第四讲 多边形的面积（单元讲义）-2024-2025学年五年级上册数学举一反三变式拓展（北师大版）学生版+教师版

2024-2025学年五年级上册数学举一反三变式拓展（北师大版） 第四讲 多边形的面积 （导图+知识精讲+高频易错点+十一大考点讲练+难度分层练） 教学目标： 1.经历比较图形面积大小、图形面积猜想与验证的探究活动，体验数方格及割补法在图形面积探究中的应用，积累探索图形面积的活动经验，发展空间观念。 2.通过动手操作，认识梯形、平行四边形与三角形的高，会用三角尺画这三种图形的高。 3.在用割补等方法探索图形面积过程中，理解并掌握平行四边形、三角形和梯形的面积计算公式，会计算这三种图形的面积，体验“转化”的思想，发展推理和解决问题的能力,获得成功探索问题的体验。 重点： 掌握平行四边形、三角形和梯形的面积计算公式，会计算面积。 难点：体验“转化”的思想，发展推理和解决问题的能力。 知识梳理精讲 2 高频易错点拨 5 考点一：借助方格比较图形的面积 5 考点二：梯形的高及画法 6 考点三：平行四边形的高及画法 7 考点四：三角形的高及画法 8 考点五：平行四边形面积的计算 9 考点六：平行四边形面积的应用 10 考点七：利用平移法求平行四边形的面积 11 考点八：三角形面积的计算 12 考点九：三角形面积的应用 13 考点十：梯形面积的计算 14 考点十一：梯形面积的应用 14 中等题真题训练 15 拔高题真题训练 18 知识梳理精讲 知识点01：面积的比较和高的认识 1.比较图形面积大小的方法。 （1）数方格法:观察方格纸中的各图形，数出各图形各占几个格，根据图形所占方格的数量来比较它们的面积。 （2）重叠法:借助图形变换使两个图形重叠，观察两个图形能否完全重合，来比较它们的面积。(图形的形状相同适用于此方法) （3）拼组法:将两个图形组在一起，看是否与其他图形相同。 （4）分割移补法:两个图形的形状不同，不能完全重合，但可以把图形分割平移，变成一种比较相似的图形，再比较它们的面积。 温馨提示：两个图形面积的大小与它们的形状没有关系。 2.梯形的底和高及画法。 （1）梯形中平行的两条边为梯形的上底和下底。上、下底之间的垂直线段就是梯形的高。梯形有无数条高。 （2）把三角尺的一条直角边与梯形的一条底边重合，另一条直角边与另一条底边相交于一点，从这一点向对应底边（或底边延长线）画垂线，这点到对应底边（或底边延长线）的垂直线段就是梯形的高。 3.平行四边形的底和高及画法。 （1）从平行四边形的顶点（或一条边上的任意一点）向它的对边画垂直线段，这条垂直线段就是平行四边形的高，这条对边就是这条高对应的底。平行四边形有无数条高。 （2）把三角尺的一条直角边与平行四边形的一条底边重合，另一条直角边与平行四边形这条底边所对的边相交于一点，从这一点向对应底边（或底边延长线）画垂线，这点到对应底边（或底边延长线）的垂直线段就是平行四边形的高。 4.三角形的底和高及画法。 （1）三角形有三条边，三条边都可以作底边，每条边与其所对应的顶点到这条边的垂直线段就是三角形的底和高。三角形有三组对应的底和高。 （2）把三角尺的一条直角边与一条底边重合，沿着这条底边平移三角尺，使三角尺的另一条直角边通过底边所对的顶点，从顶点向底边（或底边延长线）画一条垂线，顶点到底边（或底边延长线）的垂直线段就是三角形底边上的高。 5.画指定底和高长度的平面图形的方法。 先画指定长度的底，然后根据底确定指定长度的高，最后画出其他的边。 知识点02：平行四边形的面积 1.平行四边形面积计算公式的推导过程。 通过割补法把平行四边形转化为长方形，长方形的长等于原平行四边形的底，长方形的宽等于原平行四边形的高。 2.平行四边形的面积计算公式。 平行四边形的面积 ＝底×高。如果用S表示平行四边形的面积，用a表示平行四边形的底,用h表示平行四边形的高,那么平行四边形面积的计算公式可以写成S＝ah。 温馨提示： 1. 平行四边形的底＝平行四边形的面积÷对应的高，平行四边形的高＝平行四边形的面积÷对应的底 。 2. 决定平行四边形面积大小的是它的底和高，等底等高的平行四边形的面积相等。 知识点03：三角形的面积 1.三角形面积计算公式的推导过程。 两个完全相同的三角形能拼成一个平行四边形。平行四边形的底和高分别是三角形的底和高。 平行四边形的面积是其中一个三角形面积的2倍，因此可以由平行四边形面积公式推导出三角形的面积计算公式。 2.三角形的面积计算公式。 三角形的面积是与它等底等高的平行四边形面积的一半。 三角形的面积=底×高÷2。 温馨提示： 1.三角形的底＝三角形的面积×２÷高，三角形的高＝三角形的面积×２÷底。 2. 决定三角形面积大小的是它的底和高，等底等高的三角形的面积相等。 知识点04：梯形的面积 1.梯形面积计算公式的推导过程。  可以把一个梯形分成两个三角形或一个三角形和一个平行四边形，通过计算两个三角形的面积之和或一个三角形和一个平行四边形的面积之和推导出梯形的面积计算公式。 两个完全相同的梯形，可以拼成一个平行四边形。 2.平行四边形的底等于梯形上底与下底的和，平行四边形的高等于梯形的高。 3.梯形的面积计算公式。 梯形的面积＝ (上底＋下底)×高÷２；若用S表示梯形的面积,用a表示梯形的上底,用b表示梯形的下底,用h表示梯形的高,则S＝ (a＋b)×h÷2 。 温馨提示： 1.上底与下底之和相等，高也相等的梯形，面积相等。 2.计算排放整齐的圆木或钢管的数量，可以用梯形的面积计算公式。 高频易错点拨 知识点01：面积的比较和高的认识 1.割补法可以保证图形的面积不变，但会影响到周长。 2.任意一个三角形都有三条高。任意一个梯形都有无数条高。任意一个平行四边形都有无数条高。 3.画平行四边形指定底边上的高时，所画的高一定要与底边垂直。 知识点02：平行四边形的面积 1.判断两个平行四边形的面积是否相等，应根据它们的底和高的具体情况进行判断。 2.求平行四边形的面积，先要找到底和与其相对应的高，再计算。 3.一个平行四边形，如果形状发生了变化，越接近长方形面积就越大；反之，面积就越小。 知识点03：三角形的面积 1.只有大小、形状完全相同的两个三角形才能拼成平行四边形。 2.三角形的面积等于与它等底等高的平行四边形的面积的一半。 3.计算三角形的面积时，不要忘记底乘高后再除以2。 4.已知三角形的面积和底（或高）求高（或底）时，不要忘记三角形的面积要先乘2。 5.钝角三角形的面积与底边延长线的长度没有关系。 知识点04：梯形的面积 1.只有两个完全一样的梯形才能拼成一个平行四边形。即梯形的面积和平行四边形的面积只有在特定情况下才有2倍关系。 2.计算梯形的面积时，不要忘记除以2。 考点一：借助方格比较图形的面积 【精讲题】（23-24五年级上·浙江湖州·期末）如图所示图形中，面积最大的是（    ）。 A．A B．B C．C D．D 【精练题1】（22-23五年级上·广东惠州·期中）下面图形中，（    ）的面积与其它两个的面积不相等。（图中每个小方格的边长表示lcm）    A．A B．B C．C 【精练题2】（22-23五年级上·陕西·课后作业）下面方格中哪个图形的面积最大？请打“√”． 若每格是1平方厘米，图1面积是（ ）平方厘米，图2面积是（ ）平方厘米。 考点二：梯形的高及画法 【精讲题】（23-24五年级上·辽宁·课后作业）用三角尺上的直角量一量，下面各图形中哪条虚线是它的高？在图中标出来。 【精练题1】（23-24五年级上·辽宁·课后作业）( )和( )画高的方法是正确的。 ①             ②         ③           ④ 【精练题2】（23-24五年级上·辽宁·随堂练习）用三角尺上的直角量一量，下面各图形中哪条虚线是它的高？在图中标出来。 考点三：平行四边形的高及画法 【精讲题】（23-24五年级上·辽宁·课后作业）画出下面图形给定底边上的高。 【精练题1】（21-22四年级上·重庆大足·期末）已知下图四边形ABCD是平行四边形，，下列说法正确的有（    ）个。 （1）平行四边形ABCD的CD边上的高是15cm。 （2）DE＝10cm。 （3）四边形ABED是一个直角梯形。 （4）。 A．1 B．2 C．3 D．4 【精练题2】（23-24五年级上·辽宁·随堂练习）画出下面各图形给定底边上的高，并与同伴交流你是怎么画的。 考点四：三角形的高及画法 【精讲题】（23-24五年级上·辽宁·课后作业）如图所示，在三角形ADE中，DE边上的高是（    ）。 A．EF B．AD C．AC 【精练题1】（23-24五年级上·陕西咸阳·阶段练习）下面各图形中的虚线是该图形给定底边上的高吗？是的画“√”，不是的画“×”。             ( )      ( )       ( )       ( ) 【精练题2】（20-21五年级上·陕西西安·期末）按要求填一填，画一画。 （1）图形①先向左平移（    ）格，再向上平移（    ）格，得到图形②。 （2）画出图形③给定底边上的高。 （3）画出图形④所有的对称轴。 （4）将图形③先向左平移10格，再向下平移2格，画出得到的图形。 考点五：平行四边形面积的计算 【精讲题】．（24-25五年级上·全国·期中）小冬把如图的平行四边形利用割补转化成面积相等的长方形后，用“”来计算它的面积。 （1）他剪拼成的长方形是怎样的？请在图中画出来。 （2）的长度是多少？ 【精练题1】（23-24五年级上·广东揭阳·期中）如下图所示，求DF的长是多少厘米？ 【精练题2】（23-24五年级上·辽宁·课后作业） （1）如图，平行四边形的面积是多少？ （2）如果平行四边形的高增加1、底减少1，得到的新平行四边形和原平行四边形的面积之间有什么关系？ （3）如果平行四边形的高增加2，底减少2呢？ （4）你发现了什么？举例验证你的发现。 考点六：平行四边形面积的应用 【精讲题】（23-24五年级上·辽宁·课后作业）下图中用割补法能推导出平行四边形面积计算公式的是（    ）。         ①        ②         ③        ④ A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【精练题1】（23-24五年级上·辽宁·课后作业）有一个正方形框架，若将它拉成一个平行四边形，则（    ）。 A．周长变了，面积不变 B．周长变了，面积变了 C．周长不变，面积不变 D．周长不变，面积变了 【精练题2】（23-24五年级上·辽宁·随堂练习）为了方便停车，很多停车位设计成平行四边形，如图。 （1）如何求出这个停车位的面积？想一想并与同伴交流。 （2）已知这个停车位的底是4.8米，对应的高是2.5米，它的面积是多少？ 考点七：利用平移法求平行四边形的面积 【精讲题】（23-24五年级上·四川成都·期末）学校劳动实践基地有一块平行四边形的菜地，为了方便管理，中间留了一条平行四边形的小路（如图）。如果每平方米收的白菜能卖25元，这块菜地的白菜一共可以卖多少元？ 【精练题1】（23-24五年级上·辽宁葫芦岛·期末）本学期我们利用“转化”的方法解决了许多问题，下面做法正确的有（    ）。 A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【精练题2】（23-24五年级上·陕西西安·期中）如图是一个平行四边形花园，张伯伯在花园中修了一条垂直于花园底边的小路，这条小路宽1米，面积是9平方米，然后在其余部分种上太阳花，如果每平方米需要1.4克太阳花种子，这个花园一共需要多少克太阳花种子？ 考点八：三角形面积的计算 【精讲题】（23-24五年级上·浙江金华·期末）下图长方形的长是1.5米，宽是0.8米。阴影部分面积是( )平方米。 【精练题1】（23-24五年级上·辽宁·课后作业）算一算，想一想，你发现了什么？ 列式解答： 。 发现：它们的底和高都( )，面积也( )。 【精练题2】（23-24五年级上·辽宁·课后作业）学完三角形的面积后，彤彤画了一个三角形ABC，然后在它的一条边BC上点了两个点E，F，并使BE＝EF＝FC，连接AE和AF得到了3个小三角形。他们谁说得对？ 考点九：三角形面积的应用 【精讲题】（23-24五年级上·浙江衢州·期末）一块三角形土地与一块平行四边形土地的面积相等，高也相等，三角形土地的底是36.8m，那么平行四边形土地的底是( )m。 【精练题1】（23-24五年级上·浙江金华·期末）一块三角形交通标志牌，面积是35.1平方分米，底是9分米。这个底对应的高是多少分米？ 【精练题2】（23-24五年级上·辽宁葫芦岛·期末）观察方格图，按要求完成题目。 （1）请以AB为其中一条边，画一个与△ABC的面积相等，但形状不同的三角形。 （2）在方格图中，请找一点D，使点A、B、C、D四个点连接成为一个平行四边形，点D的位置可能在（ ， ），也可能在（ ， ）。 考点十：梯形面积的计算 【精讲题】（23-24五年级上·浙江衢州·期末）一个直角梯形的上底与下底之和是24厘米，如果下底减少4厘米就变成了一个正方形，那么这个梯形的高是( )厘米，面积是( )平方厘米。 【精练题1】（22-23五年级上·吉林长春·期末）求组合图形的面积。（单位：米） 【精练题2】（23-24五年级上·浙江金华·期末）笑笑在推导梯形的面积计算公式时，沿梯形两条腰的中点剪开，将梯形剪拼成平行四边形。 （1）根据笑笑的方法，画出剪拼前后的示意图。 （2）想一想，转化后的平行四边形与原来的梯形有什么联系？请按笑笑的方法，写出梯形面积公式的推导过程。 考点十一：梯形面积的应用 【精讲题】（23-24五年级上·辽宁·课后作业）下图是某小区的一个花坛，其中红花是由若干盆花排成梯形组成的。最上面一排摆了16盆，最下面一排摆了21盆，一共摆放了6排。这些红花共有多少盆？ 【精练题1】（23-24五年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，现在要将一块梯形空地扩建成一个美食广场，扩建后的美食广场是一个平行四边形，且面积比原来增加了180平方米。原来这块梯形空地的占地面积是多少平方米？ 【精练题2】（24-25五年级上·全国·期中）张阿姨靠墙边围了一块梯形的菜地，围菜地的篱笆长35m。求这块菜地的面积，下面4位同学的算法或想法，正确的是（    ）。 A． B． C． D．不知道上、下底，无法计算 中等题真题训练 1．（21-22五年级上·广东清远·期末）一个三角形，它的面积是35平方厘米，高是7厘米，底是（    ）厘米。 A．5 B．10 C．28 2．（23-24五年级上·辽宁·课后作业）正确计算下边三角形面积的算式是（    ）。 A．9.8×2.3 B．9.8×2.3÷2 C．6.2×2.3 D．6.2×2.3÷2 3．（22-23五年级上·辽宁锦州·期末）将一个平行四边形框架拉成长方形，比较框架拉动前后的变化，下面说法正确的是（    ）。 A．周长不变，面积变小 B．周长不变，面积变大 C．周长和面积都不变 D．无法确定 4．（23-24五年级上·辽宁·课后作业）一个梯形的面积是72平方厘米，上底是2厘米，下底是10厘米，它的高是( )厘米。 5．（23-24五年级上·辽宁·课后作业）如图，两个完全相同的梯形可以拼成一个( )，平行四边形的底等于梯形的( )，平行四边形的高等于梯形的( )。 6．（24-25五年级上·全国·期中）奇思在探索梯形的面积计算方法时，把一个梯形沿着两腰中点剪开，拼成了一个平行四边形（如图），拼成的平行四边形底是( )，面积是( )。 7．（21-22五年级上·广东清远·期末）把一个长方形拉成一个平行四边形，它的面积不变。( ) 8．（20-21五年级上·陕西西安·期末）一个三角形的底不变，要使面积扩大到原来的2倍，则底边对应的高就要扩大到原来的4倍。( ) 9．（24-25五年级上·全国·期中）计算面积。（单位：分米） 10．（23-24五年级上·辽宁·单元测试）求阴影部分的面积。（单位：厘米） 11．（23-24五年级上·辽宁·课后作业）一个三角形的底长14厘米，如果把它的底延长3厘米，那么三角形的面积就会增加6平方厘米。原三角形的面积是多少平方厘米？ 12．（23-24五年级上·辽宁·课后作业）朝阳小学有一块底是20米的平行四边形草坪。由于校园规划改造，现在把底边延长1.6米，面积增加了4.32平方米，原来草坪的面积是多少平方米？ 13． （23-24五年级上·全国·单元测试）有一块三角形的铁皮，量得它的底是8.4分米，高比底短3.2分米。如果这种铁皮每平方米的售价是150元，那么买这块铁皮需要多少钱？ 14．（23-24五年级上·江苏·课后作业）把20本练习本摞成一个长方体（如下左图），量出前面长方形的长和宽，算出它的面积。再把这摞练习本均匀地斜放（如下图），这时前面变成了一个近似的平行四边形，你能测量有关数据，并算出它的面积吗？ 比较两次测量和计算的结果，你有什么发现？ 拔高题真题训练 15．（23-24五年级上·甘肃定西·期中）等底等高的三角形和平行四边形面积之和为48平方分米，三角形的面积是（    ）。 A．12平方分米 B．16平方分米 C．24平方分米 16．（23-24五年级上·浙江金华·期末）一个三角形的底是8cm，如果底不变，高增加3cm，面积增加（    ）。 A．12cm2 B．24cm2 C．48cm2 D．高不知道，无法计算 17．（23-24五年级上·辽宁·课后作业）如图，在两条平行线之间有A、B、C、D，4个图形，（    ）的面积最大。 A．A B．B C．C D．