第6课时　与存在性有关的几何问题 课件 2025年中考数学一轮总复习

第6课时　与存在性有关的 几何问题 　　几何图形中的存在性问题一般是指在运动过程或几何变换（平移、对称、旋转）中，当构成一些特殊几何图形，如：等腰三角形、直角三角形、平行四边形、特殊平行四边形等，或者是形成一些特殊角度，如：30°、45°、60°，或者一些特殊的关系，如：对称、三点共线、直线平行、线段的 数量关系等时，图形此时由动到定，再来求线段、面积等的比值，如果告诉图形中某些线段长度，也可以直接求线段、周长、面积的值. 此类题型是中考的压轴题，灵活性强，综合性强，难度较大，需要灵活运用各种几何图形的性质与判定、勾股定理、三角函数、全等三角形、相似三角形等，可以综合初中的各种几何知识，因此对学生解题能力的要求很高. 存在特殊几何图形问题 （2024·重庆A卷节选）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上一点（点D不与端点重合）.点D关于直线AB的对称点为点E，连接AD，DE.在直线AD上取一点F，使∠EFD＝∠BAC，直线EF与直线AC交于点G.若∠BAC＝90°，点D从点B移动到点C的过程中，连接AE，当△AEG为等腰三角形时，求的值. [答案] 解：如答案图1，连接BE，记AB与DE的交点为点N， ∵AB＝AC，∠EFD＝∠BAC＝90°， ∴∠ABC＝45°. 设∠BAD＝α， 由对称性，知∠EAB＝∠DAB＝α， ∠EBA＝∠DBA＝45°，DE⊥AB，NE＝ND. 当点G在射线AC上时，由于∠EAG＞90°， （答案图1） ∴当△AEG为等腰三角形时，只能是AE＝AG. 易知∠AFG＝∠BAC＝90°，∴∠AGE＝α. ∴∠AEG＝α. ∵∠EAD＝2α，∴α＋2α＝90°， 解得α＝30°，∴∠EAD＝60°. ∵AE＝AD，∴△AED为等边三角形， ∴AE＝ED. 设AF＝x，则AG＝AE＝ED＝AD＝2x， （答案图1） ∴DN＝x.在Rt△DAN中，AN＝＝DN＝x. ∵DE⊥AB，∠ABC＝45°， ∴BN＝＝DN＝x， ∴AC＝AB＝x＋x， ∴CG＝AC－AG＝x＋x－2x＝（－1）x， ∴＝； （答案图1） 如答案图2，当点G在线段CA的延长线上时，当△AEG为等腰三角形时，只能是GE＝GA. 设∠BAD＝∠BAE＝β， ∴∠GEA＝∠GAE ＝∠DAC＝90°－β＝∠GAF， ∴∠EAF＝180°－2β， ∵∠EFD＝∠BAC＝90°， （答案图2） ∴在Rt△AFE中，90°－β＋180°－2β＝90°， 解得β＝60°， ∴∠DAC＝∠GAF＝∠GAE＝∠GEA＝30°. 设GF＝x，则AG＝GE＝2x， AF＝x，AE＝2x. 在Rt△EAN中， AN＝AE·cos60°＝x， （答案图2） EN＝DN＝BN＝AE·sin60°＝3x， ∴AB＝AC＝3x＋x， ∴CG＝AG＋AC＝（5＋）x， ∴＝. 综上所述，的值为或. （答案图2） 存在特殊角度问题 在△ABC中，AB＝AC，D是边BC上一动点，连接AD，将AD绕点A逆时针旋转至AE的位置，使得∠DAE＋∠BAC＝180°. （1）如图1，当∠BAC＝90°时， 连接BE，交AC于点F.若BE平分 ∠ABC，BD＝2，求AF的长； 图1 [答案] 解：（1）如答案图1，连接CE，过点F作FQ⊥BC于点Q. ∵BE平分∠ABC，∠BAC＝90°，FQ⊥BC， ∴FA＝FQ. ∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°， ∴FQ＝CF. （答案图1） ∵∠BAC＋∠DAE＝180°， ∴∠DAE＝∠BAC＝90°，∴∠BAD＝∠CAE. 由旋转知，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD＝CE＝2，∠ABD＝∠ACE＝45°， ∴∠BCE＝90°，∴∠CBF＋∠BEC＝90°. ∵BE平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBF， ∴∠ABF＋∠BEC＝90°. （答案图1） ∵∠BAC＝90°， ∴∠ABF＋∠AFB＝90°，∴∠AFB＝∠BEC. ∵∠AFB＝∠CFE，∴∠BEC＝∠CFE， ∴CF＝CE＝2，∴AF＝FQ＝CF＝. （答案图1） （2）如图2，连接BE，取BE的中点G，连接AG.