第17讲 平面直角坐标系（3考点7题型）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（苏科版）

第17讲 平面直角坐标系 课程标准 学习目标 1 理解平面直角坐标系的概念，掌握其构成要素（坐标轴、原点、象限等）。 2 能熟练运用坐标表示平面内点的位置，以及根据点的坐标确定其在坐标系中的位置。 3 体会平面直角坐标系在数学及其他领域中的广泛应用，培养用坐标方法解决问题的意识。 1. 熟悉平面直角坐标系的相关知识，包括坐标的表示与读法。 2. 准确确定点的坐标并能根据坐标进行简单的绘图与分析，如判断点所在象限。 3. 感受平面直角坐标系的规范性与实用性，提高对数学学习的兴趣。 知识点一、平面直角坐标系 1. 平面直角坐标系 平面内两条互相垂直的数轴构成平面直角坐标系，简称直角坐标系.水平的数轴称为x轴或横轴，向右为正方向；铅直方向的数轴称为y轴或纵轴，向上为正方向，两轴的交点O是原点，如图所示： 平面直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的，一般情况下，同一直角坐标系中，x轴和y轴的单位长度相同的，一些特殊情况下，受坐标轴所表示数量意义的影响，x轴和y轴的单位长度可以有所不同，但同一坐标轴上的单位长度必须相同. 2.点的坐标 （1）点的坐标：在平面直角坐标系中，一对有序实数可以确定一个点的位置；反过来，任意一点的位置都可以用一对有序实数来表示.这样的有序实数对叫做点的坐标.平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，横坐标写在纵坐标的前面.有序数对（a，b）叫做点P的坐标，记作:P(a，b)，如图所示： （2）确定点的坐标的方法： ①确定横坐标：从该点向x轴作垂线，垂足在x轴上的数字为该点的横坐标； ②确定纵坐标：从该点向y轴作垂线，垂足在y轴上的数字为该点的横坐标. ③用有序实数对将它表示出来，横坐标在前，纵坐标在后，中间用“，”隔开，并用小括号将它们括起来. （3）有序实数对（2，1）和（1，2）数字一样，顺序不一样，表示点的位置也是不一样的. （4）对于坐标平面内任意一点都有唯一的一对有序数对(x，y)和它对应,反过来对于任意一对有序数对，在坐标平面内都有唯一的一点与它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序数对是一一对应的. （5）点P(a，b)中，|a|表示点到y轴的距离；|b|表示点到x轴的距离. 知识点二、象限的划分与点的坐标特征 1.象限的划分：两条坐标轴将平面分成的4个区域称为象限，按逆时针顺序分别记为一、二、三、四象限，各象限内点的坐标、符号特征为第一象限（＋，＋），第二象限（－，＋），第三象限（－，－），第四象限（＋，－），如图所示： 2.点的坐标特征 点在坐标平面内的位置不同，点的坐标特征也就不同，具体如下： 点M（x，y）所处的位置 坐标特征 象限内的点 点M在第一象限 M（正，正） 点M在第二象限 M（负，正） 点M在第三象限 M（负，负） 点M在第四象限 M（正，负） 坐标轴上的点 点M在x轴上 在x轴正半轴上 M（正，0） 在x轴负半轴上 M（负，0） 点M在y轴上 在y轴正半轴上 M（0，正） 在y轴负半轴上 M（0，负） 原点 M（0，） 象限角平分线上的点 点M在第一、三象限角平分线上 M（x，y）且x＝y 点M在第二、四象限角平分线上 M（x，y）且x＝－y 两点连线与坐标轴平行 MN∥x轴/MN⊥y轴 M、N两点纵坐标相等 MN∥y轴/MN⊥x轴 M、N两点横坐标相等 PS：原点既在x轴上，又在y轴上. 知识点三、图形变换与点的坐标变化 1.对称点的坐标特征 （1）关于x轴对称：横坐标相同，纵坐标互为相反数，即点P（a，b）关于x轴对称的点是（a，－b）； （2）关于y轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标相同，即点P（a，b）关于y轴对称的点是（－a，b）； （3）关于坐标原点对称：横、纵坐标互为相反数，即点P（a，b）关于原点对称的点是（－a，－b）. 2.图形的变化与坐标特征 对于图形上任意一点A（a，b） 图形变化 对应图形 点A变化后的对应坐标 变化后点的坐标特征 平移变换（k＞0） 向上平移k个单位长度 A1（a，b＋k） 横坐标不变，纵坐标加k 向上平移k个单位长度 A2（a，b＋k） 横坐标不变，纵坐标减k 向上平移k个单位长度 A3（a，b＋k） 纵坐标不变，横坐标加k 向上平移k个单位长度 A4（a，b＋k） 纵坐标不变，横坐标减k 对称变换 关于x轴对称 A5（a，b＋k） 横坐标不变，纵坐标与原坐标互为相反数 关于y轴对称 A6（a，b＋k） 纵坐标不变，横坐标与原坐标互为相反数 PS：当图形的平移方向与坐标轴不平行时，可以把这种平移分解为沿两坐标轴平行方向的两次平移. 题型01 点的坐标 1．在平面直角坐标系中，点（﹣3，4）所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】根据点的坐标特征求解即可． 【解答】解：点（﹣3，4）所在的象限是第二象限， 故选：B． 【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）． 2．如果点P（m+3，m+1）在x轴上，那么点P的坐标是（　　） A．（0，﹣1） B．（﹣1，0） C．（2，0） D．（0，﹣2） 【分析】根据点P在x轴上，即y＝0，可得出m的值，从而得出点P的坐标． 【解答】解：∵点P（m+3，m+1）在x轴上， ∴y＝0， ∴m+1＝0， 解得：m＝﹣1， ∴m+3＝﹣1+3＝2， ∴点P的坐标为（2，0）． 故选：C． 【点评】本题考查了点的坐标，注意平面直角坐标系中，点在x轴上时纵坐标为0，得出m的值是解题关键． 3．在平面直角坐标系的第四象限内有一点M，到x轴的距离为4，到y轴的距离为6，则点M的坐标为（　　） A．（﹣4，6） B．（﹣6，4） C．（4，﹣6） D．（6，﹣4） 【分析】根据点到坐标轴的距离及点所在的象限解答即可． 【解答】解：设点M的坐标为（x，y）， ∵到x轴的距离为4， ∴|y|＝4， ∴y＝±4， ∵到y轴的距离为6， ∴|x|＝6， ∴x＝±6， ∵点M在第四象限内， ∴x＞0，y＜0， ∴x＝6，y＝﹣4， 即点M的坐标为（6，﹣4）． 故选：D． 【点评】此题考查平面直角坐标系中的点到坐标轴的距离，象限内点的坐标的符号特点等，关键是要牢记第四象限内的点的坐标符号特点为（+，﹣）． 4．在平面直角坐标系中，点P（m2+2024，﹣1）一定在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可． 