专题01相似三角形的五种常见模型（五种技巧精讲精练+过关检测）-2024-2025学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（北师大版）

专题01相似三角形的五种常见模型（五种技巧精讲精练+过关检测） 题型01平行线型 【典例分析】 【例1-1】．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，E为上一点，连接，且交于点F，， 则为（    ） A． B． C． D． 【例1-2】（24-25九年级上·上海嘉定·阶段练习）如图，已知，和相交于，若，则 ． 【例1-3】（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，已知点D在的边上，交于点E，，点F在上，连接． (1)求证：； (2)若，求证：． 【变式演练】 【变式1-1】（24-25九年级上·河南开封·期中）如图，已知，，若的长度为10，则的长度为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1-2】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，分别是的边上的点，，若，则的值等于 ． 【变式1-3】（24-25九年级上·陕西榆林·期中）如图，为的对角线，F是上一点，交于点E，的延长线交的延长线于点G、若，，求的长． 题型02相交线型 【典例分析】 【例2-1】（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，D，E分别是的边，上的点，，，，且，则的长（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【例2-2】（22-23九年级上·河南漯河·期末）如图，在中，，，点D为中点，点E在上，当为 时，与以点A、D、E为顶点的三角形相似． 【例2-3】（2023九年级·全国·专题练习）如图，中，M为边的中点，E为上一点，且，连接并延长交的延长线于D，求证：． 【变式演练】 【变式2-1】（22-23九年级上·浙江台州·期末）如图，点分别在的边上，已知，则的长是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2-2】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，中，，，，为的中点，若动点以的速度从点出发，沿着→→的方向运动，设点的运动时间为秒（），连接，当是直角三角形时，的值为 ． 【变式2-3】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，，，．    (1)求证：； (2)求的长． 题型03母子型 【典例分析】 【例3-1】（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在矩形中，，．对角线相交于点，点是上的动点，是的中点，连接，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例3-2】（24-25九年级上·四川巴中·阶段练习）如图，，，则的长为 ． 【例3-3】（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，点在边上，点在边上，． (1)求证：． (2)已知，，， ①求的长度； ②若，求的长． 【变式演练】 【变式3-1】（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）如 图，D是的边上一点，已知，，若的面积为a， 则的面积为 （        ） A．a B． C． D． 【变式3-2】．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，，D是的中点，，，，则的值为 ． 【变式3-3】（24-25九年级上·上海金山·阶段练习）已知：如图，在中，点M、N分别在边上，点P是上一点，且． (1)求证：； (2)求证：． 题型04旋转（手拉手）型相似 【典例分析】 【例4-1】（23-24九年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，，D在边上，，，若的面积等于6，则的面积为（    ）    A． B．3 C． D．6 【例4-2】（24-25九年级上·重庆北碚·期中）如图，为斜边上的中线，过点D作的垂线交于点E，过点B作的垂线交的延长线于点，则 【例4-3】（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）如图，平行四边形，交于F，交的延长线于E，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式演练】 【变式4-1】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，点是等边的边上的一点；下面四个条件不能判定是（   ） A． B． C．， D． 【变式4-2】（24-25九年级上·陕西榆林·期中）如图，，，，，则的长为 【变式4-3】（24-25九年级上·上海金山·阶段练习）已知，，点、分别在边、上，，． (1)求的长； (2)求证：． 题型05一线三等角型相似 【典例分析】 【例5-1】（24-25九年级上·河南开封·期中）如图所示，在边长为6的正方形中，E为上的点，F为的中点，过点F作交于点H，点M，N分别是和的中点，若，则的长为（   ）      A． B． C．2 D．5 【例5-2】（22-23九年级上·宁夏银川·期中）如图，矩形中，，，为边上的动点，当与相似时， ． 【例5-3】（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如图，，点是线段上的一点，且．    (1)求证：． (2)若，求的长． 【变式演练】 【变式5-1】（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，在正方形中，为中点，，连接，那么下列结论中： 与相似； 与相似； 与相似： 与相似； ；其中错误的有（        ）个． A．个 B．个 C．个 D．个 【变式5-2】（24-25九年级上·重庆巴南·阶段练习）如图，矩形中，点E为边中点，连接，过点E作交于点F，连接，若，，则的长为 ．    【变式5-3】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在正方形中，E、F分别是边、CD上的点，， ，连接并延长交的延长线于点G． (1)求证：； (2)若正方形的边长为4，求的长． 一、单选题 1．（23-24九年级上·福建福州·期末）如图，是的边上一点，已知，．，若的面积为，则的面积为（  ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）如图所示，已知，，则（   ） A． B． C． D． 3．