精品解析：浙江省宁波市第七中学2023—2024学年上学期期中考试八年级数学试卷

2023-2024学年浙江省宁波七中八年级（上）期中数学试卷 一、仔细选一选（本题有10小题，每题3分，共30分） 1. 如所示图形中，不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，对称轴可使图形两部分折叠后重合．根据沿某条直线折叠后能互相重合的图形叫轴对称图形，进而判断得出即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项符合题意； B、是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：A． 2. 下列长度的三条线段，首尾相接不能组成三角形的是（ ） A. 3，4，5 B. ，1，2 C. 3，6，3 D. 1.5，2.5，3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，根据三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边解答即可． 【详解】解：A、因为，所以能构成三角形，不符合题意； B、因为，，，所以能构成三角形，不符合题意； C、因为，所以不能构成三角形，符合题意； D、因为，所以能构成三角形，不符合题意． 故选：C． 3. 若，则下列不等式中不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，注意：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向要改变．根据不等式的性质逐个判断即可． 【详解】解：A．由可得，故A选项不符合题意； B．由可得，故B选项不符合题意； C．由可得，所以，故C选项符合题意； D．由可得，故D选项不符合题意． 故选：C． 4. 已知等腰三角形的一个内角是70°，则它的顶角的度数是(   ) A. 70° B. 40° C. 70°或40° D. 70°或30° 【答案】C 【解析】 【分析】由等腰三角形的性质可知底角相等，则内角可以是顶角也可以是底角；根据三角形内角和即可求出. 【详解】∵一个内角是70°， ∴分两种情况讨论： ①当顶角为70°； ②当底角为70°时，顶角为 . 综上所述，顶角的度数为70°或40° 故选C. 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及分类讨论的数学思想，分两种情况讨论是解答本题的关键. 5. 对于命题“如果，那么”，下面能说明它是假命题的反例是（ ） A. ， B. ， C. D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查假命题的反例，反例需满足命题的条件，同时不满足命题的结论，据此分析各选项即可． 【详解】解：∵原命题的条件是，结论是 ∴反例要满足且 对于选项C，，，满足条件但不满足结论，是原命题的反例 选项A满足条件也满足结论，不是反例 选项B、D不满足命题的条件，不是反例 故选：C． 6. 满足下列条件的△不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的判定方法，掌握直角三角形的判定方法是解决问题的关键． 根据勾股定理逆定理、有一个角是的三角形是直角三角形进行判断即可得解． 【详解】解：A．∵，， ∴即 ∴是直角三角形，不符合题意； B．∵ ∴设， ∴，是直角三角形，不符合题意； C．∵， ∴ ∴是直角三角形，不符合题意； D．∵ ∴，， ∴不是直角三角形，符合题意． 故选：D 7. 将一副直角三角板ABC和EDF如图放置(其中∠A=60°，∠F=45°)，使点E落在AC边上，且ED//BC，则∠AEF的度数为( ) A. 145° B. 155° C. 165° D. 170° 【答案】C 【解析】 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠1，再根据两直线平行，内错角相等求出∠2，然后根据∠CEF=∠DEF -∠2计算出∠CEF，即可求出∠AEF． 【详解】解：∵∠A=60°，∠F=45°， ∴∠1=90°-60°=30°，∠DEF=90°-45°=45°， ∵ED∥BC， ∴∠2=∠1=30°， ∠CEF=∠DEF-∠2=45°-30°=15°， ∴∠AEF=180°-15°=165°. 故选C. 【点睛】本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余的性质是基础题，熟记性质是解题的关键． 8. 如图，在中，平分，根据尺规作图的痕迹作射线，交于点，连接，则下列说法错误的是（ ） A. 点到边的距离相等 B. 平分 C. D. 点到、、三点的距离相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图-角平分线，角平分线的判定和性质，三角形的内角和定理，对顶角相等，三角形的内心定义和性质，熟练掌握三角形内心的性质是解题的关键． 