【解答】解：∵m2≥0， ∴m2+2024＞0， ∴在平面直角坐标系中，点P（m2+2024，﹣1）一定在第四象限． 故选：D． 【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）． 题型02 坐标与图形性质 1．已知点M（3，﹣2）与点M′（x，y）在同一条平行于x轴的直线上，且M′到y轴的距离等于4，那么点M′的坐标是（　　） A．（4，2）或（﹣4，2） B．（4，﹣2）或（﹣4，﹣2） C．（4，﹣2）或（﹣5，﹣2） D．（4，﹣2）或（﹣1，﹣2） 【分析】由点M和M′在同一条平行于x轴的直线上，可得点M′的纵坐标；由“M′到y轴的距离等于4”可得，M′的横坐标为4或﹣4，即可确定M′的坐标． 【解答】解：∵M（3，﹣2）与点M′（x，y）在同一条平行于x轴的直线上， ∴M′的纵坐标y＝﹣2， ∵“M′到y轴的距离等于4”， ∴M′的横坐标为4或﹣4． 所以点M′的坐标为（4，﹣2）或（﹣4，﹣2），故选：B． 【点评】本题考查了点的坐标的确定，注意：由于没具体说出M′所在的象限，所以其坐标有两解，注意不要漏解． 2．三角形ABC中，点B和点C的位置如图所示，点A的位置正确的是（　　） A．（5，3） B．（9，5） C．（3，5） D．（2，2） 【分析】根据A，B在同一条竖直的直线上，A，C在同一条水平的直线上，由B，C坐标得出A的坐标． 【解答】解：∵A，B在同一条竖直的直线上， ∴A，B的横坐标相同，即A的横坐标为5， ∵A，C在同一条水平的直线上， ∴A，C的纵坐标相同，即A的纵坐标为3， ∴A的坐标为（5，3）， 故选：A． 【点评】本题考查坐标与图形性质，关键是求出点A坐标． 3．已知两点A（a，5），B（﹣1，b）且直线AB∥x轴，则（　　） A．a可取任意实数，b＝5 B．a＝﹣1，b可取任意实数 C．a≠﹣1，b＝5 D．a＝﹣1，b≠5 【分析】根据平行于x轴的直线纵坐标相等解答可得． 【解答】解：∵AB∥x轴， ∴b＝5，a≠﹣1， 故选：C． 【点评】本题主要考查坐标与图形的性质，熟练掌握平面内点的坐标的特点是解题的关键． 4．在平面直角坐标系中，已知点P（m+2，m﹣1）． （1）当点P在y轴上时，求点P的坐标； （2）已知直线PA平行于y轴，且A（﹣4，﹣2），求AP的长． 【分析】（1）根据y轴上点的横坐标为0列方程求出m的值，再求解即可； （2）根据平行于y轴的直线上的点的横坐标相等列方程求出m的值，再求解即可． 【解答】解：（1）根据题意m+2＝0， ∴m＝﹣2， ∴m﹣1＝﹣2﹣1＝﹣3， ∴点P的坐标为（0，﹣3）； （2）根据题意可知m+2＝﹣4， 解得m＝﹣6， ∴m﹣1＝﹣6﹣1＝﹣7， ∴点P的坐标为（﹣4，﹣7）， ∴AP＝（﹣2）﹣（﹣7）＝5． 【点评】本题考查了各个象限以及坐标轴上点的坐标特点，熟练掌握坐标轴上点的坐标特征是解题的关键． 题型03 两点间的距离公式 1．点P（3，﹣4）到原点的距离为（　　） A．5 B．4 C．3 D．﹣3 【分析】直接根据两点间的距离公式求解． 【解答】解：OP5， 即点P（3，﹣4）到原点的距离为5． 故选：A． 【点评】本题考查了两点间的距离公式：设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB．求直角坐标系内任意两点间的距离可直接套用此公式． 2．A（0，a），B（3，5）是平面直角坐标系中的两点，线段AB长度的最小值为 　　． 【分析】由A（0，a）得A在y轴上，故若D线段AB的长度最小，垂线段最短，那么当AB⊥y轴时，线段AB长度最小，即AB＝3． 【解答】解：如图． ∵A（0，a）， ∴A在y轴上． ∴线段AB的长度为B点到y轴上点的距离． 若使得线段AB长度的最小，由垂线段最短， ∴当A在（0，5）时，即AB⊥y轴，线段AB长度最小． ∴（dAB）min＝3． 故答案为：3． 【点评】本题主要考查平直角坐标系点的坐标以及垂线段最短，熟练掌握垂线段最短是解题的关键． 3．先阅读一段文字，再回答下列问题： 已知在平面内两点坐标P1（x1，y1），P2（x2，y2），其两点间距离公式为P1P2，同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于x轴或垂直于x轴距离公式可简化成|x2﹣x1|或|y2﹣y1|． （1）已知A（3，5），B（﹣2，﹣1），试求A，B两点的距离； （2）已知A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为﹣1，试求A，B两点的距离． （3）已知一个三角形各顶点坐标为A（0，6），B（﹣6，3），C（3，0），你能断定此三角形的形状吗？说明理由． 【分析】（1）直接利用两点间的距离公式计算； （2）利用与y轴平行的直线上所有点的横坐标相同，设点A的坐标为（m，5），则点B的坐标为（m，﹣1），然后利用两点间的距离公式计算； （3）先利用两点间的距离公式计算出AB、AC、BC，然后利用三角形的分类可判断此三角形的形状． 【解答】解：（1）∵A（3，5）、B（﹣2，﹣1）， ∴AB； （2）设点A的坐标为（m，5），则点B的坐标为（m，﹣1）， ∴AB6； （3）△ABC为等腰三角形． 理由如下： ∵A（0，6），B（﹣6，3），C（3，0）， ∴AB3，BC3，AC3， ∴AB＝AC， ∴△ABC为等腰三角形． 又∵AB2+AC2＝BC2． ∴三角形ABC是等腰直角三角形 【点评】本题考查两点间的距离公式：设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB． 题型04 关于坐标轴、原点对称的点的坐标 1．在平面直角坐标系xOy中，点P（﹣3，5）关于x轴的对称点的坐标是（　　） A．（3，5） B．（3，﹣5） C．（5，﹣3） D．（﹣3，﹣5） 【分析】关于x轴对称的两点的横坐标相等，纵坐标互为相反数． 【解答】解：∵关于x轴对称的两点的横坐标相等，纵坐标互为相反数 ∴点P（﹣3，5）关于x轴的对称点的坐标是（﹣3，﹣5）． 故选：D． 【点评】本题主要考查的是关于坐标轴对称点的坐标特点，明确关于x轴对称的两点的横坐标相等，纵坐标互为相反数是解题的关键． 2．已知点A（m，2）和B（3，n）关于y轴对称，则（m+n）2023的值为（　　） A．0 B．﹣1 C．1 D．（﹣5）2023 【分析】根据关于y轴对称点的特点，求出m＝﹣3，n＝2，然后代入求值即可． 【解答】解：∵点A（m，2）和B（3，n）关于y轴对称， ∴m＝﹣3，n＝2， ∴（m+n）2023＝（﹣3+2）2023＝（﹣1）2023＝﹣1，故B正确． 故选：B． 