大题突破2：直线的方程解答题7考点复习指南（讲+练）-【题海探秘】2024-2025学年高二上学期数学期中考考点复习指南（人教A版2019选择性必修第一册）

2024-2025高二上学期数学期中考考点复习指南（人教A版2019选择性必修第一册） 大题突破2：直线的方程解答题7考点复习指南 考点1 直线方程的求法 1．（24-25高二上·广西梧州·阶段练习）已知的顶点坐标是为的中点. (1)求中线的方程； (2)求经过点且与直线平行的直线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出点的坐标，再根据两点式方程即可得解； （2）先求出直线的斜率，再根据点斜式方程即可得解. 【详解】（1）因为，所以， 故的方程是，即； （2）因为直线的斜率， 所以经过点且与直线平行的直线方程为，即. 2．（23-24高二上·山西太原·期中）已知的三个顶点，分别是的中点． (1)求直线的一般式方程； (2)求边的垂直平分线的斜截式方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求得的坐标，进而求得直线的方程并转化为一般式方程. （2）求得垂直平分线的斜率，进而求得其斜截式方程. 【详解】（1）由于分别是的中点，所以， 所以，直线的方程为，即. （2），所以边的垂直平分线的斜率为， 所以边的垂直平分线的斜截式方程为.    3．（23-24高二上·四川成都·期中）已知的两顶点坐标为，，是边的中点，是边上的高． (1)求所在直线的方程； (2)求高所在直线的方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由条件结合中点坐标公式求的坐标，利用点斜式求直线方程，再化为一般式即可； （2）根据垂直直线的斜率关系求直线的斜率，利用点斜式求直线方程，再化为一般式即可. 【详解】（1）因为是边的中点，所以， 所以直线的斜率， 所以所在直线的方程为：，即， （2）因为是边AB的中点，所以， 因为是边上的高， 所以，所以， 所以， 因此高所在直线的方程为：，即.    4．（24-25高二上·四川内江·期中）已知，，．求： (1)BC边上的中线所在的直线方程； (2)AB边垂直平分线方程； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据中点坐标公式求出中点，然后利用两点坐标写出直线方程即可； （2）利用垂直平分线经过的中点，且和垂直求解即可. 【详解】（1）由于，，则中点坐标为，直线的斜率， 所以BC边上的中线所在的直线方程为，整理得； （2）由于，，所以直线的斜率，中点坐标为 所以，AB边垂直平分线的斜率且过， 故AB边垂直平分线方程为整理得． 5．（23-24高二上·甘肃白银·期中）已知直线方程为，其中． (1)当变化时，求点到直线的距离的最大值； (2)若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值及此时的直线方程． 【答案】(1) (2)△AOB面积的最小值为4，此时的直线方程. 【分析】（1）把直线方程整理成关于的方程，由恒等式知识可得定点坐标，点到直线的距离的最大时，一定有与该直线垂直，可得结论． （2）求出直线与两坐标轴交点坐标，得三角形面积，然后由基本不等式得最小值及参数值． 【详解】（1）直线方程为， 可化为， 令，解得，所以直线恒过定点. 设定点为，当变化时，与该直线垂直时，点到直线的距离最大， 可知点与定点的连线的距离就是所求最大值，为 （2）由于直线经过定点，直线的斜率存在且， 可设直线方程为可得与轴､轴的负半轴交于，两点，∴，，解得. ∴， 当且仅当时取等号，面积的最小值为4， 此时直线的方程为：，即：. 6．（23-24高二上·江苏南京·开学考试）已知直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点. (1)当时，求直线的方程； (2)当的面积为时，求直线的方程. 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）设直线的截距式为，由题意列出方程组，求出截距即可得解； （2）利用截距表示出三角形面积，再联立方程求出截距，即可得解. 【详解】（1）设直线的方程为，且 由，得，由直线过点，得，解得， 所以直线的方程为. （2）设直线的方程为，且直线不经过原点， 由题意知，，，解得或， 所以直线的方程为或. 7．（13-14高一·全国·课后作业）已知的三个顶点分别为，，，求： (1)边所在直线的方程； (2)边上中线所在直线的方程； (3)边的垂直平分线的方程 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由两点式求直线的方程； （2）由条件求的坐标，再求直线所在直线的方程； （3）根据直线垂直时斜率的关系求直线的斜率，再求其方程. 【详解】（1）因为直线经过和两点， 由两点式得的方程为，即 （2），，为的中点， 点的坐标为， 又边的中线过点，两点， 由截距式得所在直线方程为，即 . （3）的斜率，则的垂直平分线的斜率， 由斜截式得直线的方程为，即． 考点2 两直线位置关系的判定及应用 8．（23-24高二上·广西河池·阶段练习）已知两条直线，当为何值时，与 (1)相交； (2)重合； (3)直线是否存在定点，若存在，求出该点，若不存在，说明理由． 【答案】(1)且且 (2) (3)存在； 【分析】（1）对两条直线方程中变量系数分为零与不为零的情况进行讨论分析即可； （2）结合（1）中条件与结论即可； （3）将直线方程参数分离，再根据题意建立方程组解出即可. 【详解】（1）当时，，所以； 当时，，此时与相交； 当且时， 由，得或； 由，得． 所以时，与重合，时，与平行， 故且且时，与相交； （2）由（1）知，时，与重合． （3）直线上存在定点. 将化为： ， 当时方程一定成立， 解得， 故直线上存在定点． 9．（23-24高二上·四川成都·阶段练习）已知直线经过点，求分别满足下列条件直线的方程： (1)垂直于直线； (2)平行于直线. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先根据两直线垂直求斜率，再代入点斜式直线方程，即可求解； （2）首先根据两直线平行求斜率，再代入点斜式直线方程，即可求解. 【详解】（1）因为垂直于直线，所以所求直线斜率为， 所求直线方程为，即. （2）因为平行于直线所以斜率.所求直线方程为，即. 10．（22-23高二·全国·单元测试）已知直线与直线．当t为何值时， (1)与相交？ (2)与平行？ (3)与重合？ (4)与垂直． 【答案】(1)且； (2)； (3)； (4)或. 【分析】（1）由条件可得，解出即可； （2）由条件可得，解出即可； （3）由条件可得，解出即可； （4）由条件可得，解出即可. 【详解】（1）若直线与直线相交， 则，解得且； （2）若直线与直线平行， 则，解得； （3）若直线与直线重合， 则，解得； （4）若直线与直线垂直， 则，解得或. 11．（23-24高二上·全国·课后作业）已知，求取什么值时，直线与直线： (1)重合； (2)平行； (3)垂直． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据两直线重合，则斜率与在轴截距相等，列出方程，即可得到结果； （2）根据两直线平行，则斜率相等，在轴截距不相等，列出方程，即可得到结果； （3）根据两直线垂直，则斜率乘积为，列出方程，即可得到结果. 【详解】（1）直线的斜率，它在y轴上的截距． 直线的斜率，它在y轴上的截距． 则重合，． （2）平行，． （3）垂直． 12．（23-24高二上·全国·课后作业）（1）求过点，且与直线平行的直线方程； （2）求过点，且与直线垂直的直线方程． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据题意，设所求直线方程为，再将点的坐标代入即可； （2）根据题意，设所求直线方程为，再将点的坐标代入即可. 【详解】（1）设与直线平行的直线方程为， 将点代入，可得， 则所求直线方程为. （2）设与直线垂直的直线方程为， 将点代入，可得， 则所求直线方程为. 13．（23-24高二上·新疆伊犁·期中）已知直线，直线． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值． 【答案】(1)0 (2)或 【分析】（1）根据直线平行的必要条件求a，然后验证即可； （2）根据直线垂直的充要条件求解可得. 【详解】（1）若，则有， 即，解得或， 当时，，，满足； 当时，，，此时重合，不满足. 综上，实数的值为0. （2）若，则， 即，解得或. 所以，实数的值为或. 14．（23-24高二上·四川·期中）已知，，，. (1)若直线与平行，求的值； (2)若为直角三角形，求的值. 【答案】(1) (2)或12或 【分析】（1）根据求解，然后再判断四点不共线即可； （2）根据直线垂直的斜率关系，分三种情况求解即可. 【详解】（1）依题意可得， 即，解得. 又，， 所以，所以A、B、C、D四点不共线， 所以. （2）若A为直角，则，即， 解得. 若为直角，则，即， 解得. 若为直角，则，即， 解得. 综上，的值为或12或. 15．（22-23高二上·辽宁·期中）已知直线：，直线： (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）（2）利用直线平行、垂直的判定列方程求参数值，对于平行情况需要验证所得参数是否符合要求. 【详解】（1）由，则，即， 所以或， 当，，，两线重合，不合题设； 当，，，符合题设； 综上， （2）由，则，即， 所以，即或. 16．（19-20高一上·甘肃平凉·期末）已知，，． (1)求点的坐标，满足，； (2)若点在x轴上，且，求直线的倾斜角． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两直线的垂直关系和平行关系即可求出结果； （2）根据条件可得即可求出结果. 【详解】（1）设， 由已知得， 又，可得， 即．　