精品解析：江苏省徐州市东湖实验学校2024-2025学年 上学期 九年级数学期中模拟卷

江苏省徐州市2024-2025学年度东湖实验学校 九年级数学期中模拟卷 一、单选题 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，内接于．若，度数为，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 某厂今年十月份的总产量为500吨，十二月份的总产量达到720吨，若平均每月增长率为x，则可以列出方程（　　） A. B. C. D. 4. 抛物线与轴交点坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形内心的是（ ） A. B. C. D. 6. 若，，为二次函数图象上的三点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 已知是关于的二次函数，部分与的对应值如表所示： … … … … ①抛物线的对称轴为直线；②抛物线的开口向上；③抛物线与轴的交点坐标为；④该函数图像向上平移2个单位后经过原点；⑤当时，的取值范围是，其中错误的是（ ） A. ① B. ⑤ C. ②③ D. ②③④ 8. 如图，已知边长为2正顶点A的坐标为，的中点D在y轴上，且在点A下方，点E是边长为2、中心在原点的正六边形的一个顶点，把这个正六边形绕中心旋转一周，在此过程中的最小值为（　　） A. 3 B. C. 4 D. 第II卷（非选择题） 二、填空题 9. 写出一个两根为，1的一元二次方程，并整理成一般式________． 10. 若关于的方程有两个相等的实数根，则___________． 11. 如图，、是的两条切线，、是切点，若，，则的半径等于 ______． 12. 将抛物线向左平移1个单位后所得抛物线的表达式为________． 13. 如图，A、B、C是⊙O上的三点，且四边形OABC是菱形.若点D是圆上异于A、B、C的另一点，则∠ADC的度数是___________________． 14. 如图，已知一次函数与二次函数的图象相交于点，则能使成立的x的取值范围是_____． 15. 如图，是边长均为6的正八边形和正六边形的组合图形，以顶点A为圆心，长为半径画圆，则阴影部分的面积是___________． 16. 已知二次函数的图象如下，在第三象限内的抛物线上有一动点P，过点P作轴，垂足为N，连接交于点Q，则的最大值是______． 三、解答题 17 解方程 （1）； （2）． 18. 用适当方法解下列方程 （1）； （2）； 19. 某初中学校要新建一块篮球场地（如图所示），要求：①篮球场地的长和宽分别为28米和16米；②在篮球场地四周修建宽度相等的安全区域；③篮球场地及安全区域的总面积为640平方米，求安全区域的宽度． 20. 已知二次函数． （1）将其化为的形式为_______________； （2）在所给的平面直角坐标系中，画出它的图象； （3）抛物线与x轴交点坐标为_______________； （4）时，y的取值范围是_______________． 21. 如图，是的直径，点C、D是上两点，，作于E，于F．求证：． 22. 如图，点是平分线上一点，，垂足为，与以为圆心、长为半径的圆相切吗？请说明理由． 23. 商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少元？ （2）设每件商品降价元，请写出盈利与的函数关系式（将函数关系式化简，不必写出自变量的取值范围）； （3）在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？ 24. 如图，在中，弦，点E在上，延长至点F，使，延长至点G，连结，使，． （1）连结，求证：． （2）若，为直径，求的度数． （3）连结，求证：． 25. 如图，二次函数的图象交轴于点，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点． （1）求这个二次函数的解析式． （2）若点在线段上运动（点与点、点不重合），求四边形面积的最大值，并求出此时点的坐标． （3）若点在轴上运动，则在轴上是否存在点，使以、为顶点四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 江苏省徐州市2024-2025学年度东湖实验学校 九年级数学期中模拟卷 一、单选题 1. 下列方程中，属于一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，象这样的方程叫做一元二次方程． 【详解】解：．，含2个未知数，不是一元二次方程．故该选项不符合题意； ．，是一元二次方程，故该选项符合题意； ．，的分母中含未知数，是分式方程，不是一元二次方程．故该选项不符合题意； ．，的最高次数是1，不是一元二次方程．故该选项不符合题意； 故选：B． 2. 如图，内接于．若，度数为，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，根据圆周角度数等于它所对弧度数的一半求出，再由等腰三角形的性质和三角形定理可得结论． 【详解】解：∵所对圆周角是，且度数为， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 3. 