【点评】本题主要考查了关于y轴对称点的坐标特点，代数式求值，乘方运算，解题的关键是熟记关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相同． 3．已知点A（a，1）与点B（5，b）是关于原点O的对称点，则（　　） A．a＝﹣5，b＝﹣1 B．a＝﹣5，b＝1 C．a＝5，b＝﹣1 D．a＝5，b＝1 【分析】本题比较容易，根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．就可以求出a、b的值． 【解答】解：根据题意得a＝﹣5，b＝﹣1， 故选：A． 【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律： （1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数； （2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数； （3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 4．如果点P（2，b）和点Q（a，﹣3）关于x轴对称，则a+b的值是（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5 【分析】直接利用关于x轴对称点的性质得出a，b的值，进而得出答案． 【解答】解：∵点P（2，b）和点Q（a，﹣3）关于x轴对称， ∴a＝2，b＝3， 则a+b的值是：5． 故选：D． 【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键． 题型05 坐标与图形变化（平移） 1．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（3，0），（0，2），若将线段AB平移至CD，则a+b的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】根据点的坐标的变化分析出AB的平移方法，再利用平移中点的变化规律算出a、b的值．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 【解答】解：根据题意：A、B两点的坐标分别为A（3，0），B（0，2），C的坐标为（4，b），D（a，3）， 即线段AB向上平移1个单位，向右平移1个单位得到线段CD， 则：a＝0+1＝1，b＝0+1＝1， ∴a+b＝2． 故选：A． 【点评】此题主要考查图形的平移及平移特征．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 2．在平面直角坐标系内，将M（5，2）先向下平移2个单位，再向左平移3个单位，则移动后的点的坐标是（　　） A．（2，0） B．（3，5） C．（8，4） D．（2，3） 【分析】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得答案． 【解答】解：平移后的坐标为（5﹣3，2﹣2），即坐标为（2，0）， 故选：A． 【点评】此题主要考查了坐标与图形的变化﹣平移，关键是掌握平移规律． 3．在平面直角坐标系中，将点A（1，﹣2）向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到点A′，则点A′的坐标是（　　） A．（﹣5，﹣3） B．（﹣3，﹣5） C．（3，﹣5） D．（5，﹣3） 【分析】利用点平移的坐标规律，把A点的横坐标加2，纵坐标减3即可得到点A′的坐标． 【解答】解：将点A（1，﹣2）向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到点A′，则点A′的坐标是（1+2，﹣2﹣3），即A′（3，﹣5）． 故选：C． 【点评】此题主要考查坐标与图形变化﹣平移，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键． 4．在平面直角坐标系中，把点A（﹣1，﹣3）先向左平移2个单位，再向上平移4个单位得点A′，则A′的坐标是 　 　． 【分析】根据点的平移法则：左减右加、上加下减即可得到答案． 【解答】解：∵左减右加、上加下减， ∴点A（﹣1，﹣3）先向左平移2个单位，再向上平移4个单位得点A′， ∴A′的坐标是（﹣1﹣2，﹣3+4），即（﹣3，1）， 故答案为：（﹣3，1）． 【点评】本题考查平面直角坐标系中点的平移，熟记点的平移法则是解决问题的关键． 题型06 坐标与图形变化（对称） 1．点P（2，﹣3）关于直线x＝1对称的点的坐标是 　　． 【分析】根据关于直线x＝a对称的点的坐标特征即可解决问题． 【解答】解：如图所示， 所以点P关于直线x＝1的对称点的坐标是（0，﹣3）． 故答案为：（0，﹣3）． 【点评】本题考查坐标与图形变化﹣对称，熟知关于直线x＝a对称的点的坐标特征是解题的关键． 2．如图，在直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A在x轴上，顶点B在y轴上，∠ACB＝90°，OB∥AC，点C的坐标为（4，8），点D和点C关于AB成轴对称，且AD交y轴于点E．则点E的坐标为 　　． 【分析】利用轴对称的性质可得出AD＝AC＝8，∠CAB＝∠DAB，再通过平行线得出∠ABO＝∠CAB，进而得出∠ABO＝∠DAB，最后利用等角对等边，结合勾股定理即可解决问题． 【解答】解：因为∠ACB＝90°，OB∥AC， 所以∠OBC＝90°， 又因为∠BOA＝90°， 所以四边形BOAC是矩形． 因为点C的坐标为（4，8）， 所以AC＝8，BC＝4， 所以BD＝BC＝4，AD＝AC＝8． 因为点D和点C关于AB成轴对称， 所以∠CAB＝∠DAB， 又因为OB∥AC， 所以∠OBA＝∠CAB， 所以∠OBA＝∠DAB， 所以BE＝AE． 令BE＝AE＝x， 则DE＝8﹣x． 在△BDE中， BD2+DE2＝BE2， 即42+（8﹣x）2＝x2， 解得x＝5， 所以BE＝5， 所以OE＝8﹣5＝3， 即点E的坐标为（0，3）． 故答案为：（0，3）． 【点评】本题考查坐标与图形变化﹣对称，熟知轴对称的性质及利用勾股定理求出BE的长是解题的关键． 3．如图，P，M关于直线x＝1的对称点为P′，M′． （1）写出P′的坐标 　 　，M′的坐标 　 　； （2）思考，写出P（﹣2，4）关于直线x＝﹣1的对称点坐标 　 　；写出N′（5，﹣2）关于直线x＝2的对称点坐标 　 　； （3）思考，写出点（a，b）关于直线x＝n的对称点坐标 　 　． 【分析】（1）利用轴对称变换的性质求解； （2）利用轴对称变换的性质求解； （3）利用轴对称变换的性质求解． 