26.1 反比例函数 比例系数K的几何意义 专练 2023--2024学年人教版九年级数学下册

学习是一个快乐而充满挑战的过程！ 26.1 反比例函数 比例系数K的几何意义 专练（解析版） （反比例函数的比例系数k与图像面积的出题方向有2种：其1，知道比例系数k 的具体数值，求图形面积；其2，知道图形的面积求比例系数k。 常见的模形有一点一垂线、一点两垂线、两点一垂线、两点两垂线、两点和原点、两曲一平行） 【模型梳理】 一、一点一垂线 【模型结论】反比例函数图象上一点关于坐标轴的垂线、与另一坐标轴上一点（含原点）围成的三角形面积为. 【拓展一】 【拓展二】 【拓展三】(前提：OA=AC) 结论：S△AOB=S△COD S△AOE=S四边形CEBD S△AOC= 二、一点两垂线 【模型结论】反比例函数图象上一点与坐标轴的两条垂线围成的矩形面积为. 【拓展一】 【拓展二】 【拓展三】 结论：S矩形ABOE=S矩形CDOF S矩形AEFG=S矩形CGBD S ▱ABCD= 三、两点一垂线 【模型结论一】反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作垂线围成的三角形面积等于|k|， 结论：S△ABC =2S△ABO = 【模型结论二】反比例函数与一次函数图象的交点及坐标轴上任一点构成三角形的面积，等于坐标轴所分的两个三角形面积之和． 如左图，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C， 则S△AOB=S△AOC+S△BOC=co•|yA|+co•|yB|=co(|yA|+|yB|) 如右图，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与y轴交于点C， 则S△AOB=S△AOC+S△BOC=co•|xA|+co•|xB|=co(|xA|+|xB|) 四、两点两垂线 【模型结论】反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作两条垂线围成的图形面积等于2|k| 五、两点和原点 方法一：S△AOB＝S△COD－S△AOC－S△BOD．【分割】 方法二：作AE⊥x轴于点E，交OB于点M，BF⊥x轴于点F，而S△OAM＝S四边形MEFB，则S△AOB＝S直角梯形AEFB． 方法三：S△AOB＝S四边形COFD－S△AOC－S△BOF. 【补形】 方法四：S△AOB＝S△AOD－S△BOD＝OD•（|yA|-|yB|） 方法五：S△AOB＝S△BOC－S△AOC＝OC•（|xB|-|xA|） 【拓展】 方法一：当AD/AC(或BD/BF)＝m时，则S四边形OADB＝m|k|． 方法二：作AE⊥x轴于E，则S△OAB＝S直角梯形AEFB（类型一）． 六、两曲一平行 【模型讲解】两条双曲线上的两点的连线与一条（或两条）坐标轴平行，求这两点与原点或坐标轴上的点围成的图形面积，过这两点作坐标轴的垂线，结合k的几何意义求解． 类型一 两条双曲线的k值符号相同 结论：S阴影＝|k1|-|k2| S阴影＝|k1|-|k2| 结论：S阴影＝|k1|-|k2| S阴影＝|k1|-|k2|- S直角梯形AFDE 类型二 两条双曲线的k值符号不同 结论：S△AOB＝S△ACB＝(|k1|+|k2|) S阴影＝|k1|+|k2| 【题型巩固】 一、单选题 1．如图，点A是反比例函数图象上的一个动点，过点A作AB⊥x轴，AC⊥y轴，垂足分别为B，C，则矩形ABOC的面积为（   ） A．-4 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】根据反比函数的几何意义，可得矩形ABOC的面积等于比例系数的绝对值，即可求解． 【详解】解：∵点A是反比例函数图象上的一个动点，过点A作AB⊥x轴，AC⊥y轴， ∴矩形ABOC的面积 ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了反比函数的几何意义，熟练掌握本题主要考查了反比例函数 中 的几何意义，即过双曲线上任意一点引 轴、 轴垂线，所得矩形面积等于 是解题的关键． 2．如图，在中，，轴，点A在反比例函数的图象上．若点B在y反比例函数的图象上，则k的值为（    ） A． B． C．3 D．－3 【答案】D 【分析】设，根据平行线的性质求出B点坐标，计算即可； 【详解】设点A的坐标为， ∵轴， ∴令，则， ∴， ∴， ∴； 故答案选D． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的解析式求解，准确计算是解题的关键． 3．如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数y1（x＞0）及y2（x＞0）的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，已知△OAB的面积为3，则k1﹣k2的值等于（    ） A．1 B．3 C．6 D．8 【答案】C 【分析】先根据反比例函数k的几何意义可得△AOP的面积为，△BOP的面积为，由题意可知△AOB的面积为3，最后求出k1﹣k2的值即可． 【详解】解：由反比例函数k的几何意义可得：△AOP的面积为，△BOP的面积为， ∴△AOB的面积为， ∴3， ∴k1﹣k2＝6. 故选C． 【点睛】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，掌握反比例函数中k表示相关三角形的面积成为解答本题的关键． 4．如图，函数（x＞0）和（x＞0）的图象将第一象限分成三个区域，点M是②区域内一点，MN⊥x轴于点N，则△MON的面积可能是（    ） A．0.5． B．1． C．2． D．3.5． 【答案】C 【分析】分别假设点M在和上，即可得出△MON面积可能的值． 【详解】解：∵点M是②区域内一点，且MN⊥x轴于点N， 假设点M落在上， 根据反比例函数的性质，可得：△MON的面积为1， 假设点M落在上， 根据反比例函数的性质，可得：△MON的面积为3， ∴△MON的面积可能是2， 故选C． 