某厂今年十月份的总产量为500吨，十二月份的总产量达到720吨，若平均每月增长率为x，则可以列出方程（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据该厂今年十月份以及十二月份的总产量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：依题意得：． 故选：B． 4. 抛物线与轴的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，令，求出y的值即可求解． 【详解】解：∵当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标为． 故选D． 5. 根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形内心的是（ ） A. B. C D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的内切圆，尺规作角平分线，根据内心为三条角平分线的交点，进行判断即可． 【详解】解：∵三角形的内心为三角形的三条角平分线的交点， ∴可以成功找到内心的是： 故选B． 6. 若，，为二次函数图象上的三点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据二次函数解析式可得图象开口向上，对称轴为，根据离对称轴越远，值越大即可求解． 【详解】解：已知二次函数解析式为， ∴图象开口向上，对称轴为， ∴离对称轴越远，值越大， ∵， ∴， 故选：A ． 7. 已知是关于的二次函数，部分与的对应值如表所示： … … … … ①抛物线的对称轴为直线；②抛物线的开口向上；③抛物线与轴的交点坐标为；④该函数图像向上平移2个单位后经过原点；⑤当时，的取值范围是，其中错误的是（ ） A. ① B. ⑤ C. ②③ D. ②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用．用待定系数法求出二次函数的解析式为，得到抛物线的对称轴为直线，可判断①；然后由，可判断②；当时，，可判断③；得到抛物线与y轴的交点坐标为，根据平移的性质可判定④；当时，，当时，，可判断⑤． 【详解】解：设， ， 解得， ； ∴抛物线的对称轴为直线；故①说法错误； ∵， ∴抛物线的开口向上；故②说法正确； 当时，， ∴抛物线与y轴的交点坐标为；故③说法正确； ∵抛物线与y轴的交点坐标为， ∴该函数图像向上平移2个单位后经过原点；故④说法正确； ∵， ∴抛物线的顶点为，开口向上， 当时，，当时，， ∴当时，；故⑤说法正确； 综上，错误的有①． 故选：A． 8. 如图，已知边长为2的正顶点A的坐标为，的中点D在y轴上，且在点A下方，点E是边长为2、中心在原点的正六边形的一个顶点，把这个正六边形绕中心旋转一周，在此过程中的最小值为（　　） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析：首先得到当点E旋转至y轴上时最小，然后分别求得、的长，最后求得的长即可． 【详解】解：如图，连接， 根据，当D，E，O三点共线时，最小； ∵边长为2的是等边三角形，点A的坐标为，的中点D在y轴上， ∴，， ∴， ∵正六边形的边长为2， ∴， ∴是等边三角形， ∴ ∴ 故选B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，正六边形的性质，两点之间线段最短，熟练掌握性质和应用是解题的关键． 第II卷（非选择题） 二、填空题 9. 写出一个两根为，1的一元二次方程，并整理成一般式________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的概念，正确理解一元二次方程根的概念是解题的关键．设一元二次方程为，将和分别代入方程，得到二元一次方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】设一元二次方程为， 将和分别代入方程，得， 解得， 一元二次方程为． 故答案为：（答案不唯一）． 10. 若关于的方程有两个相等的实数根，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】由于已知方程有两个相等的实数根，所以利用一元二次方程的根的判别式，建立关于m的方程，解方程即可求出m的取值．本题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 如图，、是的两条切线，、是切点，若，，则的半径等于 ______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了切线长定理、切线的性质和直角三角形的性质，根据切线的性质求得，，再由直角三角形的性质得．解题的关键是灵活运用这些知识点解决问题． 【详解】解：、是的两条切线， ， ， ， ， ． 故答案为：4． 12. 将抛物线向左平移1个单位后所得抛物线的表达式为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，左右平移改变自变量的值：左加右减；上下平移改变因变量的值：上加下减．据此即可求解． 【详解】解：将抛物线向左平移1个单位后所得抛物线的表达式为． 故答案为：． 13. 如图，A、B、C是⊙O上的三点，且四边形OABC是菱形.若点D是圆上异于A、B、C的另一点，则∠ADC的度数是___________________． 【答案】60°或120° 【解析】 【详解】如图，连接OB，则AB=OA=OB=BC， 故可得出△AOB是等边三角形， 所以∠ADC=60°，∠AD′C=120°． 