先根据作图痕迹得出是的角平分线，根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可判断A说法正确；根据到角两边距离相等的点在角平分线上，可得点在的平分线上，即可判断B说法正确；根据角平分线平分角可得，，结合三角形内角和是可求得，再结合对顶角相等即可求得，判断C说法正确；根据题意可得点是的内心，判断D说法错误；即可求解． 【详解】解：A、根据作图痕迹，可得是的角平分线， ∵点在上， ∴点到边、的距离相等；A说法正确； B、∵平分，平分， ∴点到边、、的距离相等， 即点在的平分线上， ∴平分；B说法正确； C、∵平分，平分， ∴，， 故， ∴；C说法正确； D、∵点是三个角的角平分线的交点， ∴点到边、、的距离相等，不是点到、、三点的距离相等；D说法错误． 故选：D． 9. 如图，我国古代著名的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形的较短直角边为，较长直角边为，若，大正方形的面积为34，则小正方形的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理，熟练运用完全平方公式的变形是解题关键． 根据大正方形的面积和勾股定理推出，然后结合完全平方公式的变形得出，最后由小正方形的面积为，即可得出结论． 【详解】解：如图所示，由题意，，， 大正方形的面积为34， ， ， ， ， ， ， 小正方形的面积为， 故选：C 10. 如图，是边长为6的等边三角形，是高上的一个动点，以为边向上作等边，在点从点到点的运动过程中，点所经过的路径长为(　　) A. 6 B. 3 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质以及和运动轨迹有关的知识，取的中点，连结，当点在处时，，点在处时，点与点重合．则点所经过的路径的长等于，进而可求出点所经过的路径长． 【详解】解：如图，取的中点，连结， ， ，， ， 和是等边三角形， ，， ， ， ， ，， ， 又点在处时，， 点在处时，点与点重合， 点所经过的路径的长为从点运动的路径长． 故选：B． 二．认真填一填（本题有8小题，每题3分，共24分） 11. 根据“的2倍与的差是负数”列出不等式为 __． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了列一元一次不等式，首先表示“的2倍与的差”，再表示“是负数”可得不等式． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系中，点位于第______象限． 【答案】二 【解析】 【分析】根据各象限内点的坐标特征即可得到答案． 【详解】解：根据第二象限为可知，点位于第二象限， 故答案为：二． 【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，解题关键是熟记各象限内点的坐标的符号：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 13. 边长3的等边三角形面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形的面积，勾股定理，过点A作，垂足为D，利用等边三角形的性质可得，，然后利用勾股定理求出的长，从而利用三角形的面积公式进行计算，即可解答． 【详解】解：如图：是等边三角形，过点A作，垂足为D， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积=， 故答案为：． 14. “等腰三角形的两个底角相等．”请写出它的逆命题：__________． 【答案】有两个角相等的三角形是等腰三角形 【解析】 【分析】根据互逆命题的定义，将原命题的题设和结论互换，即可得到原命题的逆命题 【详解】解：将原命题改写为“如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等”， 其中题设为“一个三角形是等腰三角形”，结论为“这个三角形的两个底角相等”， 互换题设和结论后，得到逆命题为“有两个角相等的三角形是等腰三角形” 15. 如图，是的角平分线，，垂足为F，若，，则的度数为 ___________． 【答案】##50度 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和等知识，根据三角形的内角和求出相应各个角的度数是解决问题的关键； 根据三角形的内角和求出，利用三角形全等，求出，再利用外角求出答案． 【详解】解：，， ， ， ， 是的角平分线， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 16. 如图，在边长为4的等边中，、分别是边、的中点，于点，连接、，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】由三角形中位线定理推知DE∥AB，DE＝AB＝2；则根据已知条件得到DF⊥DE；由等边三角形的性质和含30度角直角三角形的性质求得DF的长度；最后在直角△DEF中，根据勾股定理求得EF的长度． 