全国各地2024-2025学年高三上学期9-10月月考数学试卷分类汇编：函数与导数

2024-2025学年高三全国9月～10月优质试卷分类汇编-函数与导数学生版 一、单选题 1．（山东省名校考试联盟2024-2025学年高三上学期10月阶段性检测数学试题）幂函数的图象大致为（    ） A．     B．   C．   D．   2．（山东省名校考试联盟2024-2025学年高三上学期10月阶段性检测数学试题）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中是一个随物体与空气的接触情况而定的正常数．现有的物体，放到的空气中冷却，后物体的温度是，已知，则的值大约为（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 3．（山东省名校考试联盟2024-2025学年高三上学期10月阶段性检测数学试题）若是函数的极小值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（甘肃省天水市麦积区天水市第二中学2024-2025学年高三上学期8月月考数学试题）已知函数满足对任意实数，都有成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（四川省眉山市2024-2025学年高三上学期第一次诊断数学试题）已知函数若函数恰有5个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（湖北省“宜荆荆恩”2025届高三上学期9月起点考试数学试题）若不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（湖南省湖南师范大学附属中学2025届高三上学期月考（二）数学试卷）已知函数对任意的，且，总满足以下不等关系：，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（湖南省湖南师范大学附属中学2025届高三上学期月考（二）数学试卷）设函数，其中.若，都有.则的图象与直线的交点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（湖南省湖南师范大学附属中学2025届高三上学期月考（二）数学试卷）已知定义域为的函数满足：，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．是偶函数 C．若，则 D．若，则 10．（湖南省湖南师范大学附属中学2025届高三上学期第一次月考数学试题）已知函数若关于的方程有且仅有两个实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．（福建省漳州市2025届高三毕业班第一次教学质量检测数学试题）已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 12．（安徽省多校联考2025届高三上学期开学质量检测数学试题）已知函数的图象在点处的切线方程为，则（    ） A． B． C． D．1 13．（天津市四校联考2024-2025学年高三上学期开学检测考试数学试卷）已知函数，且，则的大小关系（    ） A． B． C． D． 14．（安徽省县中联盟2024-2025学年高三上学期9月联考数学试题）已知的定义域为，且，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 15．（山东省名校考试联盟2024-2025学年高三上学期10月阶段性检测数学试题）已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B．为偶函数 C． D．不等式的解集为 16．（山东省名校考试联盟2024-2025学年高三上学期10月阶段性检测数学试题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若的图象关于直线对称，且，则（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．3为的一个周期 D． 17．（湖南省长沙市周南中学2025届高三10月第二次月考数学试题）已知，分别为定义在上的函数和的导函数，且，，若是奇函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的图象关于直线对称 B．的最小正周期为8 C． D． 18．（湖北省“宜荆荆恩”2025届高三上学期9月起点考试数学试题）已知定义域为的偶函数满足，当时，则下列结论正确的有（    ） A． B．的图象关于点成中心对称 C． D． 19．（湖南省湖南师范大学附属中学2025届高三上学期月考（二）数学试卷）已知函数，则（    ） A．的值域为 B．图象的对称中心为 C．当时，在区间内单调递减 D．当时，有两个极值点 20．（湖南省湖南师范大学附属中学2025届高三上学期月考（二）数学试卷）我国古代太极图是一种优美的对称图.定义：能够将圆的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆的一个“太极函数”，则下列命题中正确的是（    ） A．函数是圆的一个太极函数 B．对于圆的所有非常数函数的太极函数中，都不能为偶函数 C．对于圆的所有非常数函数的太极函数中，均为中心对称图形 D．若函数是圆的太极函数，则 21．（湖南省湖南师范大学附属中学2025届高三上学期第一次月考数学试题）已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（    ） A．的图象关于点对称 B．是以8为周期的周期函数 C． D． 22．（福建省漳州市2025届高三毕业班第一次教学质量检测数学试题）已知定义在上的函数不恒等于，且对任意的，有，则（    ） A． B．是偶函数 C．的图象关于点中心对称 D．是的一个周期 23．（江苏省南京中华中学、南京师范大学附属中学江宁分校两校2024-2025学年高三上学期9月联考数学试题）中国结是一种手工编织工艺品，因为其外观对称精致，可以代表汉族悠久的历史，符合中国传统装饰的习俗和审美观念，故命名为中国结．中国结的意义在于它所显示的情致与智慧正是汉族古老文明中的一个侧面，也是数学奥秘的游戏呈现．它有着复杂曼妙的曲线，却可以还原成最单纯的二维线条．其中的八字结对应着数学曲线中的双纽线．曲线是双纽线，则下列结论正确的是（    ） A．曲线的图象关于对称 B．曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过3 C．曲线经过7个整点（横、纵坐标均为整数的点） D．若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为 24．