专题十二　三角函数的应用 课件 2025年中考数学一轮总复习

专题十二　三角函数的应用 1.掌握仰角、俯角、坡度（坡比）、坡角、方位角的概念，熟记锐角三角函数的定义. 2.解题步骤 （1）根据题中条件在图形上标出已知长度和角度，以及待求长度或高度； （2）构造直角三角形：一般需构造两个，它们共直角边.如果题中图形是锐角三角形，一般采用切割法；如果题中图形是钝角三角形，一般采用拼补法； （3）先解一个直角三角形，通过重叠的直角边，将数据转化到第二个直角三角形； （4）解第二个直角三角形，求出题中要求的长度或高度，并作答. 3.常见模型 （1）模型一　“背靠背”型 【模型分析】 ①若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解，其中公共边CD是解题的关键. ②等量关系：CD为公共边， 如图1，AD＋BD＝AB. 图1 【模型变形】 等量关系： 如图2，CE＝DA，CD＝EA，CE＋BD＝AB； 如图3，CD＝EF，CE＝DF，AD＋CE＋BF＝AB. 图2 图3 （2）模型二　“母子”型 【模型分析】 ①若三角形中有已知角，通过在三角形外作高BC，构造有公共直角的两个三角形求解，其中公共边BC是解题的关键. ②等量关系：BC为公共边， 如图1，AD＋DC＝AC； 如图2，DC－BC＝DB. 图1 图2 【模型变形1】 如图3，DF＝EC，DE＝FC，BF＋DE＝BC，AE＋DF＝AC； 如图4，AF＝CE，AC＝FE，BC＋AF＝BE. 图3 图4 【模型变形2】 如图5，BE＋EC＝BC； 如图6，EC－BC＝BE； 如图7，AC＝FG，AF＝CG，AD＋DC＝FG，BC＋AF＝BG. 图5 图6 图7 【模型变形3】 等量关系： 如图8，BC＝FG，BF＝CG，AC＋BF＝AG，EF＋BC＝EG； 如图9，BC＝FG，BF＝CG，EF＋BC＝EG，BD＋DF＝CG，AC＋BD＋DF＝AG. 图8 图9 （3）模型三　“拥抱”型 【模型分析】 ①分别解两个直角三角形，其中公共边BC是解题的关键. ②等量关系：BC为公共边. 【模型变形】 如图1，BF＋FC＋CE＝BE； 如图2，BC＋CE＝BE； 如图3，AB＝GE，AG＝BE，BC＋CE＝AG，DG＋AB＝DE. 图1 图2 图3 （2024·重庆B卷）如图，A，B，C，D分别是某公园的四个景点，B在A的正东方向，D在A的正北方向，且在C的北偏西60°方向，C在A的北偏东30°方向，且在B的北偏西15°方向，AB＝2千米.（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45） （1）求BC的长度（结果精确到0.1千米）； [答案] 解：（1）如答案图，过点B作BE⊥AC于点E， 由题意，得∠DAB＝90°. ∵∠DAC＝30°，∴∠EAB＝60°， ∴∠EBA＝30°， ∴AE＝AB＝1千米， BE＝AE＝千米. （答案图） ∵C在B的北偏西15°方向， ∴∠EBC＝90°－30°－15°＝45°， ∴△EBC是等腰直角三角形， ∴CE＝BE＝千米， BC＝BE＝×＝≈2.5（千米）. 答：BC的长度约为2.5千米. （答案图） （2）甲、乙两人从景点D出发去景点B，甲选择的路线为：D－C－B，乙选择的路线为：D－A－B.请计算说明谁选择的路线较近？ （2）由（1）知，AE＝1千米，CE＝千米， ∴AC＝AE＋CE＝（1＋）千米. 根据题意，得∠DAC＝30°，∠D＝60°. ∴∠ACD＝90°， ∴DC＝tan∠CAD·AC＝×（1＋）＝（千米）. ∴DA＝2DC＝千米. 甲选择的路线长为DC＋BC＝＋≈4.0（千米）. 