第6课时　二次函数中四边形存在性问题 课件 -2025年九年级中考数学一轮总复习

第6课时　二次函数中 四边形存在性问题 1.线段中点坐标公式 平面直角坐标系中，点A坐标为（x1，y1），点B坐标为（x2，y2），则线段AB的中点坐标为. 2.平行四边形存在性问题解题策略 （1）代数法：利用中点坐标公式，建立方程求解.设点的坐标A（xA，yA），B（xB，yB），C（xC，yC），D（xD，yD）（一般用一个或两个字母即可设出四个点的坐标）. ①以AB为边（如下图）： 或 则或 ②以AB为对角线（如右图）： 则 解方程，即可求出点的坐标. （2）几何法：利用平行四边形的性质构造全等，即图中点B到点A如何移动（水平、竖直方向），则点C到点D就如何移动. 则 3.菱形存在性问题的解题策略 方法1：先平四，再菱形 设点坐标，根据平行四边形存在性要求列出“A＋C＝B＋D”（AC，BD为对角线），再结合一组邻边相等，得到方程组，即若四边形ABCD是菱形，则其4个点坐标需满足： 方法2：先等腰，再菱形 在构成菱形的4个点中任取3个点，必构成等腰三角形，根据等腰存在性方法可先确定第3个点，再根据菱形的对边平行且相等利用平移确定第4个点的坐标即可. 4.矩形存在性问题的解题策略 方法1：先平四，再矩形 设点坐标，根据平行四边形存在性要求列出“A＋C＝B＋D”（AC，BD为对角线），再结合对角线相等，得到方程组，即若四边形ABCD是矩形，则其4个点坐标需满足： 方法2：先直角，再矩形 如图，矩形还可以看成是由两个全等的直角三角形组成的，在此基础上，要善于利用直角三角形的性质： ①两个锐角互余； ②三边平方的等量关系（勾股定理）； ③斜边上的中线等于斜边的一半. 5.正方形存在性问题的解题策略 方法1：从正方形判定入手 若已知菱形，则证明一个角是直角或者对角线相等； 若已知矩形，则证明一组邻边相等或对角线互相垂直； 若已知对角线互相垂直或平分或相等，则加上其他条件即可. 方法2：构造三垂直全等 若条件并未给出关于四边形对角线的特殊性，一般任取3个顶点必然是等腰直角三角形，如果已经知道了两个定点，那么可以通过构造三垂直全等来求出第3个点，然后再利用平移进一步求出第4个点. 平行四边形存在性问题 如图，直线y＝－x＋与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）经过A，B两点，与x轴交于点C，若tan∠BCA＝. （1）求抛物线的解析式； [答案] 解：（1）∵A，B为直线y＝－x＋分别与x轴、y轴的交点， ∴A（1，0），B（0，）. ∵tan∠BCA＝，OB＝， ∴OC＝3.∴C（－3，0）. ∵y＝ax2＋bx＋c经过A，B，C三点，将其坐标代入抛物线的解析式，得 解得 ∴抛物线的解析式为y＝－x2－x＋. （2）把抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到新抛物线y'，点M是新抛物线上一点，点N是原抛物线的对称轴上一点，直接写出所有使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形的点N的坐标，并把求其中一个点N的坐标的过程写出来. （2）由（1）知，抛物线的解析式为y＝－x2－x＋＝－（x＋1）2＋. 由平移得新抛物线 y'＝－＋－， 即y'＝－＋＝－x2－x＋. 设M，N（－1，n）. ∵B（0，），C（－3，0），以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形， ∴分三种情况讨论： ①当BC为对角线时，则 解得∴N； ②当BN为对角线时，同理可得N（－1，－2）； ③当BM为对角线时，同理可得N（－1，－2）. 综上所述，点N的坐标为或（－1，－2）. 菱形存在性问题 （2024·育才节选）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋3过点（－1，4），且与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C. （1）求抛物线的解析式； [答案] 解：（1）将点（－1，4），（1，0）代入y＝ax2＋bx＋3， 得解得 ∴抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3. （2）将该抛物线沿射线CB方向平移个单位长度得到新的抛物线y'，平移后的抛物线y'与原抛物线相交于点D，点M为直线BC上的一点，在平面内确定一点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形为菱形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程. （2）易知B（－3，0），C（0，3）. 