（22-23九年级上·上海嘉定·期中）如图，在中，点在边上，且，过点作交的延长线于点，那么图中相似三角形共有（   ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 二、填空题 4．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，在中，点、分别在边，上，，，，则的长为 ． 5．（24-25九年级上·重庆渝中·阶段练习）如图，和均为直角三角形，点为中点，若，则的长为 . 6．（24-25九年级上·上海徐汇·阶段练习）已知，如图，，，，，则 ． 三、解答题 7．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，平分，D为上一点，．若D为中点，，求的长． 8．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，点分别在边上，连接．已知四边形是平行四边形，． (1)若，求线段的长； (2)若的面积为2，求平行四边形的面积． 9．（22-23九年级上·上海嘉定·阶段练习）如图，在中，是上一点，，边上的中线交于点，如果，，求的值． 10．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）如图， 已知正方形 的边长为4， 点 M， N分别是 ， 上的两个动点，当M点在上运动时，保持和垂直． (1)求证：； (2)当M为中点时， 求的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01相似三角形的五种常见模型（五种技巧精讲精练+过关检测） 题型01平行线型 【典例分析】 【例1-1】．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，E为上一点，连接，且交于点F，， 则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，关键是利用相似三角形的判定与性质；由平行四边形的性质得，从而易得，利用相似三角形面积的比等于相似比的平方，求得相似比，进而求得结果． 【详解】解：∵在中，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 即； 故选：A． 【例1-2】（24-25九年级上·上海嘉定·阶段练习）如图，已知，和相交于，若，则 ． 【答案】 【分析】根据，即可求得，根据三角形面积计算公式和相似三角形对应边比值相等的性质可以求得，即可求得，即可解题．本题考查了相似三角形的判定，三角形面积的计算公式，相似三角形对应边比值相等的性质，本题中求得是解题的关键． 【详解】解：， ∴，， ，， ， ， ∴， ， ． 故答案为：． 【例1-3】（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，已知点D在的边上，交于点E，，点F在上，连接． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据，可得，从而得到，即可证明结论； （2）根据，可得，又由从而得到．又由即可证明． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴． 又∵， ∴． 【变式演练】 【变式1-1】（24-25九年级上·河南开封·期中）如图，已知，，若的长度为10，则的长度为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质等知识点，由，可得，可得，再由和的长度为10即可得解，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决此题的关键． 【详解】∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵的长度为10， ∴， ∴， 故选：B． 【变式1-2】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，分别是的边上的点，，若，则的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质．证明，根据相似三角形面积比等于相似比的平方得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 【变式1-3】（24-25九年级上·陕西榆林·期中）如图，为的对角线，F是上一点，交于点E，的延长线交的延长线于点G、若，，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质，先由平行四边形的性质得到，，再证明得到，则，进而可得，再证明，得到，据此可得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型02相交线型 【典例分析】 【例2-1】（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，D，E分别是的边，上的点，，，，且，则的长（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由，得出，证明，得出，代入计算即可得解，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【例2-2】（22-23九年级上·河南漯河·期末）如图，在中，，，点D为中点，点E在上，当为 时，与以点A、D、E为顶点的三角形相似． 【答案】3或 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是分或两种情况运用相似三角形的判定定理解题即可． 【详解】解：当时， ∵， ∴， ∴， 当时， ∵， ∴， ∴， 综上，或， 故答案为：3或． 【例2-3】（2023九年级·全国·专题练习）如图，中，M为边的中点，E为上一点，且，连接并延长交的延长线于D，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，找准对边作平行线构造相似三角形是解题的关键．过点作的平行线，根据同位角，内错角，公共角得出，进而得出，由为中点，得出，然后由对顶角得出，得出对应边，由于，，得出，根据得出即可得出结论． 【详解】证明：过点作，交于点， ∴， 又∵为公共角， ∴， ∴， ∵点为边的中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，即, ∵， ∴，即， 又∵， ∴． 【变式演练】 【变式2-1】（22-23九年级上·浙江台州·期末）如图，点分别在的边上，已知，则的长是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．根据题意得到，即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 故选B． 【变式2-2】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，中，，，，为的中点，若动点以的速度从点出发，沿着→→的方向运动，设点的运动时间为秒（），连接，当是直角三角形时，的值为 ． 