【点睛】考查了反比例函数的图象的知识，解题的关键是了解系数k的几何意义． 5．如图，在平面直角坐标系中，函数 y kx 与 y 的图象交于 A、B 两点，过 A 作 y 轴的垂线，交函数的图象于点 C，连接 BC，则△ABC 的面积为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】连接OC，根据图象先证明△AOC与△COB的面积相等，再根据题意分别计算出△AOD与△ODC的面积即可得△ABC的面积. 【详解】连接OC，设AC⊥y轴交y轴为点D， 如图， ∵反比例函数y=-为对称图形， ∴O为AB 的中点， ∴S△AOC=S△COB， ∵由题意得A点在y=-上，B点在y=上， ∴S△AOD=×OD×AD=xy=1； S△COD=×OC×OD=xy=2； S△AOC= S△AOD+ S△COD=3， ∴S△ABC= S△AOC+S△COB=6. 故答案选C. 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题与三角形面积公式，解题的关键是熟练的掌握一次函数与反比例函数的交点问题与三角形面积运算. 6．如图，在平面直角坐标系中，过x轴正半轴上任意一点P作y轴的平行线，分别交函数（）、（）的图象于点A、点B．若C是y轴上任意一点，则的面积为（　　） A．9 B．6 C． D．3 【答案】C 【分析】连接、，根据反比例函数的性质可得，，根据C是y轴上任意一点，轴，可得， 结合，问题得解． 【详解】连接、，如图， 根据题意有：，， ∵C是y轴上任意一点，轴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查反比例函数图象k的几何意义，解决本题的关键是要熟练掌握反比例函数k的几何意义． 7．如图所示，直线y＝－x与双曲线y＝交于A，B两点，点C在x轴上，连接AC，BC．当AC⊥BC，S△ABC＝15时，k的值为（    ） A．－10 B．－9 C．－6 D．－4 【答案】B 【分析】先利用自正比例函数和反比例函数的性质得到点A与点B关于原点对称，OA＝OB，再根据斜边上的中线性质得到OA＝OB＝OC，设设B（t，−t），则 A（−t，t），利用勾股定理表示出OA＝，OC＝，接着利用三角形面积公式得到××（t+t）＝15，解出t得到A（−，2），进而可求出k的值． 【详解】解：∵直线y＝－x与双曲线y＝交于A，B两点， ∴点A与点B关于原点对称，OA＝OB， ∵AC⊥BC， ∴∠ACB＝90°， ∴OA＝OB＝OC， 设B（t，−t），则 A（−t，t）， ∴OA＝， ∴OC＝， ∵S△ABC＝15， ∴××（t+t）＝15，解得t＝， ∴A（−，2）， 把A（−，2）代入y＝，得k＝−×2＝−9． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握正比例函数图像和反比例函数图像的中心对称性，是解题的关键，也考查了待定系数法求函数解析式和直角三角形的性质． 8．如图，点A（m，1），B（2，n）在双曲线（k≠0），连接OA，OB．若S△ABO＝8，则k的值是（　　） A．﹣12 B．﹣8 C．﹣6 D．﹣4 【答案】C 【分析】过A作y轴的垂线，过B作x轴的垂线，交于点C，连接OC，设A（k，1），B（2， k），则AC＝2﹣k，BC＝1﹣k，利用，可计算出的值. 【详解】解：过A作y轴的垂线，过B作x轴的垂线，交于点C，连接OC，如下图所示： 设A（k，1），B（2， k），则AC＝2﹣k，BC＝1﹣k， ∵， ∴， 即 ， 解得 ， ∵， ∴， 故选C． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图像上点的坐标特征，熟知反比例函数图像的性质和坐标与线段之间转化是解题关键. 9．如图，点A是第一象限内双曲线y＝（m＞0）上一点，过点A作AB∥x轴，交双曲线y＝（n＜0）于点B，作AC∥y轴，交双曲线y＝（n＜0）于点C，连接BC．若△ABC的面积为，则m，n的值不可能是（　　） A．m＝，n＝﹣ B．m＝，n＝﹣ C．m＝1，n＝﹣2 D．m＝4，n＝﹣2 【答案】A 【分析】设A的坐标为（x，），分别表示出点B和点C的坐标，再根据三角形的面积公式得出，再将各个选项中的值代入比较，据此进行判断即可． 【详解】解：∵点A是第一象限内双曲线y＝（m＞0）上一点， ∴设A的坐标为（x，）， ∵AB∥x轴，AC∥y轴，且B、C两点在y＝（n＜0）上， ∴B的坐标为（，），C的坐标为（x，）， ∴AB=，AC=， ∵△ABC的面积为， ∴， ∴=9， ∴， ∵将m和n的值代入，只有选项A中不符合． 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的特征，三角形形的面积等知识及综合应用知识、解决问题的能力． 10．如图，A、B是反比例函数y＝的图象上关于原点O对称的任意两点，过点A作AC⊥x轴于点C，连接BC，则△ABC的面积为(    )． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题意，根据反比例函数的性质，设点A坐标为：，再根据坐标系中两点关于原点对称的性质，得点B坐标；过点做交延长线于点，根据直角坐标系的性质，得的值，通过计算即可得到答案． 【详解】根据题意，设点A坐标为：，且 ∵A、B是反比例函数y＝的图象上关于原点O对称的任意两点 ∴点B坐标为： ∵过点A作AC⊥x轴于点C ∴点C坐标为： ∴ 如图，过点做交延长线于点 根据题意得： ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查了直角坐标系、反比例函数的知识；解题的关键是熟练掌握直角坐标系、坐标系中两点关于原点对称、反比例函数的性质，从而完成求解． 11．如图，点A是反比例函数y=的图象上的一点，过点A作□ ABCD，使点C在x轴上，点D在y轴上，若□ABCD面积为6，则k的值是（   ） A．