故答案为60°或120°． 考点：1、圆内接四边形的性质；2、菱形的性质；3、圆周角定理 14. 如图，已知一次函数与二次函数的图象相交于点，则能使成立的x的取值范围是_____． 【答案】或 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数与不等式，正确利用函数图象得出正确信息是解题的关键．利用一次函数图象在二次函数图象下方时，，据此可得的取值范围． 【详解】解：∵一次函数与二次函数的图象相交于点， ∴一次函数图象在二次函数图象下方时，，即或， 故答案为：或． 15. 如图，是边长均为6的正八边形和正六边形的组合图形，以顶点A为圆心，长为半径画圆，则阴影部分的面积是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形和圆，扇形面积的计算．根据正八边形、正六边形的性质求出它的内角的度数，进而求出阴影部分扇形的圆心角的度数，由扇形面积的计算方法进行计算即可． 【详解】解：正八边形和正六边形， ，， ， ． 故答案为：． 16. 已知二次函数的图象如下，在第三象限内的抛物线上有一动点P，过点P作轴，垂足为N，连接交于点Q，则的最大值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数的最值，求一次函数解析式，过点Q作轴于点H，求出点C的坐标为，点B的坐标为，求出直线的解析式为：，设点P的坐标为，则点Q的坐标为：，求出，证明为等腰直角三角形，得出，求出，然后求出最大值即可． 【详解】解：过点Q作轴于点H，如图所示： 把代入得：， ∴点C的坐标为， 把代入得：， 解得：，， ∴点B的坐标为， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 设点P的坐标为，则点Q的坐标为：， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值． 故答案为：． 三、解答题 17. 解方程 （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）先将二次项系数化1，再根据配方法解答即可； （2）先将右边的项移到左边，再提公因式再求解即可． 本题考查了用配方法、因式分解法解一元二次方程；关键在于要观察方程的特征灵活选取不同的方法解决一元二次方程． 【小问1详解】 解：原方程可化为， 即， ∴， 即， ∴， ∴，． 【小问2详解】 解：原方程可化为， 即， 提取公因式，得， 则或， 解得，． 18. 用适当的方法解下列方程 （1）； （2）； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程； （1）先移项，然后通过提取公因式对等式的左边进行因式分解； （2）根据公式法解一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解：， ， ， ∴或， 解得：； 【小问2详解】 解：， ∵，， ∴， 解得：． 19. 某初中学校要新建一块篮球场地（如图所示），要求：①篮球场地的长和宽分别为28米和16米；②在篮球场地四周修建宽度相等的安全区域；③篮球场地及安全区域的总面积为640平方米，求安全区域的宽度． 【答案】2米 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据等量关系列出方程，是解题的关键．设安全区域的宽度为米，根据篮球场地及安全区域的总面积为640平方米，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设安全区域的宽度为米，由题意得： ， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：安全区域的宽度为2米． 20. 已知二次函数． （1）将其化为的形式为_______________； （2）在所给的平面直角坐标系中，画出它的图象； （3）抛物线与x轴交点坐标为_______________； （4）时，y的取值范围是_______________． 【答案】（1） （2）图象见详解 （3） （4） 【解析】 【分析】对于（1），根据完全平方公式配成顶点式即可； 对于（2），根据二次函数图象的画法：列表，描点，连线即可； 对于（3），令，求出x的值，即可得到答案； 对于（4），根据二次函数图象先求出当时，有最小值，再根据距离对称轴越远，y值越大，求出即可． 【小问1详解】 解：. 故答案为：； 【小问2详解】 如图所示； 【小问3详解】 令时，， 解得：， ∴抛物线与x轴交点坐标为， 故答案为：； 【小问4详解】 由（1）可知， ∴当时，y有最小值为. ∵，距离对称轴越远越大， 当是，y有最大值为5． 所以y的取值范围是． 【点睛】本题主要考查了二次函数的顶点式，二次函数的画法，求二次函数最值，解决此题的关键是熟练掌握二次函数的性质和图象的性质． 21. 如图，是的直径，点C、D是上两点，，作于E，于F．求证：． 【答案】见详解 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，圆心角与弦的关系，解题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形．连接，由于，利用同圆中等弦所对的圆心角相等可得，根据已知条件利用可证 ，从而有． 【详解】证明：如图所示，连接， ， ， 又，， ， ， ， ． 22. 如图，点是平分线上一点，，垂足为，与以为圆心、长为半径的圆相切吗？