【答案】或 【分析】先求出的长，再分①时，是的中位线，然后求出的长度，再分点在上和在上两种情况列出方程求解即可；②时，利用相似三角形的判定及性质求出，然后分点在上和在上两种情况列出方程求解即可． 【详解】解：∵为的中点， ∴， ∵，，， ∴， ①时， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴是的中位线， ∴（）， ∴点在→上时，（）， 点在→上时，点运动的路程为（）， ∴（舍去）； ②时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴即 ∴（）， 点在→上时，（）， 点在→上时，点运动的路程为（）， （舍去）， 综上所述，的值为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，勾股定理，平行线分线段成比例，三角形的中位线定理，难点在于分情况讨论． 【变式2-3】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，，，．    (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）根据两角对应相等的两个三角形相似即可求证； （）根据相似三角形的性质解答即可求解； 本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，， ∴； （2）解：∵， ∴， 即， 解得． 题型03母子型 【典例分析】 【例3-1】（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在矩形中，，．对角线相交于点，点是上的动点，是的中点，连接，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，垂线段最短，相似三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键． 由矩形的性质可得，，，进而由勾股定理可得，根据垂线段最短可知当，即时，的值最小，由可得，据此即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵是的中点， ∴， 当，即时，的值最小， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得， 故选：． 【例3-2】（24-25九年级上·四川巴中·阶段练习）如图，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边对等角，相似三角形的判定与性质．熟练掌握等边对等角，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 由等边对等角可得，，，证明，则，即，可求，根据求解作答即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， 故答案为：． 【例3-3】（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，点在边上，点在边上，． (1)求证：． (2)已知，，， ①求的长度； ②若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①，② 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质’、勾股定理、含的直角三角形的性质等知识． （1）是公共角，又由已知即可证明结论； （2）①由相似三角形的性质可得，由此可得出BE的长度，再由等角对等边可得结论；②过点B作于点H，则，由，，得到,由勾股定理求出，，即可求出的长． 【详解】（1）证明：∵，， ∴； （2）解：①∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ②过点B作于点H，则， ∵，， ∴，, ∴，， ∴ 【变式演练】 【变式3-1】（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）如 图，D是的边上一点，已知，，若的面积为a， 则的面积为 （        ） A．a B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键． 先得到，然后根据相似三角形的性质得出，再根据计算即可得． 【详解】解：在和中， 故选：C． 【变式3-2】．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，，D是的中点，，，，则的值为 ． 【答案】9 【分析】此题主要考查了直角三角形斜边上的中线，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，理解直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．证明和相似得，再根据，即可得出的值． 【详解】解：在中，，D是的中点， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：9． 【变式3-3】（24-25九年级上·上海金山·阶段练习）已知：如图，在中，点M、N分别在边上，点P是上一点，且． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，灵活运用相似三角形的判定定理成为解题的关键． （1）由可证得，然后由相似三角形的对应边成比例即可证明结论； （2）由可证得可得，又由可得，则可证得，最后根据相似三角形的对应角相等即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型04旋转（手拉手）型相似 【典例分析】 【例4-1】（23-24九年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，，D在边上，，，若的面积等于6，则的面积为（    ）    A． B．3 C． D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等边对等角，三角形外角的性质，首先根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质，可证得，再根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方进行求解即可． 【详解】解： ， ， ，， ， ． ， 的面积等于6， 的面积为：， 故选：A． 【例4-2】（24-25九年级上·重庆北碚·期中）如图，为斜边上的中线，过点D作的垂线交于点E，过点B作的垂线交的延长线于点，则 【答案】 【分析】根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得出，根据等腰三角形的性质得出，再根据勾股定理求出，，证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵为斜边上的中线， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：． 故答案为：． 