1 B．3 C．6 D．-6 【答案】C 【分析】作AE⊥BC于E，由四边形ABCD为平行四边形得AD//x轴，则可判断四边形ADOE为矩形，所以平行四边形ABCD的面积=矩形ADOE的面积，根据反比例函数k的几何意义得到矩形ADOE的面积=|−k|，则|−k|=6，利用反比例函数图象得到−k<0，即k>0，于是有k=6． 【详解】解：作AE⊥BC于E，如图， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD//x轴，∴四边形ADOE为矩形， ∴，而 =|−k|， ∴|−k|=6，而−k<0，即k>0，∴k=6． 故选C． 【点睛】本题考查了反比例函数(k≠0)系数k的几何意义：从反比例函数(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|． 12．如图，点A是反比例函数y＝的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为4，则k的值是(　　) A．4 B．﹣4 C．8 D．﹣8 【答案】D 【分析】根据反比例函数图象上点的几何意义求解即可． 【详解】解：连接OA，如图， ∵轴， ∴OC∥AB， ∴ 而 ∴ ∵ ∴ 故选D． 【点睛】本题考查了反比例函数解析式，解决此题的关键是能正确利用反比例函数图像上点的意义． 第II卷（非选择题） 请点击修改第II卷的文字说明 二、填空题 13．如图，点A和点B分别是反比例的数y＝（x＞0）和y＝（x＞0），AB⊥x轴，点C为y轴上一点则m﹣n的值为 ． 【答案】4 【分析】连接AO，BO，将△ABC面积转化为△ABO的面积，再通过求解． 【详解】解：连接， ∵AB⊥x轴，点C为y轴上一点， ∴ABy轴， ∴S△ABC＝S△ABO＝2， ∴． ＞＜ ∴ 即m﹣n＝4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查的是反比例函数的系数的几何意义，掌握图形面积与的关系是解题的关键． 14．如图，是反比例函数图象上一点，过分别作轴、轴的垂线，垂足分别为点，点，且分别交反比例函数图象于点，点，连结，，若图中阴影部分的面积为4，则的值为 ． 【答案】7 【分析】连接CD，作轴，垂足为E，设，得到D，C，E的坐标，分别表示出△OCD和△DPC的面积，根据，即可得到k值． 【详解】解：连接CD，作轴，垂足为E， 设，则，，， ∴，，， ∴． ． ∴， ∴， ∴． 故答案为：7． 【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注． 15．点A，B分别是双曲线上的点，轴正半轴于点C，轴于点D，连接AD，BC，若四边形ACBD是面积为12的平行四边形，则 ． 【答案】6 【分析】首先根据平行四边形的性质得出，从而有，然后根据k的几何意义求解即可． 【详解】如图， ∵点A，B分别是双曲线上的点，轴正半轴于点C，轴于点D， ． ∵四边形ACBD是面积为12的平行四边形， ， ∴A，B关于原点对称， ， ， ， ， 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质以及k的几何意义，掌握平行四边形的性质以及k的几何意义是解题的关键． 16．如图，直线与双曲线交于点A,B．过点A作轴，垂足为点P，连接．若B的坐标为，则 ． 【答案】3 【分析】先根据反比例函数和正比例函数的性质求出点的坐标，从而可得的长，再根据三角形的面积公式即可得． 【详解】解：由题意得：点与点关于原点对称， ， ，边上的高为2， 轴， ， 则， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数，熟练掌握反比例函数和正比例函数的性质（对称性）是解题关键． 17．如图，点C在反比例函数y的图象上，CA∥y轴，交反比例函数y的图象于点A，CB∥x轴，交反比例函数y的图象于点B，连结AB、OA和OB，已知CA＝2，则△ABO的面积为 ． 【答案】4 【分析】设A（a，），则C（a，），根据题意求得a＝1，从而求得A（1，3），C（1，1），进一步求得B（3，1），然后作BE⊥x轴于E，延长AC交x轴于D，根据S△ABO＝S△AOD＋S梯形ABED﹣S△BOE和反比例函数系数k的几何意义得出S△ABO＝S梯形ABED，即可求得结果． 【详解】解：设A（a，），则C（a，）， ∵CA＝2， ∴2， 解得a＝1， ∴A（1，3），C（1，1）， ∴B（3，1）， 作BE⊥x轴于E，延长AC交x轴于D， ∵S△ABO＝S△AOD＋S梯形ABED﹣S△BOE，S△AOD＝S△BOE， ∴S△ABO＝S梯形ABED（1＋3）（3﹣1）＝4； 故答案为：4. 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义和三角形的面积，得出S△ABO=S梯形ABED是解题的关键． 18．如图，过轴正半轴上的任意一点，作轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点和点．若是轴上的任意一点，连接，，则的面积为 ． 【答案】7 【分析】根据两平行直线之间共底三角形的面积相等可知，当C点位于O点时，△ABC的面积与△ABO的面积相等，再根据反比例函数的几何意义，即可求解． 【详解】 连接OA、OB， 轴，和同底边AB， ， ， 反比例函数和的图象交于点和点， ， ， 故答案为：7． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数上一点向坐标轴作垂线，与原点构成的矩形的面积为这个结论是解题的关键． 19．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点在双曲线y＝和y＝上，对角线AC，BD均过点O，AD∥y轴，若S四边形ABCD＝12，则k＝ ． 