（安徽省多校联考2025届高三上学期开学质量检测数学试题）已知函数，则下列选项中正确的是（    ） A．函数的极小值点为 B． C．若函数有4个零点，则 D．若，则 三、填空题 25．（广东省江门市台山市第一中学2024-2025学年高三上学期10月阶段性检测数学试题）已知函数，则曲线在处的切线方程是 . 26．（山东省名校考试联盟2024-2025学年高三上学期10月阶段性检测数学试题）已知且，函数，若关于的方程恰有3个不相等的实数解，则实数的取值范围是 ． 27．（湖南省长沙市周南中学2025届高三10月第二次月考数学试题）若曲线在处的切线也是曲线的切线，则 ． 28．（重庆市巴蜀中学校2025届高三上学期10月阶段性检测数学试卷）已知函数的定义域是，，，当时，，则 ． 29．（湖南省湖南师范大学附属中学2025届高三上学期月考（二）数学试卷）曲线在点处的切线与抛物线相切，则 . 30．（湖南省湖南师范大学附属中学2025届高三上学期月考（二）数学试卷）设函数，若是从四个数中任取一个，是从六个数中任取一个，则恒成立的概率为 . 31．（湖南省湖南师范大学附属中学2025届高三上学期第一次月考数学试题）已知函数是定义域为的奇函数，当时，，且，则不等式的解集为 . 32．（安徽省多校联考2025届高三上学期开学质量检测数学试题）定义在上的函数满足，当时，，则不等式的解集为 . 四、解答题 33．（陕西省榆林市府谷县府谷中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)当时，证明：当时，. 34．（山东省名校考试联盟2024-2025学年高三上学期10月阶段性检测数学试题）已知函数． (1)若为奇函数，求的值； (2)当时，函数在上的值域为，求的取值范围． 35．（山东省名校考试联盟2024-2025学年高三上学期10月阶段性检测数学试题）已知函数． (1)若在上单调递减，求的最大值； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)若，求的取值范围． 36．（上海市松江一中2025届高三上学期阶段测试1数学试题）已知，. (1)求函数的单调区间； (2)若数列为自然底数），，，，，求使得不等式：成立的正整数的取值范围； (3)数列满足，，.证明：对任意的，. 37．（湖北省“宜荆荆恩”2025届高三上学期9月起点考试数学试题）已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围； (3)帕德近似（Pade approximation）是数学中常用的一种将三角函数､指数函数､对数函数等“超越函数”在一定范围内用“有理函数”近似表示的方法，比如在附近，可以用近似表示. （i）当且时，试比较与的大小； （ii）当时，求证：. 38．（湖南省湖南师范大学附属中学2025届高三上学期月考（二）数学试卷）已知函数，（且）. (1)令是的导函数，判断的单调性； (2)若对任意的恒成立，求的取值范围. 39．（湖南省湖南师范大学附属中学2025届高三上学期第一次月考数学试题）已知为函数的极值点． (1)求的值； (2)设函数，若对，使得，求的取值范围． 40．（福建省漳州市2025届高三毕业班第一次教学质量检测数学试题）定义：如果函数在定义域内，存在极大值和极小值，且存在一个常数，使成立，则称函数为极值可差比函数，常数称为该函数的极值差比系数．已知函数． (1)当时，判断是否为极值可差比函数，并说明理由； (2)是否存在使的极值差比系数为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)若，求的极值差比系数的取值范围． 41．（安徽省多校联考2025届高三上学期开学质量检测数学试题）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若，求实数的取值范围. 42．（北京市北京理工大学附属中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学练习）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求的零点个数. (3)在区间上有两个零点，求的范围? 试卷第8页，共9页 试卷第9页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高三全国9月～10月优质试卷分类汇编-函数与导数解析版 一、单选题 1．（山东省名校考试联盟2024-2025学年高三上学期10月阶段性检测数学试题）幂函数的图象大致为（    ） A．     B．   C．   D．   【答案】B 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、判断一般幂函数的单调性、函数图像的识别 【分析】根据题意，利用函数奇偶性的判定方法，得到函数为偶函数，再由幂函数的性质，结合选项，即可求解. 【详解】由函数，可得函数的定义域为，关于原点对称， 且，所以函数为偶函数， 所以函数的图象关于轴对称， 又由幂函数的性质得，当时，函数单调递增， 结合选项，选项B符合题意. 故选：B. 2．（山东省名校考试联盟2024-2025学年高三上学期10月阶段性检测数学试题）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中是一个随物体与空气的接触情况而定的正常数．现有的物体，放到的空气中冷却，后物体的温度是，已知，则的值大约为（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】对数函数模型的应用（2）、对数的运算性质的应用 【分析】根据题意列出等式，化简后即可求解. 【详解】由题意知是，， 代入公式，可得， 则，两边同时取对数得， 即，则，故C正确. 故选：C. 3．（山东省名校考试联盟2024-2025学年高三上学期10月阶段性检测数学试题）若是函数的极小值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据极值点求参数 【分析】求导，利用导数，分，，三种情况讨论可求实数的取值范围. 【详解】由， 可得， 若，当时，，当时，，故是的极大值点，不符合题意， 若时，令，可得，可得或， 若时，则，当时，，当时，， 故是的极大值点，不符合题意， 若时，则，由二次函数的图象可知， 要使是函数的极小值点， 需，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 4．（甘肃省天水市麦积区天水市第二中学2024-2025学年高三上学期8月月考数学试题）已知函数满足对任意实数，都有成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据函数的单调性求参数值、根据分段函数的单调性求参数 【分析】由题意可知函数在R上递减，结合分段函数单调性列式求解即可. 