【点睛】该题主要考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是证明三角形相似． 【例4-3】（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）如图，平行四边形，交于F，交的延长线于E，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法； （1）根据平行四边形的对角相等可得，再根据等量代换可得，即可证明两三角形相似； （2）根据相似三角形的性质对应边成比例求出的长，根据四边形的对边相等可得，即可求解． 【详解】（1）证明：由四边形为平行四边形可知，， ， ， 又， ． （2）解：由（1）得， ， ∵， ， ∴， 在平行四边形中，． 【变式演练】 【变式4-1】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，点是等边的边上的一点；下面四个条件不能判定是（   ） A． B． C．， D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定方法进行验证即可求解． 【详解】解：已知是等边三角形， ∴， A、， ∴， 在中，， ∴， ∴，且， ∴， ∴原选项能判定两三角形相似，不符合题意； B、， 根据比例的性质可得，，且， ∴根据两边对应成比例，且两边夹角相等，两三角形相似可得， ∴原选项能判定两三角形相似，不符合题意； C、， ∴，，， ∴，或者，或者， ∴原选项能判定两三角形相似，不符合题意； D、， 两边对应成比例，其夹角不确定是否相等，不能判定两三角形相似， ∴原选项不能判定两三角形相似，符合题意； 故选：D ． 【变式4-2】（24-25九年级上·陕西榆林·期中）如图，，，，，则的长为 【答案】9 【分析】该题主要考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键是证明三角形相似． 首先根据相似三角形的判定定理，由证明；再根据相似三角形的对应边成比例可知，然后联系已知条件即可得出的长． 【详解】解：，， ， ， ，， ∴， 解得：． 故答案为：9． 【变式4-3】（24-25九年级上·上海金山·阶段练习）已知，，点、分别在边、上，，． (1)求的长； (2)求证：． 【答案】(1)； (2)见解析． 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，先证明，再利用相似三角形的性质可得结论； （1）先证明，进而可得，再利用相似三角形的对应边成比例计算即可； （2）根据线段长计算可得，进而可证明，由此可得，根据同位角相等两直线平行可得结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）：∵，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型05一线三等角型相似 【典例分析】 【例5-1】（24-25九年级上·河南开封·期中）如图所示，在边长为6的正方形中，E为上的点，F为的中点，过点F作交于点H，点M，N分别是和的中点，若，则的长为（   ）      A． B． C．2 D．5 【答案】B 【分析】根据三角形的中位线定理得，再由正方形的性质得由，得，推导出，进而证明，得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵点M，N分别是和的中点，若， ∴是的中位线， ∴， 四边形是边长为6的正方形，   ，， ∵F为的中点， ∴， ， ， ， ， ， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】此题重点考查正方形的性质，直角三角形的两个锐角互余、相似三角形的判定与性质、三角形的中位线定理等知识，证明是解题的关键． 【例5-2】（22-23九年级上·宁夏银川·期中）如图，矩形中，，，为边上的动点，当与相似时， ． 【答案】1或4或2.5 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，需要分类讨论：和，根据该相似三角形的对应边成比例求得的长度． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴． ①当时， ， 即， 解得：，或； ②当时， ， 即， 解得：． 综上所述，的长度是1或4或2.5． 故答案为：1或4或2.5． 【例5-3】（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如图，，点是线段上的一点，且．    (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)4 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质． （1）根据垂直得到，利用同角的余角相等得到，即可证明； （2）根据相似三角形的性质得到，代入已知线段长度即可求出的长． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得． 【变式演练】 【变式5-1】（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，在正方形中，为中点，，连接，那么下列结论中： 与相似； 与相似； 与相似： 与相似； ；其中错误的有（        ）个． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定，根据正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定逐一判断即可，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：设正方形的边长为，则， ∵为中点，， ∴，，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，，， ∵， ∴为直角三角形，，故正确； ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故正确； ∵， ∴，故正确； ∵， ∴和不相似，故错误； ④正确； ∴正确的有：①②④⑤，错误的有1个， 故选：B． 【变式5-2】（24-25九年级上·重庆巴南·阶段练习）如图，矩形中，点E为边中点，连接，过点E作交于点F，连接，若，，则的长为 ．    【答案】6.5 【分析】本题主要考查矩形的性质，勾股定理以及相似三角形的判定与性质，根据矩形的性质可得，，，证明，求出，得出，在中，由勾股定理可求出的长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵点E为边中点， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵ ∴ 又 ∴， ∴ 又， ∴ ∴ ∴， ∴， 在中，， 故答案为：6.5． 