D 18．（20-21五年级上·安徽亳州·期中）一个梯形的上底是18cm，如果高和下底不变，上底增加8cm，就变成了一个平行四边形，面积增加26cm2，原来这个梯形的面积是( )cm2。 19．（2021五年级上·辽宁·专题练习）如图所示，把一个长方形分成：一个梯形和一个三角形。已知梯形的面积比三角形的面积大18平方厘米，那么梯形的上底长为 厘米。 20．（19-20五年级上·辽宁大连·期末）根据下图中的图形转化，将梯形面积的推导过程补充完整，再回答问题。 （1）沿着梯形高的一半平行剪开，将上半部分的梯形旋转后与下半部分的梯形拼成了平行四边形，此时，平行四边形的底相当于梯形的( )，平行四边形的高相当于梯形的( )，因为平行四边形的面积等于( )，所以梯形的面积等于( )。 （2）将一个面积是60cm2的梯形按照上面的方法拼成一个平行四边形，如果平行四边形的底是12cm，梯形的高是( )cm。 21．（23-24五年级上·吉林长春·期末）求下图图形的面积。 22．（13-14五年级上·山西吕梁·期中）求阴影部分的面积。（单位：cm） 23．（23-24五年级上·辽宁·课后作业）如图，三角形ABC的周长是30厘米，三角形内一点O到三角形三条边的距离都是3厘米，求三角形ABC的面积。 24．（22-23二年级下·辽宁·单元测试）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝10厘米，直角三角形BCE中，EC＝10厘米。图中阴影部分的面积比三角形EFG的面积大6平方厘米，EG长多少厘米？ 25．（21-22五年级上·广东惠州·阶段练习）一个梯形，如果上底减少4cm，它就变成一个三角形，面积比原来的梯形减少8cm2；如果上底增加6cm，就变成一个平行四边形。原来梯形的面积是多少平方厘米？ 26．（20-21五年级上·四川成都·期末）一个梯形，如果上底增加5cm，就变成一个平行四边形，如果上底减少5cm，就变成了一个三角形，这时面积比原来梯形的面积就减少7.5平方厘米。原来梯形的面积是多少平方厘米？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年五年级上册数学举一反三变式拓展（北师大版） 第四讲 多边形的面积 （导图+知识精讲+高频易错点+十一大考点讲练+难度分层练） 教学目标： 1.经历比较图形面积大小、图形面积猜想与验证的探究活动，体验数方格及割补法在图形面积探究中的应用，积累探索图形面积的活动经验，发展空间观念。 2.通过动手操作，认识梯形、平行四边形与三角形的高，会用三角尺画这三种图形的高。 3.在用割补等方法探索图形面积过程中，理解并掌握平行四边形、三角形和梯形的面积计算公式，会计算这三种图形的面积，体验“转化”的思想，发展推理和解决问题的能力,获得成功探索问题的体验。 重点： 掌握平行四边形、三角形和梯形的面积计算公式，会计算面积。 难点：体验“转化”的思想，发展推理和解决问题的能力。 知识梳理精讲 2 高频易错点拨 5 考点一：借助方格比较图形的面积 5 考点二：梯形的高及画法 8 考点三：平行四边形的高及画法 9 考点四：三角形的高及画法 11 考点五：平行四边形面积的计算 13 考点六：平行四边形面积的应用 15 考点七：利用平移法求平行四边形的面积 17 考点八：三角形面积的计算 19 考点九：三角形面积的应用 21 考点十：梯形面积的计算 22 考点十一：梯形面积的应用 24 中等题真题训练 26 拔高题真题训练 32 知识梳理精讲 知识点01：面积的比较和高的认识 1.比较图形面积大小的方法。 （1）数方格法:观察方格纸中的各图形，数出各图形各占几个格，根据图形所占方格的数量来比较它们的面积。 （2）重叠法:借助图形变换使两个图形重叠，观察两个图形能否完全重合，来比较它们的面积。(图形的形状相同适用于此方法) （3）拼组法:将两个图形组在一起，看是否与其他图形相同。 （4）分割移补法:两个图形的形状不同，不能完全重合，但可以把图形分割平移，变成一种比较相似的图形，再比较它们的面积。 温馨提示：两个图形面积的大小与它们的形状没有关系。 2.梯形的底和高及画法。 （1）梯形中平行的两条边为梯形的上底和下底。上、下底之间的垂直线段就是梯形的高。梯形有无数条高。 （2）把三角尺的一条直角边与梯形的一条底边重合，另一条直角边与另一条底边相交于一点，从这一点向对应底边（或底边延长线）画垂线，这点到对应底边（或底边延长线）的垂直线段就是梯形的高。 3.平行四边形的底和高及画法。 （1）从平行四边形的顶点（或一条边上的任意一点）向它的对边画垂直线段，这条垂直线段就是平行四边形的高，这条对边就是这条高对应的底。平行四边形有无数条高。 （2）把三角尺的一条直角边与平行四边形的一条底边重合，另一条直角边与平行四边形这条底边所对的边相交于一点，从这一点向对应底边（或底边延长线）画垂线，这点到对应底边（或底边延长线）的垂直线段就是平行四边形的高。 4.三角形的底和高及画法。 （1）三角形有三条边，三条边都可以作底边，每条边与其所对应的顶点到这条边的垂直线段就是三角形的底和高。三角形有三组对应的底和高。 （2）把三角尺的一条直角边与一条底边重合，沿着这条底边平移三角尺，使三角尺的另一条直角边通过底边所对的顶点，从顶点向底边（或底边延长线）画一条垂线，顶点到底边（或底边延长线）的垂直线段就是三角形底边上的高。 5.画指定底和高长度的平面图形的方法。 先画指定长度的底，然后根据底确定指定长度的高，最后画出其他的边。 知识点02：平行四边形的面积 1.平行四边形面积计算公式的推导过程。 通过割补法把平行四边形转化为长方形，长方形的长等于原平行四边形的底，长方形的宽等于原平行四边形的高。 2.平行四边形的面积计算公式。 平行四边形的面积 ＝底×高。如果用S表示平行四边形的面积，用a表示平行四边形的底,用h表示平行四边形的高,那么平行四边形面积的计算公式可以写成S＝ah。 温馨提示： 1. 平行四边形的底＝平行四边形的面积÷对应的高，平行四边形的高＝平行四边形的面积÷对应的底 。 2. 决定平行四边形面积大小的是它的底和高，等底等高的平行四边形的面积相等。 知识点03：三角形的面积 1.三角形面积计算公式的推导过程。 两个完全相同的三角形能拼成一个平行四边形。平行四边形的底和高分别是三角形的底和高。 平行四边形的面积是其中一个三角形面积的2倍，因此可以由平行四边形面积公式推导出三角形的面积计算公式。 2.三角形的面积计算公式。 三角形的面积是与它等底等高的平行四边形面积的一半。 三角形的面积=底×高÷2。 温馨提示： 1.三角形的底＝三角形的面积×２÷高，三角形的高＝三角形的面积×２÷底。 2. 决定三角形面积大小的是它的底和高，等底等高的三角形的面积相等。 知识点04：梯形的面积 1.梯形面积计算公式的推导过程。  可以把一个梯形分成两个三角形或一个三角形和一个平行四边形，通过计算两个三角形的面积之和或一个三角形和一个平行四边形的面积之和推导出梯形的面积计算公式。 两个完全相同的梯形，可以拼成一个平行四边形。 2.平行四边形的底等于梯形上底与下底的和，平行四边形的高等于梯形的高。 3.梯形的面积计算公式。 梯形的面积＝ (上底＋下底)×高÷２；若用S表示梯形的面积,用a表示梯形的上底,用b表示梯形的下底,用h表示梯形的高,则S＝ (a＋b)×h÷2 。 温馨提示： 1.上底与下底之和相等，高也相等的梯形，面积相等。 2.计算排放整齐的圆木或钢管的数量，可以用梯形的面积计算公式。 高频易错点拨 知识点01：面积的比较和高的认识 1.割补法可以保证图形的面积不变，但会影响到周长。 2.任意一个三角形都有三条高。任意一个梯形都有无数条高。任意一个平行四边形都有无数条高。 3.画平行四边形指定底边上的高时，所画的高一定要与底边垂直。 知识点02：平行四边形的面积 1.判断两个平行四边形的面积是否相等，应根据它们的底和高的具体情况进行判断。 2.求平行四边形的面积，先要找到底和与其相对应的高，再计算。 3.一个平行四边形，如果形状发生了变化，越接近长方形面积就越大；反之，面积就越小。 知识点03：三角形的面积 1.只有大小、形状完全相同的两个三角形才能拼成平行四边形。 2.三角形的面积等于与它等底等高的平行四边形的面积的一半。 3.计算三角形的面积时，不要忘记底乘高后再除以2。 4.已知三角形的面积和底（或高）求高（或底）时，不要忘记三角形的面积要先乘2。 5.钝角三角形的面积与底边延长线的长度没有关系。 知识点04：梯形的面积 1.只有两个完全一样的梯形才能拼成一个平行四边形。即梯形的面积和平行四边形的面积只有在特定情况下才有2倍关系。 2.计算梯形的面积时，不要忘记除以2。 