后得到的点即为点P. ②点A，B在直线m同侧： 二、求两线段差的最大值问题（运用三角形两边之差小于第三边） 在一条直线m上，求一点P，使PA与PB的差最大. （1）点A，B在直线m同侧： （1）延长AB交直线m于点P，根据三角形两边之差小于第三边，P'A－P'B＜AB，即当PA－PB＝AB时最大. （2）点A，B在直线m两侧： （2）过点B作关于直线m的对称点B'，连接AB'并延长交直线m于点P，此时PB＝PB'，PA－PB的最大值为AB'. 三、带参数的线段和差最值（胡不归模型） 一动点P在直线MN外运动的速度为v1，在直线MN上运动的速度为v2，且v1＜v2，A，B两点为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使＋的值最小. ＋＝，记k＝， 即求BC＋kAC的最小值. 如图1，构造射线AD使得sin∠DAN＝k，即＝k，∴CH＝kAC. 图1 三、将问题转化为求BC＋CH的最小值，如图2，过点B作BH⊥AD交MN于点C，交AD于点H，此时BC＋CH的值取得最小值，即BC＋kAC最小. 图2 在求形如“PA＋kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA＋kPB”型问题转化为“PA＋PC”型. 胡不归模型问题解题步骤如下： （1）将所求线段和改写为“PA＋PB”的形式（＜1，若＞1，提取系数，将其转化为小于1的形式解决）； （2）在PB的一侧，PA的异侧，构造一个角度α，使得sin α＝； （3）最后利用两点之间线段最短及垂线段最短解题. 几何最值将军模型的应用 （2024·巴蜀）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为AB边上一点，连接CD. 图1 （1）如图1，过点B作BE⊥CD交CD的延长线于点E，若∠BCE＝2∠DBE，BE＝2，求△ABC的面积； [答案] 解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴∠A＝∠ABC＝45°. 设∠DBE＝x，则∠BCE＝2x. ∵BE⊥CD，∴∠BEC＝90°， ∴∠BCE＋∠CBE＝90°， 即2x＋x＋45°＝90°，∴x＝15°， ∴∠BCE＝2x＝30°. ∵BE⊥CD，∴BC＝2BE＝4， ∴AC＝BC＝4， ∴S△ABC＝BC·AC＝8. 图1 （2）如图2，若AC＝AD，点M是直线AC上的一个动点，连接MD，将线段MD绕点D顺时针旋转90°得到线段M'D，点P是AC边上一点，AP＝3PC，Q是线段CD上的一个动点，连接PQ，QM'.当PQ＋QM'的值最小时， 求∠PQM'的度数. 图2 （2）如答案图1，过点D作DF⊥AD，交AC的延长线于点F，作点P关于CD的对称点P'，连接P'C，P'Q，P'M'，AM’. ∵∠BAC＝45°，DF⊥AD， ∴∠F＝∠BAC＝45°， ∴AD＝DF. ∵线段MD绕点D顺时针旋转90° 得到线段M'D， （答案图1） ∴DM'＝DM，∠MDM'＝90°. ∵∠ADF＝90°，∴∠ADM'＝∠MDF. 