① 由已知得， 又，可得， 即．　② 联立①②解得， ∴． （2）设， ∵， ∴， 又∵，， ∴， 解得． ∴， 又∵， ∴轴， 故直线MQ的倾斜角为90°． 17．（22-23高二上·安徽黄山·期中）已知直线，直线． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1），，若，则，求出参数后，需代入验证，排除两直线重合的情况； （2），，若，则，由此求参数即可. 【详解】（1）因为，所以， 整理得：，即：，解得：或， 当时，， ，即，符合题意； 当时，，即， ，即，此时与重合，不符合题意. 所以. （2）因为，所以， 整理得：，即：，解得：或， 所以或. 18．（23-24高二上·上海杨浦·期中）已知两条直线和. (1)讨论直线与的位置关系； (2)当直线与平行时，求它们之间的距离；当直线与相交时，求它们之间夹角的最大值，并指出相应的取值. 【答案】(1)答案见解析； (2)平行时距离为，相交时最大夹角为． 【分析】（1）由两相交求得的范围，再讨论平行与重合的情形即可； （2）由平行线间距离公式求距离，考虑特殊情形即两直线能否垂直，垂直时夹角最大为． 【详解】（1），且时，两直线相交， 时，两直线方程分别为和，两直线重合， 时，两直线方程分别为和，两直线平行． 综上， 且时，两直线相交，时，两直线重合，时，两直线平行． （2）由（1）两直线平行时，两直线方程分别为和即为和，距离为， 两直线相交时，且， 时，的斜率为，的斜率为， 由得，即时两直线垂直，夹角最大为． 考点3 对称问题 19．（23-24高二上·河北·期中）在中，，角的角平分线方程为边上的高线方程为. (1)求所在直线方程； (2)求所在直线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据边上的高线的斜率求出直线的斜率，再由求出所在直线方程. （2）求出点坐标，再由角的角平分线方程为，得直线与直线斜率互为相反数，即可求解出直线方程. 【详解】（1）因为边上的高线方程为， 则直线的斜率，所以直线的斜率， 所以所在直线方程为， 即. （2）将代入得，所以， 所以直线的斜率 因为角的角平分线方程为，所以直线与直线斜率互为相反数, 即， 所以所在直线方程为， 则所在直线方程. 20．（23-24高二上·浙江嘉兴·期中）已知直线和点 (1)请写出过点且与直线平行的直线； (2)求点关于直线的对称点的坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设过点且与直线平行的直线为，再将点的坐标代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，设，列出方程，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）设过点且与直线平行的直线为， 将代入，可得，所以直线方程为. （2）设，由题意可得，解得， 所以点的坐标为. 21．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知点，，动点满足． (1)求动点的轨迹方程 (2)一条光线从点射出，经轴反射与动点的轨迹交于，两点，其中，求反射光线所在直线的方程． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）设点，由得方程，化简整理即可 （2）求出圆心到直线的距离，对直线的斜率存在讨论即可求解． 【详解】（1）设，由得， 化简得，动点的轨迹方程为：； （2）光线从点射出，经轴反射与动点的轨迹交于，两点， 故入射光线的斜率不为0，故反射光线的斜率不为0， 当入射光线的斜率不存在时，此时反射光线方程为， 此时直线与无交点，不合要求，舍去， 当入射光线的斜率存在时，点关于轴的对称点 由题意知反射光线所在的直线经过点，其斜率也一定存在， 设其方程为，即为， 设圆心到反射直线的距离设为，则， 所以，解得舍去或． 所以反射光线所在直线的方程为． 22．（22-23高二上·四川成都·期中）已知直线​的方程为​，点​的坐标为​. (1)若直线与​关于点​对称，求​的方程; (2)若点​与​关于直线​对称，求​的坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）由直线与直线互相平行，且点到两直线距离相等，列方程即可求解； （2）由直线垂直平分线段，列方程组即可求解. 【详解】（1） 易知直线与直线互相平行， 设的方程为​，点到两直线距离相等， 有​， 即​，或​(舍去)， 故​的方程为​. （2） 设点​的坐标为​， 直线，且的中点在直线上， 而直线的斜率为，， 故有​，解得 ， ​故​的坐标为. 23．（2020高三·全国·专题练习）已知直线，点．求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线的对称直线的方程； (3)直线关于点对称的直线的方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用两对称点的连线与对称直线垂直及两对称点的中点落在对称直线上，列出方程，解得即可； （2）在直线上任取一点，利用（1）的做法求得对称点，再求出与的交点，由经过，两点，利用点斜式即可求得直线的方程； （3）任取上一点，求得其对称点，代入直线的方程即可求得直线的方程. 【详解】（1）设，由得， 则，解得，故. （2）在直线上取一点，如，则关于直线的对称点必在上， 设对称点为，则，解得，即， 设与的交点为，则由，解得，即， 又经过点，故， 所以直线的方程为，即. （3）设为上任意一点， 则关于点的对称点为， 因为在直线上，所以， 即直线的方程为.    24．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知直线过点，直线：． (1)若直线，求直线的方程； (2)若直线为入射光线，经直线反射，其反射光线经过点，求的方程． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据两直线垂直，可求斜率，结合点斜式即可求解. （2）求得点关于直线的对称点，则反射光线上的两点知道，进而可求斜率，应用点斜式即可求解. 【详解】（1）因为直线, 所以，即, 因为，所以，即， 从而直线的方程为：即; （2）设点关于直线的对称点为， ，解得：， 入射光线的斜率为，从而入射光线的直线方程为， 即. 25．（23-24高二上·四川成都·期中）已知直线过点． (1)若直线与直线垂直，求直线的方程 (2)若已知直线，点关于直线的对称点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据垂直关系得到斜率，结合点坐标得到直线方程. （2）设出对称点，根据斜率的关系和中点坐标得到方程组，解得答案. 【详解】（1）直线与直线垂直，则， 故直线的方程为，即 （2）设点关于直线的对称点的坐标为， 则，解得，故对称点坐标为. 26．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知直线，点. (1)已知直线与平行，求的值； (2)求点关于直线的对称点的坐标. 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）根据两直线平行的斜率关系列式运算得解； （2）设出对称点的坐标，利用中点在直线上，以及直线垂直，列出方程，即可求得结果. 【详解】（1）由直线平行直线，可得，解得或， 当时，直线符合题意， 当时，直线与直线重合，不合题意， 所以的值为3. （2）设对称点的坐标为，则中点的坐标为， 所以可得，解得， 所以的坐标为. 27．（23-24高二上·浙江金华·期中）已知两直线. (1)求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； (2)已知两点，动点在直线运动，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）联立方程，求出交点，再由垂直关系得出斜率，进而写出直线方程； （2）由对称性得出点关于直线对称的点为，进而结合图像得出最值. 【详解】（1）解：联立，解得， 因为所求直线垂直于直线，所以所求直线的斜率为； 故所求直线方程为，即 （2）设点关于直线对称的点为， ，解得 则， 故的最小值为. 28．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）（1）已知直线过定点，且其倾斜角是直线的倾斜角的二倍，求直线的方程； （2）已知入射光线经过点，且被直线反射，反射光线经过点，求反射光线所在直线的方程. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用倾斜角求出直线斜率，然后再利用点斜式即可求解直线方程， （2）利用点关于直线对称可得，即可根据两点坐标求解直线斜率，由点斜式求解直线方程. 【详解】（1）因为直线的斜率为，则直线的倾斜角为， 故所求直线的倾斜角为，直线斜率为， 所求直线的方程为，即. （2）设关于直线对称的点为， 则解得 因为反射光线经过点， 所以所在直线的斜率为， 故反射光线所在直线方程为，即. 考点4 直线的交点问题 29．（23-24高二上·河南洛阳·阶段练习）已知三条直线，和. (1)若，求实数的值； (2)若三条直线相交于一点，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由两条直线平行的条件求解即可； （2）先由两条确定的直线求出交点坐标，然后带入含参直线求解即可. 【详解】（1）因为，且， 所以.解得. 经检验，时，. 所以. （2）由，解得即与的交点为， 因为三条直线相交于一点，所以点在上， 所以.解得. 30．（23-24高二上·湖北武汉·期中）已知的顶点，边上的高线所在的直线方程为，边上的中线所在的直线方程为． (1)求点的坐标； (2)求直线的方程． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由垂直关系求出直线的方程，再求出两直线的交点坐标即得. （2）设出点的坐标，利用中点坐标公式求出点坐标，再利用两点式求出直线方程. 【详解】（1）由边上的高线所在的直线方程为，得直线的斜率为1， 直线方程为，即， 由，解得， 所以点的坐标是. （2）由点在直线上，设点，于是边的中点在直线上， 因此，解得，即得点，直线的斜率， 所以直线的方程为，即. 31．（23-24高二上·江西·期中）已知为坐标原点，直线：，直线：，，交于点. (1)求点的坐标； (2)若点在上，且，求线段的长度. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）联立直线的方程，可求解 （2）设，利用得到直线的斜率，从而求出点坐标，再利用两点间距离公式求解. 【详解】（1）由，得：，所以：点的坐标为. （2）由于，在直线：上，所以直线的斜率为， 由于点在：上，故可设点， 由，得直线的斜率为：，即：，解得：， 所以：， 所以：线段的长度为：. 32．（23-24高二上·山东·期中）已知直线过点． (1)若在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (2)设为坐标原点，若与轴正半轴交于点与轴正半轴交于点，求面积的最小值． 【答案】(1)或 (2)4 【分析】（1）因为在两坐标轴上的截距相等，所以按截距是否为，分类求解； （2）设直线斜率为，求解与坐标轴的交点，将面积表示为函数，利用基本不等式求最值即可. 【详解】（1）①当直线过坐标原点，直线过点． 所以方程为，即； ②当直线不过坐标原点，，设方程为， 由直线过点，将代入方程得，解得， 所以直线的方程为，即； 综上：的方程为或. （2）由题意知斜率存在且小于0，设方程为， 令，解得；令，解得； 因为，所以，， 所以面积 ， 当且仅当即时取等号， 所以面积的最小值为4. 33．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知的顶点的坐标为，边上的中线所在的直线方程为，的平分线所在的直线方程为． (1)求点的坐标； (2)求直线的方程 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，由中点在上，点在直线上，联立方程求出的坐标； （2）求出关于的对称点的坐标，即可求出直线的方程. 【详解】（1）设，顶点的坐标为， 由中点在上， 可得：，即， 又由于点在直线上，得， 联立解得，即； （2）顶点的坐标为， 设A点关于的对称点为， 则有，解得，即， 显然点在BC边所在的直线上，且， 得直线的方程为：， 所以直线的方程为：. 34．（23-24高二上·吉林延边·期中）已知直线，直线与直线垂直，且直线，的交点的横坐标与纵坐标相等． (1)求直线的方程； (2)若直线l被直线，所截得的线段恰好被点平分，求直线l的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出直线，的交点坐标，再设直线为，将交点坐标代入求出，从而可求出直线的方程； （2）设直线l交直线，分别于点，则有，，，从而可求出两点的坐标，则可求出直线的斜率，进而可求出直线的方程. 【详解】（1）由题意设直线，的交点坐标为，则，得， 所以直线，的交点坐标为， 由题意设直线为，则，得， 所以直线的方程为； （2）设直线l交直线，分别于点， 因为为的中点，所以， 因为，， 所以，即， 由，解得， 所以，所以， 所以， 所以直线的方程为，即. 考点5 直线的恒过定点问题 35．（23-24高二上·四川凉山·期中）已知直线l：．（其中a为参数，） (1)若不论x取何值，直线l恒过一定点A，求该定点A的坐标； (2)若直线l不过第二象限，求实数a的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据直线方程直接确定其所过的定点即可； （2）根据直线所过定点及不过第二象限，直线l过原点时倾斜角最小，且直线斜率恒正，列不等式求参数范围. 【详解】（1）由化为， 当时，无论a取何值都有． 所以直线l恒过定点． （2）由（1）知，直线l恒过定点，要使直线l不过第二象限， 故直线l过原点时倾斜角最小，且直线斜率恒正， 所以，只需直线的斜率，即. 36．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）设为实数，直线． (1)求证：不论为何值，直线必过定点，并求出定点的坐标； (2)过点引直线，使它与两坐标轴的正半轴的截距之和最小，求的方程． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）列出方程，解方程组，可求出定点； （2）设出直线的方程，将点代入，可得，利用基本不等式可求得取最小值时的，，从而得解. 【详解】（1）因为直线， 所以，对恒成立， 从而由，解得，从而直线过定点. （2）由题意设， 因为直线过定点，所以， 与两坐标轴的正半轴的截距之和为， ，当且仅当， 即时等号成立， 从而的方程为，即. 37．（23-24高二上·湖北·期中）已知直线l：，． (1)证明：直线l过定点P，并求出P点的坐标； (2)直线l与坐标轴分别交于点A，B，当截距相等时，求直线l的方程． 【答案】(1)证明见解析，； (2)或. 【分析】（1）变形给定方程，求出定点坐标即得. （2）按直线是否过原点，结合直线的截距式方程求解即得. 【详解】（1）方程变形为：， 由解得，显然对任意实数，当时，方程恒成立， 所以直线l恒过定点． （2）由（1）知直线l过点， 当截距为0时，即直线l过原点，直线l方程为：； 当截距不为0时，设直线l方程为：，则有，解得， 此时直线l的方程为：， 所以直线l的方程为：或． 38．（23-24高二上·安徽黄山·期中）已知直线． (1)若直线l不经过第二象限，求k的取值范围． (2)若直线l与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点，当△AOB的面积为时（O为坐标原点），求此时相应的直线l的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）首先确定直线过定点，再根据条件，求斜率的取值范围； （2）首先分别求直线与坐标轴的交点，并表示的面积，即可求直线的斜率和方程. 【详解】（1）由题意可知直线， 易知直线过定点， 当直线过原点时，可得， 当时，直线不经过第二象限． （2）由题意可知 ∵直线与轴、轴正半轴的交点分别是， ， 当时，由得： ， 即：， 或， 即：直线的方程为或. 39．（24-25高二上·四川内江·期中）已知一条动直线， (1)求直线恒过的定点的坐标； (2)若直线与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，的面积为6，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）重新整理直线方程，由此列方程组来求得定点坐标. （2）利用截距式设出直线方程，根据三角形的面积以及点坐标求得直线的方程，再经过验证来确定正确答案. 【详解】（1）由题意，整理得， 所以不管取何值时，直线恒过定点的坐标满足方程组， 解得，即. （2）设直线方程为，则， 由直线恒过定点，得， 由整理得：，解得或， 所以直线方程为：或， 即或， 又直线的斜率， 所以不合题意，则直线方程为. 考点6 与直线有关的距离问题 40．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，. (1)求边所在的直线方程； (2)求的面积. 【答案】(1) (2)15 【分析】（1）由B，C两点的坐标，得直线的两点式方程，化简得一般式方程； （2）用两点间距离公式求B，C两点间的距离，计算点A到直线BC的距离可得三角形的高，得三角形的面积. 【详解】（1）因为，，所以BC所在的直线方程为， 即. （2）B，C两点间的距离为， 点A到直线BC的距离， 所以的面积为. 41．（23-24高二上·河北石家庄·期中）已知点，直线． (1)若直线，求直线之间的距离； (2)求过点P且与直线垂直的直线的方程； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先判断的位置关系，再利用平行线间的距离公式即可得解； （2）利用直线垂直的性质，结合待定系数法即可得解. 【详解】（1）因为，， 又， 所以，故， 又可化为， 所以直线之间的距离为. （2）因为， 所以与直线垂直的直线的方程可设为， 又因为它过点，所以，解得， 故所求直线方程为. 42．（22-23高二上·四川凉山·期中）已知直线与直线. (1)当时，求的值． (2)当时，求与之间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由两直线垂直可得出关于实数的方程，解之即可； （2）由两直线平行求出实数的值，再利用平行线间的距离公式可求得与之间的距离． 【详解】（1）解：由，则，解得. （2）解：由可得，解得， 直线的方程为，即， 直线的方程为，即， 因此，与之间的距离为. 43．（22-23高二上·北京·期中）在平行四边形中，，边所在直线的方程分别为和． (1)求边所在直线的方程和点到直线的距离； (2)求线段垂直平分线所在的直线方程； (3)求过点且在轴和轴截距相等的直线方程． 【答案】(1)； (2)； (3)和． 【分析】 （1）直线BC和直线AD平行，据此求出BC斜率，再根据BC过C，根据直线点斜式方程即可求解，再根据点到直线距离公式可求A到直线BC的距离； （2）求出AC的斜率并求出线段AC中点坐标，根据点斜式方程即可求解； （3）根据题意利用点斜式方程，表示出直线的横截距和纵截距，列方程即可求解． 【详解】（1）由的方程为， 可得直线的斜率为3，又经过点， 则直线的方程为，即； 点到直线的距离为； （2）由，可得的中点坐标为， 又直线的斜率为，则线段垂直平分线斜率为， 则其所在的直线方程为，即为； （3）由，解得， 由题意可得所求直线的斜率存在且不为0， 设所求直线的方程为， 今，则， 今，则， 由题意可得， 解得和， 则所求直线方程为和． 