猜想AG与CD存在的数量关系，并证明你的猜想； 图2 （2）AG＝CD.证明如下： 如答案图2，延长BA至点M，使AM＝AB，连接EM. ∵G是BE的中点，∴AG＝ME. ∵∠BAC＋∠DAE ＝∠BAC＋∠CAM＝180°， ∴∠DAE＝∠CAM， （答案图2） ∴∠DAC＝∠EAM. ∵AB＝AM，AB＝AC，∴AC＝AM. 又∵AD＝AE，∴△ADC≌△AEM（SAS）， ∴CD＝EM，∴AG＝CD. （答案图2） （3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，CE.若∠BAC＝120°，当BD＞CD，∠AEC＝150°时，求的值. 图3 （3）如答案图3，连接DE，将AD与BE的交点记作点N， ∵∠BAC＋∠DAE＝180°，∠BAC＝120°， ∴∠DAE＝60°. ∵AD＝AE，∴△ADE是等边三角形， ∴AE＝DE，∠ADE＝∠AED＝60°. ∵∠AEC＝150°， ∴∠DEC＝∠AEC－∠AED＝90°. （答案图3） 在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠ACB＝∠ABC＝30°， ∴∠ABC＋∠AEC＝180°.∴A，B，C，E四点共圆， ∴∠BEC＝∠BAC＝120°， ∴∠BED＝∠BEC－∠DEC＝30°， ∴∠DNE＝180°－∠BED－∠ADE＝90°. ∵AE＝DE，∴AN＝DN， （答案图3） ∴BE是AD的垂直平分线， ∴AG＝DG，BA＝BD＝AC， ∴∠ABE＝∠DBE＝∠ABC＝15°， ∴∠ACE＝∠ABE＝15°，∴∠DCE＝45°. ∵∠DEC＝90°，∴∠EDC＝45°＝∠DCE， ∴DE＝CE，∴AD＝CE. 设AG＝a，则DG＝a， （答案图3） 由（2）知，AG＝CD，∴CD＝2AG＝2a， ∴AD＝CE＝DE＝CD＝a， ∴DN＝AD＝a. 如答案图3，过点D作DH⊥AC于点H， 在Rt△DHC中，∠HCD＝30°，CD＝2a， ∴DH＝a，CH＝a. （答案图3） 在Rt△AHD中，根据勾股定理，得 AH＝＝a， ∴AC＝AH＋CH＝a＋a， ∴BD＝a＋a， ∴＝＝. （答案图3） 存在特殊位置关系问题 已知△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC. （1）如图1，将边AB绕点B顺时针旋转至BP的位置，BP交AC于点Q，连接CP，使得CP∥AB.若BC＝2，求CP的长度； 图1 [答案] 解：（1）如答案图1，过点B作BE⊥PC，交PC的延长线于点E. ∵CA＝CB＝2，∠ACB＝90°， ∴∠CBA＝∠CAB＝45°，AB＝BP＝4. ∵CP∥AB， ∴∠BCE＝∠CBA＝45°. ∴BE＝CE＝BC＝2， ∴PE＝＝2， ∴PC＝PE－CE＝2－2. （答案图1） （2）如图2，延长BA至点P，使PA＝AB，连接PC，将线段PC绕点C顺时针旋转90°得到线段CT，连接AT，过点C作CK⊥AB于点K，点G在线段AK上，连接TG，将△TAG沿TG翻折，点A的对应点A'恰好落在CK上，M是边BC上一点，连接GM，将△BGM沿GM翻折到△B'GM，B'G与BC交于点H.当点G，A'，B'共线时，求的值. 图2 （2）如答案图2，过点T作TJ⊥KC交KC的延长线于点J，过点H作HW⊥PB于点W. ∵CA＝CB，∠ACB＝90°，CK⊥AB， ∴CK＝AK＝KB. 设CK＝AK＝KB＝a，则PA＝a， ∵∠J＝∠PKC＝∠PCT＝90°， ∴∠PCK＋∠TCJ＝90°，∠TCJ＋∠CTJ＝90°， （答案图2） ∴∠PCK＝∠CTJ. 又∵CP＝CT，∴△PKC≌△CJT（AAS）， ∴CK＝JT＝a，PK＝CJ＝2a. 易得四边形AKJT为矩形， ∴AT＝JK＝3a，∠TAG＝90°， ∴TA'＝TA＝3a， ∴JA'＝＝2a. （答案图2） ∵∠TA'G＝∠TAG＝90°， ∴∠TA'J＋∠GA'K＝90°. ∵GA'K＋∠A'GK＝90°， ∴∠TA'J＝∠HGW， ∴tan∠HGW＝tan∠TA'J＝＝＝. 设HW＝WB＝k，则GW＝2k，∴HG＝3k. （答案图2） 如答案图2，过点M作MR⊥AB于点R，MQ⊥GB'于点Q. ∵∠MGH＝∠MGB，∴MQ＝MR， ∴＝＝＝， ∴＝＝＝. ∵MB＝MB'，∴＝＝. （答案图2） $$