【答案】-4 【分析】通过平行四边形的性质得到△AOD的面积为3，再根据反比例函数系数k的几何意义得到． 【详解】解：由双曲线的对称性得OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD为平行四边形， ∴， ∵AD∥y轴， ∴， ∴， 解得k＝-4或k＝4（舍）， 故答案为：-4． 【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，解题关键是根据题干得到△AOD的面积． 20．如图，直线交双曲线于、，交轴于点为线段的中点，过点作轴于，连结.若，则的值为 ． 【答案】 【分析】过A点作AH⊥x轴于H点，连接OB，得到BM是△AHC的中位线，进而得到AH=2BM，再由△AOH面积等于△OBM面积得到OH=HM=MC，进而得到△OAC的面积为，由此即可求解． 【详解】解：过A点作AH⊥x轴于H点，连接OB，如下图所示， 由B是线段AC的中点知，BM是△AHC的中位线， ∴MH=MC，AH=2BM， 又S△OBM=×OM×BM=k，S△OAH=×OH×AH=k， 由AH=2BM得到OH=OM， 由此H、M将线段OC平分成三份， ∴， 解得：k=8， 故答案为：8． 【点睛】本题考查反比例函数图像及性质，反比例函数中k的几何意义等，熟练掌握反比例函数的图形性质是解决本题的关键． 21．如图，在以O为原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数y＝（x＞0）与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BD＝3AD，且△ODE的面积是9，则k＝ ．    【答案】 【分析】根据所给的三角形面积等于长方形面积减去三个直角三角形的面积，然后即可求出点B的横纵坐标的积即是反比例函数的比例系数． 【详解】解：∵四边形OCBA是矩形， ∴AB＝OC，OA＝BC， 设B点的坐标为(a，b)， ∵BD＝3AD， ∴D(，b)， ∵点D，E在反比例函数的图象上， ∴＝k，∴E(a，)， ∵S△ODE＝S矩形OCBA﹣S△AOD﹣S△OCE﹣S△BDE＝ab﹣•﹣•﹣••（b﹣）＝9， ∴ab﹣﹣＋＝9， ∴ab＋k＝24， ∵＝k， ∴k＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是利用函数图像过某个点，这个点的坐标应适合这个函数解析式；所给的面积应整理为和反比例函数上的点的坐标有关的形式，本题属于中等题型． 22．如图，直线y＝mx与双曲线y＝交于点A，B，过点A，B分别作AM⊥x轴，BN⊥x轴，垂足分别为M，N，连接BM，AN．若S四边形AMBN＝1，则k的值是 ． 【答案】 【分析】先证明四边形AMBN是平行四边形，的面积实际上就是面积的2倍，则S△ABM＝，结合图象可知． 【详解】解：∵OA=OB，ON=OM， ∴四边形AMBN是平行四边形， ∵S四边形AMBN＝1， ∴S△ABM＝， 设点A的坐标为（x，y）， ∴B的坐标为（−x，−y）， ∴×2x×y＝， ∴xy＝， ∴k＝xy＝． 故答案是：． 【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，平行四边形的判定和性质，掌握反比例函数的比例系数等于在它上面的点的横纵坐标的积，是解题的关键． 23．如图，点A是反比例函数图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点C、D在x轴上，且BC∥AD，四边形ABCD的面积为4，则这个反比例函数的解析式为 ． 【答案】y=﹣． 【详解】试题分析：过A点向x轴作垂线，与坐标轴围成的四边形的面积是定值|k|，由此可得出答案． 解：过A点向x轴作垂线，如图： 根据反比例函数的几何意义可得：四边形ABCD的面积为4，即|k|=4， 又∵函数图象在二、四象限， ∴k=﹣4， 即函数解析式为：y=﹣． 故答案为y=﹣． 考点：反比例函数系数k的几何意义． 24．如图，A，B 两点在双曲线 y＝上，分别经过 A，B 两点向轴作垂线段，已知阴影小矩形的面积为 1，则空白两小矩形面积的和 S1+S2＝ ． 【答案】4 【分析】欲求S1+S2，只要求出过A、B两点向x轴、y轴作垂线段求出与坐标轴所形成的矩形的面积即可，而矩形面积为双曲线y=的系数k，由此即可求出S1+S2． 【详解】解：∵点A、B是双曲线y=上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段， 则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|=3， ∴S1+S2=3+3-1×2=4． 故答案为4． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质及任一点坐标的意义，有一定的难度． 25．如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，轴于点，反比例函数的图象与线段相交于点，且是线段的中点，若的面积为3，则的值为 ． 【答案】3 【分析】连接OC，如图，利用三角形面积公式得到，再根据反比例函数系数k的几何意义得到，然后利用反比例函数的性质确定k的值． 【详解】连接OC，如图， ∵轴于点A，C是线段AB的中点， ∴， 而， ∴， 而， ∴． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值． 26．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图像经过上的两点A，P，其中P为的中点，的面积为8，则k的值为 ． 【答案】 【分析】由题意直接根据反比例函数k值的几何意义解答即可，即求出三角形面积即可． 