专题六　代数式的综合问题 课件 2025年中考数学一轮总复习

专题六　代数式的综合问题 本专题综合性强，主要考查整式，分式，根式等的变形、计算或操作，熟练掌握去绝对值的方法、添括号和去括号法则，灵活运用乘法公式，用配方法、因式分解、换元法、设参、拆项与逐步合并等技巧进行变形，用时要善于观察规律，总结规律. 代数式中的操作问题 （1）（2024·一中）将x－y÷z·m＋n（所有字母均不为0）中的任意两个字母对调位置，称为“对调操作”.例如：“x，y对调操作”的结果为y－x÷z·m＋n，且“x，y对调操作”和“y，x对调操作”是同一种“对调操作”.下列说法：①只有“x，n对调操作”的结果与原式 相等；②若“x，y对调操作”与“n，y对调操作”的结果相等，则x＝n或m＋z＝0；③若y＝m＝z，则所有的“对调操作”共有5种不同运算结果.其中正确的个数是（　 　） A.0 B.1 C.2 D.3 C [解析]①“y，m对调操作”的结果为x－m÷z·y＋n，与原式相等，故①错误；②“x，y对调操作”的结果为y－x÷z·m＋n，“n，y对调操作”的结果为x－n÷z·m＋y，由“x，y对调操作”与“n，y对调操作”的结果相等，得y－x÷z·m＋n＝x－n÷z·m＋y，解得x＝n或m＋z＝0，故②正确； ③若y＝m＝z，“x，y对调操作”的结果为y－x÷z·m＋n＝y－x÷y·y＋n＝y－x＋n；“x，z对调操作”的结果为z－y÷x·m＋n＝y－＋n；“x，m对调操作”的结果为m－y÷z·x＋n＝y－x＋n；“x，n对调操作”的结果为n－y÷z·m＋x＝n－y＋x；“y，z对调操作”的结果为x－z÷y·m＋n＝x－y＋n；“y，m对调操作”的结果为x－m÷z·y＋n＝x－y＋n；“y，n对调操作”的结果为x－n÷z·m＋y＝x－n＋y；“z，m对调操作”的 结果为x－y÷m·z＋n＝x－y＋n；“z，n对调操作”的结果为x－y÷n·m＋z＝x－＋y；“m，n对调操作”的结果为x－y÷z·n＋m＝x－n＋y，∴“对调操作”的结果有y－x＋n，y－＋n，n－y＋x，x－n＋y，x－＋y共5种，故③正确.故选C. （2）（2024·巴蜀）已知a＜b＜0＜c＜d＜e，在多项式－a＋b－c－d－e中任意选择相邻k（2≤k≤5）个字母，在不包含其中第一个字母前的符号的情况下添加一个绝对值符号，然后进行去绝对值运算，例如：－－c－d－e＝a＋b－c－d－e，－a＋－e＝－a－b＋c＋d－e.下列说法：①至少有一种情况化简后与原式相等；②在所有化简结果中，不能得到“＋e”这一项；③化简后一共有6种不同的结果.其中正确的个数是（　　） A.0 B.1 C.2 D.3 B [解析]由题意，得k可以等于2，3，4，5，共四种情况；（1）选择任意相邻2个字母：ⅰ.－－c－d－e＝a＋b－c－d－e，ⅱ.－a＋－d－e＝－a－b＋c－d－e，ⅲ.－a＋b－－e＝－a＋b＋c－d－e，ⅳ.－a＋b－c－＝－a＋b－c＋d－e； （2）选择任意相邻3个字母：ⅰ.－－d－e＝a＋b－c－d－e，ⅱ.－a＋－e＝－a－b＋c＋d－e，ⅲ.－a＋b－＝－a＋b＋c－d－e；（3）选择任意相邻4个字母：ⅰ.－－e＝a＋b－c－d－e，ⅱ.－a＋＝－a－b＋c＋d＋e；（4）选择任意相邻5个字母：－＝a＋b－c－d－e.由以上列举可知没有任何一种情况与原式相等，所以①错误；很明显，化简中可以得到“＋e”这一项，所以②错误；化简后，一共有6种不同的结果，所以③正确.故选B. 代数式中的运算问题 （1）（2024·南开）对于两个多项式A＝p1x2＋q1x＋r1，B＝p2x2＋q2x＋r2，若满足下列两种情形之一： ①p1≠0，p2＝0；②p1＝p2，q1＞q2，则称多项式A为“较大”多项式，多项式B为“较小”多项式.对于两个多项式A1＝p1x2＋q1x＋r1和A2＝p2x2＋q2x＋r2，若将A1和A2中“较大”多项式和“较小”多项式的差记作A3，则称这样 的操作为一次“优选作差”操作；再对A2和A3进行“优选作差”操作得到A4，…，以此类推，经过n次操作后得到的序列A1，A2，A3，…，An称为“优选作差”序列{An}. 现对A1＝x2，A2＝x＋1进行n次“优选作差”操作得到“优选作差”序列{An}，则下列说法：①A2024＝x＋1； ②A1＋A2＋…＋A11＝6x2－18x－18；③当n＝2024时，“优选作差”序列{An}中满足Ak－Ak＋1＝Ak＋2的正整数k有1350个.