平面向量的线性运算及基本定理专题练-2025届高考数学一轮复习

平面向量的线性运算及基本定理 一、单选题 1．在中，，若，线段与交于点，则（    ） A． B． C． D． 2．已知在中，点在边上，且，则（    ） A． B． C． D． 3．已知向量满足，则（    ） A． B． C．0 D．1 4．正方形的边长是2，是的中点，则（    ） A． B．3 C． D．5 5．已知向量，则（    ） A． B． C． D． 6．已知向量，向量，则与的夹角大小为（    ） A． B． C． D． 7．已知为的边的中点.若，，则（    ） A． B． C． D． 8．点在的内部，且满足：，则的面积与的面积之比是（    ） A． B．3 C． D．2 二、多选题 9．已知为坐标原点，点，，，，则（    ） A． B． C． D． 10．在中，点D满足，当点E在线段AD上移动时，记，则（    ） A． B． C．的最小值为2 D．的最小值为 11．已知在中，为边上的一点，且满足，若为线段上的一点，且满足，则下列结论正确的是（    ） A． B．的最大值为 C． D．的最小值为 12．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为，且．以下命题正确的有（    ） A．若，则为的重心 B．若为的内心，则 C．若为的外心，则 D．若为的垂心，，则 三、填空题 13．如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是 . 14．在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点， ，则 ；为线段上的动点，为中点，则的最小值为 ． 15．在中，为边上的中线，为上一点，且，若，且（），则 ． 16．在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点，，，则 ；为线段BC上的中点，则的值为 ．    四、解答题 17．已知O是线段外一点，若，． （1）设点、是线段的三等分点，、及的重心依次为、、，试用向量、表示； （2）如果在线段上有若干个等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论． 18．如图，A，B是单位圆（圆心为O）上两动点，C是劣弧（含端点）上的动点．记（，均为实数）．    (1)若O到弦AB的距离是，求的取值范围； (2)若，向量和向量的夹角为，求的最小值． 19．如图，已知正方形ABCD的边长为2，过中心O的直线l与两边AB，CD分别交于点M，N． (1)若Q是BC的中点，求的取值范围； (2)若P是平面上一点，且满足，求的最小值． 参考答案： 1．B 如下图所示：    由可得分别为的中点， 由中线性质可得， 又，所以， 因此. 2．A 在中，，又点在边上，且， 则，    3．B 向量满足， 所以. 4．B 方法一：以为基底向量，可知， 则， 所以； 方法二：如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系， 则，可得， 所以； 方法三：由题意可得：， 在中，由余弦定理可得， 所以. 5．B 因为，所以， 则，， 所以. 6．D 向量，，则，而， 所以，的夹角为. 7．B 由， 所以. 8．C    因为， 所以，即， 取中点为点， 则，即， 所以在中线上，且 过，分别作边上的高，垂足为， 则， 所以，， 所以， 所以， 9．AC A：，，所以，，故，正确； B：，，所以，同理，故不一定相等，错误； C：由题意得：，，正确； D：由题意得：， ，故一般来说故错误； 10．BD 由得，又点E在线段AD上移动，，，故A错误，B正确；，当时，有最小值，故C错误，D正确. 11．BD ，∴，又∵三点共线，∴，AC均错； ∵，所以，即，当且仅当即时等号成立，B正确； 由基本不等式得，当且仅当时等号成立，D正确． 12．ABD 对于A，若，由，知，故为的重心，A正确； 对于B，若为的内心，设的内切圆半径为，由，知，故，B正确； 对于C，若为的外心，设的外接圆半径为，则 ，C错误； 对于D，若为的垂心，由， 故， 从而，而和都是正数且相加小于，故在内部，所以是锐角三角形. 由在内部，知， 与刚才同理，可由得到. 由不共线，知是一组基底， 故，，从而. 设到对边的投影分别是，的面积为，且我们约定分别简记为角， 由于，， 故相似于，从而， 故可得到， 从而，同理，. 由于，，， 故， 设，，，其中， 则，解得，故. 而， 故，D正确. 13．. 如图，过点D作DF//CE，交AB于点F，由BE=2EA，D为BC中点，知BF=FE=EA,AO=OD. ， 得即故. 14． 解法一：因为，即，则， 可得，所以； 由题意可知：， 因为为线段上的动点，设， 则， 又因为为中点，则， 可得 ， 又因为，可知：当时，取到最小值； 解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示， 则， 可得， 因为，则，所以； 因为点在线段上，设， 且为中点，则， 可得， 则， 且，所以当时，取到最小值为； 故答案为：；. 15． 如图所示， 由为边的中点，得到，而， 因此， 所以， 因为，得， 因为，设（），所以， 所以，即． 因为与不共线，所以，得，故． 故答案为：. 16． ； ． 由题意可知， ， ，，； 则， 故 故答案为：；． 17．（1）；（2）答案见解析. （1）如图： 因为点、是线段的三等分点，所以，同理可得：，； （2）层次1： 设是的二等分点，则；； 设、、是的四等分点，则； 设是的n等分点，则． 层次2：设是的n等分点， ； 层次3：设是的n等分点， 则； 证明如下： ． 18．(1) (2) （1）由题意知O到弦AB的距离是，则， 故，且， 记劣弧的中点为D，    则， ， 两式相加得， 故， 由于，故， 即的取值范围为； （2）设， 由可得， 即，结合可得， 故， 而， 由于向量和向量的夹角为， 故 ， 令，则在上单调递增， 则， 即得最小值为. 19．(1)； (2)． （1）因为直线l过中心O且与两边AB、CD分别交于点M、N． 所以O为MN的中点，所以， 所以． 因为Q是BC的中点，所以，， 所以， 即的取值范围为； （2）令，则 ， ∴，即： ∴ ∴点T 在BC上， 又因为O为MN的中点， 所以，从而，， 因为， 所以， 即的最小值为． 学科网（北京）股份有限公司 $$