1.1 菱形的性质与判定第2课时课件2024-2025学年北师大版数学九年级上册

1 菱形的性质与判定 第2课时 北师版 教材的地位和作用 《菱形的判定》是初中数学中的一个重要内容，它不仅帮助学生理解菱形的性质，也为后续学习正方形和其他几何图形奠定了基础。通过探索和掌握菱形的判定方法，学生能够培养自己的推理能力和演绎能力，这对于整个数学学科的学习都是非常有益的 核心素养目标 准备好了吗？一起去探索吧！ 菱形的判定 1.理解并掌握菱形的判定定理，并会用菱形的判定定理进行证明和计算. 2.经历菱形判定定理的探索过程，进一步发展合情推理能力. 3.能够用综合法证明菱形的判定定理，进一步发展演绎推理能力. 4.体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学思想. 重点 难点 教学方法与教学手段 1.教学方法 教学方法应当注重启发式教学，教师作为学习的组织者和指导者，需要强调学生的主动性和积极性。在教学过程中，可以采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法，以问题的提出和解决为主线，倡导学生主动参与教学实践活动。 2.教学手段 教学手段可以通过学生动手操作和课件演示，让学生验证和体会自己的想法，提高学生的动手实践和猜想能力，拓展学生的思维空间。此外，还可以通过多媒体辅助教学，以直观呈现教学素材，激发学生的学习兴趣，增大教学容量，提高教学效率。 应用新知 创设情境 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 观察下列实物中的菱形，说一说什么是菱形？ 一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 复习回顾 菱形 菱形具有哪些性质呢？ 应用新知 创设情境 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 观察下列实物中的菱形，说一说什么是菱形？ 复习回顾 菱形具有哪些性质呢？ 两组对边平行 四条边相等 两组对角分别相等 两条对角线互相垂直且平分 每一条对角线平分一组对角 边 角 对角线 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 合作探究 我们怎么判断一个一个四边形是菱形呢？ A B C D 一组邻边相等 C B A D 平行四边形 菱形 还有其他判定方法吗？ 可以根据菱形的定义： 一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 合作探究 通过观察你认为平行四边形对角线满足怎样的位置关系时它是菱形？ 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 已知：四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥BD. 求证：四边形ABCD是菱形. 证明 A D B C 证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴OA=OC. 又∵ AC⊥BD， ∴BD是线段AC的垂直平分线. ∴BA=BC. ∴四边形ABCD是菱形. O 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 归纳 C B A D O A B C D O AC⊥BD 平行四边形 菱形 定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. ∵在□ABCD中，AC⊥BD， ∴□ABCD是菱形. 符号语言： 定理变形：对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 探究新知 创设情境 巩固新知 课堂小结 布置作业 应用新知 证明：在△AOB中 ∵ AB= ，OA=2，OB=1， ∴ AB2=OA2+OB2. ∴ △AOB是直角三角形，∠AOB是直角. ∴AC⊥BD. ∴ ▱ABCD是菱形. (对角线垂直的平行四边形是菱形) 典型例题 例1 如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AB= ，OA=2，OB=1.求证：▱ABCD是菱形. 2 1 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 操作 已知线段AC，你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD，使AC为菱形的一条对角线吗？ A C D B 分别以A、C为圆心，以大于 AC的长为半径作弧，两条弧分别相交于点B、D，依次连接A、B 、C 、D四点. 