其中正确的个数是（　　） A.0 B.1 C.2 D.3 B [解析]∵A1＝x2，A2＝x＋1，∴A3＝x2－x－1，A4＝x2－2x－2，A5＝x＋1，A6＝x2－3x－3，A7＝x2－4x－4，A8＝x＋1，A9＝x2－5x－5，A10＝x2－6x－6，A11＝x＋1，A12＝x2－7x－7，A13＝x2－8x－8，A14＝x＋1，…，观察发现，多项式A2，A5，A8，A11为x＋1，即A3m－1＝x＋1（m为正整数），当m＝675时，A675×3－1＝A2024＝x＋1，故①正确； A1＋A2＋…＋A11＝4（x＋1）＋7x2＋（－1－2…－6）x＋（－1－2…－6）＝7x2－17x－17，故②错误；当k＝1时，A1－A2＝x2－（x＋1）＝x2－x－1＝A3，当k＝2时，A2－A3＝x＋1－（x2－x－1）＝－x2＋2x＋2≠A4，当k＝3时，A3－A4＝（x2－x－1）－（x2－2x－2）＝x＋1＝A5，当k＝4时，A4－A5＝（x2－2x－2）－（x＋1）＝x2－3x－3＝A6， 当k＝5时，A5－A6＝（x＋1）－（x2－3x－3）＝－x2＋4x＋4≠A7，∴当k＝2，5，8，…时，即k＝3m－1（m为正整数）时，Ak－Ak＋1≠Ak＋2，即每3个为一组中，有1个不满足Ak－Ak＋1＝Ak＋2.n＝2024时，共有2022个等式，即k值共有2022个，2022÷3＝674，∴在序列{An}中，有674×2＝1348（个）k值使得Ak－Ak＋1＝Ak＋2，故③错误.故选B. （2）对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和，这样的运算称为对这若干个数的“差绝对值运算”，例如，对于1，2，3进行“差绝对值运算”，得到：＋＋＝4.下列说法：①对－2，3，5，9进行“差绝对值运算”的结果是35；②x，－，5的“差绝对值运算”的最小值是；③a，b，c的“差绝对值运算”化简结果可能存在8种不同的表达式.其中正确的个数为（　　） A.0 B.1 C.2 D.3 B [解析]对－2，3，5，9进行“差绝对值运算”，得＋＋＋＋＋＝5＋7＋11＋2＋6＋4＝35，故①正确；对x，－，5进行“差绝对值运算”，得＋＋＝＋＋.∵＋表示的是数轴上点x到－和5的距离之和，∴＋的最小值为＋5＝，∴x，－，5的“差绝对值运算”的最小值是＋＝15，故②错误； 对a，b，c进行“差绝对值运算”，得＋＋，当a≥b≥c时，则原式＝a－b＋a－c＋b－c＝2a－2c；当a≥c≥b时，则原式＝a－b＋a－c＋c－b＝2a－2b；当b≥a≥c时，则原式＝b－a＋a－c＋b－c＝2b－2c；当b≥c≥a时，则原式＝b－a＋c－a＋b－c＝2b－2a；当c≥a≥b时，则原式＝a－b＋c－a＋c－b＝2c－2b；当c≥b≥a时，则原式＝b－a＋c－a＋c－b＝2c－2a；特殊地，当a＝b＝c时，原式＝0.∴a，b，c的“差绝对值运算”的化简结果可能存在7种不同的表达式，故③错误.故选B. 代数式中的特殊条件问题 （1）（2024·重庆）已知整式M：anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0，其中n，an－1，…，a0为自然数，an为正整数，且n＋an＋an－1＋…＋a1＋a0＝5.下列说法：①满足条件的整式M中有5个单项式；②不存在任何一个n，使得满足条件的整式M有且仅有3个；③满足条件的整式M共有16个.其中正确的个数是（　　） A.0 B.1 C.2 D.3 D [解析]∵n，an－1，…，a0为自然数，an为正整数，且n＋an＋an－1＋…＋a1＋a0＝5，∴0≤n≤4，当n＝4时，则4＋a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝5，∴a4＝1，a3＝a2＝a1＝a0＝0，满足条件的整式有x4；当n＝3时，则3＋a3＋a2＋a1＋a0＝5，∴（a3，a2，a1，a0）＝（2，0，0，0），（1，1，0，0），（1，0，1，0），（1，0，0，1），满足条件的整式有2x3，x3＋x2，x3＋x，x3＋1； 当n＝2时，则2＋a2＋a1＋a0＝5， ∴（a2，a1，a0）＝（3，0，0），（2，1，0），（2，0，1），（1，2，0），（1，0，2），（1，1，1），满足条件的整式有3x2，2x2＋x，2x2＋1，x2＋2x，x2＋2，x2＋x＋1；当n＝1时，则1＋a1＋a0＝5，∴（a1，a0）＝（4，0），（3，1），（2，2），（1，3），满足条件的整式有4x，3x＋1，2x＋2，x＋3；当n＝0时，0＋a0＝5，满足条件的整式有5；∴满足条件的单项式有：x4，2x3，3x2，4x，5，故①符合题意；不存在任何一个n，使得满足条件的整式M有且只有3个，故②符合题意；满足条件的整式M共有1＋4＋6＋4＋1＝16个，故③符合题意.