44．（24-25高二上·云南玉溪·期中）已知三个顶点坐标分别为，，. (1)试判断的形状； (2)求边上的中线所在直线的方程. 【答案】(1)是以为直角的等腰直角三角形 (2) 【分析】（1）根据斜率公式与两点间的距离公式，分别求出，，，，即可求解三角形的形状； （2）求出上的中点的坐标，然后根据斜率公式求出，然后再用点斜式求出直线方程，再化为一般式，即可求解. 【详解】（1）因为，，， 所以直线AB的斜率， ， 直线AC的斜率， ， 则， 所以且， 所以是以为直角的等腰直角三角形. （2）易求AC中点坐标， 所以直线BD的斜率， 则边AC上的中线为， 化为一般式为. 45．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知点和直线. (1)求过点且与直线垂直的直线的一般方程； (2)求与直线平行且与之间的距离为的直线的一般方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用两直线垂直的直线斜率，代入点斜式后化为一般式方程即可； （2）利用平行设出直线方程，利用两平行线间的距离求解即可. 【详解】（1）直线的斜率为， 所以过点且与直线垂直的直线的斜率为， 故所求方程为，即； （2）设与直线平行的直线方程为， 则，即，解得或， 所以所求直线的方程为或. 46．（23-24高二上·山东济宁·期中）已知直线，直线． (1)当时，求两直线的交点坐标； (2)当时，求两直线间的距离． 【答案】(1)、 (2) 【分析】（1）根据直线垂直求得，进而求得交点坐标. （2）根据直线平行求得，进而求得两直线间的距离. 【详解】（1）若，所以， 解得或； 当时，， 即，所以交点为. 当时，， 即， 由解得，所以交点为. 综上所述，交点为、. （2）若，所以， ，解得或. 当时，， 两直线间的距离为. 当时，， 即，两直线重合，不符合题意. 综上所述，两直线间的距离为. 47．（23-24高二上·全国·期中）已知的三个顶点的坐标分别为. (1)求点到直线的距离； (2)求边上的高所在直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出直线的一般式方程，再由点到直线距离公式计算即可； （2）由直线方程的点斜式求解即可. 【详解】（1）由已知，直线的斜率为， ∴直线的方程为，即. ∴点到直线的距离为. （2）由第（1）问，直线的斜率为， ∴边上的高所在直线的斜率为， 又∵边上的高所在直线过点， ∴边上的高所在直线的方程为，即. 48．（24-25高二上·江苏·阶段练习）已知平面内两点. (1)求过点且与直线垂直的直线的方程； (2)若是以为顶点的等腰直角三角形，求直线的方程； (3)已知直线过点，且点到的距离为4，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）由两直线垂直求得直线的斜率为，再由点斜式方程可得结果； （2）依题意可得点在的垂直平分线上，再由可得点坐标，即可求得直线的方程； （3）对直线的斜率是否存在进行讨论，利用点到直线距离公式可求得直线的方程. 【详解】（1）由题意得，则直线的斜率为， 所以过点且与直线垂直的直线的方程为：， 即. （2）的中点坐标为， 由（1）可知线段垂线的斜率为， 所以线段垂直平分线的方程为，即. 因为是以为顶点的等腰直角三角形， 所以点在直线上， 故设点为， 由可得， 解得或， 所以点坐标为或， 当点坐标为时，，所以，即； 当点坐标为时，，所以，即； 因此直线的方程为或. （3）当直线方程斜率不存在时，过点的直线的方程为， 此时点到的距离为4，满足题意； 当直线方程斜率存在时，设过点的直线的方程为， 此时点到的距离为，解得； 所以直线的方程为，即； 综上可知，直线的方程为或. 49．（23-24高二下·上海·期中）数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心､垂心､重心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点，若其欧拉线的方程为， (1)求三角形外心的坐标； (2)求顶点的坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得边的垂直平分线的所在的直线方程为，结合题意联立方程求解即可； （2）设，根据题意结合重心坐标公式可得，由外心可得，联立方程求解即可. 【详解】（1）由题意可知：边的中点坐标为，， 边的垂直平分线的所在的直线方程为，即， 联立方程，解得 所以的外心的坐标为. （2）设，则的重心为， 代入欧拉线方程得，整理得， 由（1）可知：的外心坐标为， 可知，则， 整理得， 联立方程，解得或， 当时，点B，C重合，舍去， 所以顶点C的坐标是. 考点7 直线与坐标轴围成的图形面积 50．（23-24高二上·山西·开学考试）已知直线恒过点，且与轴，轴分别交于 两点，为坐标原点. (1)求点的坐标； (2)当点到直线的距离最大时，求直线的方程； (3)当取得最小值时，求的面积. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）把直线的方程可化为，联立方程组，即可求解； （2）当时，点到直线的距离最大，结合，求得，即可求得直线的方程； （3）分别求得和，得到，结合基本不等式，得到，分类讨论，即可求得的面积. 【详解】（1）解：直线的方程可化为， 令，解得，即点的坐标为. （2）解：当时，点到直线的距离最大， 此时直线的斜率与直线的斜率满足， 因为，所以，即， 所以直线的方程为，即. （3）解：令，可得，所以； 令，可得，所以，且， 可得， 所以 当且仅当时，等号成立， 当时，直线的方程为，此时， 可得的面积为； 当时，直线的方程为，此时， 可得的面积为， 综上可得，的面积为或 51．（23-24高二上·河北沧州·阶段练习）过点作直线分别交的正半轴于两点．    (1)求面积的最小值及相应的直线的方程； (2)当取最小值时，求直线的方程. 【答案】(1)4， (2) 【分析】（1）由题意可设直线的方程为，又点在直线上，所以，注意到，结合基本不等式进而求解. （2）由（1）中分析可知，且注意到，由乘“1”法结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）显然直线斜率存在且不过原点，由题意可设直线的方程为， 又点在直线上，所以， 由基本不等式可得，即，当且仅当时取等， 注意到， 所以，当且仅当时取等， 此时相应的直线的方程为. （2）由（1）可知，又注意到， 所以， 对其利用基本不等式得，当且仅当时取等， 此时相应的直线的方程为. 52．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知直线过点，根据下列条件分别求出直线的方程． (1)在轴、轴上的截距互为相反数； (2)与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形面积最小． 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）分直线过原点和不过原点两种情况求直线方程； （2）写出直线的截距式方程，代入点得，利用不等式即可求解取最值时的，． 【详解】（1）①当直线经过原点时，在轴、轴上的截距互为相反数都等于0，此时直线的方程为， ②当直线不经过原点时，设直线的方程为 在直线上，，，即． 综上所述直线的方程为或 （2）由题意可知直线与两坐标轴均交于正半轴，故设直线方程为，将代入可得， 故，故，当且仅当，即时等号成立， 故此时面积最小为, 故直线方程为，即 53．（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知直线. (1)求证：直线过定点； (2)若直线不经过第二象限，求实数的取值范围； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由方程变形可得，列方程组，解方程即可； （2）数形结合，结合直线图像可得解； （3）求得直线与坐标轴的交点，可得面积，进而利用二次函数的性质可得最值. 【详解】（1）由，即， 则，解得， 所以直线过定点； （2） 如图所示，结合图像可知， 当时，直线斜率不存在，方程为，不经过第二象限，成立； 当时，直线斜率存在，方程为， 又直线不经过第二象限，则，解得； 综上所述； （3）已知直线，且由题意知， 令，得，得， 令，得，得， 则， 所以当时，取最小值， 此时直线的方程为，即. 54．（19-20高一下·浙江·期中）已知直线l的方程为（）． （1）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程； （2）若直线l与x正半轴、射线（）分别交于P，Q两点，当a为何值时，的面积最小？ 【答案】（1）或；（2）. 【分析】（1）当时，符合题意，当时，将直线方程化为截距式，根据截距相等得到方程，解得即可； （2）依题意可得，联立两直线方程求出交点坐标，由，令，将上述式子化为根据二次函数的性质计算可得； 【详解】解：（1）当时，原直线方程即为，符合题意． 当时，原直线方程可化为截距式方程，此时，只需满足，即．此时直线方程为 综上所述，直线l的方程为或． （2）∵直线l与x轴正半轴、射线（）交于两点P，Q，有． 由，解得， 令，可得 从而， 令，有 因为，所以 当即时取等号，此时直线l的方程为． 【点睛】本题考查了直线的截距式、二次函数的性质、三角形的面积计算公式，考查了分类讨论的思想方法，考查了计算能力，属于中档题． 55．（19-20高一·湖北·期末）已知直线l过点. （1）若直线l在两坐标轴上截距和为零，求l方程； （2）设直线l的斜率，直线l与两坐标轴交点别为，求面积最小值. 【答案】（1）或；（2） 【分析】（1）由题知直线l斜率存在且不为，故不妨设斜率为，进而写出直线的方程并求解直线在坐标轴上截距，再结合题意求解即可； （2）由题知，进而根据题意得，再根据基本不等式求解即可得答案. 