所作的四边形四条边 相等，它是菱形吗？ 所作的四边形有何特征？ 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 A D B C 已知：如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD. 求证：四边形ABCD是菱形. 证明 证明： ∵AB=CD， AD=BC， ∴四边形ABCD是平行四边形. 又∵AB= AD， ∴四边形ABCD是菱形. 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 归纳 C B A D A B C D 四条边相等 四边形 菱形 定理：四条边相等的四边形是菱形. ∵在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD， ∴四边形ABCD是菱形. 符号语言： 探究新知 应用新知 课堂小结 布置作业 巩固新知 创设情境 抢答 随堂练习 例2.如图,在△ABC中, AD是角平分线,点E、F分别在AB、 AD上,且AE=AC,EF = ED.求证：四边形CDEF是菱形. 证明： ∵ ∠1= ∠2, 又∵AE=AC,AD=AD, ∴ △ACD≌ △AED (SAS). 同理△ACF≌△AEF(SAS) . ∴CD=ED, CF=EF. 又∵EF=ED,∴CD=ED=CF=EF, ∴四边形ABCD是菱形. 2 A C B E F D 1 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 想一想 四边形 菱形 平行四边形 平行四边形的判定方法 现在你知道如何判定一个四边形为菱形了吗？ 一组邻边相等 对角线互相垂直 四条边都相等 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 做一做 你能用折纸等办法得到一个菱形吗？动手试一试！ 沿线 对折 沿线再对折 沿线 剪下 展开 说一说这样做的道理？ 折纸剪下的三角形展开后是四边相等的四边形，它是菱形. 探究新知 应用新知 课堂小结 布置作业 巩固新知 创设情境 抢答 随堂练习 1.如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点O，且互相平分． 添加下列条件，仍不能判定四边形ABCD为菱形的是(　　) A．AC⊥BD　　　　B．AB=AD C．AC=BD D．∠ABD=∠CBD A C B D O C 分析 A．依据：对角线互相垂直的平行四边形是菱形； B．依据：有一组邻边相等的平行四边形是菱形； D．先证△ABC是等腰三角形，得AB=BC ，再判定. 由题知四边形ABCD是平行四边形 探究新知 应用新知 课堂小结 布置作业 巩固新知 创设情境 抢答 随堂练习 证明：在□ABCD 中，AD∥BC，即 AE∥FC. ∴∠EAO=∠FCO 又∵EF为 AC 的垂直平分线， ∴AC⊥EF，OA = OC， 即∠AOE=∠COF=90°. ∴△FOC≌△EOA，即AE=FC. ∴四边形 AFCE 为平行四边形. 又∵AC⊥EF，∴四边形 AFCE 是菱形. 2.已知：如图，在□ABCD 中，对角线 AC 的垂直平分线分别与 AD，AC，BC 相交于点 E，O，F. 求证：四边形 AFCE 是菱形. 探究新知 应用新知 课堂小结 布置作业 巩固新知 创设情境 抢答 随堂练习 3. 已知，如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，∠BAC = 60°，BC 的垂直平分线分别交 BC 和 AB 于点 D、E，点 F 在 DE 延长线上，且 AF = CE, 求证：四边形 ACEF 是菱形. 证明：由题意知，∠BCA=90°，∠BAC=60°. ∴ ∠B=30° ∵ DE 为 BC 垂直平分线， ∴ ∠ECD=∠B=30°，即∠ECA=60°， ∴△AEC为等边三角形，即 CA = CE =AE. ∵AF = CE， ∴AF = AE. ∵∠FEA =∠BED= 60°， ∴ △AEF为等边三角形,即EF = AF = AE， ∴AF=EF=CE=CA，∴四边形 ACEF 是菱形. 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 合作探究 丁大爷家有一块菱形的菜地，怎样求出这块菜地的面积呢？ A B C D 求菜地的面积实际上是求菱形的面积. 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 合作探究 想一想：菱形的面积怎么求？ A B C D 菱形是特殊的平行四边形，可以根据求平行四边形的面积方法来求. E 过点A作AE⊥BC于点E S菱形ABCD=底×高=BC·AE 你还有别的方法吗？ 