第4课时　含√2或√3倍的线段关系问题 课件 2025年中考数学一轮总复习

第4课时　含或倍的线段关系问题 1.利用等腰直角三角形的三边关系的性质构造含倍线段关系问题 （1）条件中含有45°角的处理策略 看到45°角时，要考虑到通过构造等腰直角三角形来转换线段之间的数量关系. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝45°. 结论：BC＝AC＝AB； AB＝AC＝AD＝BD＝DC. （2）条件中没有45°角的处理策略 找条件中的直角，作腰相等构造等腰直角三角形，从而利用等腰直角三角形的三边关系进行线段的转化. 2.利用含30°角的直角三角形的三边关系的性质构造含倍线段关系问题 （1）条件中含有30°或60°角的处理策略 看到30°或60°角时，要考虑运用含30°或60°角的直角三角形性质进行求解. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝30°. 结论：AB＝AC；BC＝AC； BC＝AB. （2）条件中没有30°或60°角的处理策略 找条件中的直角，利用截长补短来构造含30°或60°角的直角三角形，从而利用含30°或60°角的直角三角形的三边关系进行线段的转化. 线段或倍的问题 （2024·育才）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为平面内的一点. （1）如图1，当点D在边BC上时， BD＝2，且∠BAD＝30°，求AD的长； 图1 [答案] （1）解：如答案图1，过点D作DE⊥AB于点E. ∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠B＝∠C＝45°. ∵DE⊥AB，BD＝2， ∴BE＝DE＝BD＝. ∵∠BAD＝30°，∴AD＝2DE＝2. （答案图1） （2）如图2，当点D在△ABC的外部，且满足∠BDC＝45°＋∠ADC时，求证：BD＝AD. 图2 （2）证明：如答案图2，过点A作AE⊥AD，使AE＝AD，连接DE，BE，BE交DC于点F，记AB与CD交于点G. （答案图2） ∵∠DAE＝∠BAC＝90°， ∴∠DAE＋∠DAB ＝∠BAC＋∠DAB. 即∠EAB＝∠DAC. 又∵AE＝AD，AB＝AC， ∴△EAB≌△DAC（SAS）.∴∠EBA＝∠DCA. ∵∠FGB＝∠AGC， ∴∠BFG＝∠BAC＝90°. ∴∠BFD＝∠EFD＝90°. ∵AE⊥AD，AE＝AD， （答案图2） ∴∠EDA＝∠DEA＝45°，DE＝AD. ∴∠EDF＝45°＋∠ADC. ∵∠BDC＝45°＋∠ADC， ∴∠EDF＝∠BDF. ∵DF＝DF， ∴△EDF≌△BDF（ASA）.∴BD＝DE＝AD. （答案图2） 线段或倍的和差问题 （2024·重庆B卷节选）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点B作BD∥AC. （1）如图1，若点D在点B的左侧， 连接CD，过点A作AE⊥CD交BC于 点E.若点E是BC的中点， 求证：AC＝2BD； 图1 [答案] 证明：（1）∵∠ACB＝90°，BD∥AC， ∴∠CBD＝180°－∠ACB＝90°. ∵AE⊥CD，∴∠ACD＋∠CAE＝90°. ∵∠ACD＋∠BCD＝90°，∴∠CAE＝∠BCD. 又∵AC＝CB，∠ACE＝∠CBD＝90°， ∴△ACE≌△CBD（ASA），∴CE＝BD. ∵点E是BC的中点，∴BC＝2CE＝2BD， ∴AC＝2BD. 图1 （2）如图2，若点D在点B的右侧，连接AD，点F是AD的中点，连接BF并延长交AC于点G，连接CF.过点F作FM⊥BG交AB于点M， CN平分∠ACB交BG于点N， 求证：AM＝CN＋BD. 图1 （2）如答案图，过点G作GH⊥AB于点H，连接HF， ∵BD∥AC，∴∠FBD＝∠FGA，∠D＝∠FAG. ∵点F是AD的中点，∴AF＝DF， ∴△AGF≌△DBF（AAS）， ∴AG＝BD，GF＝BF. ∵AC＝BC，∠ACB＝90°， ∴∠CAB＝∠ABC＝45°. ∵GH⊥AH，∴△AHG是等腰直角三角形， （答案图） ∴AH＝AG＝BD. ∵∠BHG＝∠BCG＝90°，BF＝GF， ∴FH＝FC＝BF＝BG， ∴∠FBH＝∠FHB，∠FBC＝∠FCB， ∴∠GFH＝∠FBH＋∠FHB＝2∠FBH，∠GFC＝∠FBC＋∠FCB＝2∠FBC， （答案图） ∴∠HFC＝∠GFH＋∠GFC＝2∠FBH＋2∠FBC＝2∠ABC＝90°. ∵FM⊥BG，∴∠HFM＋∠HFG＝90°， ∴∠HFM＝∠CFN. ∵CN平分∠ACB，且∠ACB＝90°， ∴∠BCN＝∠FCB＋∠FCN＝45°. 