乙选择的路线长为DA＋AB＝＋2≈5.2（千米）. ∵4.0＜5.2， ∴甲选择的路线较近. （2024·育才）三月是草长莺飞的好时节，某高校组织学生春游，出发点位于点C处，集合点位于点E处，现有两条路线可以选择：①C→E；②C→A→D→E.已知点B位于点C的正西方，点A位于点B的北偏西30°方向200米处，且位于点C的北偏西53° 方向处.点D位于点A的正西方向100米处，点E位于点C的西南方向，且正好位于点D的正南方向.（参考数据：≈1.414，≈1.732，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80） （1）求点A与点C之间的距离（结果保留整数）； [答案] 解：（1）如答案图，过点A作AH⊥CB，交CB的延长线于点H， 则∠AHB＝90°， 由题意可知，AB＝200米， ∠ABH＝90°－30°＝60°， ∠ACH＝90°－53°＝37°， ∴AH＝AB·sin∠ABH ＝200×＝300（米）， ∴AC＝＝≈500（米）. 答：点A与点C之间的距离约为500米. （答案图） （2）已知路线①的步行速度为40米/分，路线②的步行速度为75米/分，请计算说明：选择哪条路线用时更短？（结果保留一位小数） （2）设CH与DE的交点为M，由题意可知，∠ADM＝∠DMH＝∠AHM＝90°， ∴四边形ADMH是矩形， ∴DM＝AH＝300米， CH＝AC·cos∠ACH≈400（米）， MH＝AD＝100米， 由题意可知，∠MCE＝45°，∠CME＝90°， ∴△CME是等腰直角三角形， ∴CM＝ME＝CH＋MH＝（400＋100）米， ∴CE＝CM＝（400＋200）米， ∴选择路线①步行所用的时间为 ＝10＋5≈19.1（分）， 选择路线②步行所用的时间为 ＝＋16≈19.8（分）. ∵19.1＜19.8， ∴选择路线①用时更短. （2024·南开）五一假期小开和妈妈到武隆天坑寨子体验民俗风情，如图所示，小开和妈妈在入口A处，观景台B在入口A的北偏西37°方向，茶摊C在观景台B的北偏东60°方向，BC＝1500米，花铺D在茶摊C的正东方向，CD＝500米，巧物摊E在花铺D的正南方向，且在入口A的正东方向，AE＝800米.（参考数据：≈1.73，tan37°≈0.75，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80） （1）求AB的长度；（结果精确到个位） [答案] 解：（1）由题意，知∠CDE＝∠AED＝90°， 如答案图，过点B作BF⊥AE，交EA的延长线于点F，过点B作BG⊥DC， 交DC的延长线于点G， 则四边形DEFG是矩形， GF＝DE，DG＝EF. 在Rt△BCG中， （答案图） BC＝1500米，∠CBG＝60°， ∴CG＝BC·sin60°＝1500×＝750（米）， ∴EF＝DG＝CG＋CD＝（750＋500）米， ∴AF＝EF－AE ＝750＋500－800 ＝750－300（米）. （答案图） 在Rt△ABF中，由题意，知∠ABF＝37°， ∴AB＝≈≈1663（米）. 答：AB的长度约为1663米. （答案图） （2）小开和妈妈准备前往茶摊C，有两条路线可选择：①A→B→C；②A→E→D→C.请通过计算说明走哪一条路较近. （2）在Rt△BCG中， BG＝BC·cos∠CBG＝1500×＝750（米）. 在Rt△ABF中，BF＝≈≈1330（米）， ∴DE＝GF＝BG＋BF≈2080（米）. ∴选择路线①A→B→C的路程为： AB＋BC≈1663＋1500＝3163（米）， 选择路线②A→E→D→C的路程为： AE＋ED＋DC≈800＋2080＋500＝3380（米）. ∵3163＜3380， ∴走路线①A→B→C较近. $$