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 求菱形面积的方法： A B C D 归纳 A B C D E 菱形的面积 = 底×高 菱形的面积 = 对角线乘积的一半 O 探究新知 创设情境 巩固新知 课堂小结 布置作业 应用新知 典型例题 例3 如图，四边形ABCD 是边长为 13cm 的菱形，其中对角线 BD 长为 10 cm. 求：(1)对角线 AC 的长度； (2)菱形 ABCD 的面积. 13 10 解：(1)∵四边形 ABCD 是菱形，AC 与 BD 相交于点 E， ∴∠AED = 90°(菱形对角线互相垂直)， DE = BD = ×10 = 5(cm)(菱形对角线互相平分). ∴AE = = = 12(cm). ∴AC = 2AE = 2×12 = 24(cm)(菱形的对角线互相平分). 探究新知 创设情境 巩固新知 课堂小结 布置作业 应用新知 典型例题 例3 如图，四边形ABCD 是边长为 13cm 的菱形，其中对角线 BD 长为 10 cm. 求：(1)对角线 AC 的长度； (2)菱形 ABCD 的面积. 解：(2)菱形ABCD的面积 =△ABD的面积＋△BCD的面积 =2×S△ABD =2× ×BD×AE =2× ×10×12 =120(cm²) 你还有其它的方法吗？ 探究新知 创设情境 巩固新知 课堂小结 布置作业 应用新知 典型例题 例3 如图，四边形ABCD 是边长为 13cm 的菱形，其中对角线 BD 长为 10 cm. 求：(1)对角线 AC 的长度； (2)菱形 ABCD 的面积. 13 10 24 解:(2)菱形的面积等于对角线乘积的一半. S菱形ABCD= AC·BD =120(cm²) 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 做一做 如图两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD是什么图形？为什么？ 说一说你的理由？ 根据纸条的两长边互相平行得ABCD是平行四边形；再由纸条等宽得两条邻边上的高相等，进而利用平行四边形的面积得两邻边相等；从而可证ABCD是菱形. 重叠的部分ABCD是菱形. 教学反思 （一）板书方面 在引导学生探索菱形判定时，部分教师注重了方法的引导以及判定定理的几何证明思路的指引，但缺乏有效的几何语言板书和描述。这可能导致学生在单独解答或证明时，感觉自己已经掌握了知识，但实际操作起来却不够熟悉，甚至找不到方法。因此，教师在教学过程中不能因为教学内容多而忽视板书的重要性，规范的板书有助于学生更好地理解和掌握几何语言的严谨性。在引导学生探索菱形判定时注重了方法的引导，判定理定理的几何证明思路的指引，但缺乏有效的几何语言板书和描述，会导致学生感觉会了，掌握了，当让他单独解答或证明时，学生就显得不够熟悉，甚至找不到方法，无法下手。即该教师板书时还需要及时板书，不可因为教学内容多而忽视了板书的重要性。” （二）小组合作探究引导不足 在教学过程中，如果能适当引导小组合作探究，可以更好地调动学生自主探索意识。例如，在复习菱形及性质后，可以让学生说出其性质的逆命题，然后分小组去探索这些逆命题的对与错，进而探索出菱形的判定定理。在这个过程中，教师通过个别指导、小组点拔、小组展示、学生共同探讨、教师引导归纳等环节，可以让学生亲自经历更多的知识探究过程，从而对知识的理解更加深刻，应用意识也会更强。教学中如果适当引导小组合作探究，可调动学生自主探索意识。在复习了菱形及性质后可说出其性质的逆命题，让学生分小组去探索这些逆命题的对与错，进而探索出菱形的判定定理，通过个别指导，小组点拔，小组展示，学生共同探讨，教师引导归纳，最后综合应用。通过这些环节，学生亲自经历的多一些，感受应该更深刻一些，对知识的理解也就更牢一些，学生的用意识应该会更强些。” （三）思维能力培养 在应用判定定理证明时，有些题目存在多种解法，但部分教师没有充分利用好这些教学资源深入挖掘一题多解的情况。一题多解可以培养学生的发散思维，让学生将所学知识得到更充分的应用，巩固所学知识的同时也能提高学生的思维能力，扩展学生的思维空间。一题多解，培养学生的发散思维。在应用判定定理证明时有些题目是可以用两三种，甚至是四五种方法去证明解答的，对于这类问题我们应充分利用好教学资源，深入挖掘，一题而且更能提高学生的思维能力，扩展学生的思维空间，提升多解，即让学生将所学知识得到了应用，巩固了所学知识，学生的应用意识。” （四）学生对知识的混淆 部分学生对菱形的判定和性质还存在混淆不清的情况，这是教学过程中需要特别关注的问题。教师在教学过程中应该更加注重对判定和性质的对比讲解，通过多种方式帮助学生区分两者的差异，避免学生在解题过程中出现错误。但是，我还是发现有个别学生对判定和性质还混淆不清，这个知识点以后应该注意。” $$