【详解】解：如图，连接，作轴，垂足为E，轴，垂足为D， ∵P为的中点， ∴，, ∵反比例函数的图象经过点A、P， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴ ∵反比例函数的图象在第二象限， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握反比例函数k值的几何意义是解题的关键． 三、解答题 27．如图，直线y＝2x与反比例函数y＝ (k≠0，x＞0)的图象交于点A(1，a)，点B是此反比例函数图象上任意一点(不与点A重合)，BC⊥x轴于点C． (1)求k的值； (2)求△OBC的面积． 【答案】(1)2 (2)1 【分析】（1）由直线y=2x与反比例函数y=（k≠0，x＞0）的图象交于点A（1，a），先将A（1，a）代入直线y=2x求出a的值，从而确定A点的坐标，然后将A点的坐标代入反比例函数y=中即可求出k的值； （2）由反比例函数y=的比例系数k的几何意义，可知△BOC的面积等于|k|，从而求出△OBC的面积． 【详解】（1）解：∵直线y=2x与反比例函数y=（k≠0，x＞0）的图象交于点A（1，a）， ∴将A（1，a）代入直线y=2x，得：a=2 ∴A（1，2）， 将A（1，2）代入反比例函数y=中得：k=2， ∴y=； （2）解：∵B是反比例函数y=图象上的点，且BC⊥x轴于点C， ∴△BOC的面积=|k|=×2=1． 【点睛】反比例函数与一次函数的交点问题． 28．如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于、两点，过点作垂直轴于点，连结.若的面积为2. （1）求的值； （2）直接写出：①点坐标____________；点坐标_____________；②当时，的取值范围__________________； （3）轴上是否存在一点，使为直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）①，；②或；（3）存在，坐标为或，或. 【分析】（1）首先根据反比例函数与正比例函数的图象特征，可知A、B两点关于原点对称，则O为线段AB的中点，故△BOC的面积等于△AOC的面积，都等于1，然后由反比例函数y=的比例系数k的几何意义，可知△AOC的面积等于 |k|，从而求出k的值； （2）联立两函数即可求出坐标，根据图像可写出范围. （3）设点坐标为连结、，再根据勾股定理解答即可. 【详解】解：（1）由题意知：点与点关于原点对称，点为中点， 所以 又   所以 所以    （2）已知两函数交于A，B两点， 故 ①点坐标，点坐标 ②根据图像可得即是反比例函数在正比例函数下方的范围：或. （3）设点坐标为连结、；　 ∴ 或 或 当或或时， 三角形为直角三角形，解得或或 所以点坐标为或，或 【点睛】本题主要考查函数图象的交点及待定系数法求函数解析式，掌握图象的交点的坐标满足两个函数解析式是解题的关键． 29．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y＝x的图像与反比例函数y＝的图像交于A，B两点，且点A的坐标为（6，a）． （1）求反比例函数的表达式； （2）已知点C（b，4）在反比例函数y＝的图像上，点P在x轴上，若△AOC的面积等于△AOP的面积的两倍，请求出点P的坐标． 【答案】（1）反比例函数的表达式为y＝；（2）点P的坐标为（，0）或（－，0）． 【分析】（1）先求解A的坐标，再用待定系数法求反比例函数解析式， （2）先求解C的坐标，利用S△AOC＝S四边形COEA－S△OAE＝S四边形COEA－S△COD＝S梯形CDEA求解，再求，利用面积公式可得答案． 【详解】解：（1）∵点A（6，a）在正比例函数y＝x的图像上 ∴a＝×6＝2 ∵点A（6，2）在反比例函数y＝的图像上 ∴2＝， k＝12 ∴反比例函数的表达式为y＝． （2）分别过点C，A作CD⊥轴，AE⊥轴，垂足分别为点D，E． ∵点C（b，4）在反比例函数y＝的图像上 ∴4＝，b＝3，即点C的坐标为（3，4） ∵点A，C都在反比例函数y＝的图像上 ∴S△OAE＝S△COD＝×12＝6 ∴S△AOC＝S四边形COEA－S△OAE＝S四边形COEA－S△COD＝S梯形CDEA ∴S△AOC＝×(CD＋AE)·DE＝×(4＋2)×(6－3)＝9 ∵△AOC的面积等于△AOP的面积的两倍 ∴S△AOP＝S△AOC＝， 设点P的坐标为（m，0） 则S△AOP＝×2·︱m︱＝，． ∴m＝， ∴点P的坐标为（，0）或（－，0）． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解反比例函数解析式，考查反比例函数中系数的几何意义，掌握以上知识是解题的关键 30．如图，点是直线与反比例函数图象的两个交点，轴，垂足为点已知，连接． 求反比例函数和直线的表达式： 和的面积分别为求． 【答案】（1）反比例函数的解析式为，直线AB为；（2） 【分析】（1）先将点A（，4）代入反比例函数解析式中求出n的值，进而得到点B的坐标，已知点A、点B坐标，利用待定系数法即可求出直线AB的表达式； （2）利用三角形的面积公式以及割补法分别求出S1，S2的值，即可求出． 【详解】解：由点在反比例函数图象上， 反比例函数的解析式为 将点代入得 设直线的表达式为 解得 直线的表达式为； 由点坐标得点到的距离为 设与轴的交点为可得如图： 由点知点到的距离分别为，3 . 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及三角形的面积，属于中考常考题型． 31．已知图中的曲线是反比例函数y＝（m为常数）图象的一支． （1）根据图象位置，求m的取值范围； （2）若该函数的图象任取一点A，过A点作x轴的垂线，垂足为B，当△OAB的面积为4时，求m的值．    【答案】（1）m＞5；（2）m＝13． 【分析】（1）由反比例函数图象位于第一象限得到m﹣5大于0，即可求出m的范围； （2）根据反比例函数系数k的几何意义得出（m﹣5）＝4，解得即可． 【详解】解：（1）∵这个反比例函数的图象分布在第一、第三象限， ∴m﹣5＞0， 解得m＞5； （2）∵S△OAB＝|k|，△OAB的面积为4， ∴（m﹣5）＝4， ∴m＝13． 