【变式5-3】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在正方形中，E、F分别是边、CD上的点，， ，连接并延长交的延长线于点G． (1)求证：； (2)若正方形的边长为4，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查正方形的性质及相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的判定和性质是解题关键． （1）由正方形的性质可得，，然后根据对应边成比例且夹角相等即可得到结论； （2）通过证明，可得，根据可得、，由勾股定理可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，则 ， ∴； （2）∵四边形为正方形， ∴， ，， ∴， ∴， 又∵，正方形的边长为4， ∴，， ∴，， ∴． 一、单选题 1．（23-24九年级上·福建福州·期末）如图，是的边上一点，已知，．，若的面积为，则的面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键，证明，利用相似三角形的性质即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴的面积的面积为， ∴的面积的面积， ∵的面积为， ∴的面积为， 故选． 2．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）如图所示，已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质．过C作，交于，根据相似三角形的判定推出，，根据相似得出比例式，根据已知条件即可得出答案． 【详解】解：过C作，交于， ∵， ∴， ， ∵，即， ，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 故选：D． 3．（22-23九年级上·上海嘉定·期中）如图，在中，点在边上，且，过点作交的延长线于点，那么图中相似三角形共有（   ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定及性质；掌握相似三角形的判定方法是解题的关键；由平行条件及已知得；由，得；由，可得；由，，得 ，再由相似的传递性质得，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴； ∵，， ∴， 由相似三角形的传递性，得； 故有4对相似三角形． 故选：C． 二、填空题 4．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，在中，点、分别在边，上，，，，则的长为 ． 【答案】10 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 根据平行判定相似，根据相似三角形的性质，结合平行四边形的性质求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：10． 5．（24-25九年级上·重庆渝中·阶段练习）如图，和均为直角三角形，点为中点，若，则的长为 . 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，根据题意可证，由相似三角形的性质可得，根据点为中点，设，则，由此列式求解即可． 【详解】解：根据题意可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点为中点， ∴设，则， ∴，则， ∴（负值舍去）， ∴， 故答案为： ． 6．（24-25九年级上·上海徐汇·阶段练习）已知，如图，，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，先根据两边成比例且夹角相等得出，可得出，进而求出，再说明，然后根据相似三角形的对应边成比例得出答案． 【详解】∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题 7．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，平分，D为上一点，．若D为中点，，求的长． 【答案】2 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定以及性质，由中点的定义可得出，证明，由相似三角形的性质得出，代入即可得出． 【详解】解：∵D为中点， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 8．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，点分别在边上，连接．已知四边形是平行四边形，． (1)若，求线段的长； (2)若的面积为2，求平行四边形的面积． 【答案】(1)1 (2)12 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质和判定，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题关键． （1）证明，根据相似三角形对应边的比相等列式，可解答； （2）根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可得的面积是32，同理可得的面积是18，根据面积差可得答案． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ； （2）解：， ， 的面积为2， 的面积是32， 四边形是平行四边形， ， ， ， 的面积是18， 平行四边形的面积． 9．（22-23九年级上·上海嘉定·阶段练习）如图，在中，是上一点，，边上的中线交于点，如果，，求的值． 【答案】． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是通过相似得到线段的比，通过全等得到相等线段． 过B作交的延长线于点G，得到，则有，进一步推出，再证明，可得，等量代换即可得到线段之比． 【详解】解：如图，过B作交的延长线于点G， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴ 10．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）如图， 已知正方形 的边长为4， 点 M， N分别是 ， 上的两个动点，当M点在上运动时，保持和垂直． (1)求证：； (2)当M为中点时， 求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)的面积为． 【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定： （1）由正方形的性质得出，根据得出，根据直角三角形两锐角互余得出进而得出，从而得出三角形相似； （2）由M为中点时，可得，由相似三角形的性质可得：，可得，，再进一步求解即可． 【详解】（1）证明：在正方形中，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； （2）解：∵正方形 的边长为4， ∴，， ∵M为中点时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$