在△ADM'和△FDM中， ∴△ADM'≌△FDM（SAS）， （答案图1） ∴∠DAM'＝∠F＝45°， ∴∠FAM'＝∠FAB＋∠DAM'＝90°， ∴点M'在过点A且垂直于AC的直线上运动. ∵点P关于CD的对称点为点P'， ∴CP＝CP'，QP＝QP'， ∴PQ＋QM'＝QP'＋QM'. ∵QP'＋QM'≥P'M'， （答案图1） ∴如答案图2，当点P'，Q，M'在一条直线上时，QP'＋QM'＝P'M'，且当P'M'⊥AM'时，此时PQ＋QM'的值最小. ∵∠M'AC＝90°，∠ACB＝90°， ∴AM'∥BC，∴P'M'⊥BC. ∵∠CAB＝45°，AC＝AD， （答案图2） ∴∠ACD＝∠ADC＝＝67.5°. ∵点P和点P'关于CD对称， ∴∠DCP'＝∠DCA＝67.5°，∠CPQ＝∠CP'Q. ∴∠ACP'＝135°，∴∠FCP'＝45°. ∵P'M'⊥BC，AC⊥BC，∴AC∥P'M'， ∴∠CP'Q＝∠FCP'＝45°，∠CPQ＝∠PQM'， ∴∠PQM'＝∠CPQ＝∠CP'Q＝45°. （答案图2） 几何最值胡不归模型的应用 在等腰三角形ABC中，AB＝AC.点E为AC上一点，连接BE. 图1 （1）如图1，若∠BAC＝90°，过点C作CD⊥BE交BE的延长线于点D，连接AD，过点A作AF⊥AD交BD于点F，连接CF，求证：FC2＝FB2＋2FA2； [答案] （1）证明：∵∠BAC＝90°，AF⊥AD， CD⊥BE， ∴∠BAF＋∠FAE＝∠DAC＋∠FAE＝90°，∠ABF＋∠AEB＝ ∠ACD＋∠CED＝90°， ∴∠BAF＝∠CAD，∠ABF＝∠ACD. 又∵AB＝AC， 图1 ∴△BAF≌△CAD（ASA）， ∴AF＝AD，BF＝CD. ∵AF⊥AD，∴FD2＝FA2＋AD2＝2FA2. ∵CD⊥BD，∴FC2＝CD2＋FD2， 即FC2＝FB2＋2FA2. 图1 （2）如图2，若∠BAC＝60°，AB＝2，P是BE延长线上一点，将AC沿着AP翻折得到AC'（∠CAC'＜120°），点C'落在BE的延长线上，点Q，R分别是射线AC，AB上的点，连接CP，PQ，QR，且AR－CP＝AQ.当BP取得最大值时，直接写出RQ＋QP的最小值的平方. 图1 （2）解：由AC沿AP翻折至AC'， 可知AC'＝AC＝AB，∴∠C'＝∠ACP＝∠ABC'， ∴A，P，C，B四点共圆，圆心为△ABC的外心， ∴BP最大时为△ABC外接圆的直径， 此时BP⊥AC，AP＝PC. ∵AC＝2，AB＝AC，∠BAC＝60°， ∴△ABC为等边三角形， ∴AP＝CP＝2，∠CAP＝∠ACP＝30°， ∴AP⊥AB. （答案图1） 如答案图1，在AB上取AD＝AP＝2，作DH⊥AD，AH⊥AC，交HD于点H， 则∠HAD＝30°，∴AH＝2DH，在射线AB，AC上取点R，Q，使得＝，连接HQ，HR. 由∠HAQ＝∠HDR＝90°， 得△HAQ∽△HDR， ∴＝＝＝，∠RHD＝∠QHA， （答案图1） ∴DR＝AQ，∴AR－CP＝AR－AD＝AQ， 满足题干条件. ∵∠RHD＝∠QHA，∴∠AHD＝∠QHR. 又∵＝＝， ∴△DHA∽△RHQ， ∴＝＝， （答案图1） ∴HQ＝RQ， ∴RQ＋QP＝HQ＋QP≥HP， ∴当点H，Q，P三点共线时， RQ＋QP的最小值为HP， 此时∠HAP＝∠HAD＋∠DAP＝120°， AD＝AP＝2，AH＝AD＝. （答案图1） 如答案图2，过点H作HM⊥AP交PA的延长线于点M， 则∠MAH＝60°， ∴AM＝AH＝， MH＝AH＝2， ∴MP＝＋2. 在Rt△HMP中，HP2＝MH2＋MP2＝， ∴RQ＋QP的最小值的平方为. （答案图1） $$