【详解】因为函数满足对任意实数，都有 成立， 不妨假设，则，可得，即， 可知函数在R上递减， 则，解得：， 所以的取值范围是. 故选：D. 5．（四川省眉山市2024-2025学年高三上学期第一次诊断数学试题）已知函数若函数恰有5个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.15 【知识点】函数图象的应用、根据函数零点的个数求参数范围、分段函数的性质及应用、利用导数研究函数图象及性质 【分析】先研究时，的单调性和极值，画出分段函数的图象，换元后数形结合转化为二次函数根的分布情况，列出不等式组，求出实数的取值范围. 【详解】当时，，则， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 则时，.当时，. 作出大致图象，函数恰有5个不同零点， 即方程恰有5个根.令，则需方程. （l）在区间和上各有一个实数根，令函数， 则解得. （2）方程（*）在和各有一根时，则 即无解. （3）方程（*）的一个根为6时，可得，验证得另一根为，不满足. （4）方程（*）的一个根为1时，可得，可知不满足. 综上，. 故选：A 【点睛】复合函数与分段函数结合问题，要利用数形结合思想和转化思想，这道题目中要先研究出分段函数的图象，再令，换元后转化为二次函数根的分布问题，接下来就迎刃而解了. 6．（湖北省“宜荆荆恩”2025届高三上学期9月起点考试数学试题）若不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】令，依题意可得恒成立，求出函数的导函数，分、两种情况讨论，说明函数的单调性，求出，即可得到，从而得到，再利用导数求出的最小值，即可得解. 【详解】令，则恒成立， 又， 当时，恒成立，所以在上单调递增，且时，不符合题意； 当时，令，解得，令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以， 所以， 令，， 则，所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以，即的取值范围是. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题关键是推导出，从而得到. 7．（湖南省湖南师范大学附属中学2025届高三上学期月考（二）数学试卷）已知函数对任意的，且，总满足以下不等关系：，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】判断指数函数的单调性、根据分段函数的单调性求参数 【分析】由条件判定函数的单调性，再利用指数函数、二次函数的性质计算即可. 【详解】在上单调递增， 又， 当时，单调递增， 当时，单调递增， 只需，解得. 故选：D. 8．（湖南省湖南师范大学附属中学2025届高三上学期月考（二）数学试卷）设函数，其中.若，都有.则的图象与直线的交点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、求函数零点或方程根的个数 【分析】利用给定条件求出，再作出图像求解交点个数即可. 【详解】对，都有， 所以是的一条对称轴， 所以，又， 所以.所以， 在平面直角坐标系中画出与的图象， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，， 所以如图所示，可知的图象与直线的交点个数为3，故C正确. 故选：C. 9．（湖南省湖南师范大学附属中学2025届高三上学期月考（二）数学试卷）已知定义域为的函数满足：，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．是偶函数 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】求函数值、函数奇偶性的定义与判断、抽象函数的奇偶性、利用等比数列的通项公式求数列中的项 【分析】对A，利用赋值法令即可求解；对B，根据题中条件求出，再利用偶函数定义即可求解；对C，先根据题意求出，再找出与的关系，根据等比数列的定义即可求解；对D，找出与的关系，再根据常数列的定义即可求解. 【详解】对A，， 令，即，解得，故A错； 对B，根据，得， 即，故为奇函数，故B错； 对C， 令，即， ， ，又， ， ， 由题知： ， 令，即， ， ， 即是以为首项为公比的等比数列； 故，故C正确； 对D，由题意知： ， 令，得， 又，即， 即数列为常数列， 由上知，故，故D错. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是对抽象函数进行赋值，难点是C，D选项通过赋值再结合数列的性质进行求解. 10．（湖南省湖南师范大学附属中学2025届高三上学期第一次月考数学试题）已知函数若关于的方程有且仅有两个实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围 【分析】利用换元法设，则方程等价为，根据指数函数和对数函数图象和性质求出，利用数形结合进行求解即可． 【详解】令，则． ①当时，若；若，由，得． 所以由可得或． 如图所示，满足的有无数个，方程只有一个解，不满足题意； ②当时，若，则；若，由，得． 所以由可得，当时，由，可得， 因为关于的方程有且仅有两个实数根，则方程在]上有且仅有一个实数根， 若且，故； 若且，不满足题意． 综上所述，实数的取值范围是， 故选：C． 11．（福建省漳州市2025届高三毕业班第一次教学质量检测数学试题）已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】比较函数值的大小关系、函数奇偶性的应用、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】先求出函数的奇偶性，由奇偶性得，接着利用导数工具二次求导研究函数在上单调性，由单调性即可判断的大小关系. 【详解】因为， 所以函数定义域为，， 所以函数为偶函数，故， 当时，， 所以， 因为，所以， 所以在单调递增，故即， 所以在单调递增，又， 所以，所以. 故选：A. 【点睛】思路点睛：比较函数值大小问题通常通过研究函数的奇偶性和单调性来分析，故本题先求出函数的奇偶性，接着利用导数工具研究函数在上单调性，进而由函数奇偶性和单调性即可判断的大小关系. 12．（安徽省多校联考2025届高三上学期开学质量检测数学试题）已知函数的图象在点处的切线方程为，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】已知切线（斜率）求参数、导数的运算法则 【分析】求出函数的导数，再利用导数的几何意义求解即得. 【详解】函数，求导得， 依题意，，所以. 故选：D 13．