【点睛】此题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数的图象与性质，根据系数k的几何意义得出（m−5）＝4是解题的关键． 32．如图，点在反比例函数的图象上，轴，且交y轴于点C，交反比例函数于点B，已知． （1）求直线的解析式； （2）求反比例函数的解析式； （3）点D为反比例函数上一动点，连接交y轴于点E，当E为中点时，求的面积． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）先求解的坐标，再把的坐标代入正比例函数，解方程即可得到答案； （2）利用 先求解的坐标，再利用待定系数法求解解析式即可； （3）设 而为的中点，利用中点坐标公式求解的坐标，再利用，计算即可得到答案. 【详解】解：（1） 点在反比例函数的图象上， 则 设直线为： 则 所以直线为： （2） 轴， ． 所以反比例函数为： （3）设 而为的中点， 【点睛】本题考查的利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，图形与坐标，中点坐标公式，熟练应用以上知识解题是关键. 33．如图1，动点在函数的图象上，过点分别作轴和轴的平行线，交函数的图象于点、，作直线，设直线的函数表达式为． （1）若点的坐标为． ①点坐标为______，点坐标为______，直线的函数表达式为______； ②点在轴上，点在轴上，且以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点、的坐标； （2）连接、． ①当时，求的长度； ②如图2，试证明的面积是个定值． 【答案】（1）①(1，4)；（2，2）；y＝−2x＋6；②D(1，0)，E(0，2)或D（−1，0），E（0，2）；（2）①；②见详解 【分析】（1）①把x＝2代入中，求得C点的纵坐标，进而得C点坐标，把y＝4代入中，求得B点的横坐标，进而得B点坐标，再用待定系数法求得BC的解析式； ②设D（m，0），E（0，n），显然BC为平行四边形的对角线时不存在，则BC必为平行四边形的边，分别两种情况BE∥CD或BD∥CE，求出结果便可； （2）①设M（m，），则B（，），C（m，），由OB＝OC列出方程求得m2，由两点距离公式求得OB；②延长MC与x轴交于点A，设M（m，），则B（，），C（m，），A（m，0），根据梯形面积公式和三角形的面积公式计算便可得答案． 【详解】解：（1）①∵点M的坐标为（2，4），BM∥x轴，CM∥y轴， ∴xC＝2，yB＝4， 把y＝4代入中，得x＝1， ∴B(1，4)， 把x＝2代入中，得y＝2， ∴C（2，2）， 把B、C的坐标都代入y＝kx＋b中，得， 解得：， ∴直线BC的解析式为：y＝−2x＋6． 故答案为：(1，4)；（2，2）；y＝−2x＋6； ②设D（m，0），E（0，n）， 当四边形BEDC为平行四边形时， ∵B(1，4)，C（2，2），BE∥CD，BE＝CD， ∴1−0＝2−m，4−n＝2−0， ∴m＝1，n＝2， ∴D(1，0)，E(0，2)， 当四边形BDEC为平行四边形时， ∵B(1，4)，C（2，2），BD∥CE，BD＝CE， ∴1−m＝2−0，4−0＝2−n， ∴m＝−1，n＝−2， ∴D（−1，0），E（0，2）， 综上所述：D(1，0)，E(0，2)或D（−1，0），E（0，2）； （2）①设M（m，），则B（，），C（m，）， ∵OB＝OC， ∴OB2＝OC2， ∴()2＋()2＝m2＋()2，解得，m2＝8， ∴OB＝； ②延长MC与x轴交于点A， 设M（m，），则B（，），C（m，），A（m，0）， ∴BM＝，MA＝，AC＝，CM＝，OA＝m， ∴S△OBC＝S梯形OAMB−S△BCM−S△OAC ＝(＋m)• −ו−m•＝3， ∴△BOC的面积是个定值． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象与性质，一次函数的性质，待定系数法，平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形的面积，关键在于分情况讨论，数形结合正确根据点的坐标特点表示线段长度． 34．如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m≠0）的图象交于二、四象限内的A、B两点，点A的坐标为（﹣2，3），点B的坐标为（6，n）． (1)则m＝　　，n＝　　； (2)若y1＞y2时，则x的取值范围是　　； (3)过点B作BC⊥y轴于C点，连接AC，过点C作CD⊥AB于点D，求线段CD的长． 【答案】(1)m=-6，n=-1 (2)x＜-2，或0＜x＜6 (3) 【分析】（1）先将点A坐标代入反比例函数解析式中，求出m，再将点B坐标代入反比例函数解析式中求出n； （2）根据一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m≠0）的图象交点A（﹣2，3）和点B（6，-1），得到不等式，的解集是x＜-2，或0＜x＜6； （3）先求出BC，h，再求出AB，最后用三角形的面积公式建立方程求解，即可得出结论． 【详解】（1）解：（1）∵点A（-2，3）在反比例函数的图象上， ∴m=-2×3=-6， ∴反比例函数的解析式为， ∵B（6，n）在反比例函数的图象上， ∴6n=-6， ∴n=-1， 故答案为：m=-6，n=-1； （2）∵一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m≠0）的图象交于点A（﹣2，3）和点B（6，-1） ∴y1＞y2时，， 由图象看出x的取值范围是x＜-2，或0＜x＜6； 故答案为： x＜-2，或0＜x＜6； （3）∵BC⊥y轴，B（6，-1）， ∴BC=6， ∵A（-2，3）， 设点A到BC的距离为h， ∴h=3-（-1）=4， ∵， CD⊥AB， ∴S△ABC=BC•h=AB•CD， ∴． 