【详解】解：（1）因为直线l在两坐标轴上截距和为零， 所以直线l斜率存在且不为，故不妨设斜率为，则直线l方程为， 所以直线在坐标轴上截距分别为，， 所以，整理得，解得或 所以直线l方程为或. （2）由（1）知， 因为， 所以面积为， 当且仅当，即时等号成立， 所以面积最小值 56．（21-22高一上·内蒙古呼和浩特·期末）已知一条动直线， (1)求证：直线l恒过定点，并求出定点的坐标； (2)若直线l与、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，是否存在直线l同时满足下列条件：①的周长为；②的面积为.若存在，求出方程；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析，定点； (2)存在，且直线方程为. 【分析】（1）将直线方程变形为，解方程组，可得定点的坐标； （2）设点A的坐标为，根据求出的值，可得出点的坐标，进而可求得直线的方程，可求出该直线与轴的交点的坐标，即可求得的周长，即可得解. 【详解】（1）证明：将直线方程变形为， 由，可得， 因此，直线恒过定点. （2）解：设点A的坐标为，若，则， 则、，直线的斜率为， 故直线的方程为，即， 此时直线与轴的交点为，则，，， 此时的周长为. 所以，存在直线满足题意. 1．（23-24高二上·浙江嘉兴·期中）已知直线：，直线：．其中，均不为0． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由两线垂直的判定列方程，即可求值； （2）由两线平行的判定列方程，即可求值，注意或； 【详解】（1）由，则，得. （2）由，则，故，其中（或）． 2．（24-25高二上·河北保定·期中）已知直线经过点． (1)若直线与直线平行，求直线的方程； (2)若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据平行直线的直线系方程及直线经过点求解即可； （2）分截距为0和截距不为0两种情况求解即可. 【详解】（1）依题意设直线的方程为，则，解得， 故直线的方程为． （2）当直线过原点时，设直线的方程为，则，解得， 此时直线的方程为． 当直线不过原点时，设直线的方程为，则，解得， 此时直线的方程为，即． 故直线的方程为或． 3．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知直线经过两点，经过两点． (1)若，求的值； (2)若的倾斜角互余，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，可得，再结合斜率公式即可得解； （2）设的倾斜角为，则直线的倾斜角为，再结合斜率公式即可得解. 【详解】（1）， 因为， 所以，得， 经检验，符合题意， 所以； （2）因为的倾斜角互余， 设的倾斜角为，则直线的倾斜角为， 所以，得． 4．（23-24高二上·甘肃武威·期中）已知直线，． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据两直线平行可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值； （2）利用两直线垂直可得出关于实数的等式，即可解得实数的值. 【详解】（1）因为直线，，且， 则，解得. （2）因为，则，解得或. 5．（23-24高二上·浙江·期中）已知，，． (1)求直线AB和AC的斜率； (2)若点D在线段BC（包括端点）上移动时，求直线AD的斜率的变化范围． 【答案】(1)直线AB的斜率为，直线AC的斜率为3 (2) 【分析】（1）由斜率公式直接求解； （2）由倾斜角与斜率的关系即可求解. 【详解】（1）由斜率公式可得直线AB的斜率， 直线AC的斜率， 故直线AB的斜率为，直线AC的斜率为3． （2）当D由B运动到C时，直线AD的倾斜角增大且为锐角， 直线AD的斜率由增大到， 所以直线AD的斜率的变化范围是. 6．（23-24高二上·湖南邵阳·期中）回答下面两题 (1)求直线：，：的交点坐标； (2)求点到直线：的距离； 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）联立两直线方程，即可求解； （2）代入点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】（1）联立，得， 所以直线和的交点坐标为； （2）点到直线的距离， 所以点到直线的距离为. 7．（23-24高二上·江苏盐城·期中）在平面直角坐标系中，设直线：． (1)求证：直线经过第一象限； (2)当原点到直线的距离最大时，求直线的方程． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，将直线化为，即可得到结果； （2）根据题意，由，再由直线的点斜式方程，即可得到结果. 【详解】（1）方程可化为， 由解得 所以直线过定点，因为在第一象限，所以直线经过第一象限． （2）由题意可得，当时，原点到直线的距离最大， 因为，则，所以直线的方程为， 即． 8．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）直线经过两直线和的交点． (1)若直线与直线平行，求直线的方程； (2)若直线与直线垂直，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）与直线平行且经过定点的直线可设为，由题意直线过两直线和的交点，故只需联立方程组将交点坐标求出即可. （2）与直线垂直且经过定点的直线可设为，再结合（1）中的定点即可得解. 【详解】（1）由题意联立，解得，即直线过点， 若直线与直线平行， 则直线的方程为，整理得. （2）由（1）可得直线过点，若直线与直线垂直， 则直线的方程为，整理得. 9．（23-24高二上·江苏泰州·期中）直角的斜边中点为，边所在直线的方程为，所在直线的方程为． (1)求点的坐标； (2)求边所在直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由与的方程联立得出点的坐标，再根据两点中点的计算公式结合已知列式求解得出答案； （2）由结合边所在直线的方程得出边所在直线的方程的斜率，再结合（1）得出的点坐标由直线的点斜式方程得出答案. 【详解】（1）边所在直线的方程为，所在直线的方程为 联立，解得：， 点的坐标为， 中点为， 设点， ，解得， 即点的坐标为. （2）直角的斜边为， , 边所在直线的方程为,斜率为， 边所在的直线方程斜率为， 边所在的直线过点， 边所在的直线方程为，即. 10．（23-24高二上·全国·期中）请求出满足题意的直线方程： (1)过定点且在两坐标轴上截距相等的直线； (2)求经过直线和的交点，且与直线垂直的直线的方程． 【答案】(1)和 (2) 【分析】（1）根据截距为0和不为0两种情况，即可根据待定系数法求解直线方程， （2）联立方程求解交点坐标，即可根据直线垂直满足的斜率关系求解斜率，进而根据直线的点斜式求解即可. 【详解】（1）①截距均为：设直线方程：， 因为直线过定点， 所以， ②截距不为0：设直线方程：，因为直线过定点， 所以 ， 所以，即 综上，满足题意直线方程为，. （2）设的交点为，直线斜率为， 联立，解得，所以的交点为， 因为与直线垂直，直线的斜率为， ， 由点斜式可得， 整理得，即. 11．（10-11高二·浙江嘉兴·期中）已知直线的倾斜角为，且经过点． (1)求直线的方程； (2)求点关于直线的对称点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由倾斜角和斜率的关系求斜率，根据点斜式求直线的方程； （2）设点的坐标为，由条件列方程求即可. 【详解】（1）设直线的斜率为， 因为直线的倾斜角为， 所以， 所以直线的方程为，即 （2）设点的坐标为， 则，解得， 所以点的坐标为． 12．（23-24高二上·黑龙江·期中）已知△ABC的三个顶点为，，．求： (1)AB所在直线的方程； (2)AB边上的高所在直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由直线的点斜式，即可得到结果； （2）根据题意，先得到AB边上的高所在直线的斜率，再由直线的点斜式即可得到结果. 【详解】（1）依题意，直线AB的斜率， 所以直线AB的方程为，即． （2）由（1）知，直线AB的斜率为2，所以AB边上的高所在直线的斜率为， 所以AB边上的高所在直线的方程为，即． 13．（23-24高二上·北京延庆·期中）已知点、、． (1)若直线通过点与，求直线的一个方向向量，并求直线的方程； (2)求线段的垂直平分线的方程； (3)若点关于直线的对称点为，求点到直线的距离． 【答案】(1)一个方向向量为，直线的方程为 (2) (3) 【分析】（1）利用直线方向向量的定义可求得直线的一个方向向量，求出直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程； （2）求出线段的垂直平分线的斜率，以及线段的中点，利用点斜式可得出线段的垂直平分线的方程； （3）分析可知，点到直线的距离等于点到直线的距离，利用点到直线的距离公式求出点到直线的距离即可. 【详解】（1）解：由题意可知，直线的一个方向向量为， 直线的斜率为， 所以，直线的方程为，即. （2）解：线段的中点为，线段的中垂线的斜率为， 所以，线段的垂直平分线的方程为，即. （3）解：由题意可知，点到直线的距离等于点到直线的距离， 因此，点到直线的距离为. 14．（24-25高二上·云南玉溪·期中）在平面直角坐标系xOy中，为坐标原点，已知直线和. (1)若，求的值及与之间的距离； (2)若，过点作直线与直线，分别交于点A、B，且满足，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由两直线平行斜率相等可得，再由两平行线间的距离公式计算可得结果； （2）由可得点是线段的中点,求得点坐标并利用直线的点斜式方程可得直线的方程. 【详解】（1）直线的斜率， 因为，所以直线的斜率存在，设为，且. 即，所以，解得. 