（天津市四校联考2024-2025学年高三上学期开学检测考试数学试卷）已知函数，且，则的大小关系（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系 【分析】首先判断函数在上的单调性，再比较大小. 【详解】，当时，， 所以在单调递增， 因为，所以，即. 故选：D 14．（安徽省县中联盟2024-2025学年高三上学期9月联考数学试题）已知的定义域为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】函数奇偶性的应用、由抽象函数的周期性求函数值、函数奇偶性的定义与判断、判断证明抽象函数的周期性 【分析】根据题意，利用赋值法，求得，得到的一个周期是，再根据函数的周期性和奇偶性，求得的值，进而得到答案. 【详解】由题意知，函数的定义域为，且， 令，得，所以； 令，得，所以，所以是偶函数， 令，得①，所以②， 由①②知，所以， 所以，所以的一个周期是， 由②得，所以，同理，所以， 又由周期性和偶函数可得： 所以， 所以. 故选：B. 二、多选题 15．（山东省名校考试联盟2024-2025学年高三上学期10月阶段性检测数学试题）已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B．为偶函数 C． D．不等式的解集为 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】求幂函数的解析式、根据函数的单调性解不等式 【分析】利用幂函数的定义结合过点，可求判断AC；进而可得函数的奇偶性判断B；解不等式可求解集判断D. 【详解】因为函数为幂函数，所以，解得， 当时，幂函数的图象不可能过点，故， 当，幂函数的图象过点， 则，解得，故AC正确； 的定义域为，且，故为偶函数，故B正确； 函数在上单调递减， 由，可得， 所以，解得且，故D错误. 故选：ABC. 16．（山东省名校考试联盟2024-2025学年高三上学期10月阶段性检测数学试题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若的图象关于直线对称，且，则（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．3为的一个周期 D． 【答案】ACD 【难度】0.4 【知识点】函数对称性的应用、由抽象函数的周期性求函数值、函数奇偶性的应用 【分析】由的图象关于直线对称，则可得关于对称，可对A判断；由，从而可得关于对称，可对B判断；由关于对称，可得，故，从而得，即，可对C判断；由，两边求导得，可对D判断. 【详解】A：因为的图象关于直线对称，故将的图象向右平移2个单位后变为的图象， 此时关于对称，所以是偶函数，故A正确； B：因为是偶函数，所以关于对称且为常数，当时，， 又因为，，所以，所以关于对称，故B错误； C：因为关于对称，所以，所以， 所以①，故②，则①②两式相减得， 即，所以3是的一个周期，故C正确； D：因为，两边求导得，且的周期为3， 又因为，所以，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：B中因为是偶函数，所以可得关于对称，从而可求出；D中可有，两边求导得，从而可知中连续项之和为零. 17．（湖南省长沙市周南中学2025届高三10月第二次月考数学试题）已知，分别为定义在上的函数和的导函数，且，，若是奇函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的图象关于直线对称 B．的最小正周期为8 C． D． 【答案】AC 【难度】0.4 【知识点】函数对称性的应用、简单复合函数的导数、函数奇偶性的应用、函数周期性的应用 【分析】由题意首先得，结合是偶函数可得的周期，由此即可判断C，对求导即可判断A，首先得4是的周期，进一步即可判断B，注意到，由此即可判断D. 【详解】∵是奇函数，∴是偶函数，∴， ， 又，故，∴是偶函数． ，又，：，故关于点对称， 所以，， ∴4是的周期，函数的图象关于直线对称，A正确； ，C正确． ，， 4是的周期，由于求导不改变函数的周期，4也是的周期，B错误． ，因为，均未知，故不选D． 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：首先得4是的周期，结合求导不改变周期即可判断B选项，由此即可顺利得解. 18．（湖北省“宜荆荆恩”2025届高三上学期9月起点考试数学试题）已知定义域为的偶函数满足，当时，则下列结论正确的有（    ） A． B．的图象关于点成中心对称 C． D． 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】函数周期性的应用、由函数的周期性求函数值、函数奇偶性的应用、函数对称性的应用 【分析】对A，利用赋值法再结合偶函数即可求解；对B，先推出的周期，再结合中心对称的结论即可求解；对C，利用周期性即可求解；对D，利用函数的奇偶性，单调性，再结合函数的对称性即可求解. 【详解】对A，满足， 令， 则，即， 又为偶函数，，故A对； 对B，， ， 故的周期， 再根据，即， 的图象关于点成中心对称，故B对； 对C，由B知：的周期， 故， ， 令， 则， 又当时， ， 即， 即， ， 故，故C错误； 对D，满足， 关于中心对称， 又当时， 在上单调递增； 当时，， 当时，为偶函数， ， ， 当且仅当时，即时等号成立， ，故D对. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：解答此类有关函数性质的题目，关键点在于要结合函数性质，利用赋值法以及代换法，推出函数相应的性质. 19．（湖南省湖南师范大学附属中学2025届高三上学期月考（二）数学试卷）已知函数，则（    ） A．的值域为 B．图象的对称中心为 C．当时，在区间内单调递减 D．当时，有两个极值点 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、判断或证明函数的对称性、用导数判断或证明已知函数的单调性、函数极值点的辨析 【分析】利用一次函数、三次函数的性质结合分类讨论思想可判定A，利用函数的奇偶性判定B，利用导数研究函数的单调性结合特殊值法排除C，利用极值点的定义可判定D. 【详解】对于A：当至少一个不为0，则为三次或者一次函数，值域均为； 当均为0时，值域为，错误； 对于B：函数满足， 可知为奇函数，其图象关于中心对称， 所以的图象为的图象向上移动两个单位后得到的， 即关于中心对称，正确； 对于C：，当时，取， 当时，在区间上单调递增，错误； 对于D：，当时，有两个不相等的实数根， 所以函数有两个极值点，正确. 故选：BD. 20．（湖南省湖南师范大学附属中学2025届高三上学期月考（二）数学试卷）我国古代太极图是一种优美的对称图.定义：能够将圆的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆的一个“太极函数”，则下列命题中正确的是（    ） A．