2025年江苏省中考数学一轮复习课件： 第3节 一元二次方程

第3节　一元一次方程 考点梳理 1 一元二次方程的概念及根的意义 1. 一元二次方程：只含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 ⁠ 的 方程叫做一元二次方程. 一　 2　 整式　 2. 一般形式：ax2＋bx＋c＝0（a，b，c为常数，a≠0），其中ax2， bx，c分别叫做二次项、一次项和常数项，a，b分别称为二次项系数和一 次项系数. 第4节 返回目录 考点梳理 1. 下列方程一定是一元二次方程的是（　D　） A. 3x2＋ －1＝0 B. 5x2－6y－3＝0 C. ax2－x＋2＝0 D. 3x2－2x－1＝0 D 第4节 返回目录 考点梳理 2. 若（m＋3）x｜m｜－1－（m－3）x－5＝0是关于x的一元二次方程，则 m的值为 ⁠. 3　 3. 关于x的一元二次方程（m－1）x2＋3x＋m2－1＝0的一根为0，则m的 值是 ⁠. －1　 4. 已知x＝1是方程x2＋ax－b＝0的一个根，则a－b＋2 024＝ ⁠. 2 023　 第4节 返回目录 考点梳理 解一元二次方程 解法 适用方程类型 步骤 直接开 平方法 形如（x＋a）2＝b （b≥0）的方程 （1）方程两边同时开方，得x＋a＝ ± ； （2）将方程的解写成x＝± －a的形式 第4节 返回目录 考点梳理 解法 适用方程类型 步骤 配方法 二次项系数化为1 后，一次项系数为偶 数的方程 （1）若二次项系数不为1，则先把系数化 为 ⁠，再配方； （2）把常数项移到方程的另一边； （3）在方程两边同时加上一次项系 数 ⁠； （4）把方程整理成（x＋a）2＝b （b≥0）的形式； （5）运用直接开平方法解方程 1　 一半的平方　 第4节 返回目录 考点梳理 解法 适用方程类型 步骤 公式法 所有一元二次方程 （1）将方程化成ax2＋bx＋c＝0 （a≠0）的形式； （2）确定a，b，c的值； （3）若b2－4ac≥0， 则代入求根公式x＝ ⁠； 若b2－4ac＜0，则方程没有实数根 　 第4节 返回目录 考点梳理 解法 适用方程类型 步骤 因式 分解法 等号一边化为0后， 另一边能分解成两个 一次因式乘积的方程 （1）将等号一边化为0； （2）把等号的另一边分解为两个一次因 式的积； （3）令每个因式分别为0，转化为两个一 元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解 就是原方程的根 第4节 返回目录 考点梳理 用适当的方法解下列方程： （1）（2x＋3）2－5＝0； 解析：移项，得（2x＋3）2＝5. 开方，得2x＋3＝± . 解得x1＝－ ，x2＝ . 第4节 返回目录 考点梳理 （2）x2＋2x－99＝0； 解析：移项，得x2＋2x＝99. 配方，得x2＋2x＋1＝100， 即（x＋1）2＝100. 开方，得x＋1＝10或x＋1＝－10. 解得x1＝9，x2＝－11. 第4节 返回目录 考点梳理 （3）2x2－x－1＝0； 解析：分解因式，得（2x＋1）（x－1）＝0. 可得2x＋1＝0或x－1＝0. 解得x1＝－ ，x2＝1. 第4节 返回目录 考点梳理 （4）4x（2x－1）＝3（2x－1）. 解析：移项，得4x（2x－1）－3（2x－1）＝0. 分解因式，得（4x－3）（2x－1）＝0. 可得4x－3＝0或2x－1＝0. 解得x1＝ ，x2＝ . 第4节 返回目录 考点梳理 一元二次方程根的判别式 1. 根的判别式：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式 为 ⁠. b2－4ac　 2. 一元二次方程根的情况与根的判别式的关系 （1）b2－4ac＞0⇔方程有 ⁠的实数根； （2）b2－4ac＝0⇔方程有 ⁠的实数根； （3）b2－4ac＜0⇔方程 实数根. 两个不相等　 两个相等　 没有　 第4节 返回目录 考点梳理 1. 若关于x的方程x2－2x＋m＝0有两个相等的实数根，则m＝ ⁠. 1　 2. 若关于x的一元二次方程kx2－2x－1＝0有两个不相等的实数根，则实数 k的取值范围是 ⁠. k＞－1且k≠0　 第4节 返回目录 考点梳理 3. 已知关于x的方程x2－（2m＋2）x＋m2＋2m＝0. （1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； 解析：（1）证明：方程x2－（2m＋2）x＋m2＋2m＝0中， a＝1，b＝－（2m＋2），c＝m2＋2m， ∴Δ＝[－（2m＋2）]2－4×1×（m2＋2m）＝4＞0， ∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根. （2）若方程有一个根为1，求m的值. 