将代入直线得，即， 所以与之间的距离为. （2）若，则， 由可知，点是线段的中点， 设，所以点关于的对称点， 因为点在直线上， 把点代入方程，即， 解得， 所以， 可得直线斜率，所以直线的方程为，即， 所以直线的方程为. 15．（24-25高二上·河南洛阳·阶段练习）已知点，且四边形是平行四边形． (1)求点的坐标； (2)求平行四边形的面积． 【答案】(1) (2)7 【分析】（1）求出直线的斜率，根据平行四边形的性质结合直线的方程，即可求出的方程，联立即可求得答案； （2）求出以及点到直线的距离，即可求得答案. 【详解】（1）由题意得直线的斜率为，则其方程为， 直线的斜率为， 因为直线与直线平行，且过点，所以直线的方程为， 因为直线与直线平行，且过点，所以直线的方程为1． 联立，解得，即点的坐标为． （2）因为， 又点到直线的距离， 故平行四边形的面积. 16．（23-24高二上·湖北武汉·期中）在中，边所在的直线斜率为，其中顶点点坐标为，顶点的坐标为． (1)求边上的高所在的直线方程； (2)若，的中点分别为，，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）为边上的高所在的直线与所在的直线互相垂直且过点，利用点斜式计算可得； （2）首先求出的中点的坐标，依题意，则，即可求出的方程. 【详解】（1）由题意知边上的高过，， 因为边上的高所在的直线与所在的直线互相垂直， 故高线的斜率为， 所以边上的高所在的直线方程为：，即； （2）由已知点坐标为，，故的中点为， 因为是的一条中位线，所以， 而，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，化简可得． 17．（23-24高二上·安徽六安·期中）已知三个顶点的坐标：. (1)求过点A且与直线平行的直线的方程； (2)求中边上的高所在直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用直线的平行关系及点斜式计算即可； （2）利用直线的垂直关系及点斜式计算即可. 【详解】（1）易知，所以过点A且与直线平行的直线的方程为； （2）易知，所以边上的高所在直线的方程为. 18．（23-24高二上·河南信阳·期中）已知，，.求： (1)过点A且与平行的直线方程； (2)边垂直平分线方程； (3)过点A且倾斜角为直线倾斜角2倍的直线方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用直线的位置关系及点斜式计算即可； （2）利用中点坐标公式、直线的垂直关系及点斜式计算即可； （3）利用二倍角公式及点斜式计算即可. 【详解】（1）易知：， 则过点A且与平行的直线方程为， 化简得. （2）易知的中点，， 所以边垂直平分线方程为， 化简得. （3）设直线倾斜角为，则，， 所求直线方程为， 化简得. 19．（23-24高二上·四川雅安·阶段练习）已知直线经过点． (1)若经过点，求的斜截式方程； (2)若在轴上的截距为，求在轴上的截距． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据斜率公式求解斜率，即可由点斜式求解； （2）根据截距式代入即可求解. 【详解】（1）由题意得，则的方程为， 其斜截式方程为． （2）设的截距式方程为， 由题意得得， 所以在轴上的截距为． 20．（23-24高二上·安徽芜湖·阶段练习）已知直线：，：，则 (1)若两直线平行，求a的值． (2)若两直线垂直，求a的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用两直线平行的充要条件，列出方程，解之即可； (2)利用两直线垂直的充要条件，列出方程，解之即可. 【详解】（1）直线：与直线：互相平行， 所以，即，解得. 故两直线平行，则. （2）直线：与直线：互相垂直， 所以，即，解得或. 故两直线垂直，则或. 21．（23-24高二上·四川内江·期中）已知直线l：. (1)求原点到直线l的距离的最大值； (2)若l交x轴正半轴于A，交y轴正半轴于B，的面积为S，求S最小值时直线l的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出直线l经过的定点，结合图形以及两点的距离公式，即可得出答案； （2）先求出的坐标，表示出.然后根据基本不等式，即可得出最小时，的值，代入方程，即可得出答案. 【详解】（1）直线l：可化为. 解可得，，所以直线l过定点. 如图，过点作，垂足为，连接 易知， 当时，原点到直线l的距离取得最大值. （2）易知 令，由可得，. 令，由可得，. 且，所以， 所以，. 因为，所以， 所以，当且仅当，即时等号成立. 所以，直线l的方程，即. 22．（23-24高二上·上海·期末）已知直线的倾斜角为，，且这条直线经过点. (1)求直线的方程； (2)直线恒过定点，求点到直线的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出直线斜率，由点斜式求出直线方程； （2）直线变形后求出定点坐标，进而由点到直线距离公式求出答案. 【详解】（1）由，，则，， ∴直线的斜率，且直线过点， ∴由直线的点斜式方程得， 即， ∴所求直线的方程为； （2）∵直线化简得：， ∴定点， 则点到直线的距离为： ， 故到直线的距离为. 23．（11-12高二上·浙江温州·期中）已知三条直线和，且与的距离是． (1)求的值； (2)能否找到一点，使同时满足下列三个条件：①点是第一象限的点；②点到的距离是点到的距离的；③点到的距离与点到的距离之比是，若能，求点的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)能， 【分析】（1）根据平行间的距离公式建立方程，求解可得答案； （2）设存在点满足，由平行间的距离公式可求得或．得出满足条件②的点满足或．再由点到直线的距离公式可得或，联立方程，求解可得结论. 【详解】（1）因为可化为，所以与的距离为． 因为，所以． （2）设存在点满足，则点在与，平行直线上． 且，即或． 所以满足条件②的点满足或． 若点满足条件③，由点到直线的距离公式，有，即， 所以或，因为点在第一象限，所以不成立． 联立方程和，解得（舍去）， 联立方程和，解得， 所以即为同时满足条件的点. 24．（23-24高二下·上海·期中）在中，，，． (1)建立适当的直角坐标系，求边所在直线的方程； (2)求的重心到边所在直线的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由于，故以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，从而得到边所在直线的方程；（2）求出重心坐标，利用点到直线公式即可求解. 【详解】（1）在中，，，，则，则 所以以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如下平面直角坐标系： 所以，，则边所在直线的方程为，化简可得： （2）由于，，，所以的重心坐标为，即重心, 所以的重心到边所在直线的距离 25．（22-23高二上·四川内江·期中）已知的顶点边上的中线所在直线的方程为的平分线所在直线的方程为. (1)求直线的方程和点C的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)，， (2). 【分析】（1）设点的坐标是，由的中点在直线上，求得点的坐标，再求出点关于直线的对称点即可求得直线的方程，联立方程组求出点坐标. （2）利用两点间距离公式及点到直线距离公式求出三角形面积. 【详解】（1）由点在上，设点的坐标是，则的中点在直线上， 于是，解得，即点， 设关于直线的对称点为，则有，解得，即， 显然点在直线上，直线的斜率为， 因此直线的方程为，即， 由，解得，则点， 所以直线的方程为，点C的坐标为.    （2）由（1）得，点到直线的距离， 所以的面积. 26．（17-18高二·山西晋中·期中）已知直线，. (1)当时，直线过m与n的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线的方程 (2)若坐标原点O到直线m的距离为，判断m与n的位置关系 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）联立解得与的交点为，当直线过原点时，直线的方程为；当直线不过原点时，设的方程为，将代入得，解得所求直线方程； （2）设原点到直线的距离为，则，解得：或，分情况根据斜率关系判断两直线的位置关系; 【详解】（1）联立解得即与的交点为. 当直线过原点时，直线的方程为； 当直线不过原点时，设的方程为，将代入得， 所以直线的方程为，故满足条件的直线方程为或. （2）设原点到直线的距离为， 则，解得：或， 当时，直线的方程为，此时； 当时，直线的方程为，此时. 27．（23-24高二上·江苏镇江·期中）如图，已知等腰直角三角形的斜边所在直线方程为，其中点在点上方，直角顶点的坐标为． (1)求边上的高线所在直线的方程； (2)求三角形的面积. 【答案】(1) (2)5 【分析】（1）利用两条直线垂直的条件可得的斜率，再利用点斜式写出直线的方程； （2）利用点到直线的距离公式求得，再根据等腰直角三角形的性质与面积公式，求解即可． 【详解】（1）设的斜率为，因为斜边所在直线方程为，所以， 又经过点，所以， 即的直线方程为． （2）由题意知，， 因为是等腰直角三角形， 所以， 所以的面积为． 28．（23-24高二上·陕西西安·期中）（1）已知向量，．若，求实数，的值． （2）直线经过点，且与直线垂直，求直线的方程． （3）求过两条直线和的交点，且与平行的直线方程． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据向量平行列方程，从而求得. （2）根据直线垂直求得直线的斜率，进而求得直线的方程. （3）先求得直线和的交点，然后利用待定系数法求得正确答案. 【详解】（1）由于，所以，解得. （2）直线的斜率为， 所以直线的方程为. （3）由解得， 设所求直线方程为，代入得， 故所求直线方程为. 