【详解】解：在边长为4的等边三角形ABC中，点D，E分别是边BC，AC的中点， ∴AB＝4，∠B＝60°，BD＝CD＝2，DE是△ABC的中位线， ∴DE∥AB且DE＝AB＝2． ∵DF⊥AB， ∴∠DFB＝90°，DF⊥DE， ∴∠BDF＝30°， ∴BF＝BD＝1， ∴DF＝， 在直角△DEF中，根据勾股定理得到：EF＝． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，含30度角的直角三角形，等边三角形的性质，利用三角形中位线定理推知DF⊥DE，DE＝AB＝2是解题的关键． 17. 如图，的中线、相交于点F，，垂足为H．若，，则长为 ___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的中线与面积的关系，连接，由三角形的中线与面积的关系可得，然后可得，则有，进而问题可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵、是的中线，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，且， ∴． 18. 如图，在中，，的垂直平分线交于点D，连结，点P、Q分别是和上的动点，则的最小值是__________． 【答案】4.8 【解析】 【分析】先根据垂直平分线的性质以及勾股定理可求得，，然后做辅助线，延长DC至点，使得，连接，，，过点作于点H，由此可得到当且仅当点，P，Q同时在H上时，取得最小值，最小值为的长，最后利用等积法计算的长即可求得答案． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点D， ∴AD＝BD， ∵， ∴， 设AD＝BD＝x，则CD＝BC－BD＝8－x， 又∵AC＝4， ∴， 解得：， ∴，， 如图，延长DC至点，使得，连接，，，过点作于点H， ∵，， ∴AC垂直平分， ∴， ∴， 当且仅当点，P，Q同时在H上时，取得最小值，最小值为的长， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴的最小值为4.8， 故答案为：4.8． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质与判定，勾股定理以及等积法的应用，作出正确的辅助线，发现当且仅当点，P，Q同时在H上时，取得最小值，最小值为的长是解决本题的关键． 三．全面答一答（共6题；第19～21每题6分，第22题8分，第23～24题10分，共46分） 19. 计算： （1）解不等式 （2）解不等式组 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式以及解一元一次不等式组， （1）根据解一元一次不等式的基本步骤求解即可； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”确定不等式组的解集； 能根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解此题的关键． 【小问1详解】 ， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； 【小问2详解】 ， 解不等式①得， 解不等式②得； ∴不等式组的解集为． 20. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，格点如图所示，请用无刻度的直尺在给定网格作图，不写画法，保留作图痕迹． （1）在图1中，作出的高，并直接写出的长为　　； （2）在图2中，在边上找到点，使得； （3）在图3中，作，使和面积相等但不全等． 【答案】（1） 如图1， （2） 如图2， （3） 如图3， 【解析】 【分析】本题是三角形综合题，考查了作图的应用与设计、勾股定理、三角形面积公式、网格线的特点、等腰直角三角形的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形面积是解题的关键，属于中考常考题型． （1）取格点，连接交于点，线段即为所求，再由三角形面积求出的长即可； （2）以为直角边作一个等腰直角三角形，即可解决问题； （3）根据等底同高的三角形面积相等，即可作出． 【小问1详解】 解：取格点，连接交于点， 线段即为所求， ，，， ， 解得：， 故答案为：3.2； 【小问2详解】 解：以为直角边作一个等腰直角三角形，交于点， 则，即为所求； 【小问3详解】 解：即为所求（答案不唯一）． 21. 如图，给出格点三角形（顶点均在格点上）． （1）写出各顶点坐标； （2）求的面积． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】本题考查三角形的面积，解题的关键是学会用分割法求三角形面积． （1）根据，，的位置写出坐标即可； （2）根据，，坐标，用割补法求面积即可． 【小问1详解】 解：由题意可得： ，，； 【小问2详解】 解：过，，作长方形，如图所示： 由图可知， ． ∴的面积为． 22. 