解析：（2）∵方程有一个根为1， ∴12－（2m＋2）×1＋m2＋2m＝0，即m2－1＝0， ∴m＝±1. 第4节 返回目录 考点梳理 一元二次方程根与系数的关系 1. 已知x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根，则x1＋x2 ＝ 　－ 　，x1·x2＝ 　 　. － 　 　 2. 使用一元二次方程根与系数的关系的前提条件 （1）要先将一元二次方程化为一般形式； （2）确定方程的解存在，即满足 ⁠. b2－4ac≥0　 第4节 返回目录 考点梳理 提醒 和根与系数的关系有关的变形 （1） ＋ ＝（x1＋x2）2－2x1x2； （2） ＋ ＝ ； （3）x1 ＋ x2＝x1x2（x1＋x2）； （4） ＋ ＝ ＝ ； （5）（x1－x2）2＝（x1＋x2）2－4x1x2； （6）｜x1－x2｜＝ ； （7） ＋ ＝ . 第4节 返回目录 考点梳理 1. 已知方程2x2－6x＋1＝0的两根分别是x1，x2，则x1＋x2＝ ，x1·x2 ＝ ⁠. 3　 　 2. 设方程2x2－mx－4＝0的两个根分别为x1，x2，且满足 ＋ ＝2，则m 的值为 ⁠. －8　 第4节 返回目录 考点梳理 一元二次方程的实际应用 类型 基本关系式 平均变化 率问题 a为起始量，b为终止量，n为增长（或降低）的次数. 平均增长率公式：a（1＋x）n＝b（x为平均增长率）； 平均降低率公式：a（1－x）n＝b（x为平均降低率） 销售利 润问题 （原销售价±变化量）×（原销售量±变化量）＝销售额； （售价－成本价）×销售量＝总利润 第4节 返回目录 考点梳理 类型 基本关系式 图形面 积问题 S阴影＝　　 ⁠⁠ S阴影＝　　 ⁠ ⁠ S阴影＝　　 ⁠ （a－2x）（b －2x） （a－x）（b－ x） x· 第4节 返回目录 考点梳理 1. 某公司前年盈利1 500万元，如果该公司今年与去年盈利的年平均增长率 相同，那么今年可盈利2 160万元. （1）求今年与去年盈利的年平均增长率； 解析：（1）设今年与去年盈利的年平均增长率为x，则 1 500（1＋x）2＝2 160. 解得x1＝0.2＝20％，x2＝－2.2（不合题意，舍去） 答：今年与去年盈利的年平均增长率为20％. 第4节 返回目录 考点梳理 （2）若该公司盈利的年平均增长率继续保持不变，则预计明年可盈利多少 万元？ 解析：（2）根据题意，得2 160×（1＋20％）＝2 592（万元）. 答：预计明年可盈利2 592万元. 第4节 返回目录 考点梳理 2. 如图，在长为32 m、宽为20 m的长方形地面上修筑同样宽的道路 （图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540 m2，求道路的宽. 解析：题图经过平移可转化为下图. 设道路的宽为x m， 根据题意，得（20－x）（32－x）＝540. 整理，得x2－52x＋100＝0. 解得x1＝50（不合题意，舍去），x2＝2. 答：道路的宽为2 m. 第4节 返回目录 考点梳理 3. 茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克240元，按每千克400元出 售，平均每周可售出200 kg，后来经过市场调查发现，单价每降低10元，则 平均每周的销售量可增加40 kg.若该专卖店销售这种品牌茶叶想平均每周获 利41 600元，请回答： （1）每千克茶叶应降价多少元？ 解析：（1）设每千克茶叶降价x元，则平均每周可售出（200＋ ）kg. 依题意，得（400－240－x）（200＋ ）＝41 600. 整理，得x2－110x＋2 400＝0. 解得x1＝30，x2＝80. 答：每千克茶叶应降价30元或80元. 第4节 返回目录 考点梳理 （2）在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该 专卖店应按原售价的几折销售这种品牌茶叶？ 解析：（2）为尽可能让利于顾客，故每千克茶叶应降价80元. ×10＝8. 答：该专卖店应按原售价的八折销售这种品牌茶叶. 第4节 返回目录 考点梳理 考点精研 2 一元二次方程根的意义 1. 若关于x的一元二次方程（k－2）x2＋x＋k2－4＝0有一个根是0，则k 的值是（　A　） A. －2 B. 2 C. 0 D. －2或2 A 2. （2023镇江）若x＝1是关于x的一元二次方程x2＋mx－6＝0的一个根， 则m＝ ⁠. 