又∵∠ABC＝∠FBC＋∠FBH＝∠FBC＋∠FHB＝45°， （答案图） ∴∠FHB＝∠FCN， ∴△HFM≌△CFN（ASA），∴HM＝CN. ∵AM＝HM＋AH，∴AM＝CN＋BD. （答案图） 线段或倍的问题 （2024·南开）在等边△ABC中，点D，E是边BC上的动点，且点D在点E的左侧，连接AD，AE. （1）如图1，若AB＝6，DE＝3， AE＝2，求线段BD的长 图1 [答案] （1）解：过点A作AG⊥BC于点G，如答案图1， ∴∠AGB＝∠AGE＝90°. ∵△ABC是等边三角形，AB＝6，AG⊥BC， ∴∠B＝60°，BC＝6，BG＝CG＝BC＝3， ∴AG＝AB·sin B＝3. ∵AE＝2，∴EG＝＝1. ∵DE＝3，∴DG＝2，∴BD＝BG－DG＝1. （答案图1） （2）如图2，点F是线段AC延长线上一点，连接DF，EF.若AD＝DF，∠CAE＝∠CDF.求证：EF＝BD. 图2 （2）证明：如答案图2，延长BC至点H，使CH＝CF，连接FH. ∵∠ACB＝∠FCH＝60°， ∴△CFH是等边三角形， （答案图2） ∴CF＝FH＝CH，∠H＝60°＝∠B. ∵AD＝DF，∴∠DAC＝∠DFA. ∵∠DAC＋∠BAD＝∠BAC ＝60°＝∠ACB＝∠AFD＋∠CDF， ∴∠BAD＝∠CDF，∴△BAD≌△HDF（AAS）， ∴BD＝HF，∴BD＝CH＝CF＝HF. ∵∠CAE＝∠CDF，∴∠CAE＝∠BAD. （答案图2） 又∵AB＝AC，∠B＝∠ACE， ∴△ABD≌△ACE（ASA）， ∴BD＝EC， ∴BD＝EC＝CF＝CH，∴∠EFH＝90°， ∴∠FEH＝30°，∴EF＝FH， ∴EF＝BD. （答案图2） 线段或倍的和差问题 在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，点E是线段AC上一点，点F是直线BC上一点，连接BE，AF，直线AF交直线BE于点G. （1）如图1，点F在线段BC的延长线上. 若AB＝BG，BG⊥AC，求证：∠F＝45°； 图1 [答案] 证明：（1）设∠ABG＝α，∠BAC＝β. ∵BG⊥AC，∴α＋β＝90°. ∵AB＝AC，AB＝BG，∴AB＝BG＝AC， ∴∠BAG＝∠BGA＝90°－α， ∠ABC＝∠ACB＝90°－β. ∵BG⊥AC， 图1 ∴∠GBF＝90°－∠ACB ＝90°－（90°－β）＝β， ∴∠F＝∠BGA－∠GBF＝90°－α－β ＝90°－（α＋β）＝45°. 图1 （2）如图2，点F在线段BC上，连接GD并延长至点H，使得DH＝DG，连接BH.若∠AEB＝∠AFB＝60°，求证：BF＝AG＋2BH. 图2 （2）如答案图，连接GC，在BF上截取点M，使得MF＝GF，连接GM. （答案图） ∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD. 又∵∠BDH＝∠CDG，DH＝DG， ∴△BDH≌△CDG（SAS），∴BH＝CG. ∵∠AEB＝∠AFB＝60°， ∠BGA＝∠GBF＋∠BFG， ∠BGA＝∠GAE＋∠BEA， ∴∠GBF＝∠GAE. （答案图） ∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB， ∴∠BAG＝180°－∠ABF－∠AFB ＝120°－∠ABF， ∠BGA＝∠FGE ＝360°－∠GFC－∠GEC－∠ACB ＝120°－∠ACB， ∴∠BAG＝∠BGA，∴AB＝BG，∴AC＝BG. （答案图） ∵GF＝MF，∠AFB＝60°， ∴△GFM为等边三角形， ∴GM＝GF，∠FGM＝∠GMF＝60°， ∴∠BMG＝∠AFC＝120°. 又∵∠GBM＝∠CAF，BG＝AC， ∴△BMG≌△AFC（AAS）， ∴GM＝FC，∴GF＝FC＝MF＝GM，BM＝AF， （答案图） ∴∠FGC＝∠FCG＝∠AFB＝30°， ∴∠MGC＝∠MGF＋∠FGC＝60°＋30°＝90°， ∴CM＝＝CG. 又∵BF＝BM＋MF＝AF＋MF ＝AG＋GF＋MF＝AG＋CF＋MF ＝AG＋CM， ∴BF＝AG＋CG， ∴BF＝AG＋2CG. 又∵BH＝CG，∴BF＝AG＋2BH. （答案图） $$