【点睛】此题主要考查了一次函数与反比例函数，熟练掌握待定系数法求函数解析式，用图象法解不等式，两点间的距离公式，三角形的面积公式，二次根式分母有理化，是解本题的关键． 1 1 教育是一个优雅而漫长的过程! 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学习是一个快乐而充满挑战的过程！ 26.1 反比例函数 比例系数K的几何意义 专练（原卷版） （反比例函数的比例系数k与图像面积的出题方向有2种：其1，知道比例系数k 的具体数值，求图形面积；其2，知道图形的面积求比例系数k。 常见的模形有一点一垂线、一点两垂线、两点一垂线、两点两垂线、两点和原点、两曲一平行） 【模型梳理】 一、一点一垂线 【模型结论】反比例函数图象上一点关于坐标轴的垂线、与另一坐标轴上一点（含原点）围成的三角形面积为. 【拓展一】 【拓展二】 【拓展三】(前提：OA=AC) 结论：S△AOB=S△COD S△AOE=S四边形CEBD S△AOC= 二、一点两垂线 【模型结论】反比例函数图象上一点与坐标轴的两条垂线围成的矩形面积为. 【拓展一】 【拓展二】 【拓展三】 结论：S矩形ABOE=S矩形CDOF S矩形AEFG=S矩形CGBD S ▱ABCD= 三、两点一垂线 【模型结论一】反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作垂线围成的三角形面积等于|k|， 结论：S△ABC =2S△ABO = 【模型结论二】反比例函数与一次函数图象的交点及坐标轴上任一点构成三角形的面积，等于坐标轴所分的两个三角形面积之和． 如左图，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C， 则S△AOB=S△AOC+S△BOC=co•|yA|+co•|yB|=co(|yA|+|yB|) 如右图，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与y轴交于点C， 则S△AOB=S△AOC+S△BOC=co•|xA|+co•|xB|=co(|xA|+|xB|) 四、两点两垂线 【模型结论】反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作两条垂线围成的图形面积等于2|k| 五、两点和原点 方法一：S△AOB＝S△COD－S△AOC－S△BOD．【分割】 方法二：作AE⊥x轴于点E，交OB于点M，BF⊥x轴于点F，而S△OAM＝S四边形MEFB，则S△AOB＝S直角梯形AEFB． 方法三：S△AOB＝S四边形COFD－S△AOC－S△BOF. 【补形】 方法四：S△AOB＝S△AOD－S△BOD＝OD•（|yA|-|yB|） 方法五：S△AOB＝S△BOC－S△AOC＝OC•（|xB|-|xA|） 【拓展】 方法一：当AD/AC(或BD/BF)＝m时，则S四边形OADB＝m|k|． 方法二：作AE⊥x轴于E，则S△OAB＝S直角梯形AEFB（类型一）． 六、两曲一平行 【模型讲解】两条双曲线上的两点的连线与一条（或两条）坐标轴平行，求这两点与原点或坐标轴上的点围成的图形面积，过这两点作坐标轴的垂线，结合k的几何意义求解． 类型一 两条双曲线的k值符号相同 结论：S阴影＝|k1|-|k2| S阴影＝|k1|-|k2| 结论：S阴影＝|k1|-|k2| S阴影＝|k1|-|k2|- S直角梯形AFDE 类型二 两条双曲线的k值符号不同 结论：S△AOB＝S△ACB＝(|k1|+|k2|) S阴影＝|k1|+|k2| 【题型巩固】 1．如图，点A是反比例函数图象上的一个动点，过点A作AB⊥x轴，AC⊥y轴，垂足分别为B，C，则矩形ABOC的面积为（   ） A．-4 B．2 C．4 D．8 2．如图，在中，，轴，点A在反比例函数的图象上．若点B在y反比例函数的图象上，则k的值为（    ） A． B． C．3 D．－3 3．如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数y1（x＞0）及y2（x＞0）的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，已知△OAB的面积为3，则k1﹣k2的值等于（    ） A．1 B．3 C．6 D．8 4．如图，函数（x＞0）和（x＞0）的图象将第一象限分成三个区域，点M是②区域内一点，MN⊥x轴于点N，则△MON的面积可能是（    ） A．0.5． B．1． C．2． D．3.5． 5．如图，在平面直角坐标系中，函数 y kx 与 y 的图象交于 A、B 两点，过 A 作 y 轴的垂线，交函数的图象于点 C，连接 BC，则△ABC 的面积为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 6．如图，在平面直角坐标系中，过x轴正半轴上任意一点P作y轴的平行线，分别交函数（）、（）的图象于点A、点B．若C是y轴上任意一点，则的面积为（　　） A．9 B．6 C． D．3 7．如图所示，直线y＝－x与双曲线y＝交于A，B两点，点C在x轴上，连接AC，BC．当AC⊥BC，S△ABC＝15时，k的值为（    ） A．－10 B．－9 C．－6 D．－4 8．如图，点A（m，1），B（2，n）在双曲线（k≠0），连接OA，OB．若S△ABO＝8，则k的值是（　　） A．﹣12 B．﹣8 C．﹣6 D．﹣4 9．如图，点A是第一象限内双曲线y＝（m＞0）上一点，过点A作AB∥x轴，交双曲线y＝（n＜0）于点B，作AC∥y轴，交双曲线y＝（n＜0）于点C，连接BC．若△ABC的面积为，则m，n的值不可能是（　　） A．m＝，n＝﹣ B．m＝，n＝﹣ C．m＝1，n＝﹣2 D．m＝4，n＝﹣2 10．如图，A、B是反比例函数y＝的图象上关于原点O对称的任意两点，过点A作AC⊥x轴于点C，连接BC，则△ABC的面积为(    )． A．1 B．2 C．3 D．4 11．