请说明理由． 【答案】相切；理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径．也考查了角平分线定理．过点P作于点E，根据角平分线的性质定理得到，即可推出与相切，熟练掌握切线的判定方法：有交点连半径证垂直，无交点作垂直证半径是解题的关键． 【详解】解：相切，理由如下， 过点P作于点E， ∵点是平分线上一点， ∴， 即为的半径， ∴与相切． 23. 商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少元？ （2）设每件商品降价元，请写出盈利与的函数关系式（将函数关系式化简，不必写出自变量的取值范围）； （3）在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？ 【答案】（1）当天可获利1692元 （2） （3）每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000元 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程及二次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）由题意可知每天的销售量为36件，利润为47元，然后问题可求解； （2）由题意易得商场每天销售的件数为件，然后根据利润=单个利润×销售量可进行求解； （3）根据（2）及题意可进行求解． 【小问1详解】 解：由题意得：（元）； 答：当天可获利1692元． 【小问2详解】 解：由题意得： ， ∴盈利与函数关系式； 【小问3详解】 解：由（2）即题意得： ， 解得：， ∵为了尽快减少库存， ∴， 答：每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000元． 24. 如图，中，弦，点E在上，延长至点F，使，延长至点G，连结，使，． （1）连结，求证：． （2）若，为直径，求的度数． （3）连结，求证：． 【答案】（1）见解析 （2） （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理，解题的关键是正确作出辅助线构造圆周角． （1）根据弦可得，，由弧、弦的关系可得结论； （2）由为直径得，再根据圆周角定理可得结论； 、 （3）连结EC，得，，证明，进一步可得结论． 小问1详解】 证明：∵弦， ，， ∴． ， ． 【小问2详解】 解：连接如图， 为直径， ． ， ． ． 【小问3详解】 证明：连结EC， ，都是所对的圆周角， ． ， ． 又，， ． ． ， ． 25. 如图，二次函数的图象交轴于点，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点． （1）求这个二次函数的解析式． （2）若点在线段上运动（点与点、点不重合），求四边形面积的最大值，并求出此时点的坐标． （3）若点在轴上运动，则在轴上是否存在点，使以、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）最大值为，此时 （3）或或 【解析】 【分析】（1）先根据二次函数对称轴公式求出，再把代入二次函数解析式中进行求解即可； （2）先求出，，则，，求出直线的解析式为，设，则，，则；再由得到，故当时，最大，最大值为，此时点P的坐标为； （3）分如图3-1，图3-2，图3-3，图3-4，图3-5，图3-6所示，为对角线和边，利用菱形的性质进行列式求解即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵二次函数经过点， ∴，即， ∴， ∴二次函数解析式为； 【小问2详解】 解：∵二次函数经过点，且对称轴为直线， ∴， ∴， ∵二次函数与y轴交于点C， ∴， ∴； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 设，则，， ∴； ∵， ∴ ， ∵， ∴当时，最大，最大值为， ∴此时点P的坐标为； 【小问3详解】 解：设，则，， ∵轴， ∴轴，即， ∴是以、为顶点的菱形的边； 如图3-1所示，当为对角线时， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴轴， ∴轴，即轴， ∴点C与点N关于抛物线对称轴对称， ∴点N的坐标为， ∴， ∴； 如图3-2所示，当为边时，则， ∵，， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴； 如图3-3所示，当为边时，则， 同理可得， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴； 如图3-4所示，当为边时，则， 同理可得， 解得（舍去）或（舍去）； 如图3-5所示，当为对角线时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴轴， ∴轴，这与题意相矛盾， ∴此种情形不存在 如图3-6所示，当为对角线时，设交于S， ∵轴， ∴， ∵， ∴，这与三角形内角和为180度矛盾， ∴此种情况不存在； 综上所述，或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，菱形的性质，勾股定理，求二次函数解析式等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$