【解答】解：（1）由题意，P′（4，4），M′（3，1）， 故答案为：（4，4），（3，1）； （2）P（﹣2，4）关于直线x＝﹣1的对称点坐标（0，4）；N′（5，﹣2）关于直线x＝2的对称点坐标（﹣1，﹣2）． 故答案为：（0，4），（﹣1，﹣2）； （3）设对称点坐标为（x，y）， 则有n，y＝b， x＝2n﹣a， ∴点（a，b）关于直线x＝n的对称点坐标（2n﹣a，b）． 故答案为：（2n﹣a，b）． 【点评】本题考查坐标与图形变化﹣对称，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型． 题型07 坐标与图形变化（旋转） 1．点A（5，3）经过某种图形变化后得到点B（﹣3，5），这种图形变化可能是（　　） A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．绕原点逆时针旋转90° D．绕原点顺时针旋转90° 【分析】由点A和点B的坐标依次对四个选项进行判断即可． 【解答】解：点A关于x轴的对称点的坐标为（﹣5，3）， 显然此点不是点B， 所以A选项不符合题意． 点A关于y轴的对称点的坐标为（5，﹣3）， 显然此点不是点B， 所以B选项不符合题意． 如图所示， 分别过点A和点A′作x轴和y轴的垂线，垂足分别为M和N， 因为∠A′OA＝∠NOM＝90°， 所以∠A′ON＝∠AOM． 又因为A′O＝AO，∠A′NO＝∠AMO， 所以△A′NO≌△AMO（AAS）， 所以A′N＝AM＝3，NO＝MO＝5， 故点A′的坐标为（﹣3，5）． 此点与点B重合． 所以C选项符合题意． 同理可得， 当点A绕原点顺时针旋转90°时，旋转后的对应点坐标为（3，﹣5）． 此点显然不是点B． 所以D选项不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查旋转及轴对称的性质，熟知关于x轴和y轴对称的点的坐标特征及旋转的性质是解题的关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，点A（3，0），点B（0，1），连接AB，将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC，连接OC，则线段OC的长度为（　　） A．4 B． C． D．5 【分析】作CH⊥x轴于H．利用全等三角形的性质证明AH＝OB＝1，CH＝OA＝3即可解决问题． 【解答】解：如图，作CH⊥x轴于H． ∵A（3，0），B（0，1）， ∴OA＝3，OB＝1， ∵∠AOB＝∠BAC＝∠AHC＝90°， ∴∠BAO+∠HAC＝90°，∠HAC+∠ACH＝90°， ∴∠BAO＝∠ACH， ∵AB＝AC， ∴△ABO≌△CAH（AAS）， ∴AH＝OB＝1，CH＝OA＝3， ∴OH＝OA+AH＝3+1＝4， ∴C（4，3）， ∴OC5， 故选：D． 【点评】本题考查坐标与图形的变化﹣旋转，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 3．在平面直角坐标系中，A点坐标为（3，4），将OA绕原点O顺时针旋转90°得到OA′，则点A′的坐标是 　 　． 【分析】根据题意画出示意图，借助于全等三角形的判定与性质及旋转的性质即可解决问题． 【解答】解：如图所示，过点A和点A′分别作x轴的垂线，垂足分别为M和N， 由旋转可知， AO＝A′O，∠AOA′＝90°， ∴∠AOM+∠A＝∠AOM+∠NOA′＝90°， ∴∠A＝∠NOA′． ∵AM⊥x轴，A′N⊥x轴， ∴∠AMO＝∠A′NO＝90°． 在△AOM和△OA′N中， ， ∴△AOM≌△OA′N（ASA） ∴ON＝AM，A′N＝OM． ∵点A的坐标为（3，4）， ∴ON＝AM＝4，A′N＝OM＝3， ∴点A′的坐标为（4，﹣3）． 故答案为：（4，﹣3）． 【点评】本题主要考查了坐标与图形变化﹣旋转及全等三角形的判定与性质，熟知旋转的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键． 1．如果点P（2，b）和点Q（a，﹣3）关于直线x＝1对称，则a+b的值是（　　） A．﹣3 B．1 C．﹣5 D．5 【分析】利用轴对称的性质构建方程组求出a，b即可． 【解答】解：∵点P（2，b）和点Q（a，﹣3）关于直线x＝1对称， ∴， ∴， ∴a+b＝﹣3， 故选：A． 【点评】本题考查坐标与同时变化﹣对称，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题． 2．在平面直角坐标系中，点（﹣3，2）关于y轴对称的点的坐标为（　　） A．（3，2） B．（﹣2，3） C．（2，﹣3） D．（3，﹣2） 【分析】关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案． 【解答】解：点（﹣3，2）关于y轴对称点的坐标是（3，2）． 故选：A． 【点评】本题考查了关于y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 3．在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是（　　） A．（1，2） B．（﹣1，2） C．（﹣1，﹣2） D．（1，﹣2） 【分析】根据点在第二象限点的坐标特点可直接解答． 【解答】解：∵手的位置是在第二象限， ∴手盖住的点的横坐标小于0，纵坐标大于0， ∴结合选项这个点是（﹣1，2）． 故选：B． 【点评】本题主要考查了点在第二象限时点的坐标特征，比较简单．注意四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）． 4．如图，△OAB中，∠AOB＝60°，OA＝4，点B的坐标为（6，0），将△OAB绕点A逆时针旋转得到△CAD，当点O的对应点C落在OB上时，点D的坐标为（　　） A．（7，3） B．（7，5） C．（5，5） D．（5，3） 【分析】如图，过点D作DE⊥x轴于点E．证明△AOC是等边三角形，解直角三角形求出DE，CE，可得结论． 【解答】解：如图，过点D作DE⊥x轴于点E． ∵B（6，0）， ∴OB＝6， 由旋转的性质可知AO＝AC＝4，OB＝CD＝6，∠ACD＝∠AOB＝60°， ∵∠AOC＝60°， ∴△AOC是等边三角形， ∴OC＝OA＝4，∠ACO＝60°， ∴∠DCE＝60°， ∴CECD＝3，DE＝3， ∴OE＝OC+CE＝4+3＝7， ∴D（7，3）， 故选：A． 【点评】本题考查作图﹣旋转变换，解直角三角形，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型． 