2.5.1直线与圆的位置关系第一课时课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

§2.5.1直线与圆的位置关系 （第一课时） 通过观察日出的过程，你发现到直线与圆的有哪些位置关系吗？ ●O ●O ●O 相交 相离 相切 2个公共点 0个公共点 1个公共点 思考1：如何判断直线与圆的位置关系？ ●O ●O ●O 相交 相离 相切 方法1：几何法 d d d d < r d > r d = r C· x y O Ax+By+C=0 x2+y2+Dx+Ey+F=0 （D2+E2-4F>0） 几何问题 代数问题 代数方法 几何图形性质 · · 方法2：代数法 联立直线与圆的方程后化为关于x（或y）的一元二次方程，根据解的个数判断位置关系 判定： △>0 直线与圆有两不同交点 直线与圆相交 △=0 直线与圆只有一个交点 直线与圆相切 △<0 直线与圆没有交点 直线与圆相离 结论：直线l：Ax＋By＋C＝0与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 个 个 个 判断方法 几何法：圆心到直线距离为d _ ___ _ ___ _ ___ 代数法：由 消元得到一元二次方程，可得方程的判别式Δ ___ _ _ ___ _ ___ 2 1 0 d<r d＝r d>r Δ>0 Δ＝0 Δ<0 例1：已知直线l：3x+y-6=0和圆心为C的 圆x2+y2-2y-4=0。判断直线l与圆C的位置关系？ 解法2：联立直线与圆C方程： 消元 得：x2-3x+2=0 计算Δ 例1：已知直线l：3x+y-6=0和圆心为C的 圆x2+y2-2y-4=0。判断直线l与圆C的位置关系？ Δ=9-4×1×2=1>0 例1：已知直线l：3x+y-6=0和圆心为C的圆x2+y2-2y-4=0。 （2）如果相交，求直线l被圆C所截得的弦长？ x y O A B C ● 思考2：还有其他求弦长的方法吗？ x y O A B d C r 1.判断下列各组直线l与圆C的位置关系，若相交，求出直线被圆所截得的弦长 (1)直线l:x=0; 圆C：x2+y2=4; (2)直线l:3x+4y+2=0; 圆C：(x-1)2+y2=1; 相交， 相切 课堂小测 弦长为4 2.若直线4 x －3 y ＋ a ＝0与圆 x2＋ y2＝100有如下关系：①相交；②相切；③相离. 试分别求实数 a 的取值范围. 法一（几何法） 则圆心到直线的距离 d ＝ ①当直线和圆相交时， d ＜ r ，－50＜ a ＜50. ②当直线和圆相切时， d ＝ r ，a ＝50或 a ＝－50. ③当直线和圆相离时， d ＞ r ， a ＜－50或 a ＞50. 圆 x2＋ y2＝100圆心为（0，0）， 半径 r ＝10， 法二（代数法） △＝（8 a）2－4×25（ a2－900）＝－36a2＋90 000. ①当相交时，△＞0，即－36 a2＋90 000＞0， 得－50＜ a ＜50. ②当直线和圆相切时，△＝0，即 a ＝50或 a ＝－50. ③当直线和圆相离时，△＜0，即 a ＜－50或 a ＞50. 解析:∵直线 可转化成 ∴直线 过定点（-2,0） 又∵定点在圆内 ∴直线与圆相交 3.若直线方程为ax-y-2a=0，则直线与圆x2+y2=9的位置关系是什么？ 思考3：已知平面内一点A（x0，y0),与圆C(x-a)2+(y-b)2=r2,则过该点的直线与圆有几个交点？ 1.点在圆内：一定有两个交点 2.点在圆上： ● ● ● ● 两种情况： （1）相交：两个交点； （2）相切：一个交点 （该点为切点） 3.点在圆上： ● ● 三种情况：（1）相交：两个交点； （2）相切：有两条切线； （3）相离 思考4：点A在圆内时，最短弦与最长弦分别在什么时候取得？ 思考4：点A在圆C内时，最短弦与最长弦分别在什么时候取得？ ②当点A为弦的中点时，弦长最短，最短弦长为 . 结论：①当过点A的直线同时过圆心C时，即为直径AC时，弦长最长，最长弦长为2r; 即时训练：已知圆x2＋y2＝9的弦过点P(1,2)，当弦长最短时，该弦所在直线的方程为 A.y－2＝0 B.x＋2y－5＝0 C.2x－y＝0 D.x－1＝0 √ 弦长最短时，该弦所在直线与过点P(1,2)的直径垂直. 请同学总结一下，我们如何判断直线和圆的位置关系？ 直线与圆的 位置关系 相交 d<r ∆>0 相切 一个 交 点 ∆ =0 ∆ <0 d>r 没有交点 相离 两个交点 d=r 弦长 1.直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是 A.相切 B.相交但直线不过圆心 C.直线过圆心 D.相离 √ ∴直线与圆x2＋y2＝1相交， 又(0,0)不在y＝x＋1上，∴直线不过圆心. 课后作业 2.过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4x＝0所截得的弦长为______. 2 3.点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是( ) A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定 √ ∵点M(a，b)在圆x2＋y2＝1外， ∴a2＋b2＞1. 则直线与圆的位置关系是相交. 4.直线(1＋3m)x＋(3－2m)y＋8m－12＝0(m∈R)与 圆x2＋y2－2x－6y＋1＝0的交点个数为（ ） A.1 B.2 C.0或2 D.1或2 √ 圆x2＋y2－2x－6y＋1＝0化为标准方程得(x－1)2＋(y－3)2＝9， 将直线(1＋3m)x＋(3－2m)y＋8m－12＝0， 化为x＋3y－12＋m(3x－2y＋8)＝0， 所以直线(1＋3m)x＋(3－2m)y＋8m－12＝0(m∈R)恒过定点(0,4).因为(0－1)2＋(4－3)2＝2<9， 所以点(0,4)是圆内的点，故直线与圆有两个交点. 感谢聆听！ “中国好教育”荆楚联盟“同课异构”大赛 故所求直线的斜率为－， 所以所求直线方程为y－2＝－(x－1)，即x＋2y－5＝0. 已知圆心O(0,0)，所以过点P(1,2)的直径所在直线的斜率k＝＝2， ∵圆心(0,0)到直线y＝x＋1的距离d＝＝<1， 直线方程为y＝x，圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，圆心(2,0)到直线的距离d＝＝，弦长l＝2＝2＝2. ∴圆心(0,0)到直线ax＋by＝1的距离d＝＜1＝r， 令解得 $$