5　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 第4节 返回目录 考点精研 3. 若关于x的一元二次方程mx2－nx－1＝0（m≠0）的一个解是x＝1，则 m－n的值是 ⁠. 1　 4. 已知a是一元二次方程2x2－3x－5＝0的根，则代数式2a－ 的值 为 ⁠. 3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 第4节 返回目录 考点精研 解一元二次方程 5. 一元二次方程x（x＋1）＝3（x＋1）的解是（　C　） A. x＝－1 B. x＝3 C. x1＝－1，x2＝3 D. 无实数解 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 第4节 返回目录 考点精研 6. 用配方法将方程2x2－4x－3＝0变形，结果正确的是（　B　） A. 2（x－1）2－4＝0 B. （x－1）2－ ＝0 C. 2（x－1）2－ ＝0 D. （x－1）2－5＝0 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 第4节 返回目录 考点精研 7. 方程x（x－1）＝x的解为 ⁠. x1＝0，x2＝2　 8. 解方程： （1）（2024无锡）（x－2）2－4＝0； 解析：（1）（x－2）2－4＝0，（x－2）2＝4， x－2＝2或x－2＝－2， 解得x1＝4，x2＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 第4节 返回目录 考点精研 （2）（2023无锡）2x2＋x－2＝0. 解析：∵a＝2，b＝1，c＝－2， ∴b2－4ac＝12－4×2×（－2）＝17， ∴x＝ ＝ ， ∴x1＝ ，x2＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 第4节 返回目录 考点精研 一元二次方程根的判别式 9. （2024宿迁）规定：对于任意实数a，b，c，有【a，b】★c＝ac＋ b，其中等式右边是通常的乘法和加法运算，如【2，3】★1＝2×1＋3＝5. 若关于x的方程【x，x＋1】★（mx）＝0有两个不相等的实数根，则m的 取值范围为（　D　） A. m＜ B. m＞ C. m＞ 且m≠0 D. m＜ 且m≠0 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 第4节 返回目录 考点精研 10. （2024南通）已知关于x的一元二次方程x2－2x＋k＝0有两个不相等 的实数根.请写出一个满足题意的k的值： ⁠. 0（答案不唯一）　 11. （2024镇江）若关于x的一元二次方程x2＋6x＋m＝0有两个相等的实 数根，则m＝ ⁠. 9　 12. （2024连云港）关于x的一元二次方程x2－x＋c＝0有两个相等的实数 根，则c的值为 ⁠. 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 第4节 返回目录 考点精研 13. 已知关于x的方程x2－（k＋1）x＋2k－2＝0. 重难点拨 （1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根； 解析：（1）证明：∵Δ＝[－（k＋1）]2－4×（2k－2）＝k2－6k＋9＝（k－3） 2≥0， ∴无论k取何值，此方程总有实数根. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 第4节 返回目录 考点精研 （2）若等腰三角形的三边长a，b，c中，a＝3，b，c恰好是这个方程的 两个根，求k的值. 解析：（2）解方程x2－（k＋1）x＋2k－2＝0， 得x＝ ， ∴x1＝k－1，x2＝2. 结合已知，得k－1＝2或k－1＝3， ∴k＝3或4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 第4节 返回目录 考点精研 一元二次方程根与系数的关系 14. （2023泰州）关于x的一元二次方程x2＋2x－1＝0的两根之和为 ⁠. － 2 15. 设x1，x2是关于x的方程x2＋3x－m＝0的两个根，且2x1＝x2，则m ＝ ⁠. －2　 16. 若方程x2－2x－2 027＝0的两根分别为x1，x2，则 －4x1－2x2的值 为 ⁠. 