考点一：借助方格比较图形的面积 【精讲题】（23-24五年级上·浙江湖州·期末）如图所示图形中，面积最大的是（    ）。 A．A B．B C．C D．D 【答案】D 【思路点拨】假设每个小方格面积为1，分别数数各个图形包含小方格的数量和半个的数量，每个图形小方格的数量＝小方格数量＋半格的数量÷2，求出每个图形方格的数量即可比较图形的大小。 【规范解答】A．图形A的面积是：10＋4÷2＝12 B．图形B的面积是：6＋10÷2＝11 C．图形C的面积是：7＋7÷2＝10.5 D．图形D的面积是：12＋4÷2＝16 16＞12＞11＞10.5 面积最大的是D。 故答案为：D 【精练题1】（22-23五年级上·广东惠州·期中）下面图形中，（    ）的面积与其它两个的面积不相等。（图中每个小方格的边长表示lcm）    A．A B．B C．C 【答案】A 【思路点拨】图形A是三角形，因三角形面积＝底×高÷2，将数据代入可求得三角形面积。 图形B和C可用数格子的方法数出有多少个格子，从而知道它们的面积。据此解答。 【规范解答】每个格子的面积：1×1＝1（） 图形A面积：6×3÷2 ＝18÷2 ＝9（） 图形B面积：13 图形C面积：13 故答案为：A 【考点评析】对规则图形，可用公式求得面积，对不规则的图形，本题可用数格子的方法求得面积。 【精练题2】（22-23五年级上·陕西·课后作业）下面方格中哪个图形的面积最大？请打“√”． 若每格是1平方厘米，图1面积是（ ）平方厘米，图2面积是（ ）平方厘米。 【答案】图见详解；8；9 【思路点拨】（1）图形占8个格子，面积是8个方格面积； （2）4个满格加8个半格，等于8个满格，面积是8个方格面积； （3）6个满格加6个半格，等于9个满格，面积是9个方格面积； （4）4个满格加4个半格，等于6个满格，面积是6个方格面积。 9＞8＞6，所以图2的面积最大；如果每格是1平方厘米，图形占几个方格就是几平方厘米。 【规范解答】 若每格是1平方厘米，图1面积是8平方厘米，图2面积是9平方厘米。 考点二：梯形的高及画法 【精讲题】（23-24五年级上·辽宁·课后作业）用三角尺上的直角量一量，下面各图形中哪条虚线是它的高？在图中标出来。 【答案】见详解 【思路点拨】画三角形、梯形、平行四边形给定底边上的高，都相当于过直线外一点画已知直线的垂直线段。先确定画哪条底边上的高，再从对着该底边的顶点（或对边上的某一点）向这个底边画垂直线段。 【规范解答】如图所示： 【精练题1】（23-24五年级上·辽宁·课后作业）( )和( )画高的方法是正确的。 ①             ②         ③           ④ 【答案】 ② ④ 【思路点拨】画三角形、梯形、平行四边形给定底边上的高，都相当于过直线外一点画已知直线的垂直线段。先确定画哪条底边上的高，再从对着该底边的顶点（或对边上的某一点）向这个底边画垂直线段。 【规范解答】①该三角形底边上的高应该从左上方的顶点向这个底边画垂直线段，该画法是错误的； ②该梯形的高画法是正确的； ③该三角形底边上的高应该从对着该底边的顶点向这个底边画垂直线段，该画法是错误的； ④该平行四边形的高画法是正确的。 因此②和④画高的方法是正确的。 【精练题2】（23-24五年级上·辽宁·随堂练习）用三角尺上的直角量一量，下面各图形中哪条虚线是它的高？在图中标出来。 【答案】见详解 【思路点拨】三角形、四边形的高是过顶点且垂直于底边的线段，可根据图形内的线段是否过顶点且垂直于底边，据此可得出答案。 【规范解答】 考点三：平行四边形的高及画法 【精讲题】（23-24五年级上·辽宁·课后作业）画出下面图形给定底边上的高。 【答案】见详解 【思路点拨】从梯形一条底边上的一点到它对边的垂直线段叫做梯形的高； 从顶点到垂足间的线段叫做三角形的高； 从平行四边形的一条边上的任意一点都可以向对边作垂直线段，即是平行四边形的高。 画三角形、梯形、平行四边形给定底边上的高，都相当于过直线外一点画已知直线的垂直线段。先确定画哪条底边上的高，再从对着该底边的顶点（或对边上的某一点）向这个底边画垂直线段。 【规范解答】如图： 【精练题1】（21-22四年级上·重庆大足·期末）已知下图四边形ABCD是平行四边形，，下列说法正确的有（    ）个。 （1）平行四边形ABCD的CD边上的高是15cm。 （2）DE＝10cm。 （3）四边形ABED是一个直角梯形。 （4）。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【思路点拨】（1）从点A向CD边作的垂线段的长度是15厘米，这条垂线即为CD边上的高； （2）平行四边形的对边互相平行，边AD与边BC互相平行，由图可知从点A向BC边作的垂线段的长度是10厘米，这个垂线段即为BC边上的高，从点D向BC边作的垂线段（也是BC边上的高），所以线段DE的长度也是10厘米， （3）四边形ABED有一组对边互相平行，AD边与BE边互相平行，另外一组对边不平行，即这个四边形只有一组对边互相平行，所以是梯形，且DE边与BE边互相垂直，即为直角梯形。 （4）AB边与AD边是相邻的两条边，它们是相交的关系，不是平行的关系。 【规范解答】（1）平行四边形ABCD的CD边上的高是15厘米，这句话说法正确； （2）DE＝10厘米，是正确的； （3）四边形ABED是一个直角梯形，这句话是正确的； （4），这个结论是错误的。 所以共有3个是正确的。 故答案为：C 【精练题2】（23-24五年级上·辽宁·随堂练习）画出下面各图形给定底边上的高，并与同伴交流你是怎么画的。 【答案】见详解 【思路点拨】从平行四边形的一条边上的任意一点都可以向对边作垂直线段，即是平行四边形的高； 从三角形任一顶点向它的对边或者对边的延长线作垂线，从顶点到垂足间的线段叫做三角形的高。这个顶点所对的边叫做三角形的底； 从梯形一条底边上的一点到它对边的垂直线段叫做梯形的高。 据此根据画垂线的方法画出各图形给定底边上的高即可。 【规范解答】 考点四：三角形的高及画法 【精讲题】（23-24五年级上·辽宁·课后作业）如图所示，在三角形ADE中，DE边上的高是（    ）。 A．EF B．AD C．AC 【答案】C 【思路点拨】画三角形给定底边上的高，相当于过直线外一点画已知直线的垂直线段。先确定画哪条底边上的高，再从对着该底边的顶点（或对边上的某一点）向这个底边画垂直线段。 【规范解答】画三角形ADE中DE边上的高，从DE边相对的顶点A作DE边的垂直线段会与AC重合，所以DE边上的高是AC。 故答案为：C 【精练题1】（23-24五年级上·陕西咸阳·阶段练习）下面各图形中的虚线是该图形给定底边上的高吗？是的画“√”，不是的画“×”。             ( )      ( )       ( )       ( ) 【答案】 √ √ × √ 【思路点拨】（1）从三角形一个顶点向它的对边（或对边所在的直线）作垂线，那么这个顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线，简称为高； （2）从平行四边形一条边上任意一点向对边（或对边所在的直线）引一条垂线，这点到垂足之间的线段叫做平行四边形的高。垂足所在的边叫做平行四边形的底； （3）从梯形上底任意一点到对边作垂线，这点到垂足之间的线段叫做梯形的高。垂足所在的边叫做梯形的底。 【规范解答】根据分析可知，①是给定边上的高；②是给定边上的高；③不是垂线，所以不是高；④是给定边上的高。 【精练题2】（20-21五年级上·陕西西安·期末）按要求填一填，画一画。 （1）图形①先向左平移（    ）格，再向上平移（    ）格，得到图形②。 （2）画出图形③给定底边上的高。 （3）画出图形④所有的对称轴。 （4）将图形③先向左平移10格，再向下平移2格，画出得到的图形。 【答案】（1）2；6 （2）、（3）、（4）见详解 【思路点拨】（1）、（4）找准方向，数清格数，即可解答； （2）用三角板的直角即可画出底边上的高，据此解答； （3）根据对称的意义即可解答。 【规范解答】解：（1）图形①先向左平移2格，再向上平移6格，得到图形②。 （2）、（3）、（4）作图如下： 考点五：平行四边形面积的计算 【精讲题】．（24-25五年级上·全国·期中）小冬把如图的平行四边形利用割补转化成面积相等的长方形后，用“”来计算它的面积。 （1）他剪拼成的长方形是怎样的？请在图中画出来。 （2）的长度是多少？ 【答案】（1）见详解 （2）10厘米 【思路点拨】（1）根据平行四边形面积公式的推导过程可知，把一个平行四边形转化为长方形后面积不变，转化后的长方形的长等于平行四边形的底，长方形的宽等于平行四边形的高。据此作图即可。 （2）根据平行四边形的面积底高，那么高面积底，把数据代入公式解答。 