29．（21-22高二上·湖北黄石·阶段练习）已知直线过点且与轴、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点， (1)求三角形面积取最小值时直线的方程； (2)求取最小值时直线的方程． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由题意设，，由条件结合基本不等式求取得最小值时和的值即可求解； （2）结合（1），利用基本不等式计算取得最小值时和 的值即可求解； 【详解】（1）由题意设，，其中，为正数，可设直线的方程为， 因为直线过点，所以， 由基本不等式可得， 所以，， 当且仅当即时，取得最小值， 所以面积， 所以当，时，面积最小， 此时直线的方程为，即， （2）因为，， 所以 ， 当且仅当即时等号成立， 所以当，时，的值最小， 此时直线的方程为，即． 30．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知点，直线：， (1)若是直线l的一个方向向量，求a的值； (2)若直线l与线段有交点，求a的范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直线的方向向量的定义可求 （2）判断出直线l过定点，分别求出，即可求出l的斜率a的取值范围 【详解】（1）因为是直线l的一个方向向量， 所以 （2）过定点，如图 因为， 要使直线l与线段有交点，则a的范围为 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025高二上学期数学期中考考点复习指南（人教A版2019选择性必修第一册） 大题突破2：直线的方程解答题7考点复习指南 考点1 直线方程的求法 1．（24-25高二上·广西梧州·阶段练习）已知的顶点坐标是为的中点. (1)求中线的方程； (2)求经过点且与直线平行的直线方程. 2．（23-24高二上·山西太原·期中）已知的三个顶点，分别是的中点． (1)求直线的一般式方程； (2)求边的垂直平分线的斜截式方程． 3．（23-24高二上·四川成都·期中）已知的两顶点坐标为，，是边的中点，是边上的高． (1)求所在直线的方程； (2)求高所在直线的方程. 4．（24-25高二上·四川内江·期中）已知，，．求： (1)BC边上的中线所在的直线方程； (2)AB边垂直平分线方程； 5．（23-24高二上·甘肃白银·期中）已知直线方程为，其中． (1)当变化时，求点到直线的距离的最大值； (2)若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值及此时的直线方程． 6．（23-24高二上·江苏南京·开学考试）已知直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点. (1)当时，求直线的方程； (2)当的面积为时，求直线的方程. 7．（13-14高一·全国·课后作业）已知的三个顶点分别为，，，求： (1)边所在直线的方程； (2)边上中线所在直线的方程； (3)边的垂直平分线的方程 考点2 两直线位置关系的判定及应用 8．（23-24高二上·广西河池·阶段练习）已知两条直线，当为何值时，与 (1)相交； (2)重合； (3)直线是否存在定点，若存在，求出该点，若不存在，说明理由． 9．（23-24高二上·四川成都·阶段练习）已知直线经过点，求分别满足下列条件直线的方程： (1)垂直于直线； (2)平行于直线. 10．（22-23高二·全国·单元测试）已知直线与直线．当t为何值时， (1)与相交？ (2)与平行？ (3)与重合？ (4)与垂直． 11．（23-24高二上·全国·课后作业）已知，求取什么值时，直线与直线： (1)重合； (2)平行； (3)垂直． 12．（23-24高二上·全国·课后作业）（1）求过点，且与直线平行的直线方程； （2）求过点，且与直线垂直的直线方程． 13．（23-24高二上·新疆伊犁·期中）已知直线，直线． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值． 14．（23-24高二上·四川·期中）已知，，，. (1)若直线与平行，求的值； (2)若为直角三角形，求的值. 15．（22-23高二上·辽宁·期中）已知直线：，直线： (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值． 16．（19-20高一上·甘肃平凉·期末）已知，，． (1)求点的坐标，满足，； (2)若点在x轴上，且，求直线的倾斜角． 17．（22-23高二上·安徽黄山·期中）已知直线，直线． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值． 18．（23-24高二上·上海杨浦·期中）已知两条直线和. (1)讨论直线与的位置关系； (2)当直线与平行时，求它们之间的距离；当直线与相交时，求它们之间夹角的最大值，并指出相应的取值. 考点3 对称问题 19．（23-24高二上·河北·期中）在中，，角的角平分线方程为边上的高线方程为. (1)求所在直线方程； (2)求所在直线方程. 20．（23-24高二上·浙江嘉兴·期中）已知直线和点 (1)请写出过点且与直线平行的直线； (2)求点关于直线的对称点的坐标. 21．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知点，，动点满足． (1)求动点的轨迹方程 (2)一条光线从点射出，经轴反射与动点的轨迹交于，两点，其中，求反射光线所在直线的方程． 22．（22-23高二上·四川成都·期中）已知直线​的方程为​，点​的坐标为​. (1)若直线与​关于点​对称，求​的方程; (2)若点​与​关于直线​对称，求​的坐标. 23．（2020高三·全国·专题练习）已知直线，点．求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线的对称直线的方程； (3)直线关于点对称的直线的方程． 24．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知直线过点，直线：． (1)若直线，求直线的方程； (2)若直线为入射光线，经直线反射，其反射光线经过点，求的方程． 25．（23-24高二上·四川成都·期中）已知直线过点． (1)若直线与直线垂直，求直线的方程 (2)若已知直线，点关于直线的对称点的坐标． 26．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知直线，点. (1)已知直线与平行，求的值； (2)求点关于直线的对称点的坐标. 27．（23-24高二上·浙江金华·期中）已知两直线. (1)求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； (2)已知两点，动点在直线运动，求的最小值. 28．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）（1）已知直线过定点，且其倾斜角是直线的倾斜角的二倍，求直线的方程； （2）已知入射光线经过点，且被直线反射，反射光线经过点，求反射光线所在直线的方程. 考点4 直线的交点问题 29．（23-24高二上·河南洛阳·阶段练习）已知三条直线，和. (1)若，求实数的值； (2)若三条直线相交于一点，求实数的值. 30．（23-24高二上·湖北武汉·期中）已知的顶点，边上的高线所在的直线方程为，边上的中线所在的直线方程为． (1)求点的坐标； (2)求直线的方程． 31．（23-24高二上·江西·期中）已知为坐标原点，直线：，直线：，，交于点. (1)求点的坐标； (2)若点在上，且，求线段的长度. 32．（23-24高二上·山东·期中）已知直线过点． (1)若在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (2)设为坐标原点，若与轴正半轴交于点与轴正半轴交于点，求面积的最小值． 33．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知的顶点的坐标为，边上的中线所在的直线方程为，的平分线所在的直线方程为． (1)求点的坐标； (2)求直线的方程 34．（23-24高二上·吉林延边·期中）已知直线，直线与直线垂直，且直线，的交点的横坐标与纵坐标相等． (1)求直线的方程； (2)若直线l被直线，所截得的线段恰好被点平分，求直线l的方程． 考点5 直线的恒过定点问题 35．（23-24高二上·四川凉山·期中）已知直线l：．（其中a为参数，） (1)若不论x取何值，直线l恒过一定点A，求该定点A的坐标； (2)若直线l不过第二象限，求实数a的取值范围． 36．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）设为实数，直线． (1)求证：不论为何值，直线必过定点，并求出定点的坐标； (2)过点引直线，使它与两坐标轴的正半轴的截距之和最小，求的方程． 37．（23-24高二上·湖北·期中）已知直线l：，． (1)证明：直线l过定点P，并求出P点的坐标； (2)直线l与坐标轴分别交于点A，B，当截距相等时，求直线l的方程． 38．（23-24高二上·安徽黄山·期中）已知直线． (1)若直线l不经过第二象限，求k的取值范围． (2)若直线l与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点，当△AOB的面积为时（O为坐标原点），求此时相应的直线l的方程． 39．（24-25高二上·四川内江·期中）已知一条动直线， (1)求直线恒过的定点的坐标； (2)若直线与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，的面积为6，求直线的方程. 考点6 与直线有关的距离问题 40．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，. (1)求边所在的直线方程； (2)求的面积. 41．