函数是圆的一个太极函数 B．对于圆的所有非常数函数的太极函数中，都不能为偶函数 C．对于圆的所有非常数函数的太极函数中，均为中心对称图形 D．若函数是圆的太极函数，则 【答案】AD 【难度】0.15 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数新定义 【分析】根据题意，对于A，D利用新定义逐个判断函数是否满足新定义即可，对于B，C举反例说明． 【详解】对于A，圆，圆心为， 的图象也过，且是其对称中心， 所以的图象能将圆一分为二，所以A正确； 对于B,C，根据题意圆，如图， 与圆交于点，，且在轴上方三角形面积与轴下方个三角形面积之和相等， 为圆的太极函数，且是偶函数，所以B，C错误； 对于D，因为，所以为奇函数， 由，得或， 所以的图象与圆的交点为，且过圆心， 由，得， 令，则， 即，得或， 当时，， 当时，若，则方程无解，合题意； 若，则， 若，即时，方程无解，合题意； 所以时，两曲线共有两个交点，函数能将圆一分为二，如图， 若，即时，函数与圆有4个交点，将圆分成四部分， 若，即时，函数与圆有6个交点，且均不能把圆一分为二，如图， 所以，所以D正确. 故选：AD. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是理解新定义，即如果一个函数过圆心，并且函数图象关于圆心中心对称，且函数将圆分成2部分，不能超过2部分必然合题．如果函数不是中心对称图形，则考虑与圆有2个交点，交点连起来过圆心，再考虑如何让面积相等． 21．（湖南省湖南师范大学附属中学2025届高三上学期第一次月考数学试题）已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（    ） A．的图象关于点对称 B．是以8为周期的周期函数 C． D． 【答案】ABC 【难度】0.4 【知识点】函数周期性的应用、函数对称性的应用、函数奇偶性的应用 【分析】根据函数奇偶性以及所满足的表达式构造方程组可得，即可判断A正确；利用对称中心表达式进行化简计算可得B正确，可判断也是以8为周期的周期函数，即C正确；根据周期性以及计算可得，可得D错误. 【详解】由题意，且， 即①， 用替换中的，得②， 由①+②得， 所以的图象关于点对称，且，故A正确； 由，可得， 所以， 所以是以8为周期的周期函数，故B正确； 由①知，则， 故，因此也是以8为周期的周期函数， 所以，C正确； 又因为，所以， 令，则有， 令，则有…， 令，则有， 所以 所以，故D错误. 故选：ABC 【点睛】方法点睛：求解函数奇偶性、对称性、周期性等函数性质综合问题时，经常利用其中两个性质推得第三个性质特征，再进行相关计算. 22．（福建省漳州市2025届高三毕业班第一次教学质量检测数学试题）已知定义在上的函数不恒等于，且对任意的，有，则（    ） A． B．是偶函数 C．的图象关于点中心对称 D．是的一个周期 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】函数基本性质的综合应用、函数奇偶性的定义与判断、函数周期性的应用、函数对称性的应用 【分析】利用赋值法令根据表达式可判断A正确，再根据偶函数定义可得B正确；取并根据对称中心定义可得C正确，由对称中心以及偶函数性质可判断是的一个周期，可得D错误. 【详解】对于A,根据题意令，则由可得，解得，即A正确； 对于B,令可得，所以， 即可得对任意的满足，即是偶函数，所以B正确； 对于C,令，则由可得， 即满足，因此可得的图象关于点中心对称，即C正确； 对于D,由于是偶函数，所以满足，即， 可得，也即，所以是的一个周期，即D错误. 故选：ABC 23．（江苏省南京中华中学、南京师范大学附属中学江宁分校两校2024-2025学年高三上学期9月联考数学试题）中国结是一种手工编织工艺品，因为其外观对称精致，可以代表汉族悠久的历史，符合中国传统装饰的习俗和审美观念，故命名为中国结．中国结的意义在于它所显示的情致与智慧正是汉族古老文明中的一个侧面，也是数学奥秘的游戏呈现．它有着复杂曼妙的曲线，却可以还原成最单纯的二维线条．其中的八字结对应着数学曲线中的双纽线．曲线是双纽线，则下列结论正确的是（    ） A．曲线的图象关于对称 B．曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过3 C．曲线经过7个整点（横、纵坐标均为整数的点） D．若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】由方程研究曲线的性质 【分析】对于A项，运用若点关于对称的点满足方程，则曲线的图象关于对称，检验即可；对于B项，根据已知条件可得即可；对于C项，计算边界点来界定整数点个数；对于D项，联立直线方程与双纽线方程，将问题转化为方程只有一解即可. 【详解】对于A项，把代入得， 显然点不满足双纽线方程， 所以曲线的图象不关于对称，故A项错误； 对于B项，由可得， 所以曲线上任意一点到坐标原点的距离，即都不超过3，故B项正确： 对于C项，令解得或，即曲线经过，，， 由题意可知，， 令，得， 令，得， 因此曲线只能经过3个整点，，，故C项错误； 对于D项，直线与曲线一定有公共点， 若直线与曲线只有一个交点， 所以，整理得，只有一个解， 即，解得，故D项正确． 故选：BD. 24．（安徽省多校联考2025届高三上学期开学质量检测数学试题）已知函数，则下列选项中正确的是（    ） A．函数的极小值点为 B． C．若函数有4个零点，则 D．若，则 【答案】AC 【难度】0.4 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数证明不等式、求已知函数的极值、比较函数值的大小关系 【分析】求导，利用导数判断的单调性和最值，可得的图象，进而可以判断A；对于B：根据的单调性分析判断；对于C：根据偶函数性质分析可知：原题意等价于当时，与有2个交点，结合的图象分析求解；对于D：构建，结合导数可得，结合极值点偏移分析证明. 【详解】由题意可知：的定义域为，且， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则，且当趋近于0或时，趋近于， 可得函数的图象，如图所示： 对于选项A：可知函数的极小值点为，故A正确； 对于选项B：因为，且在内单调递增， 所以，故B错误； 对于选项C：令，可得， 可知函数有4个零点，即与有4个交点， 且的定义域为，且， 可知为偶函数，且当时， 原题意等价于当时，与有2个交点， 由题意可知：，故C正确； 对于选项D：设， 则， 可知在内单调递增，则， 即， 若，不妨设， 则， 且，且在内单调递增， 则，所以，故D错误； 故选：AC. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤 （1）作差或变形； （2）构造新的函数； （3）利用导数研究的单调性或最值； （4）根据单调性及最值，得到所证不等式． 特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题． 三、填空题 25．（广东省江门市台山市第一中学2024-2025学年高三上学期10月阶段性检测数学试题）已知函数，则曲线在处的切线方程是 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】导数的运算法则、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】求出导函数，根据导数的几何意义得出斜率，求出切点坐标，代入点斜式方程，即可得出答案. 【详解】因为，所以. 根据导数的几何意义可知，曲线在处的切线的斜率. 又， 所以，切线方程为，即. 故答案为：. 26．（山东省名校考试联盟2024-2025学年高三上学期10月阶段性检测数学试题）已知且，函数，若关于的方程恰有3个不相等的实数解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】判断指数函数的单调性、根据指对幂函数零点的分布求参数范围、求指数函数在区间内的值域 【分析】当时，，方程有2个不相等的实数解，则当时，，此时方程只有1个实数解，对分类讨论，由的值域求实数的取值范围. 【详解】方程，即或， 当时，，由解得，由解得； 当时，，此时方程只有1个实数解， 若，则在上单调递减，， 此时和都有解，不合题意， 若，则在上单调递增，，则. 所以实数的取值范围是. 故答案为： 27．（湖南省长沙市周南中学2025届高三10月第二次月考数学试题）若曲线在处的切线也是曲线的切线，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、简单复合函数的导数 【分析】根据导数的几何意义，结合直线的点斜式方程进行求解即可. 【详解】曲线， 所以曲线在的切线的斜率为， 故切线为． ， 所以曲线在处的切线的斜率为， 所以切线方程为：， 化简，得， 令， 故答案为： 28．（重庆市巴蜀中学校2025届高三上学期10月阶段性检测数学试卷）已知函数的定义域是，，，当时，，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由抽象函数的周期性求函数值、由函数对称性求函数值或参数、判断证明抽象函数的周期性、判断或证明函数的对称性 【分析】根据已知关系式可推导求得，利用周期性和对称性可得，结合已知函数解析式可求得结果. 【详解】由得：， 又，， ，， . 故答案为：. 29．（湖南省湖南师范大学附属中学2025届高三上学期月考（二）数学试卷）曲线在点处的切线与抛物线相切，则 . 【答案】1 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知切线（斜率）求参数 【分析】求出曲线在点处的切线方程，由该切线与抛物线相切，联立消元，得到一元二次方程，其，即可求得. 【详解】由，则，则， 曲线在点处的切线方程为，即， 当时，则 ，得， 由，得. 故答案为：1. 30．（湖南省湖南师范大学附属中学2025届高三上学期月考（二）数学试卷）设函数，若是从四个数中任取一个，是从六个数中任取一个，则恒成立的概率为 . 【答案】/0.625 【难度】0.65 【知识点】基本（均值）不等式的应用、函数不等式恒成立问题、计算古典概型问题的概率 【分析】根据题意，利用基本不等式，求得，转化为恒成立，结合是从四个数中任取一个，是从六个数中任取一个，得到基本事件总数有24个，再利用列举法，求得成立的基本事件的个数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解. 【详解】因为，可得， 则， 当且仅当时，等号成立，故， 由不等式恒成立转化为恒成立， 因为是从四个数中任取一个，是从六个数中任取一个， 则构成的所有基本事件总数有24个， 又由，， 设事件“不等式恒成立”，则事件包含事件： ，，，共15个， 因此不等式恒成立的概率为. 故答案为：. 31．（湖南省湖南师范大学附属中学2025届高三上学期第一次月考数学试题）已知函数是定义域为的奇函数，当时，，且，则不等式的解集为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由函数奇偶性解不等式 【分析】根据函数奇偶性并求导可得，因此可得，可构造函数并求得其单调性即可得在上大于零，在上小于零，即可得出结论. 【详解】因为为奇函数，定义域为， 所以，两边同时求导可得，即且， 又因为当时，，所以. 构造函数，则， 所以当时，在上单调递增， 又因为，所以在上大于零，在上小于零， 又因为，所以在上大于零，在上小于零， 因为为奇函数，所以在上小于零，在上大于零， 综上所述，的解集为. 故答案为： 32．（安徽省多校联考2025届高三上学期开学质量检测数学试题）定义在上的函数满足，当时，，则不等式的解集为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】函数对称性的应用、根据函数的单调性解不等式、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】根据给定条件，可得函数的图象关于直线对称，再利用导数求出在上的单调性，再借助性质解不等式. 【详解】依题意，函数的图象关于直线对称， 当时，，令，求导得， 函数在上单调递增，，函数在上单调递增， 不等式化为，解得或， 所以不等式的解集为. 故答案为： 四、解答题 33．（陕西省榆林市府谷县府谷中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)当时，证明：当时，. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）利用导数与函数单调性的关系，分类讨论即可得解； （2）构造函数，利用二次导数，结合函数的最值情况，证得，从而得证. 【详解】（1）因为的定义域为， 所以， 当时，恒成立，所以在上单调递增； 当时，令，得， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，， 令，则， 令，则， 因为，所以， 所以当时，恒成立，所以在上单调递减， 即在上单调递减，所以， 所以在上单调递减， 所以，即. 【点睛】结论点睛：恒成立问题： （1）恒成立；恒成立． （2）恒成立；恒成立． （3）恒成立；恒成立； （4），，． 34．