由题意可知，抛物线向左平移1个单位长度，则向下平移1个单位长度， ∴平移后的抛物线解析式为 y＝－（x＋1）2－2（x＋1）＋3－1 ＝－x2－4x－1， 当－x2－2x＋3＝－x2－4x－1时，x＝－2， ∴D（－2，3）， 易知直线BC的解析式为y＝x＋3. 设M（n，n＋3），N（x，y）， 当BD为菱形的对角线时，BM＝MD， ∴ 解得 ∴N（－，）； 当BM为菱形的对角线时，BD＝DM， ∴解得或 ∴N（0，1）或（－4，－3）（此时点M与点B重合，舍去）； 当BN为菱形的对角线时，BD＝BM， ∴ 解得或 ∴N（－2＋，3＋）或（－2－，3－）. 综上所述，点N的坐标为（－，）或（0，1）或（－2＋，3＋）或（－2－，3－）. 矩形存在性问题 （2024·巴蜀节选）如图1，二次函数y＝ax2＋bx＋4与x轴交于A（－4，0），B（8，0）两点，与y轴交于点C. （1）求抛物线的解析式； 图1 [答案] 解：（1）将A（－4，0），B（8，0）代入y＝ax2＋bx＋4，得 解得 ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋4. 图1 （2）如图2，将抛物线y＝ax2＋bx＋4沿射线CB方向平移2个单位长度，平移后得到新抛物线y'，D是新抛物线对称轴上一动点.在平面内确定一点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是矩形.直接写出点E的坐标. 图2 图2 （2）易知C（0，4），B（8，0）， ∴将抛物线y＝－x2＋x＋4沿射线CB方向平移2个单位长度相当于先向下平移2个单 位长度，再向右平移4个单位长度， 易知抛物线y的对称轴为直线x＝2， ∴新抛物线的对称轴为直线x＝6. 设D（6，t），E（p，q）. ①若BC，DE为对角线，则有BC＝DE， ∴ 解得或 ∴E（2，－2）或（2，6）； 图2 ②若CD，BE为对角线，则有CD＝BE， ∴ 解得 ∴E（－2，0）； 图2 ③当CE，BD为对角线，则有CE＝BD， ∴ 解得∴E（14，12）. 综上所述，点E的坐标为（2，－2）或（2，6）或（－2，0）或（14，12）. 图2 正方形存在性问题 如图，抛物线y1＝ax2＋bx＋c的图象经过A（－6，0），B（－2，0），C（0，6）三点，且一次函数y＝kx＋6的图象经过点B. （1）求抛物线和一次函数的解析式； [答案] 解：（1）把A（－6，0），B（－2，0），C（0，6）代入y1＝ax2＋bx＋c中， 得解得 ∴抛物线的解析式为y1＝x2＋4x＋6. 把B（－2，0）代入y＝kx＋6中，得k＝3， ∴一次函数的解析式为y＝3x＋6. （2）点E，F为平面内两点，若以E，F，B，C为顶点的四边形是正方形，且点E在点F的左侧，请直接写出所有满足条件的点E的坐标，并写出其中一个点E坐标的求解过程. （2）①当BC为正方形的边长时，如答案图1，过点B作E1E2⊥BC，过点C作F1F2⊥BC，使E1B＝E2B＝BC，CF1＝CF2＝BC，连接E1F1，E2F2，则四边形E1BCF1，E2BCF2为正方形.过点E1作E1H1⊥x轴于点H1. （答案图1） ∵BE1＝CB，∠BOC＝∠E1H1B＝90°＝∠E1BC， ∠BE1H1＝90°－∠E1BH1＝∠CBO， ∴△BE1H1≌△CBO（AAS）， ∴E1H1＝BO＝2，H1B＝OC＝6， ∴E1（－8，2）. 同理可得E2（4，－2）； （答案图1） ②当BC为正方形的对角线时，如答案图2，过BC的中点G作E3F3⊥BC，使E3F3与BC互相平分且相等，则四边形E3BF3C为正方形.过点E3作E3N⊥y轴于点N，过点B作BM⊥E3N于点M. （答案图2） ∵CE3＝BE3，∠CNE3＝∠E3MB＝90°， ∠BE3M＝90°－∠CE3N＝∠E3CN， ∴△CE3N≌△E3BM（AAS）， ∴CN＝E3M，E3N＝BM. 设E3（m，n），则 （答案图2） 解得 ∴E3（－4，4）. 综上所述，点E的坐标为（－8，2）或（4，－2）或（－4，4）. （答案图2） $$