【规范解答】（1）作图如下：可以沿高剪开再拼成长方形。（答案不唯一） （2） （厘米） 答：的长度是10厘米。 【精练题1】（23-24五年级上·广东揭阳·期中）如下图所示，求DF的长是多少厘米？ 【答案】1.6厘米 【思路点拨】平行四边形面积＝底×高，根据题意得平行四边形的底BC长2厘米，高是DE1.2厘米；以AB1.5厘米为底，则高为DF。可先计算出平行四边形面积，再除以AB底的长，据此计算得出答案。 【规范解答】以BC为底，DE为高，则平行四边形面积为：（平方厘米） 以AB为底，则此时DF为底，则DF＝2.4÷1.5＝1.6（厘米） 答：DF的长是1.6厘米。 【精练题2】（23-24五年级上·辽宁·课后作业） （1）如图，平行四边形的面积是多少？ （2）如果平行四边形的高增加1、底减少1，得到的新平行四边形和原平行四边形的面积之间有什么关系？ （3）如果平行四边形的高增加2，底减少2呢？ （4）你发现了什么？举例验证你的发现。 【答案】（1）16； （2）得到的新平行四边形比原平行四边形的面积少1； （3）得到的新平行四边形比原平行四边形的面积少4； （4）见详解 【思路点拨】（1）平行四边形的面积＝底×高，据此解答即可； （2）原来的高是4，增加1后为5，底原来是4，减少1为3，再根据平行四边形的面积＝底×高，据此解答即可； （3）原来的高是4，增加2后为6，底原来是4，减少2为2，再根据平行四边形的面积＝底×高，据此解答即可； （4）通过前两问进行分析发现，高增加n，底减少n，则新平行四边形面积比原平行四边形少。 【规范解答】（1）4×4＝16（） 答：平行四边形的面积16。 （2）（4＋1）×（4－1） ＝5×3 ＝15（） 16－15＝1（） 答：得到的新平行四边形比原平行四边形的面积少1。 （3）（4＋2）×（4－2） ＝6×2 ＝12（） 16－12＝4（） 答：得到的新平行四边形比原平行四边形的面积少4。 （4）我们发现：如果平行四边形的高增加n，底减少n，得到的新平行四边形比原平行四边形的面积少。 如果平行四边形的高增加n，底减少n，得到的新平行四边形比原平行四边形的面积少。 例如：如果平行四边形的高增加3，底减少3，得到的新平行四边形面积为： 16－3×3 ＝16－9 ＝7（） （4＋3）×（4－3） ＝7×1 ＝7（） 此例子验证了我的发现。 考点六：平行四边形面积的应用 【精讲题】（23-24五年级上·辽宁·课后作业）下图中用割补法能推导出平行四边形面积计算公式的是（    ）。         ①        ②         ③        ④ A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【思路点拨】①把平行四边形沿高剪下一个小直角三角形，然后平移到右边，把平行四边形转化成长方形。这两个图形的面积相等，平行四边形的底和长方形的长相等，平行四边形的高和长方形的宽相等，因为长方形的面积＝长×宽，所以平行四边形的面积＝底×高。 ②在平行四边形沿高剪下一个小直角梯形，然后平移到右边，把平行四边形转化成长方形。这两个图形的面积相等，平行四边形的底和长方形的长相等，平行四边形的高和长方形的宽相等，因为长方形的面积＝长×宽，所以平行四边形的面积＝底×高。 ③在平行四边形的左边剪下一个小三角形，然后平移到右边，把平行四边形又转化成一个平行四边形，所以不能推导出平行四边形面积计算公式； ④N、M是平行四边形两条边上的中点，沿N、M向底边作垂线，在平行四边形的左下角、右上角各剪下一个小直角三角形，再补回左上角、右下角，把平行四边形转化成长方形，平行四边形的面积＝长方形面积，根据长方形的面积公式可推导出平行四边形的面积计算公式。 【规范解答】从分析中可知，①②④都是用割补法把平行四边形转化成长方形，平行四边形的面积＝长方形面积，根据长方形的面积公式可推导出平行四边形的面积计算公式。 故答案为：C 【精练题1】（23-24五年级上·辽宁·课后作业）有一个正方形框架，若将它拉成一个平行四边形，则（    ）。 A．周长变了，面积不变 B．周长变了，面积变了 C．周长不变，面积不变 D．周长不变，面积变了 【答案】D 【思路点拨】把一个正方形框架拉成一个平行四边形，四条边的长度没变，所以平行四边形和正方形的周长相等； 把一个正方形框架拉成一个平行四边形，平行四边形的底等于正方形的边长，平行四边形的高小于正方形的边长；根据正方形的面积＝边长×边长，平行四边形的面积＝底×高，可得出：平行四边形的面积小于正方形的面积。 【规范解答】如图： 平行四边形的周长＝正方形的周长 平行四边形的底＝正方形的边长 平行四边形的高＜正方形的边长 底×高＜边长×边长 即平行四边形的面积＜正方形的面积。 所以，有一个正方形框架，若将它拉成一个平行四边形，则周长不变，面积变了。 故答案为：D 【精练题2】（23-24五年级上·辽宁·随堂练习）为了方便停车，很多停车位设计成平行四边形，如图。 （1）如何求出这个停车位的面积？想一想并与同伴交流。 （2）已知这个停车位的底是4.8米，对应的高是2.5米，它的面积是多少？ 【答案】（1）见详解 （2）12平方米 【思路点拨】（1）为了求出平行四边形停车位的面积，首先需要画出高，并量出与之对应的底和高的长度。 （2）已知的底为4.8米，对应的高为2.5米，根据平行四边形的面积＝底×高，代入数据解答即可。 【规范解答】（1）先画出这个平行四边形停车位的高，再测量出高和所对应的底边长度，最后根据平行四边形的面积＝底×高即可解答。 （2）4.8×2.5＝12（平方米） 答：它的面积是12平方米。 考点七：利用平移法求平行四边形的面积 【精讲题】（23-24五年级上·四川成都·期末）学校劳动实践基地有一块平行四边形的菜地，为了方便管理，中间留了一条平行四边形的小路（如图）。如果每平方米收的白菜能卖25元，这块菜地的白菜一共可以卖多少元？ 【答案】10875元 【思路点拨】先算菜地的面积，通过平移可知，菜地可看成一个底是米，高是15米的平行四边形，再根据，代入数据计算得菜地面积，再乘25，即可得解。 【规范解答】 （元） 答：这块菜地的白菜一共可以卖10875元。 【精练题1】（23-24五年级上·辽宁葫芦岛·期末）本学期我们利用“转化”的方法解决了许多问题，下面做法正确的有（    ）。 A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】A 【思路点拨】根据积的变化规律，商不变的规律，以及平行四边形面积公式推导的方法对各个问题进行分析，找出正确的即可。 【规范解答】 ①，先把两个因数同时乘10，这样积就扩大到原来的100倍，然后积再除以100，就得到了原来算式的积，是正确的； ②，把平行四边形割补成长方形，面积不变，长方形的长是平行四边形的底，长方形的宽是平行四边形的高，根据长方形的面积＝长×宽，得出平行四边形的面积＝底×高，是正确的； ③，9.75÷2.5根据商不变规律，被除数和除数同时乘10后再计算，应变成97.5÷25，而原题变成了975÷25，是错误的。 故答案为：A 【精练题2】（23-24五年级上·陕西西安·期中）如图是一个平行四边形花园，张伯伯在花园中修了一条垂直于花园底边的小路，这条小路宽1米，面积是9平方米，然后在其余部分种上太阳花，如果每平方米需要1.4克太阳花种子，这个花园一共需要多少克太阳花种子？ 【答案】189克 【思路点拨】由长方形的面积＝长×宽，可推导出长＝长方形的面积÷宽，据此用小路的面积（9平方米）除以小路的宽（1米）可求出小路的长（9米），即平行四边形的高； 观察图形可知，种太阳花的面积相当于一个底（16－1）米、宽9米的平行四边形的面积；根据平行四边形的面积＝底×高求出种太阳花的面积；最后用种太阳花的面积乘1.4求出一共需要太阳花种子的质量。 【规范解答】9÷1＝9（米） （16－1）×9×1.4 ＝15×9×1.4 ＝135×1.4 ＝189（克） 答：这个花园一共需要189克太阳花种子。 考点八：三角形面积的计算 【精讲题】（23-24五年级上·浙江金华·期末）下图长方形的长是1.5米，宽是0.8米。阴影部分面积是( )平方米。 【答案】0.6 【思路点拨】阴影部分是个三角形，三角形的底＝长方形的长，三角形的高＝长方形的宽，根据三角形面积＝底×高÷2，列式计算即可。 【规范解答】1.5×0.8÷2＝0.6（平方米） 阴影部分面积是0.6平方米。 【精练题1】（23-24五年级上·辽宁·课后作业）算一算，想一想，你发现了什么？ 列式解答： 。 发现：它们的底和高都( )，面积也( )。 【答案】 7×9÷2＝31.5（平方厘米） 相等 相等 【思路点拨】通过观察图可知，这三个三角形的底都为7厘米，高为9厘米，根据面积公式：三角形的面积＝底×高÷2，通过计算三角形的面积来观察规律。 