（山东省名校考试联盟2024-2025学年高三上学期10月阶段性检测数学试题）已知函数． (1)若为奇函数，求的值； (2)当时，函数在上的值域为，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【难度】0.65 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、由奇偶性求参数、判断指数型复合函数的单调性 【分析】（1）由为奇函数，可得，从而可求解； （2）当时，可得是单调增函数，从而可得即是函数的两个解，参数分离可得，利用换元法设，可得，且，再结合对勾函数性质从而可求解. 【详解】（1）由，所以， 因为为定义域上的奇函数，所以， 即，化简得， 则，则得， 所以或. （2）当时，，所以是单调增函数， 由函数在上的值域为， 所以,， 即是函数的两个解，则得， 设，则，， 根据对勾函数性质可得在上单调递减，上单调递增， 其中在上的值域为，当时取最大值， 综上可得，所以的取值范围为. 35．（山东省名校考试联盟2024-2025学年高三上学期10月阶段性检测数学试题）已知函数． (1)若在上单调递减，求的最大值； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【难度】0.4 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、由导数求函数的最值（含参）、函数对称性的应用 【分析】（1）对求导得，令，再结合基本不等式从而可得，即可求解. （2）由，从而曲线关于点对称，即可求解. （3）分情况讨论求出，，然后再利用导数讨论，情况下，从而可求出的取值范围是. 【详解】（1）由函数，所以， 令，因为若在上单调递减，则恒成立， 因为，当且仅当时取等号， 则，所以，即，得. 故的最大值为. （2）证明：由（1）知，则， 则， 所以曲线关于点对称，是中心对称图形. （3）当时，则当时，，与矛盾，所以； 当，时，则当时，，与矛盾； 当，时，则当时，，与矛盾； 所以. 当，则当时，， 此时，矛盾； 当，则当时，， 此时，矛盾； 因此，所以， 当，由（1）可知在上单调递减，又， 所以当时，，在区间上单调递增； 当时，，在区间上单调递减； 此时，符合题意； 当，则当时，， 此时，则，不合题意. 综上所述：的取值范围是. 【点睛】方法点睛：（1）导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理；（2）利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用；（3）证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 36．（上海市松江一中2025届高三上学期阶段测试1数学试题）已知，. (1)求函数的单调区间； (2)若数列为自然底数），，，，，求使得不等式：成立的正整数的取值范围； (3)数列满足，，.证明：对任意的，. 【答案】(1)的单调递减区间为，单调递增区间为 (2) (3)证明见解析 【难度】0.15 【知识点】利用导数证明不等式、数列不等式能成立（有解）问题、利用导数求函数的单调区间（不含参）、分组（并项）法求和 【分析】（1）求导，利用导数求原函数的单调区间； （2）利用分组求和法求，代入不等式运算求解即可； （3）利用导数可求得当时，，结合根据函数的单调性分析证明. 【详解】（1）因为，定义域为，且， 令，解得；令，解得； 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）因为，则， 可得 ， ， 对于不等式：，即， 整理得， 所以使得不等式：成立的正整数的取值范围. （3）因为，的定义域为， 且恒成立， 且，所以当时，， 由（1）可知数在单调递减，在单调递增， 因为，所以，，，， 又因为，则，所以， 又因为在单调递减，所以， 即，即， 所以，则，所以. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 37．（湖北省“宜荆荆恩”2025届高三上学期9月起点考试数学试题）已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围； (3)帕德近似（Pade approximation）是数学中常用的一种将三角函数､指数函数､对数函数等“超越函数”在一定范围内用“有理函数”近似表示的方法，比如在附近，可以用近似表示. （i）当且时，试比较与的大小； （ii）当时，求证：. 【答案】(1)减区间为，无增区间 (2) (3)（i）答案见解析；（ii）证明见解析 【难度】0.15 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）求导，判断导函数的符号，可得函数的单调区间. （2）采用分离常数的方法得（），设，求在上的最小值即可. （3）（i）构造函数，利用函数的单调性及，比较与的大小；（ii）利用（i）的结论，进行证明. 【详解】（1）当时，，则. 所以的减区间为，无增区间. （2）因为在上恒成立， 所以，所以（） 设，则 再设，则， 则在上恒成立，所以在单调递增， 所以， 所以在上恒成立，所以在单调递增， 所以. 又在上恒成立，所以. （3）（i）记，则， 所以在上单调递增，而， 于是，当时，，当时，. （ii）当时，原不等式即. 由于当时，，所以， 当时，也成立. 所以对任意的恒成立. 在中取，则有，也即， 所以（a） 记函数， 由于，所以只需考虑的符号， 易知在上单调递减，在上单调递增，. 所以（b） 由（a）（b）得， 故. 【点睛】方法点睛：求参数的取值范围问题，一般思路有： （1）分离参数，把参数分离出来，问题转化为不含参数的函数的值域问题，通过求函数的值域求解参数的取值范围. （2）直接求函数的值域，此时可能要根据参数的值进行分类讨论. 38．（湖南省湖南师范大学附属中学2025届高三上学期月考（二）数学试卷）已知函数，（且）. (1)令是的导函数，判断的单调性； (2)若对任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)在和上单调递增； (2). 【难度】0.4 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、函数不等式恒成立问题、利用函数单调性求最值或值域 【分析】（1）需要二次求导，利用导函数的符号分析函数的单调性. （2）法一先利用这一特殊情况，探索的取值范围，再证明对时，恒成立；法二利用导数工具求出函数的最小值，同法一求证时，接着求证时不符合题意即可得解. 【详解】（1），定义域为， 所以， 所以. 所以在和上单调递增. （2）法一：由题知即，即或，所以. 下证当时，对任意的恒成立. 令，则， 所以在单调递增，又， 所以当时，单调递减， 当时，递单调增， 所以，故， 要证，只需证，即证， 令，则， 若，则，所以. 若，则对称轴，所以在递增，故， 综上所述，的取值范围为. 法二：由题知对任意的恒成立， 即对任意的恒成立. 