5．如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标为（3，4），点N的坐标为（6，0），将△OMN绕点O按逆时针方向旋转得到△OM′N′．若点M′恰好落在x轴上，则点N′的坐标为（　　） A．（﹣3，5） B． C．（﹣4，5） D． 【分析】过点M作x轴的垂线，求出OM的长，再用面积法即可解决问题． 【解答】解：过点M作x轴的垂线，垂足为A，过点N′作x轴的垂线，垂足为B， ∵M（3，4）， ∴MA＝4，OA＝3． 由勾股定理得OM＝5． ∴， 由旋转可知， S△OM′N′＝S△OMN＝12，OM′＝OM＝5，N′O＝NO＝6， 则， ∴． 在Rt△N′BO中， BO． ∴点B的坐标为（）． 故选：D． 【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，巧用面积法及勾股定理是解题的关键． 6．已知点P（2a﹣6，a+1），若点P在坐标轴上，则点P的坐标为 　（﹣8，0）或（0，4）　． 【分析】分点P在x轴上，纵坐标为0；在y轴上，横坐标为0，分别列式求出a的值，再求解即可． 【解答】解：当P在x轴上时，a+1＝0，解得a＝﹣1，P（﹣8，0）； 当P在y轴上时，2a﹣6＝0，解得a＝3，P（0，4）． 所以P（﹣8，0）或（0，4）． 故答案为（﹣8，0）或（0，4）． 【点评】本题考查了点的坐标，主要是对坐标轴上的点的坐标特征的考查，易错点在于要分情况讨论． 7．已知直线MN∥x轴，且M（2，5），N（1﹣2m，m+3），则m的值为 　2　． 【分析】根据平行于x轴的直线上点的坐标特征即可解决问题． 【解答】解：因为点M坐标为（2，5），点N坐标为（1﹣2m，m+3），且MN∥x轴， 所以m+3＝5， 解得m＝2， 所以m的值为2． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查了坐标与图形性质，熟知平行于x轴的直线上点的坐标特征是解题的关键． 8．如图，将△AOB绕点O逆时针方向旋转90°，得到△A′OB′，看点A的坐标为（2，1），则点A′坐标为　（﹣1，2）　． 【分析】利用旋转的性质得OB′＝OB＝2，A′B′＝AB＝1，∠BOB′＝90°，∠OB′A′＝∠OBA＝90°，然后利用第二象限内点的坐标特征写出点A′坐标． 【解答】解：∵A（2，1）， ∴AB＝1，OB＝2， ∵△AOB绕点O逆时针方向旋转90°，得到△A′OB′， ∴OB′＝OB＝2，A′B′＝AB＝1，∠BOB′＝90°，∠OB′A′＝∠OBA＝90°， ∴点A′坐标为（﹣1，2）． 故答案为（﹣1，2）． 【点评】本题考查了坐标与图形变化：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°． 9．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，0），点B（0，1）．将线段BA绕点B旋转180°得到线段BC，则点C的坐标为 　（2，2）　． 【分析】设C（m，n）．利用中点坐标公式构建方程组求解即可． 【解答】解：设C（m，n）． ∵线段BA绕点B旋转180°得到线段BC， ∴AB＝BC， ∵点A（﹣2，0），点B（0，1）， ∴0，1， ∴m＝2，n＝2， ∴C（2，2）． 【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，中点坐标公式等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题即可． 10．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，3），以O点为圆心，OA为半径画弧，交网格线于点B，则点B的坐标是 　（，2）　． 【分析】过点B作BD⊥x轴于D，利用勾股定理可求得OA，即OB，然后利用勾股定理求得OD，从而可确定点B的坐标． 【解答】解：过点B作BD⊥x轴于D，如图， ∵A（1，3）， ∴OA， ∵以O点为圆心，OA为半径画弧，交网格线于点B， ∴OB＝OA， ∵BD＝2， ∴AD， ∴点B的坐标为：（，2）． 故答案为：（，2）． 【点评】本题主要考查勾股定理，坐标与图形性质，解答的关键是由勾股定理求得OA的长度． 11．如图，已知A（﹣2，3）、B（4，3）、C（﹣1，﹣3） （1）求点C到x轴的距离； （2）求△ABC的面积； （3）点P在y轴上，当△ABP的面积为6时，请直接写出点P的坐标． 【分析】（1）点C的纵坐标的绝对值就是点C到x轴的距离解答； （2）根据三角形的面积公式列式进行计算即可求解； （3）设点P的坐标为（0，y），根据△ABP的面积为6，A（﹣2，3）、B（4，3），所以，即|x﹣3|＝2，所以x＝5或x＝1，即可解答． 【解答】解：（1）∵C（﹣1，﹣3）， ∴|﹣3|＝3， ∴点C到x轴的距离为3； （2）∵A（﹣2，3）、B（4，3）、C（﹣1，﹣3） ∴AB＝4﹣（﹣2）＝6，点C到边AB的距离为：3﹣（﹣3）＝6， ∴△ABC的面积为：6×6÷2＝18． （3）设点P的坐标为（0，y）， ∵△ABP的面积为6，A（﹣2，3）、B（4，3）， ∴6×|y﹣3|＝6， ∴|y﹣3|＝2， ∴y＝1或y＝5， ∴P点的坐标为（0，1）或（0，5）． 【点评】本题考查了坐标与图形，解决本题的关键是利用数形结合的思想． 12．对于平面直角坐标系xOy中的点P（a，b），若点P′的坐标为（a+kb，ka+b）（其中k为常数，且k≠0），则称点P′为点P的“k属派生点”．例如：P（1，4）的“2属派生点”为P′（1+2×4，2×1+4），即P′（9，6）． （Ⅰ）点P（﹣2，3）的“3属派生点”P′的坐标为　（7，﹣3）　； （Ⅱ）若点P的“5属派生点”P′的坐标为（3，﹣9），求点P的坐标； （Ⅲ）若点P在x轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为P′点，且线段PP′的长度为线段OP长度的2倍，求k的值． 【分析】（Ⅰ）根据“k属派生点”计算可得； （Ⅱ）设点P的坐标为（x、y），根据“k属派生点”定义及P′的坐标列出关于x、y的方程组，解之可得； （Ⅲ）先得出点P′的坐标为（a，ka），由线段PP′的长度为线段OP长度的2倍列出方程，解之可得． 【解答】解：（Ⅰ）点P（﹣2，3）的“3属派生点”P′的坐标为（﹣2+3×3，﹣2×3+3），即（7，﹣3）， 故答案为：（7，﹣3）； （Ⅱ）设P（x，y）， 依题意，得方程组：， 解得， ∴点P（﹣2，1）． （Ⅲ）∵点P（a，b）在x轴的正半轴上， ∴b＝0，a＞0． ∴点P的坐标为（a，0），点P′的坐标为（a，ka）， ∴线段PP′的长为点P′到x轴距离为|ka|， ∵P在x轴正半轴，线段OP的长为a， 根据题意，有|PP'|＝2|OP|， ∴|ka|＝2a， ∵a＞0， ∴|k|＝2． 