【规范解答】列式解答：7×9÷2＝31.5（平方厘米） 这三个三角形的面积都为31.5平方厘米。 发现：它们的底和高都相等，面积也相等。 【精练题2】（23-24五年级上·辽宁·课后作业）学完三角形的面积后，彤彤画了一个三角形ABC，然后在它的一条边BC上点了两个点E，F，并使BE＝EF＝FC，连接AE和AF得到了3个小三角形。他们谁说得对？ 【答案】彤形说得对 【思路点拨】三角形的面积公式：三角形的面积＝底×高÷2，据此解答。 【规范解答】彤彤说得对。因为三个小三角形的高都是顶点A到BC边的距离，所以它们的高相同，而BE＝EF＝FC，这说明三个小三角形的底也是相等的。由于三个小三角形的高相同，底也相等，根据三角形面积公式，它们的面积是相等的。因此彤彤说得对。 考点九：三角形面积的应用 【精讲题】（23-24五年级上·浙江衢州·期末）一块三角形土地与一块平行四边形土地的面积相等，高也相等，三角形土地的底是36.8m，那么平行四边形土地的底是( )m。 【答案】18.4 【思路点拨】根据三角形的面积＝底×高÷2，平行四边形的面积＝底×高，可知当三角形和平行四边形等高等面积时，平行四边形的底是三角形底的一半，据此用三角形的底除以2，即可求出平行四边形的底。 【规范解答】36.8÷2＝18.4（m） 平行四边形土地的底是18.4m。 【精练题1】（23-24五年级上·浙江金华·期末）一块三角形交通标志牌，面积是35.1平方分米，底是9分米。这个底对应的高是多少分米？ 【答案】7.8分米 【思路点拨】已知三角形交通标志牌的面积和底，根据三角形的高＝三角形的面积×2÷底，代入数据计算，即可求出这个底对应的高。 【规范解答】35.1×2÷9 ＝70.2÷9 ＝7.8（分米） 答：这个底对应的高是7.8分米。 【精练题2】（23-24五年级上·辽宁葫芦岛·期末）观察方格图，按要求完成题目。 （1）请以AB为其中一条边，画一个与△ABC的面积相等，但形状不同的三角形。 （2）在方格图中，请找一点D，使点A、B、C、D四个点连接成为一个平行四边形，点D的位置可能在（ ， ），也可能在（ ， ）。 【答案】（1）（2）如图所示： （2）（10，4）；（0，4） 【思路点拨】（1）以AB为三角形底边，3个格长为高的三角形； （2）根据平行四边形对边平行且相等画图；数对中，第1个数表示横轴的数，第2个数表示纵轴的数，据此写数对。 【规范解答】（1）（2）如图所示： 点D的位置可能在（10，4），也可能在（0，4）。 考点十：梯形面积的计算 【精讲题】（23-24五年级上·浙江衢州·期末）一个直角梯形的上底与下底之和是24厘米，如果下底减少4厘米就变成了一个正方形，那么这个梯形的高是( )厘米，面积是( )平方厘米。 【答案】 10 120 【思路点拨】由题可知，梯形下底减少4厘米后，上底与下底的和是24－4＝20（厘米），此时是一个正方形，正方形的四条边都相等，故正方形的边长是20÷2＝10（厘米），梯形的高也是10厘米。梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，据此解答。 【规范解答】24－4＝20（厘米） 20÷2＝10（厘米） 24×10÷2＝120（平方厘米） 则这个梯形的高是10厘米，面积是120平方厘米。 【精练题1】（22-23五年级上·吉林长春·期末）求组合图形的面积。（单位：米） 【答案】209平方米 【思路点拨】由图可知，这个组合图形是由一个三角形和一个梯形组成，根据公式：三角形的面积＝底×高÷2，梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据计算，再把梯形的面积和三角形的面积加起来即可。 【规范解答】＝44（平方米） ＝165（平方米） 165＋44＝209（平方米） 组合图形的面积是209平方米。 【精练题2】（23-24五年级上·浙江金华·期末）笑笑在推导梯形的面积计算公式时，沿梯形两条腰的中点剪开，将梯形剪拼成平行四边形。 （1）根据笑笑的方法，画出剪拼前后的示意图。 （2）想一想，转化后的平行四边形与原来的梯形有什么联系？请按笑笑的方法，写出梯形面积公式的推导过程。 【答案】见详解 【思路点拨】（1）沿梯形两条腰的中点剪开，将上边沿右边腰剪开的点向右旋转90°，即可拼成平行四边形，作图即可； （2）转化后的平行四边形的面积＝梯形的面积，平行四边形的高＝梯形的高÷2，平行四边形的底＝梯形上底＋下底，根据平行四边形面积＝底×高，即可推导出梯形面积公式。 【规范解答】 （1） （2）转化后的平行四边形的面积等于梯形的面积，平行四边形的高等于梯形高的一半；底等于梯形上底与下底的和；因为平行四边形面积＝底×高＝（上底十下底）×（高÷2），因此梯形的面积（上底十下底）×（高÷2）＝（上底十下底）×高÷2。 考点十一：梯形面积的应用 【精讲题】（23-24五年级上·辽宁·课后作业）下图是某小区的一个花坛，其中红花是由若干盆花排成梯形组成的。最上面一排摆了16盆，最下面一排摆了21盆，一共摆放了6排。这些红花共有多少盆？ 【答案】111盆 【思路点拨】上面摆的16盆相当于梯形的上底，最下面的21盆相当于梯形的下底，6排相当于梯形的高，用梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，求出梯形的面积，也就是总盆数。 【规范解答】（16＋21）×6÷2 ＝37×6÷2 ＝111（盆） 答：这些红花共有111盆。 【精练题1】（23-24五年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，现在要将一块梯形空地扩建成一个美食广场，扩建后的美食广场是一个平行四边形，且面积比原来增加了180平方米。原来这块梯形空地的占地面积是多少平方米？ 【答案】480平方米 【思路点拨】看图可知，原来的梯形和增加的三角形等高，根据三角形的高＝面积×2÷底，梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，列式解答即可。 【规范解答】180×2÷30＝12（米） （55－30＋55）×12÷2 ＝80×12÷2 ＝480（平方米） 答：原来这块梯形空地的占地面积是480平方米。 【精练题2】（24-25五年级上·全国·期中）张阿姨靠墙边围了一块梯形的菜地，围菜地的篱笆长35m。求这块菜地的面积，下面4位同学的算法或想法，正确的是（    ）。 A． B． C． D．不知道上、下底，无法计算 【答案】C 【思路点拨】通过观察图形可知，一面靠墙，用篱笆围成一个高是15m的直角梯形，用篱笆的长度减去高就是梯形的上下底之和，根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，用字母表示是：，把数据代入公式解答。 【规范解答】这个梯形的上底和下底的和是（35－15）m、高是15m。 菜地（梯形）的面积是： （35－15）×15÷2 ＝20×15÷2 ＝300÷2 ＝150（m2） 故答案为：C 中等题真题训练 1．（21-22五年级上·广东清远·期末）一个三角形，它的面积是35平方厘米，高是7厘米，底是（    ）厘米。 A．5 B．10 C．28 【答案】B 【思路点拨】根据三角形的面积公式可知，三角形的底＝面积×2÷高，直接列式计算即可。 【规范解答】35×2÷7＝10（厘米） 底是10厘米。 故答案为：B 2．（23-24五年级上·辽宁·课后作业）正确计算下边三角形面积的算式是（    ）。 A．9.8×2.3 B．9.8×2.3÷2 C．6.2×2.3 D．6.2×2.3÷2 【答案】B 【思路点拨】三角形的底和高要一一对应，从图中可知，三角形的高2.3cm对应的底是9.8cm，根据三角形的面积＝底×高÷2，据此列出算式。 【规范解答】9.8×2.3÷2 ＝22.54÷2 ＝11.27（cm2） 三角形面积是11.27cm2。 正确计算下边三角形面积的算式是9.8×2.3÷2。 故答案为：B 3．（22-23五年级上·辽宁锦州·期末）将一个平行四边形框架拉成长方形，比较框架拉动前后的变化，下面说法正确的是（    ）。 A．周长不变，面积变小 B．周长不变，面积变大 C．周长和面积都不变 D．无法确定 【答案】B 【思路点拨】把平行四边形框架拉成长方形，四条边的长度没变，所以平行四边形和长方形的周长相等。 把平行四边形框架拉成长方形，长方形的长等于平行四边形的底，长方形的宽大于平行四边形的高；根据长方形的面积＝长×宽，平行四边形的面积＝底×高，可得出：长方形的面积大于平行四边形的面积。 