如图，点A是反比例函数y=的图象上的一点，过点A作□ ABCD，使点C在x轴上，点D在y轴上，若□ABCD面积为6，则k的值是（   ） A．1 B．3 C．6 D．-6 12．如图，点A是反比例函数y＝的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为4，则k的值是(　　) A．4 B．﹣4 C．8 D．﹣8 第II卷（非选择题） 请点击修改第II卷的文字说明 二、填空题 13．如图，点A和点B分别是反比例的数y＝（x＞0）和y＝（x＞0），AB⊥x轴，点C为y轴上一点则m﹣n的值为 ． 14．如图，是反比例函数图象上一点，过分别作轴、轴的垂线，垂足分别为点，点，且分别交反比例函数图象于点，点，连结，，若图中阴影部分的面积为4，则的值为 ． 15．点A，B分别是双曲线上的点，轴正半轴于点C，轴于点D，连接AD，BC，若四边形ACBD是面积为12的平行四边形，则 ． 16．如图，直线与双曲线交于点A,B．过点A作轴，垂足为点P，连接．若B的坐标为，则 ． 17．如图，点C在反比例函数y的图象上，CA∥y轴，交反比例函数y的图象于点A，CB∥x轴，交反比例函数y的图象于点B，连结AB、OA和OB，已知CA＝2，则△ABO的面积为 ． 18．如图，过轴正半轴上的任意一点，作轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点和点．若是轴上的任意一点，连接，，则的面积为 ． 19．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点在双曲线y＝和y＝上，对角线AC，BD均过点O，AD∥y轴，若S四边形ABCD＝12，则k＝ ． 20．如图，直线交双曲线于、，交轴于点为线段的中点，过点作轴于，连结.若，则的值为 ． 21．如图，在以O为原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数y＝（x＞0）与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BD＝3AD，且△ODE的面积是9，则k＝ ．    22．如图，直线y＝mx与双曲线y＝交于点A，B，过点A，B分别作AM⊥x轴，BN⊥x轴，垂足分别为M，N，连接BM，AN．若S四边形AMBN＝1，则k的值是 ． 23．如图，点A是反比例函数图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点C、D在x轴上，且BC∥AD，四边形ABCD的面积为4，则这个反比例函数的解析式为 ． 24．如图，A，B 两点在双曲线 y＝上，分别经过 A，B 两点向轴作垂线段，已知阴影小矩形的面积为 1，则空白两小矩形面积的和 S1+S2＝ ． 25．如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，轴于点，反比例函数的图象与线段相交于点，且是线段的中点，若的面积为3，则的值为 ． 26．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图像经过上的两点A，P，其中P为的中点，的面积为8，则k的值为 ． 三、解答题 27．如图，直线y＝2x与反比例函数y＝ (k≠0，x＞0)的图象交于点A(1，a)，点B是此反比例函数图象上任意一点(不与点A重合)，BC⊥x轴于点C． (1)求k的值； (2)求△OBC的面积． 28．如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于、两点，过点作垂直轴于点，连结.若的面积为2. （1）求的值； （2）直接写出：①点坐标____________；点坐标_____________；②当时，的取值范围__________________； （3）轴上是否存在一点，使为直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 29．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y＝x的图像与反比例函数y＝的图像交于A，B两点，且点A的坐标为（6，a）． （1）求反比例函数的表达式； （2）已知点C（b，4）在反比例函数y＝的图像上，点P在x轴上，若△AOC的面积等于△AOP的面积的两倍，请求出点P的坐标． 30．如图，点是直线与反比例函数图象的两个交点，轴，垂足为点已知，连接． 求反比例函数和直线的表达式： 和的面积分别为求． 31．已知图中的曲线是反比例函数y＝（m为常数）图象的一支． （1）根据图象位置，求m的取值范围； （2）若该函数的图象任取一点A，过A点作x轴的垂线，垂足为B，当△OAB的面积为4时，求m的值．    32．如图，点在反比例函数的图象上，轴，且交y轴于点C，交反比例函数于点B，已知． （1）求直线的解析式； （2）求反比例函数的解析式； （3）点D为反比例函数上一动点，连接交y轴于点E，当E为中点时，求的面积． 33．如图1，动点在函数的图象上，过点分别作轴和轴的平行线，交函数的图象于点、，作直线，设直线的函数表达式为． （1）若点的坐标为． ①点坐标为______，点坐标为______，直线的函数表达式为______； ②点在轴上，点在轴上，且以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点、的坐标； （2）连接、． ①当时，求的长度； ②如图2，试证明的面积是个定值． 34．如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m≠0）的图象交于二、四象限内的A、B两点，点A的坐标为（﹣2，3），点B的坐标为（6，n）． (1)则m＝　　，n＝　　； (2)若y1＞y2时，则x的取值范围是　　； (3)过点B作BC⊥y轴于C点，连接AC，过点C作CD⊥AB于点D，求线段CD的长． 1 1 教育是一个优雅而漫长的过程! 学科网（北京）股份有限公司 $$