2 023　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 第4节 返回目录 考点精研 17. 已知关于x的方程x2＋（k＋3）x＋ ＝0有两个不相等的实数根. （1）求k的取值范围； 解析：（1）∵关于x的方程x2＋（k＋3）x＋ ＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝（k＋3）2－4×1× ＝6k＋9＞0，解得k＞－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 第4节 返回目录 考点精研 （2）若方程的两根分别为x1，x2，那么是否存在实数k，使得等式 ＋ ＝－1成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由. 解析：（2）∵方程x2＋（k＋3）x＋ ＝0的两根分别为x1，x2，∴x1＋x2＝－k－ 3，x1x2＝ . ∵ ＋ ＝－1，∴ ＝ ＝－1， ∴ ＝0， ∴k2－4k－12＝0，解得k1＝－2，k2＝6. ∵k＞－ ，∴k＝6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 第4节 返回目录 考点精研 一元二次方程的实际应用 18. （2023无锡）2020年～2022年无锡居民人均可支配收入由5.76万元增长 至6.58万元，设人均可支配收入的年平均增长率为x，下列方程正确的是 （　A　） A. 5.76（1＋x）2＝6.58 B. 5.76（1＋x2）＝6.58 C. 5.76（1＋2x）＝6.58 D. 5.76x2＝6.58 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 第4节 返回目录 考点精研 19. （2023淮安）为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园 ABCD（如图），生态园一面靠墙（墙足够长），另外三面用18 m的篱笆围 成.生态园的面积能否为40 m2？如果能，请求出AB的长；如果不能，请说 明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 第4节 返回目录 考点精研 解析：生态园的面积能为40 m2.理由如下： ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，AD＝BC， 设AB的长度为x m，则BC的长度为 m， 由题意，得x· ＝40， 整理，得x2－18x＋80＝0，解得x1＝10，x2＝8， ∴生态园的面积能为40 m2，AB的长为10 m或8 m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 第4节 返回目录 考点精研 20. 平安路上，多“盔”有你，在“交通安全宣传月”期间， 某商店销售一批头盔，进价为每顶80元，售价为每顶120元，平均每周可售 出200顶.商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于108元，经调查发现， 每降价1元，平均每周可多售出20顶. （1）该商店若希望平均每周获利12 000元，则每顶头盔应降价多少元？ 解析：（1）设每顶头盔降价a元，则平均每周可售出（20a＋200）顶. 由题意，得（120－a－80）（20a＋200）＝12 000. 解得a＝10或a＝20. 当a＝10时，120－a＝120－10＝110＞108，不符合题意，舍去； 当a＝20时，120－a＝120－20＝100＜108，符合题意. 答：每顶头盔应降价20元. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 第4节 返回目录 考点精研 （2）当每顶头盔的售价为多少元时，商店每周获得最大利润？最大利润是 多少？ 解析：（2）设商店每周获得的利润为w元，每顶头盔的售价为x元，则平均每周可 售出[20（120－x）＋200]顶，且80≤x≤108， 由题意，得w＝[20（120－x）＋200]（x－80）， 整理，得w＝－20（x－105）2＋12 500， 由二次函数的性质可知，在80≤x≤108内，当x＝105时，w取最大值，为12 500. 答：当每顶头盔的售价为105元时，商店每周获得最大利润，最大利润是12 500元. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 第4节 返回目录 考点精研 $$