【规范解答】如图： 长方形的周长＝平行四边形的周长 长方形的长＝平行四边形的底 长方形的宽＞平行四边形的高 长×宽＞底×高 所以，长方形的面积＞平行四边形的面积。 将一个平行四边形框架拉成长方形，周长不变，面积变大。 故答案为：B 4．（23-24五年级上·辽宁·课后作业）一个梯形的面积是72平方厘米，上底是2厘米，下底是10厘米，它的高是( )厘米。 【答案】12 【思路点拨】根据梯形的面积公式：面积＝（上底＋下底）×高÷2，高＝面积×2÷（上底＋下底），代入数据，即可解答。 【规范解答】72×2÷（2＋10） ＝144÷12 ＝12（厘米） 一个梯形的面积是72平方厘米，上底是2厘米，下底是10厘米，它的高是12厘米。 5．（23-24五年级上·辽宁·课后作业）如图，两个完全相同的梯形可以拼成一个( )，平行四边形的底等于梯形的( )，平行四边形的高等于梯形的( )。 【答案】 平行四边形 上底与下底的和 高 【思路点拨】由图可知，当把两个完全相同梯形的等长斜边拼接在一起时，可以得到一个平行四边形。观察拼接后的图形可知，平行四边形的底由梯形的两条底边组成，即上底与下底的和。平行四边形的高与梯形的高是相等的，据此解答。 【规范解答】由分析可得： 两个完全相同的梯形可以拼成一个平行四边形，平行四边形的底等于梯形的上底与下底的和，平行四边形的高等于梯形的高。 6．（24-25五年级上·全国·期中）奇思在探索梯形的面积计算方法时，把一个梯形沿着两腰中点剪开，拼成了一个平行四边形（如图），拼成的平行四边形底是( )，面积是( )。 【答案】 9.6 24 【思路点拨】观察可知，拼成的平行四边形的底是原来梯形的上底与下底的和，高是原来梯形的高的一半，根据平行四边的形的面积公式可推导出梯形的面积（上底下底）高，据此解答即可。 【规范解答】（cm） （cm2） 拼成的平行四边形底是，面积是。 7．（21-22五年级上·广东清远·期末）把一个长方形拉成一个平行四边形，它的面积不变。( )（判断对错） 【答案】× 【思路点拨】平行四边形的面积是由底和高决定的，平行四边形面积＝底×高。把一个长方形框架拉成一个平行四边形，它的底不变，高变短，所以平行四边形面积变小。 【规范解答】根据分析可得，平行四边形的底不变，高变短，所以面积变小。 故答案为：× 8．（20-21五年级上·陕西西安·期末）一个三角形的底不变，要使面积扩大到原来的2倍，则底边对应的高就要扩大到原来的4倍。( )（判断对错） 【答案】× 【思路点拨】根据“三角形的面积＝底×高÷2”，以及积的变化规律“一个因数不变，另一个因数乘几或除以几（0除外），积也乘（或除以）几”，据此判断。 【规范解答】根据三角形的面积公式以及积的变化规律可知，一个三角形的底不变，要使面积扩大到原来的2倍，则底边对应的高就要扩大到原来的2倍。 原题说法错误。 故答案为：× 9．（24-25五年级上·全国·期中）计算面积。（单位：分米） 【答案】25.44平方分米 【思路点拨】根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据计算即可求解。 【规范解答】（分米） （平方分米） 这个梯形的面积是25.44平方分米。 10．（23-24五年级上·辽宁·单元测试）求阴影部分的面积。（单位：厘米） 【答案】24平方厘米 【思路点拨】根据图示，阴影部分为一个梯形，已知梯形的下底为8厘米，上底刚好是左边小正方形的边长为4厘米，高也恰好等于正方形的边长为4厘米，依据梯形面积公式＝（上底＋下底）×高÷2，将数据代入公式计算即可。 【规范解答】（4＋8）×4÷2 ＝12×4÷2 ＝48÷2 ＝24（平方厘米） 阴影部分的面积为24平方厘米。 11．（23-24五年级上·辽宁·课后作业）一个三角形的底长14厘米，如果把它的底延长3厘米，那么三角形的面积就会增加6平方厘米。原三角形的面积是多少平方厘米？ 【答案】28平方厘米 【思路点拨】新增三角形的高与原三角形的高相同，新增三角形的面积是6平方厘米和底是3厘米，先根据三角形的高＝面积×2÷底，求出新增三角形的高，再根据面积公式：三角形的面积＝底×高÷2，代入数据计算，就可以算出原三角形的面积。 【规范解答】6×2÷3＝4（厘米） 14×4÷2＝28（平方厘米） 答：原三角形的面积是28平方厘米。 12．（23-24五年级上·辽宁·课后作业）朝阳小学有一块底是20米的平行四边形草坪。由于校园规划改造，现在把底边延长1.6米，面积增加了4.32平方米，原来草坪的面积是多少平方米？ 【答案】54平方米 【思路点拨】根据题意可知：增加部分的面积也是平行四边形，和原来的平行四边形高相等。根据平行四边形的高＝面积÷底，用增加部分的面积÷延长的底边，即可求出平行四边形的高，再用底×高求出平行四边形的面积。据此解答。 【规范解答】4.32÷1.6×20 ＝2.7×20 ＝54（平方米） 答：原来草坪的面积是54平方米。 13．（23-24五年级上·全国·单元测试）有一块三角形的铁皮，量得它的底是8.4分米，高比底短3.2分米。如果这种铁皮每平方米的售价是150元，那么买这块铁皮需要多少钱？ 【答案】32.76元 【思路点拨】已知三角形的高比底短3.2分米，用三角形的底减去3.2，求出三角形的高； 根据三角形的面积＝底×高÷2，求出三角形的面积，并根据进率“1平方米＝100平方分米”换算单位； 最后用这种铁皮每平方米的售价乘铁皮的面积，求出买这块铁皮需要的钱数。 【规范解答】三角形的高： 8.4－3.2＝5.2（分米） 三角形的面积： 8.4×5.2÷2 ＝43.68÷2 ＝21.84（平方分米） 21.84平方分米＝0.2184平方米 150×0.2184＝32.76（元） 答：买这块铁皮需要32.76元。 14．（23-24五年级上·江苏·课后作业）把20本练习本摞成一个长方体（如下左图），量出前面长方形的长和宽，算出它的面积。再把这摞练习本均匀地斜放（如下图），这时前面变成了一个近似的平行四边形，你能测量有关数据，并算出它的面积吗？ 比较两次测量和计算的结果，你有什么发现？ 【答案】长方形200平方厘米；平行四边形200平方厘米；发现见详解 【思路点拨】把20本练习本摞成一个长方体，量出前面长方形的长和宽，根据长方形的面积＝长×宽，即可算出长方形的面积； 再把这摞练习本均匀地斜放，这时前面变成了一个近似的平行四边形，量出平行四边形的底和高，根据平行四边形的面积＝底×高，即可算出平行四边形的面积； 最后比较两次测量和计算的结果，得出发现。 【规范解答】量得长方形的长是20厘米、宽是10厘米；（以实际测量为准） 长方形的面积：20×10＝200（平方厘米） 量得平行四边形的底是20厘米，高是10厘米；（以实际测量为准） 平行四边形的面积：20×10＝200（平方厘米） 答：长方形的面积是200平方厘米，平行四边形的面积是200平方厘米。 我发现：长方形和平行四边形的面积相等。 拔高题真题训练 15．（23-24五年级上·甘肃定西·期中）等底等高的三角形和平行四边形面积之和为48平方分米，三角形的面积是（    ）。 A．12平方分米 B．16平方分米 C．24平方分米 【答案】B 【思路点拨】等底等高的三角形和平行四边形，平行四边形的面积是三角形面积的2倍，三角形和平行四边形面积之和÷（2＋1）＝1倍数，即三角形的面积，据此列式计算。 【规范解答】48÷（2＋1） ＝48÷3 ＝16（平方分米） 三角形的面积是16平方分米。 故答案为：B 16．（23-24五年级上·浙江金华·期末）一个三角形的底是8cm，如果底不变，高增加3cm，面积增加（    ）。 A．12cm2 B．24cm2 C．48cm2 D．高不知道，无法计算 【答案】A 【思路点拨】根据三角形的面积公式可知，原来三角形的面积＝底×高÷2；三角形的底8cm不变，高增加3cm，则变化后的三角形的面积＝底×（高＋3）÷2，那么三角形增加的面积＝变化后三角形的面积－原来三角形的面积＝底×（高＋3）÷2－底×高÷2＝底×高÷2＋底×3÷2－底×高÷2＝底×3÷2，代入数据计算即可求出增加的面积。 【规范解答】8×3÷2 ＝24÷2 ＝12（cm2） 面积增加12cm2。 故答案为：A 17．（23-24五年级上·辽宁·课后作业）如图，在两条平行线之间有A、B、C、D，4个图形，（    ）的面积最大。 A．A B．B C．C D．D 【答案】C 【思路点拨】根据题意可知，4个图形的高都相等，设高为h；根据梯形面积公式：面积＝（上底＋下底）×高÷2，平行四边形面积公式：面积＝底×高；三角形面积公式：面积＝底×高÷2，分别求出4个图形的面积，再进行比较，即可解答。 【规范解答】设4个图形的高为h。 A图形：（1＋2）×h÷2 ＝3h÷2 ＝1.5h（cm2） B图形：2×h＝2h（cm2） C图形：5×h÷2＝2.5h（cm2） D图形：1×h＝h（cm2） h＜1.5h＜2h＜2.5h，即D＜A＜B＜C，C的面积最大。 