从而k＝±2． 【点评】本题主要考查坐标与图形的性质，熟练掌握新定义并列出相关的方程和方程组是解题的关键． 13．在平面直角坐标系中，点A（1，2a+3）在第一象限． （1）若点A到x轴的距离与到y轴的距离相等，求a的值； （2）若点A到x轴的距离小于到y轴的距离，求a的取值范围． 【分析】（1）根据第一象限内点的横坐标与纵坐标都是正数，到x、y轴的距离相等列出方程求解即可； （2）根据点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度列出不等式，然后求解即可． 【解答】解：（1）∵点A到x轴的距离与到y轴的距离相等， ∴2a+3＝1， 解得a＝﹣1； （2）∵点A到x轴的距离小于到y轴的距离，点A在第一象限， ∴2a+3＜1且2a+3＞0， 解得a＜﹣1且a， ∴a＜﹣1． 【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）． 14．已知点A（﹣3，2a﹣1），点B（﹣a，a﹣3）． （1）若点A在第二、四象限角平分线上，求点A的坐标． （2）若线段AB∥x轴，求线段AB的长度． 【分析】（1）根据第二、四象限角平分线上的点横纵坐标互为相反数求出A点的坐标； （2）根据平行于x轴的直线上的点纵坐标都相同求出点A和点B的坐标即可得到答案； 【解答】解：（1）∵点A（﹣3，2a﹣1）在第二、四象限角平分线上， ∴﹣3+2a﹣1＝0，解得，a＝2， ∴A（﹣3，3）， （2）∵线段AB∥x轴， ∴2a﹣1＝a﹣3，解得a＝﹣2， ∴A（﹣3，﹣5），B（2，﹣5）， 则AB＝2﹣（﹣3）＝2+3＝5； 【点评】本题主要考查象限角平分线性质、与x轴平行的特征和两点之间的距离， 15．平面直角坐标系中，O为原点，点A（0，2），B（﹣2，0），C（4，0）． （1）如图①，则三角形ABC的面积为 　6　； （2）如图②，将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D．求△ACD的面积． 【分析】（1）根据题意得出OA＝2，OB＝2，OC＝4，然后根据三角形面积公式直接计算即可； （2）由平移的性质可得点D坐标；①连接OD，过点D作DE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，根据S△ACD＝S△OAD+S△OCD﹣S△OAC进行计算即可得到答案；②根据△PAO的面积等于△CAO的面积，求解即可． 【解答】解：（1）∵O为原点，点A（0，2），B（﹣2，0），C（4，0）． ∴OA＝2，OB＝2，OC＝4， ∴BC＝OB+OC＝6， ∴． 故答案为：6； （2）∵将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，B（﹣2，0）， ∴得到对应点D坐标为（5，4）， 连接OD，过点D作DE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F， ∵D（5，4）， ∴DE＝5，DF＝4， ∴S△ACD＝S△OAD+S△OCD﹣S△OAC ＝9． 【点评】本题考查了坐标与图形、点的平移等知识，掌握运用数形结合的思想分析解决问题是解题关键． 16．在平面直角坐标系xOy中对于P，Q两点给出如下定义：若点P到x，y轴的距离中的最大值等于点Q到x，y轴的距离中的最大值，则称P，Q两点为“等距点”，如图中的P，Q两点即为“等距点”． （1）已知点A的坐标为（﹣3，1） ①在点E（0，3），F（3，﹣3），G（2，﹣5）中，为点A的“等距点”的是点 　E、F　． ②若点B的坐标为B（m，m+6），且A，B两点为“等距点”，求点B的坐标． （2）若M（﹣1，﹣a﹣3），N（4，4a﹣3）两点为“等距点”，求a的值． 【分析】（1）①找到x，y轴距离最大为3的点即可；②先分析出直线上的点到x，y轴距离中有3的点，再根据“等距点”概念进行解答即可； （2）先分析出直线上的点到x，y轴距离中有4的点，再根据“等距点”概念进行解答即可． 【解答】解：（1）①∵点A（﹣3，1）到x，y轴的距离中最大值为3， 点E（0，3）到x，y轴的距离中最大值为3， 点F（3，﹣3）到x，y轴的距离中最大值为3， 点G（2，﹣5）到x，y轴的距离中最大值为5， ∴与A点是“等距点”的点是E、F． ②当点B坐标中到x、y轴距离其中至少有一个为3的点有（3，9）、（﹣3，3）、（﹣9，﹣3）， 这些点中与A符合“等距点”的是（﹣3，3）． 故答案为：①E、F；②（﹣3，3）． （2）M（﹣1，﹣a﹣3），N（4，4a﹣3）两点为“等距点”， ①若|4a﹣3|≤4时，此时到x，y轴的距离中的最大值为4， 则4＝﹣a﹣3或﹣4＝﹣a﹣3， 解得：a＝﹣7（舍去）或a＝1． ②若|4a﹣3|＞4时，此时到x，y轴的距离中的最大值大于4， 则|4a﹣3|＝|﹣a﹣3|， 解得：a＝2或a＝0（舍去）． 根据“等距点”的定义知，a＝1或a＝2符合题意． 即a的值是1或2． 【点评】本题主要考查了点到坐标轴的距离，坐标与图形的性质，解题的关键是首先读懂“等距点”的定义，而后根据概念解决问题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第17讲 平面直角坐标系 课程标准 学习目标 1 理解平面直角坐标系的概念，掌握其构成要素（坐标轴、原点、象限等）。 2 能熟练运用坐标表示平面内点的位置，以及根据点的坐标确定其在坐标系中的位置。 3 体会平面直角坐标系在数学及其他领域中的广泛应用，培养用坐标方法解决问题的意识。 1. 熟悉平面直角坐标系的相关知识，包括坐标的表示与读法。 2. 准确确定点的坐标并能根据坐标进行简单的绘图与分析，如判断点所在象限。 3. 感受平面直角坐标系的规范性与实用性，提高对数学学习的兴趣。 知识点一、平面直角坐标系 1. 平面直角坐标系 平面内两条互相垂直的数轴构成平面直角坐标系，简称直角坐标系.水平的数轴称为x轴或横轴，向右为正方向；铅直方向的数轴称为y轴或纵轴，向上为正方向，两轴的交点O是原点，如图所示： 平面直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的，一般情况下，同一直角坐标系中，x轴和y轴的单位长度相同的，一些特殊情况下，受坐标轴所表示数量意义的影响，x轴和y轴的单位长度可以有所不同，但同一坐标轴上的单位长度必须相同. 2.