（23-24高二上·河北石家庄·期中）已知点，直线． (1)若直线，求直线之间的距离； (2)求过点P且与直线垂直的直线的方程； 42．（22-23高二上·四川凉山·期中）已知直线与直线. (1)当时，求的值． (2)当时，求与之间的距离． 43．（22-23高二上·北京·期中）在平行四边形中，，边所在直线的方程分别为和． (1)求边所在直线的方程和点到直线的距离； (2)求线段垂直平分线所在的直线方程； (3)求过点且在轴和轴截距相等的直线方程． 44．（24-25高二上·云南玉溪·期中）已知三个顶点坐标分别为，，. (1)试判断的形状； (2)求边上的中线所在直线的方程. 45．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知点和直线. (1)求过点且与直线垂直的直线的一般方程； (2)求与直线平行且与之间的距离为的直线的一般方程. 46．（23-24高二上·山东济宁·期中）已知直线，直线． (1)当时，求两直线的交点坐标； (2)当时，求两直线间的距离． 47．（23-24高二上·全国·期中）已知的三个顶点的坐标分别为. (1)求点到直线的距离； (2)求边上的高所在直线的方程. 48．（24-25高二上·江苏·阶段练习）已知平面内两点. (1)求过点且与直线垂直的直线的方程； (2)若是以为顶点的等腰直角三角形，求直线的方程； (3)已知直线过点，且点到的距离为4，求直线的方程. 49．（23-24高二下·上海·期中）数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心､垂心､重心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点，若其欧拉线的方程为， (1)求三角形外心的坐标； (2)求顶点的坐标. 考点7 直线与坐标轴围成的图形面积 50．（23-24高二上·山西·开学考试）已知直线恒过点，且与轴，轴分别交于 两点，为坐标原点. (1)求点的坐标； (2)当点到直线的距离最大时，求直线的方程； (3)当取得最小值时，求的面积. 51．（23-24高二上·河北沧州·阶段练习）过点作直线分别交的正半轴于两点．    (1)求面积的最小值及相应的直线的方程； (2)当取最小值时，求直线的方程. 52．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知直线过点，根据下列条件分别求出直线的方程． (1)在轴、轴上的截距互为相反数； (2)与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形面积最小． 53．（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知直线. (1)求证：直线过定点； (2)若直线不经过第二象限，求实数的取值范围； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程. 54．（19-20高一下·浙江·期中）已知直线l的方程为（）． （1）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程； （2）若直线l与x正半轴、射线（）分别交于P，Q两点，当a为何值时，的面积最小？ 55．（19-20高一·湖北·期末）已知直线l过点. （1）若直线l在两坐标轴上截距和为零，求l方程； （2）设直线l的斜率，直线l与两坐标轴交点别为，求面积最小值. 56．（21-22高一上·内蒙古呼和浩特·期末）已知一条动直线， (1)求证：直线l恒过定点，并求出定点的坐标； (2)若直线l与、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，是否存在直线l同时满足下列条件：①的周长为；②的面积为.若存在，求出方程；若不存在，请说明理由. 1．（23-24高二上·浙江嘉兴·期中）已知直线：，直线：．其中，均不为0． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 2．（24-25高二上·河北保定·期中）已知直线经过点． (1)若直线与直线平行，求直线的方程； (2)若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程． 3．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知直线经过两点，经过两点． (1)若，求的值； (2)若的倾斜角互余，求的值． 4．（23-24高二上·甘肃武威·期中）已知直线，． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值． 5．（23-24高二上·浙江·期中）已知，，． (1)求直线AB和AC的斜率； (2)若点D在线段BC（包括端点）上移动时，求直线AD的斜率的变化范围． 6．（23-24高二上·湖南邵阳·期中）回答下面两题 (1)求直线：，：的交点坐标； (2)求点到直线：的距离； 7．（23-24高二上·江苏盐城·期中）在平面直角坐标系中，设直线：． (1)求证：直线经过第一象限； (2)当原点到直线的距离最大时，求直线的方程． 8．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）直线经过两直线和的交点． (1)若直线与直线平行，求直线的方程； (2)若直线与直线垂直，求直线的方程． 9．（23-24高二上·江苏泰州·期中）直角的斜边中点为，边所在直线的方程为，所在直线的方程为． (1)求点的坐标； (2)求边所在直线的方程． 10．（23-24高二上·全国·期中）请求出满足题意的直线方程： (1)过定点且在两坐标轴上截距相等的直线； (2)求经过直线和的交点，且与直线垂直的直线的方程． 11．（10-11高二·浙江嘉兴·期中）已知直线的倾斜角为，且经过点． (1)求直线的方程； (2)求点关于直线的对称点的坐标． 12．（23-24高二上·黑龙江·期中）已知△ABC的三个顶点为，，．求： (1)AB所在直线的方程； (2)AB边上的高所在直线的方程． 13．（23-24高二上·北京延庆·期中）已知点、、． (1)若直线通过点与，求直线的一个方向向量，并求直线的方程； (2)求线段的垂直平分线的方程； (3)若点关于直线的对称点为，求点到直线的距离． 14．（24-25高二上·云南玉溪·期中）在平面直角坐标系xOy中，为坐标原点，已知直线和. (1)若，求的值及与之间的距离； (2)若，过点作直线与直线，分别交于点A、B，且满足，求直线的方程. 15．（24-25高二上·河南洛阳·阶段练习）已知点，且四边形是平行四边形． (1)求点的坐标； (2)求平行四边形的面积． 16．（23-24高二上·湖北武汉·期中）在中，边所在的直线斜率为，其中顶点点坐标为，顶点的坐标为． (1)求边上的高所在的直线方程； (2)若，的中点分别为，，求直线的方程． 17．（23-24高二上·安徽六安·期中）已知三个顶点的坐标：. (1)求过点A且与直线平行的直线的方程； (2)求中边上的高所在直线的方程. 18．（23-24高二上·河南信阳·期中）已知，，.求： (1)过点A且与平行的直线方程； (2)边垂直平分线方程； (3)过点A且倾斜角为直线倾斜角2倍的直线方程. 19．（23-24高二上·四川雅安·阶段练习）已知直线经过点． (1)若经过点，求的斜截式方程； (2)若在轴上的截距为，求在轴上的截距． 20．（23-24高二上·安徽芜湖·阶段练习）已知直线：，：，则 (1)若两直线平行，求a的值． (2)若两直线垂直，求a的值． 21．（23-24高二上·四川内江·期中）已知直线l：. (1)求原点到直线l的距离的最大值； (2)若l交x轴正半轴于A，交y轴正半轴于B，的面积为S，求S最小值时直线l的方程. 22．（23-24高二上·上海·期末）已知直线的倾斜角为，，且这条直线经过点. (1)求直线的方程； (2)直线恒过定点，求点到直线的距离. 23．（11-12高二上·浙江温州·期中）已知三条直线和，且与的距离是． (1)求的值； (2)能否找到一点，使同时满足下列三个条件：①点是第一象限的点；②点到的距离是点到的距离的；③点到的距离与点到的距离之比是，若能，求点的坐标；若不能，请说明理由． 24．（23-24高二下·上海·期中）在中，，，． (1)建立适当的直角坐标系，求边所在直线的方程； (2)求的重心到边所在直线的距离． 25．（22-23高二上·四川内江·期中）已知的顶点边上的中线所在直线的方程为的平分线所在直线的方程为. (1)求直线的方程和点C的坐标； (2)求的面积． 26．（17-18高二·山西晋中·期中）已知直线，. (1)当时，直线过m与n的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线的方程 (2)若坐标原点O到直线m的距离为，判断m与n的位置关系 27．（23-24高二上·江苏镇江·期中）如图，已知等腰直角三角形的斜边所在直线方程为，其中点在点上方，直角顶点的坐标为． (1)求边上的高线所在直线的方程； (2)求三角形的面积. 28．（23-24高二上·陕西西安·期中）（1）已知向量，．若，求实数，的值． （2）直线经过点，且与直线垂直，求直线的方程． （3）求过两条直线和的交点，且与平行的直线方程． 29．（21-22高二上·湖北黄石·阶段练习）已知直线过点且与轴、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点， (1)求三角形面积取最小值时直线的方程； (2)求取最小值时直线的方程． 30．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知点，直线：， (1)若是直线l的一个方向向量，求a的值； (2)若直线l与线段有交点，求a的范围． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$