在两条平行线之间有A、B、C、D，4个图形，C的面积最大。 故答案为：C 18．（20-21五年级上·安徽亳州·期中）一个梯形的上底是18cm，如果高和下底不变，上底增加8cm，就变成了一个平行四边形，面积增加26cm2，原来这个梯形的面积是( )cm2。 【答案】143 【思路点拨】梯形的上底增加8cm，就变成了一个平行四边形，则梯形的下底是18＋8＝26（cm）；增加的部分是三角形，底是8cm，面积是26cm2，根据“三角形的面积＝底×高÷2”求出高（也是梯形的高）是26×2÷8＝6.5（cm）。梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，据此求出原来这个梯形的面积。 【规范解答】18＋8＝26（cm） 26×2÷8＝6.5（cm） （18＋26）×6.5÷2 ＝44×6.5÷2 ＝143（cm2） 【考点评析】根据平行四边形的特征求出梯形的下底；要理解增加的部分是三角形，继而求出梯形的高。 19．（2021五年级上·辽宁·专题练习）如图所示，把一个长方形分成：一个梯形和一个三角形。已知梯形的面积比三角形的面积大18平方厘米，那么梯形的上底长为 厘米。 【答案】3 【思路点拨】已知梯形的面积比三角形的面积大18平方厘米，这个18平方厘米是一个小长方形的面积，这个小长方形的长等于原来大长方形的宽，根据长方形的面积公式：S＝ab，那么b＝S÷a，把数据代入公式解答即可。 【规范解答】如图： 18÷6＝3（厘米） 答：梯形的上底是3厘米。 【考点评析】此题主要考查梯形和三角形的面积公式的灵活应用。 20．（19-20五年级上·辽宁大连·期末）根据下图中的图形转化，将梯形面积的推导过程补充完整，再回答问题。 （1）沿着梯形高的一半平行剪开，将上半部分的梯形旋转后与下半部分的梯形拼成了平行四边形，此时，平行四边形的底相当于梯形的( )，平行四边形的高相当于梯形的( )，因为平行四边形的面积等于( )，所以梯形的面积等于( )。 （2）将一个面积是60cm2的梯形按照上面的方法拼成一个平行四边形，如果平行四边形的底是12cm，梯形的高是( )cm。 【答案】 上底＋下底 高的一半 底×高 （上底＋下底）×高÷2 10 【思路点拨】（1）沿着梯形高的一半平行剪开，将上半部分的梯形旋转后与下半部分的梯形拼成了平行四边形，此时，平行四边形的底＝梯形的（上底＋下底），平行四边形的高是原来梯形高的一半，因为平行四边形的面积等于底×高，梯形的面积＝平行四边形的面积＝底×高＝（上底＋下底）×高÷2，据此解答。 （2）因为梯形的面积和平行四边形的面积相等，先用平行四边形的面积除以平行四边形的底求出平行四边形的高，又因为平行四边形的高是原来梯形高的一半，所以用平行四边形的高乘2就等于梯形的高。 【规范解答】（1）沿着梯形高的一半平行剪开，将上半部分的梯形旋转后与下半部分的梯形拼成了平行四边形，此时，平行四边形的底相当于梯形的（上底＋下底），平行四边形的高相当于梯形的高的一半，因为平行四边形的面积等于底×高，所以梯形的面积等于（上底＋下底）×高÷2。 （2）60÷12×2 ＝5×2 ＝10（厘米） 【考点评析】此题考查的目的是理解掌握梯形面积公式的推导过程及应用。 21．（23-24五年级上·吉林长春·期末）求下图图形的面积。 【答案】42cm2 【思路点拨】 如图：延长DA和CB相较于点O，即，再根据含有45°的直角三角形就是等腰直角三角形，据此可知三角形ODC和三角形OBA都是等腰直角三角形，所以OB＝AB＝4cm，DC＝DO＝10cm，原图形的面积＝三角形ODC的面积－三角形OBA的面积，再根据三角形的面积公式：S＝ah÷2，据此代入数值进行计算即可。 【规范解答】10×10÷2－4×4÷2 ＝100÷2－16÷2 ＝50－8 ＝42（cm2） 则该图形的面积为42cm2。 22．（13-14五年级上·山西吕梁·期中）求阴影部分的面积。（单位：cm） 【答案】18平方厘米；25平方厘米 【思路点拨】第一幅图中，阴影部分是底为12厘米，高为6厘米的三角形面积的一半。 第二幅图中，阴影部分是底为14厘米，高为8厘米的三角形面积减去31平方厘米得到的。据此解答。 【规范解答】12×（12÷2）÷2÷2 ＝12×6÷2÷2 ＝72÷2÷2 ＝36÷2 ＝18（平方厘米） 14×8÷2－31 ＝112÷2－31 ＝56－31 ＝25（平方厘米） 23．（23-24五年级上·辽宁·课后作业）如图，三角形ABC的周长是30厘米，三角形内一点O到三角形三条边的距离都是3厘米，求三角形ABC的面积。 【答案】45平方厘米 【思路点拨】 如图，，连接OA、OB、OC，这把三角形ABC分成了三角形，即三角形AOB，三角形BOC，三角形AOC；根据三角形面积公式：面积＝底×高÷2，三个三角形的高是3厘米，三角形AOB的面积＝AB×3÷2，三角形BOC的面积＝BC×3÷2，三角形AOC的面积＝AC×3÷2，三个三角形面积和等于三角形ABC的面积；即三角形ABC的面积＝ AB×3÷2＋BC×3÷2＋AC×3÷2，化为：（AB＋BC＋AC）×3÷2，又因为AB＋BC＋AC等于三角形ABC的周长等于30厘米，据此求出三角形ABC的面积。 【规范解答】由分析可知： 如图：连接OA、OB、OC； 30×3÷2 ＝90÷2 ＝45（平方厘米） 答：三角形ABC的面积是45平方厘米。 【考点评析】本题主要考查三角形的面积公式，关键是要清楚把三角形分成三份小三角形是解题的关键。 24．（22-23二年级下·辽宁·单元测试）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝10厘米，直角三角形BCE中，EC＝10厘米。图中阴影部分的面积比三角形EFG的面积大6平方厘米，EG长多少厘米？ 【答案】4.4厘米 【思路点拨】EG＝EC－CG； CG是平行四边形ABCD的高，平行四边形的高＝面积÷底； 由“阴影部分的面积比三角形EFG的面积大6平方厘米”，可以得到，平行四边形ABCD的面积比三角形BCE的面积大6平方厘米，据此可以求出平行四边形的面积。进而求出平行四边形ABCD的高，最后求出EG。 三角形的面积＝底×高÷2。 【规范解答】10×10÷2 ＝100÷2 ＝50（平方厘米） （50＋6）÷10 ＝56÷10 ＝5.6（厘米） 10－5.6＝4.4（厘米） 答：EG长4.4厘米。 【考点评析】此题主要考查的是三角形的面积及平行四边形的高的求法，关键是先求出平行四边形的面积。 25．（21-22五年级上·广东惠州·阶段练习）一个梯形，如果上底减少4cm，它就变成一个三角形，面积比原来的梯形减少8cm2；如果上底增加6cm，就变成一个平行四边形。原来梯形的面积是多少平方厘米？ 【答案】28平方厘米 【思路点拨】梯形的上底减少4cm，它就变成一个三角形，说明梯形的上底就是4厘米；如果上底增加6cm，梯形就变成一个平行四边形，说明梯形的下底比上底多6厘米，则梯形的下底是4＋6＝10厘米。如下图所示，梯形变成三角形后，阴影部分就是比原来的梯形减少的面积。已知阴影部分的面积是8平方厘米，根据“三角形的面积＝底×高÷2”，用8乘2除以4即可求出三角形的高，即原来的梯形的高。梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，据此解答。 【规范解答】4＋6＝10（厘米） 8×2÷4＝4（厘米） （4＋10）×4÷2 ＝14×4÷2 ＝28（平方厘米） 答：原来梯形的面积是28平方厘米。 【考点评析】读懂题意，确定梯形的上底和下底，并根据三角形的面积公式求出梯形的高是解题的关键。 26．（20-21五年级上·四川成都·期末）一个梯形，如果上底增加5cm，就变成一个平行四边形，如果上底减少5cm，就变成了一个三角形，这时面积比原来梯形的面积就减少7.5平方厘米。原来梯形的面积是多少平方厘米？ 【答案】22.5平方厘米 【思路点拨】由题意可知上底为5cm，下底为10cm，减少部分的三角形与梯形的高是相等的，其中减少部分三角形的高＝减少的面积×2÷上底减少的长度，据此求出梯形的高，根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据计算即可。 【规范解答】7.5×2÷5 ＝15÷5 ＝3（cm） （5＋10）×3÷2 ＝15×3÷2 ＝22.5（cm2） 答：原来梯形的面积为22.5平方厘米。 【考点评析】此题考查了梯形的面积计算，找出梯形的上底、下底和高是解题关键。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$