点的坐标 （1）点的坐标：在平面直角坐标系中，一对有序实数可以确定一个点的位置；反过来，任意一点的位置都可以用一对有序实数来表示.这样的有序实数对叫做点的坐标.平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，横坐标写在纵坐标的前面.有序数对（a，b）叫做点P的坐标，记作:P(a，b)，如图所示： （2）确定点的坐标的方法： ①确定横坐标：从该点向x轴作垂线，垂足在x轴上的数字为该点的横坐标； ②确定纵坐标：从该点向y轴作垂线，垂足在y轴上的数字为该点的横坐标. ③用有序实数对将它表示出来，横坐标在前，纵坐标在后，中间用“，”隔开，并用小括号将它们括起来. （3）有序实数对（2，1）和（1，2）数字一样，顺序不一样，表示点的位置也是不一样的. （4）对于坐标平面内任意一点都有唯一的一对有序数对(x，y)和它对应,反过来对于任意一对有序数对，在坐标平面内都有唯一的一点与它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序数对是一一对应的. （5）点P(a，b)中，|a|表示点到y轴的距离；|b|表示点到x轴的距离. 知识点二、象限的划分与点的坐标特征 1.象限的划分：两条坐标轴将平面分成的4个区域称为象限，按逆时针顺序分别记为一、二、三、四象限，各象限内点的坐标、符号特征为第一象限（＋，＋），第二象限（－，＋），第三象限（－，－），第四象限（＋，－），如图所示： 2.点的坐标特征 点在坐标平面内的位置不同，点的坐标特征也就不同，具体如下： 点M（x，y）所处的位置 坐标特征 象限内的点 点M在第一象限 M（正，正） 点M在第二象限 M（负，正） 点M在第三象限 M（负，负） 点M在第四象限 M（正，负） 坐标轴上的点 点M在x轴上 在x轴正半轴上 M（正，0） 在x轴负半轴上 M（负，0） 点M在y轴上 在y轴正半轴上 M（0，正） 在y轴负半轴上 M（0，负） 原点 M（0，） 象限角平分线上的点 点M在第一、三象限角平分线上 M（x，y）且x＝y 点M在第二、四象限角平分线上 M（x，y）且x＝－y 两点连线与坐标轴平行 MN∥x轴/MN⊥y轴 M、N两点纵坐标相等 MN∥y轴/MN⊥x轴 M、N两点横坐标相等 PS：原点既在x轴上，又在y轴上. 知识点三、图形变换与点的坐标变化 1.对称点的坐标特征 （1）关于x轴对称：横坐标相同，纵坐标互为相反数，即点P（a，b）关于x轴对称的点是（a，－b）； （2）关于y轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标相同，即点P（a，b）关于y轴对称的点是（－a，b）； （3）关于坐标原点对称：横、纵坐标互为相反数，即点P（a，b）关于原点对称的点是（－a，－b）. 2.图形的变化与坐标特征 对于图形上任意一点A（a，b） 图形变化 对应图形 点A变化后的对应坐标 变化后点的坐标特征 平移变换（k＞0） 向上平移k个单位长度 A1（a，b＋k） 横坐标不变，纵坐标加k 向上平移k个单位长度 A2（a，b＋k） 横坐标不变，纵坐标减k 向上平移k个单位长度 A3（a，b＋k） 纵坐标不变，横坐标加k 向上平移k个单位长度 A4（a，b＋k） 纵坐标不变，横坐标减k 对称变换 关于x轴对称 A5（a，b＋k） 横坐标不变，纵坐标与原坐标互为相反数 关于y轴对称 A6（a，b＋k） 纵坐标不变，横坐标与原坐标互为相反数 PS：当图形的平移方向与坐标轴不平行时，可以把这种平移分解为沿两坐标轴平行方向的两次平移. 题型01 点的坐标 1．在平面直角坐标系中，点（﹣3，4）所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．如果点P（m+3，m+1）在x轴上，那么点P的坐标是（　　） A．（0，﹣1） B．（﹣1，0） C．（2，0） D．（0，﹣2） 3．在平面直角坐标系的第四象限内有一点M，到x轴的距离为4，到y轴的距离为6，则点M的坐标为（　　） A．（﹣4，6） B．（﹣6，4） C．（4，﹣6） D．（6，﹣4） 4．在平面直角坐标系中，点P（m2+2024，﹣1）一定在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型02 坐标与图形性质 1．已知点M（3，﹣2）与点M′（x，y）在同一条平行于x轴的直线上，且M′到y轴的距离等于4，那么点M′的坐标是（　　） A．（4，2）或（﹣4，2） B．（4，﹣2）或（﹣4，﹣2） C．（4，﹣2）或（﹣5，﹣2） D．（4，﹣2）或（﹣1，﹣2） 2．三角形ABC中，点B和点C的位置如图所示，点A的位置正确的是（　　） A．（5，3） B．（9，5） C．（3，5） D．（2，2） 3．已知两点A（a，5），B（﹣1，b）且直线AB∥x轴，则（　　） A．a可取任意实数，b＝5 B．a＝﹣1，b可取任意实数 C．a≠﹣1，b＝5 D．a＝﹣1，b≠5 4．在平面直角坐标系中，已知点P（m+2，m﹣1）． （1）当点P在y轴上时，求点P的坐标； （2）已知直线PA平行于y轴，且A（﹣4，﹣2），求AP的长． 题型03 两点间的距离公式 1．点P（3，﹣4）到原点的距离为（　　） A．5 B．4 C．3 D．﹣3 2．A（0，a），B（3，5）是平面直角坐标系中的两点，线段AB长度的最小值为 　　． 3．先阅读一段文字，再回答下列问题： 已知在平面内两点坐标P1（x1，y1），P2（x2，y2），其两点间距离公式为P1P2，同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于x轴或垂直于x轴距离公式可简化成|x2﹣x1|或|y2﹣y1|． （1）已知A（3，5），B（﹣2，﹣1），试求A，B两点的距离； （2）已知A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为﹣1，试求A，B两点的距离． （3）已知一个三角形各顶点坐标为A（0，6），B（﹣6，3），C（3，0），你能断定此三角形的形状吗？说明理由． 题型04 关于坐标轴、原点对称的点的坐标 1．在平面直角坐标系xOy中，点P（﹣3，5）关于x轴的对称点的坐标是（　　） A．（3，5） B．（3，﹣5） C．（5，﹣3） D．（﹣3，﹣5） 2．已知点A（m，2）和B（3，n）关于y轴对称，则（m+n）2023的值为（　　） A．0 B．﹣1 C．1 D．（﹣5）2023 3．已知点A（a，1）与点B（5，b）是关于原点O的对称点，则（　　） A．a＝﹣5，b＝﹣1 B．a＝﹣5，b＝1 C．a＝5，b＝﹣1 D．a＝5，b＝1 4．如果点P（2，b）和点Q（a，﹣3）关于x轴对称，则a+b的值是（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5 题型05 坐标与图形变化（平移） 1．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（3，0），（0，2），若将线段AB平移至CD，则a+b的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2．在平面直角坐标系内，将M（5，2）先向下平移2个单位，再向左平移3个单位，则移动后的点的坐标是（　　） A．（2，0） B．（3，5） C．（8，4） D．（2，3） 3．在平面直角坐标系中，将点A（1，﹣2）向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到点A′，则点A′的坐标是（　　） A．（﹣5，﹣3） B．（﹣3，﹣5） C．（3，﹣5） D．（5，﹣3） 4．在平面直角坐标系中，把点A（﹣1，﹣3）先向左平移2个单位，再向上平移4个单位得点A′，则A′的坐标是 　 　． 题型06 坐标与图形变化（对称） 1．点P（2，﹣3）关于直线x＝1对称的点的坐标是 　　． 2．如图，在直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A在x轴上，顶点B在y轴上，∠ACB＝90°，OB∥AC，点C的坐标为（4，8），点D和点C关于AB成轴对称，且AD交y轴于点E．则点E的坐标为 　　． 3．如图，P，M关于直线x＝1的对称点为P′，M′． （1）写出P′的坐标 　 　，M′的坐标 　 　； （2）思考，写出P（﹣2，4）关于直线x＝﹣1的对称点坐标 　 　；写出N′（5，﹣2）关于直线x＝2的对称点坐标 　 　； （3）思考，写出点（a，b）关于直线x＝n的对称点坐标 　 　． 题型07 坐标与图形变化（旋转） 1．点A（5，3）经过某种图形变化后得到点B（﹣3，5），这种图形变化可能是（　　） A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．绕原点逆时针旋转90° D．绕原点顺时针旋转90° 2．如图，在平面直角坐标系中，点A（3，0），点B（0，1），连接AB，将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC，连接OC，则线段OC的长度为（　　） A．4 B． C． D．5 3．在平面直角坐标系中，A点坐标为（3，4），将OA绕原点O顺时针旋转90°得到OA′，则点A′的坐标是 　 　． 1．如果点P（2，b）和点Q（a，﹣3）关于直线x＝1对称，则a+b的值是（　　） A．﹣3 B．1 C．﹣5 D．5 2．在平面直角坐标系中，点（﹣3，2）关于y轴对称的点的坐标为（　　） A．（3，2） B．（﹣2，3） C．（2，﹣3） D．（3，﹣2） 3．在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是（　　） A．（1，2） B．（﹣1，2） C．（﹣1，﹣2） D．（1，﹣2） 4．如图，△OAB中，∠AOB＝60°，OA＝4，点B的坐标为（6，0），将△OAB绕点A逆时针旋转得到△CAD，当点O的对应点C落在OB上时，点D的坐标为（　　） A．（7，3） B．（7，5） C．（5，5） D．（5，3） 5．如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标为（3，4），点N的坐标为（6，0），将△OMN绕点O按逆时针方向旋转得到△OM′N′．若点M′恰好落在x轴上，则点N′的坐标为（　　） A．（﹣3，5） B． C．（﹣4，5） D． 6．已知点P（2a﹣6，a+1），若点P在坐标轴上，则点P的坐标为 　 　． 7．已知直线MN∥x轴，且M（2，5），N（1﹣2m，m+3），则m的值为 　 　． 8．如图，将△AOB绕点O逆时针方向旋转90°，得到△A′OB′，看点A的坐标为（2，1），则点A′坐标为　 　． 9．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，0），点B（0，1）．将线段BA绕点B旋转180°得到线段BC，则点C的坐标为 　 　． 10．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，3），以O点为圆心，OA为半径画弧，交网格线于点B，则点B的坐标是 　 　． 11．如图，已知A（﹣2，3）、B（4，3）、C（﹣1，﹣3） （1）求点C到x轴的距离； （2）求△ABC的面积； （3）点P在y轴上，当△ABP的面积为6时，请直接写出点P的坐标． 12．对于平面直角坐标系xOy中的点P（a，b），若点P′的坐标为（a+kb，ka+b）（其中k为常数，且k≠0），则称点P′为点P的“k属派生点”．例如：P（1，4）的“2属派生点”为P′（1+2×4，2×1+4），即P′（9，6）． （Ⅰ）点P（﹣2，3）的“3属派生点”P′的坐标为　 　； （Ⅱ）若点P的“5属派生点”P′的坐标为（3，﹣9），求点P的坐标； （Ⅲ）若点P在x轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为P′点，且线段PP′的长度为线段OP长度的2倍，求k的值． 13．在平面直角坐标系中，点A（1，2a+3）在第一象限． （1）若点A到x轴的距离与到y轴的距离相等，求a的值； （2）若点A到x轴的距离小于到y轴的距离，求a的取值范围． 14．已知点A（﹣3，2a﹣1），点B（﹣a，a﹣3）． （1）若点A在第二、四象限角平分线上，求点A的坐标． （2）若线段AB∥x轴，求线段AB的长度． 15．平面直角坐标系中，O为原点，点A（0，2），B（﹣2，0），C（4，0）． （1）如图①，则三角形ABC的面积为 　 　； （2）如图②，将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D．求△ACD的面积． 16．在平面直角坐标系xOy中对于P，Q两点给出如下定义：若点P到x，y轴的距离中的最大值等于点Q到x，y轴的距离中的最大值，则称P，Q两点为“等距点”，如图中的P，Q两点即为“等距点”． （1）已知点A的坐标为（﹣3，1） ①在点E（0，3），F（3，﹣3），G（2，﹣5）中，为点A的“等距点”的是点 　 　． ②若点B的坐标为B（m，m+6），且A，B两点为“等距点”，求点B的坐标． （2）若M（﹣1，﹣a﹣3），N（4，4a﹣3）两点为“等距点”，求a的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$