象山有着“中国柑橘之乡”的美誉，经营户老张近期主要销售“红美人”和“象山青”两个柑橘品种． 红美人 象山青 进价（元斤） 20 5 售价（元斤） 35 10 （1）上周的“红美人”和“象山青”的进价和售价如下表所示，老张用3000元批发了“红美人”和“象山青”共300斤，上周售完后一共能赚多少钱？ （2）本周保持进价不变，老张仍用3000元批发了“红美人”和“象山青”共300斤，但在运输过程中“红美人”损坏了，而“象山青”没有损坏仍按原价销售．要想本周售完后的利润不低于上周的利润，“红美人”的售价最低定为多少？（精确到0.1元） 【答案】（1）2500元 （2）36.7元斤 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和不等式解决问题． （1）设上周购进“红美人”斤，则利润为元，根据用3000元批发了“红美人”和“象山青”共300斤得：，解出的值可得答案； （2）设“红美人”的售价为元斤，根据本周售完后的利润不低于上周的利润得：，解出的范围，即可得到答案． 【小问1详解】 解：设上周购进“红美人”斤，则购进“象山青”斤，利润为元， 根据题意得：， 解得， ， 上周售完后一共能赚2500元； 【小问2详解】 解：设“红美人”的售价为元斤， 根据题意得：， 解得， “红美人”的售价最低定为36.7元斤，本周售完后的利润不低于上周的利润． 23. 在和在中，． （1）如图1，若点为中点，，． ①求证：为等腰三角形． ②求的面积． （2）如图2，若，，求长． 【答案】（1） ①证明：，点为中点， ，， ， 为等腰三角形； ② （2） 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，直角三角形斜边的中线，等腰三角形的判定． （1）①由直角三角形斜边中线的性质得到，，因此，即可证明为等腰三角形． ②过作于，由等腰三角形的性质求出，由勾股定理求出，由三角形面积公式即可求出的面积． （2）由等腰直角三角形的性质得到的长，根据勾股定理求出，即可求出． 【小问1详解】 ①略 ②解：如图过作于， 由①知， ， ， 于， ， ， 的面积； 【小问2详解】 解：，， ， ，， ， ， ． 24. 如图1，在中，，，分别以、为边向外作与，且，，，连接交于点． （1）猜想与的数量关系　　； （2）在（1）的基础上，如图2，若，，原问题中的其他条件不变，（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明； （3）如图3，若为等边三角形，为等腰三角形且，，，，当和满足什么关系时，和的面积相等．（直接写出结果） 【答案】（1） （2） （1）中得到的结论不发生变化，，证明如下： 如图2，过点作于点，则， ，， ，是等边三角形， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， ，， 是等边三角形， ，， ，， 在和中， ， ， ； （3）当和满足时，和的面积相等 【解析】 【分析】（1）过点作于点，由等腰直角三角形的性质得，，，，则，再证，即可得出结论； （2）过点作于点，由等腰三角形的性质得，是等边三角形，再证，得，由已知可得是等边三角形，则，，然后证，即可得出结论； （3）过点作于点，过点作交延长线于点，当时，可得，由，可得，即可证明，得到，最后根据，，得到面积相等． 【小问1详解】 解：与的数量关系为：，理由如下： 如图1，过点作于点，则， ，，， ，，，， ∴， ，， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当和满足时，和的面积相等，理由如下： 如图3，过点作于点，过点作交延长线于点H， 则， 为等边三角形， ，， 当时，由，，可得， ∵， ， 在和中， ， ， ； ，， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质以及三角形面积公式等知识，本题综合性强，熟练掌握等边三角形的判定与性质和等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 四．附加题（本题有2个小题，25题4分，第26题6分，共10分） 25. 如图，内角平分线交边于点，交外角的平分线于，连结，，若为等腰三角形，则的度数为 __． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质与判定，延长，过点作于点，于点，于点．首先由角平分线和外角得到，，，依据角平分线的性质定理推导出，得出平分，从而得到，结合为等腰三角形，求出的度数，然后由外角得到，最后根据解答即可． 【详解】解：延长，过点作于点，于点，于点． 平分，平分， ，， ， 又， ， ∴， 平分，平分，，，， ， ， 平分， ， 为等腰三角形， 当时，， ∴， ∴ ； 当时，，， ∴，不合题意； 当时，， ， ∴ ； 综上，的度数为或． 故答案为：或． 26. 已知：如图，中，在上，在上，过作于，，，，求的长度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，由“”可证，可得，，由等腰三角形的性质可求解． 