故选D. （2）（2024·外语校）设a，b为实数，关于x的多项式（x＋a）（3x＋b）展开后的一次项系数为m，多项式（3x＋a）（x＋b）展开后的一次项系数为n，且m，n均为正整数.下列结论：①当a＝b时，则m＝n；②（m＋n）与（m－n）的平方差的值能被3整除；③若m＋n＝8，则ab的最大值为1；④若m＋n＝8，则的最小值为－5.其中正确的为（　 　） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 C [解析]∵（x＋a）（3x＋b）＝3x2＋（3a＋b）x＋ab，∴m＝3a＋b.∵（3x＋a）（x＋b）＝3x2＋（a＋3b）x＋ab，∴n＝a＋3b.∴当a＝b时，m＝n，故①正确；∵m＋n＝4a＋4b，m－n＝2a－2b，∴（m＋n）2－（m－n）2＝（m＋n＋m－n）（m＋n－m＋n）＝4mn＝4（3a＋b）（a＋3b），∴（m＋n）与（m－n）的平方差的值能被4整除，故②错误 ；若m＋n＝8，即4a＋4b＝8，∴a＋b＝2，∴b＝2－a，∴ab＝a（2－a）＝－a2＋2a＝－（a－1）2＋1.∵－1＜0，∴ab的最大值为1，故③正确；由③可知，＝＝－1，∴当最小时，最小.∵a＋b＝2，n＝a＋3b，∴b＝－1.∵m，n均为正整数，∴n＝1，2，3，4，5，6，7，∴当n＝1时，最小为－4，此时＝－4－1＝－5，即的最小值为－5，故④正确.故选C. 代数式中的新定义问题 定义一种新运算：a@b＝下列说法中：①若3@x＝x－2，则x1＝3，x2＝－1；②若@（－2）≥－2，则该不等式的解集为－3≤x≤5；③代数式＋｜2－[（－3）@（－2x）]｜＋｜[（－ 1）@（－x）]－2｜取得最小值时，x＝－；④函数y1＝，函数y2＝（－2）@（x2＋x），当－＜x＜0时，y1＞y2.结论正确的个数有（　　） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 B [解析]由题意，得＝x－2，∴x2－2x－3＝0，解得x1＝3，x2＝－1，故①正确；当x－1＝0时，x＝1，0×（－2）＞－2，此情况成立；当x－1≠0，即x≠1时，＞0，故@（－2）＝，∴≥－2，则≤4，解得－3≤x≤5，且x≠1.综上所述，该不等式的解集为－3≤x≤5，故②正确；由题意，得＋＋＝2＋6＋，当其取得最小值时，x＝，故③错误；由题意，得y1＝，y2＝－2x2－2x，在同一平面直角坐标系中画出其函数图象，观察可得，当－＜x＜0时，y1＜y2，故④错误.故选B. 代数式中的探索规律问题 （2024·巴蜀）已知两个分式，.将这两个分式进行如下操作： 第一次操作：将这两个分式作和，结果记为M1；作差，结果记为N1；（即M1＝＋，N1＝－） 第二次操作：将M1，N1作和，结果记为M2；作差，结果记为N2；（即M2＝M1＋N1，N2＝M1－N1） 第三次操作：将M2，N2作和，结果记为M3；作差，结果记为N3；（即M3＝M2＋N2，N3＝M2－N2） … 依此类推，将每一次操作的结果再作和、作差， 继续操作下去，通过实际操作，有以下结论：①M3＝2M1；②当x＝1时，M2＋M4＋M6＋M8＝20；③在第n（n为正整数）次和第（n＋1）次操作的结果中，为定值；④在第2n（n为正整数）次操作的结果中，M2n＝，N2n＝.以上结论正确的个数有（　　） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 B [解析]∵M1＝＋＝，N1＝－＝，∴M2＝M1＋N1＝＋＋－＝，N2＝M1－N1＝＋－（－）＝；M3＝M2＋N2＝＋＝，N3＝M2－N2＝－＝；M4＝M3＋N3＝＋＋－＝，N4＝M3－N3＝＋－（－）＝； M5＝M4＋N4＝＋＝，N5＝M4－N4＝－＝；M6＝M5＋N5＝＋＋－＝，N6＝M5－N5＝＋－（－）＝；…，可知2M1＝＝M3，故①正确；当x＝1时，M2＋M4＋M6＋M8＝＋＋＋＝2＋4＋8＋16＝30，故②错误； 当n＝1和2时，＝＝，＝＝x，所以不是定值，故③错误；∵M2＝，M4＝，M6＝，…，∴M2n＝.∵N2＝，N4＝，N6＝，…，∴N2n＝，故④正确.故选B. $$