由（1）知在递增，又. ①若，则在递增，所以，符合； ②若，则，又， 令，则， 则为单调递增函数，令得， 当时单调递减，当时单调递增， 又，所以当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以，则， 所以，使得，即， 且当时，单调递减，当时，单调递增， 所以. 若，同法一可证，符合题意. 若，因为，所以不符合题意. 综上所述，的取值范围为. 【点睛】方法点睛：导数问题经常会遇到恒成立的问题.常见的解决思路有： （1）根据参变分离，转化为不含参数的函数最值问题. （2）若恒成立，就可以讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值与最值，最终转化为；若. （3）若恒成立，可转化为（需在同一处取得最值）. 39．（湖南省湖南师范大学附属中学2025届高三上学期第一次月考数学试题）已知为函数的极值点． (1)求的值； (2)设函数，若对，使得，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究不等式恒成立问题、根据极值点求参数 【分析】（1）直接根据极值点求出的值； （2）先由（1）求出的最小值，由题意可得是求的最小值，小于等于的最小值，对求导，判断由最小值时的的范围，再求出最小值与最小值的关系式，进而求出的范围． 【详解】（1）， 由，得， 当时，，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以为函数的极小值点， 所以． （2）由（1）知． 函数的导函数 ①若，对，使得， 即，符合题意． ②若，取，对，有，不符合题意． ③若，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，所以， 若对，使得，只需， 即，解得． 综上所述，的取值范围为． 40．（福建省漳州市2025届高三毕业班第一次教学质量检测数学试题）定义：如果函数在定义域内，存在极大值和极小值，且存在一个常数，使成立，则称函数为极值可差比函数，常数称为该函数的极值差比系数．已知函数． (1)当时，判断是否为极值可差比函数，并说明理由； (2)是否存在使的极值差比系数为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)若，求的极值差比系数的取值范围． 【答案】(1)是极值可差比函数，理由见解析； (2)不存在使的极值差比系数为，理由见解析； (3)． 【难度】0.15 【知识点】导数新定义、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】（1）利用函数的导函数求出单调区间，由此得出极大值与极小值，由“极值可差比函数”的定义，求出极值差比系数的值，这样的值存在即可判断. （2）反证法，假设存在这样的，又“极值可差比函数”的定义列出等量关系，证明无解即可. （3）由（2）得到参数与极值点的关系式，对关系式进行转化，得出相应函数，利用导函数求出单调性即可得出函数取值范围. 【详解】（1）当时，， 所以， 当时，；当时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值为，极小值为， 所以，因此是极值可差比函数． （2）的定义域为，即， 假设存在，使得的极值差比系数为，则是方程的两个不等正实根， ，解得，不妨设，则， 由于 所以，从而， 得 令， 所以在上单调递增，有， 因此式无解，即不存在使的极值差比系数为． （3）由（2）知极值差比系数为， 即，不妨设， 令，极值差比系数可化为， ， 又，解得， 令， 设 所以在上单调递减，当时，， 从而， 所以在上单调递增，所以， 即． 故的极值差比系数的取值范围为． 【点睛】思路点睛：合理利用导函数和“极值可差比函数”定义，在（2）利用极值点的性质找到几个变量间的基本关系，利用函数单调性判断方程无解。（3）中的需要重复利用（2）几个重要的数量关系，对变量进行转化，利用导函数求出单调区间，得出取值范围是关键。 41．（安徽省多校联考2025届高三上学期开学质量检测数学试题）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见详解 (2) 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）求得可得，分和两种情况，利用导数判断原函数单调性； （2）根据题意结合（1）中单调性分析可得，构建，利用导数判断其单调性，进而解不等式. 【详解】（1）因为的定义域为，且， 若，则，可知在定义域内单调递减； 若，令，解得， 当，；当，； 可知在内单调递增，在内单调递减； 综上所述：若，在定义域内单调递减； 若，在内单调递增，在内单调递减. （2）因为， 若，在定义域内单调递减， 且，不合题意； 若，在内单调递增，在内单调递减. 则， 令，则， 令，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则，即， 可知在内单调递增，且， 则，可得， 所以实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题 （1）分离参数法 第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的最值； 第三步：根据要求得所求范围． （2）函数思想法 第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的极值； 第三步：构建不等式求解． 42．（北京市北京理工大学附属中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学练习）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求的零点个数. (3)在区间上有两个零点，求的范围? 【答案】(1)的单调减区间为：；单调增区间为：， (2)1个 (3) 【难度】0.65 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）对函数求导，利用导数正负与原函数的关系求解即可； （2）结合(1)问的单调性，求出函数的值域，结合零点存在定理即可求解. （3）将零点问题转化为函数交点问题，求出在区间上的值域即可求解. 【详解】（1）由题可得：， 令，解得：或， 令，解得：； 令，解得：或； 所以的单调减区间为：；单调增区间为：， （2）因为的单调减区间为：；单调增区间为：，， 由于，则在上无零点； 由于，则在上无零点； 由于，则在上存在唯一零点； 综上，函数在上存在唯一零点. （3）若在区间上有两个零点，则函数与在区间上有两个交点； 由(1)知，在上单调递增，上单调递减； ，，， 所以函数与在区间上有两个交点，则， 即在区间上有两个零点，则的范围为 试卷第48页，共51页 试卷第47页，共51页 学科网（北京）股份有限公司 $$