【详解】解：在上截取，连接，在上截取，连接， ，， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年浙江省宁波七中八年级（上）期中数学试卷 一、仔细选一选（本题有10小题，每题3分，共30分） 1. 如所示图形中，不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列长度的三条线段，首尾相接不能组成三角形的是（ ） A. 3，4，5 B. ，1，2 C. 3，6，3 D. 1.5，2.5，3 3. 若，则下列不等式中不正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知等腰三角形的一个内角是70°，则它的顶角的度数是(   ) A. 70° B. 40° C. 70°或40° D. 70°或30° 5. 对于命题“如果，那么”，下面能说明它是假命题的反例是（ ） A. ， B. ， C. D. ， 6. 满足下列条件的△不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 7. 将一副直角三角板ABC和EDF如图放置(其中∠A=60°，∠F=45°)，使点E落在AC边上，且ED//BC，则∠AEF的度数为( ) A. 145° B. 155° C. 165° D. 170° 8. 如图，在中，平分，根据尺规作图的痕迹作射线，交于点，连接，则下列说法错误的是（ ） A. 点到边的距离相等 B. 平分 C. D. 点到、、三点的距离相等 9. 如图，我国古代著名的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形的较短直角边为，较长直角边为，若，大正方形的面积为34，则小正方形的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 10. 如图，是边长为6的等边三角形，是高上的一个动点，以为边向上作等边，在点从点到点的运动过程中，点所经过的路径长为(　　) A. 6 B. 3 C. D. 3 二．认真填一填（本题有8小题，每题3分，共24分） 11. 根据“的2倍与的差是负数”列出不等式为 __． 12. 在平面直角坐标系中，点位于第______象限． 13. 边长3的等边三角形面积为__________． 14. “等腰三角形的两个底角相等．”请写出它的逆命题：__________． 15. 如图，是的角平分线，，垂足为F，若，，则的度数为 ___________． 16. 如图，在边长为4的等边中，、分别是边、的中点，于点，连接、，则的长为______． 17. 如图，的中线、相交于点F，，垂足为H．若，，则长为 ___________． 18. 如图，在中，，的垂直平分线交于点D，连结，点P、Q分别是和上的动点，则的最小值是__________． 三．全面答一答（共6题；第19～21每题6分，第22题8分，第23～24题10分，共46分） 19. 计算： （1）解不等式 （2）解不等式组 20. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，格点如图所示，请用无刻度的直尺在给定网格作图，不写画法，保留作图痕迹． （1）在图1中，作出的高，并直接写出的长为　　； （2）在图2中，在边上找到点，使得； （3）在图3中，作，使和面积相等但不全等． 21. 如图，给出格点三角形（顶点均在格点上）． （1）写出各顶点坐标； （2）求的面积． 22. 象山有着“中国柑橘之乡”的美誉，经营户老张近期主要销售“红美人”和“象山青”两个柑橘品种． 红美人 象山青 进价（元斤） 20 5 售价（元斤） 35 10 （1）上周的“红美人”和“象山青”的进价和售价如下表所示，老张用3000元批发了“红美人”和“象山青”共300斤，上周售完后一共能赚多少钱？ （2）本周保持进价不变，老张仍用3000元批发了“红美人”和“象山青”共300斤，但在运输过程中“红美人”损坏了，而“象山青”没有损坏仍按原价销售．要想本周售完后的利润不低于上周的利润，“红美人”的售价最低定为多少？（精确到0.1元） 23. 在和在中，． （1）如图1，若点为中点，，． ①求证：为等腰三角形． ②求的面积． （2）如图2，若，，求长． 24. 如图1，在中，，，分别以、为边向外作与，且，，，连接交于点． （1）猜想与的数量关系　　； （2）在（1）的基础上，如图2，若，，原问题中的其他条件不变，（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明； （3）如图3，若为等边三角形，为等腰三角形且，，，，当和满足什么关系时，和的面积相等．（直接写出结果） 四．附加题（本题有2个小题，25题4分，第26题6分，共10分） 25. 如图，内角平分线交边于点，交外角的平分线于，连结，，若为等腰三角形，则的度数为 __． 26. 已知：如图，中，在上，在上，过作于，，，，求的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $