4.1 等式与方程（第1课时 等式)（教学课件）-2024-2025学年七年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（苏科版2024）

苏科版（2024） 七年级数学上册 第四章 一元一次方程 4.1 等式与方程 第一课时 等式 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.能从实际问题中抽象出相等关系，理解等式的概念 2.理解等式的基本性质，并能利用性质将等式变形 情景导入 在现实世界的许多问题中，通常有已知的量和未知的量，这些数量之间常常有相等的关系。 新知探究 例如： 你还能举出生活中这样的例子吗？ 1. 天平左边托盘中有2袋食盐，每袋x克，右边托盘中有3袋白糖，每袋y 克，天平平衡表示 ：2x=3y 2. 长方形的长和宽分别为x,y,面积为S，则：S=xy 3. 购买12支铅笔和3本笔记本共花费58元，铅笔每支a元，笔记 本每本b元，则：12a+3b=58 概念归纳 像2x=3y，S=xy，12a+3b=58这样，表示相等关系的式子叫作等式. 课本例题 例1 根据下列情境中的等量关系列出一个等式: (1)某高铁列车以v km/h的平均速度行驶0.5h, 行驶的路程为150km; (2) 如图,一个正方形纸片被分割成四部分； (3)按盐和水的质量之比为1:10的配比，把xg盐配成550g的盐水. b a a b 解：(1)等量关系:速度×时间＝路程， 用等式表示为0.5v=150 解：(2) 等量关系:正方形纸片的面积等于四部分面积之和， 用等式表示为（a+b)2=a2+b2+2ab (3) 等量关系:盐的质量+水的质量=盐水的质量， 用等式表示为x+10x=550 活 动 (1)如图4-2(1)，天平平衡.对天平两边进行如图4-2(2)所示的操作，可以在保持天平平衡的状态下称出一个小球的质量 .请写出每一步操作对应的等式，并解释对应等式的实际意义，你能否说出等式是如何变形的? 你能说明变形的合理性吗? 2x=4 x=2 +1=5 4-2(1) 4-2(2) (2) 如图4-3，仿照上述过程设计天平操作过程， 求出小球的质量y，写出每一步操作对应的等式，并解释等式的变形过程 . y=3 两边同时除以2 3y=y+6 两边同时减去y 2y=6 根据上面的活动,我们发现: 等式的基本性质 1.等式两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得结果仍然是等式. 2.等式两边都乘（或除以）同一个数（除数不能为0），所得结果仍然是等式. 用字母可以表示为： 如果 = , 那么 如果 = , 那么 = 如果 = , 且 , 那么 例2 利用等式的基本性质，将下面的等式变形为x=c（c为常数）的形式： （1）x+5=2； （2）-2x=4； （3）6x=x+5 解：（1）根据等式的基本性质1，在等式的两边都减去5，得x=-3； （2）根据等式的基本性质2，在等式的两边都除以-2，得x=-2； （3）根据等式的基本性质1，在等式的两边都减去x，得5x=5， 再根据等式的基本性质2，在等式的两边都除以5，得x=1 课堂练习 1.根据下列情境中的等量关系列出一个等式： （1）比a的一半多2的数是5 （2）从一根长20m的长绳上剪下2段长都为x m的短绳，还剩6 m （3）按图示的方式搭正方形，搭n个正方形恰好用了100根火柴棒 20--=6 1+3=100 2.利用等式的基本性质，将下面的等式变形为x=c（c为常数）的形式：（1）x+2=-6； （2）； （3）x-5=-2； （4）2x+1=5 解：（1）根据等式的性质1，在等式的两边都减去2得x=-8 （2）根据等式的性质2，在等式的两边都乘以2得x=6 （3）根据等式的性质1，在等式的两边都加5得x=3 （4）根据等式的性质1，在等式的两边都减去1得2x=4， 根据等式的性质2，在等式的两边都除以2得x=2 分层练习-基础 1. 下列各式中，是等式的是(　 　) A. 2 x ＋5 B. 8＋ x ＞12 C. 3＋6.5＝9.5 D. x ≠－4 C 2. 若 x ＋5＝8，则3 x ＋15＝(　 　) A. 15 B. 16 C. 23 D. 24 D 3. 如果 a ＝ b ，则下列等式不一定成立的是(　C　) A. a － c ＝ b － c B. a ＋ c ＝ b ＋ c C. ＝ D. ac ＝ bc C 4. [2024 盐城亭湖区校级月考]下列等式变形中，正确的是(　D　) A. 若3 x －2＝5，则3 x ＝－7 B. 若－8 x ＝4，则 x ＝－2 C. 若－ x ＝2，则2 x ＝6 D. 若5 x ＋2＝－6，则5 x ＝－8 D 5. [2024 南京鼓楼区月考]列等式表示“比 a 的3倍大5的数等 于 a 的4倍”为 ⁠. 3 a ＋5＝4 a 　 6. (1)一辆客车和一辆卡车同时从 A 地出发沿同一公路同向 行驶，客车的行驶速度是70 km/h，卡车的行驶速度是60 km/h，客车经过 x 小时到达 B 地，卡车比客车晚到1 h.根 据题意列出关于 x 的等式为 ⁠. 70 x ＝60( x ＋1)　 (2)[2024杭州期末]在地球表面以下，每下降1 km温度就上 升约10 ℃.假设地表温度是12 ℃，某矿井的温度是18 ℃，设该矿井在地表以下约为 x 千米处，则可列等式 为 ⁠. (3)某校组织学生研学旅行，租用同型号客车4辆，还剩30 人没有座位；租用5辆，还空10个座位.设该客车的载 客量为 x 人，则可列等式为 ⁠. 10 x ＋12＝18　 4 x ＋30＝5 x －10　 7. [2024 常州金坛区月考]如果5 x ＋3＝－7，那么5 x ＝－7 ＋ ⁠. (－3)　 8. [2024 重庆渝中区期末]如果 a ＝ b ，那么 ＝ 成立 时， c 应满足的条件是 ⁠. c ≠1　 9. 【母 题教材P110练习T2】利用等式的基本性质，将下列 等式变形为 x ＝ c ( c 为常数)的形式： (1) x ＋3＝－2；　　　　　　　　　　　　　　 解：两边同时减去3， 得 x ＝－5. (2)3 x ＝15； 解：两边同时除以3， 得 x ＝5. (3)3－3 x ＝9； 解：两边同时减去3， 得－3 x ＝6， 两边同时除以－3， 得 x ＝－2. (4) x ＝－2； 解：两边同时除以 ， 得 x ＝－4. (5)－6 x ＋3＝0； 解：两边同时减去3， 得－6 x ＝－3， 两边同时除以－6， 得 x ＝ . 　 (6)1－ x ＝ . 解：两边同时减去1， 得－ x ＝－ ， 两边同时乘以－ ， 得 x ＝ . 分层练习-巩固 10. 【新考向·数学文化】我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗，今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”大意是：现有一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清酒，醑酒各几斗？如果设清酒 x 斗，那么可列等式为(　A　) A A. 10 x ＋3(5－ x )＝30 B. 3 x ＋10(5－ x )＝30 C. ＋ ＝5 D. ＋ ＝5 11. [2024 仪征期末]规定：能使等式 ＋ ＝ 成立的一 对数( m ， n )为“友好数对”.例如当 m ＝2， n ＝－8时 能使等式成立，则(2，－8)是“友好数对”.若( a ，5)是 “友好数对”，则 a 的值为(　B　) A. B. － C. D. － B 12. 已知3 m ＋7 n ＝4 n －9，利用等式的基本性质可求得 m ＋ n 的值，继而求得( m ＋ n )3的值是 ⁠. －27　 13. [2024 张家港期末]若 a ＋9＝ b ＋8＝ c ＋7，则( a － b )2＋ ( b － c )2－( c － a )2＝ ⁠. －2　 14. [2024 南京浦口区校级月考]已知等式6 x －5＝5 x －5，李明同学是这样解的： 等式两边都加5，得6 x ＝5 x ， 等式两边都除以 x ，得6＝5. 李明同学的解题过程是否正确？若正确，指出每一步的理由；如果不正确，错在哪里并改正. 解：李明同学的解题过程中的第一步是正确的，运用了等式的基本性质1；第二步是错误的，因为此时不能确定 x 的值是否为0，所以等式的两边同时除以 x ，不符合等式的基本性质2. 第二步应改为：等式的两边都减去5 x ，得6 x －5 x ＝0， 即 x ＝0. 分层练习-拓展 15. 【新视角·新定义题】观察下列两个等式：1－ ＝2×1× －1，2－ ＝2×2× －1.给出定义如下：我们称使等 式 a － b ＝2 ab －1成立的一对有理数 a ， b 为“同心有理 数对”，记为( a ， b ).如：数对 ， 都是 “同心有理数对”. (1)数对(－2，1)， 是“同心有理数对”的 是 ⁠； 　 点拨：因为－2－1＝－3，2×(－2)×1－1＝－5， －3≠－5， 所以数对(－2，1)不是“同心有理数对”； 因为3－ ＝ ，2×3× －1＝ ， 所以3－ ＝2×3× －1. 所以数对 是“同心有理数对”. 所以数对(－2，1)， 是“同心有理数对”的是 . (2)若( a ，3)是“同心有理数对”，求 a 的值； 解：(2)因为( a ，3)是“同心有理数对”，所以 a －3 ＝2×3× a －1.所以 a ＝－ . (3)若( m ， n )是“同心有理数对”，则(－ n ，－ m ) “同心有理数对”(填“是”或“不是”)， 请说明理由. 是　 解：(3)是 理由如下：因为( m ， n )是“同心有理数对”， 所以 m － n ＝2 mn －1. 因为－ n －(－ m )＝－ n ＋ m ＝ m － n ，2×(－ n )×(－ m )－1＝2 mn －1， 所以－ n －(－ m )＝2×(－ n )×(－ m )－1. 所以(－ n ，－ m )是“同心有理数对”. 课堂小结 1.等式的定义：表示相等关系的式子叫作等式. 2.等式的基本性质： （1）等式两边都加上(或减去)同一个数或整式，所得结果仍是等式； （2）等式两边都乘(或除以)同一个数(除数不能为0),所得结果仍是等式. $$