专题05 二元一次方程组单元过关（培优版）-2024-2025学年八年级数学上册重难考点强化训练（北师大版）

专题05 二元一次方程组单元过关（培优版） 考试范围：第五章；考试时间：120分钟；总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 评卷人 得分 一、单选题 1．下列各组数中，不是二元一次方程的解的是（　　） A． B． C． D． 2．下列方程是二元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 3．“母亲节”当天，小明去花店为妈妈选购鲜花，若康乃馨每枝2元，百合每枝3元，小明计划用30元购买这两种鲜花（两种都买），则不同的购买方案共有（    ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 4．为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文a，b，c，对应密文a＋2，－a＋2b＋4，b＋3c＋9，如果接收方收到密文9，13，23，则解密得到的明文为（    ） A．8，2，7 B．7，8，2 C．8，7，2 D．7，2，8 5．若关于，的方程组（其中，是常数）的解为，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 6．王芳同学到文具店购买中性笔和笔记本，中性笔每支元，笔记本每本元，王芳同学花了20元钱，则可供她选择的购买方案的个数为(两样都买，钱恰好花完)(    ) A．6 B．7 C．8 D．9 7．下表中的每一对，的值都是方程的一个解： … -4 -3 -2 -1 0 1 2 … … -1 0 1 2 3 4 5 ①的值随着的增大越来越大； ②当时，的值大于3； ③当时，的值小于0． 上述结论中，所有正确结论的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 8．已知是方程组的解，则是下列哪个方程的解（    ） A． B． C． D．以上都不是 9．已知三地顺次在同-直线上，甲、乙两人均骑车从地出发，向地匀速行驶.甲比乙早出发分钟；甲到达地并休息了分钟后，乙追上了甲.甲、乙同时从地以各自原速继续向地行驶.当乙到达地后，乙立即掉头并提速为原速的倍按原路返回地，而甲也立即提速为原速的二倍继续向地行驶，到达地就停止.若甲、乙间的距离(米)与甲出发的时间(分)之间的函数关系如图所示，则下列说法错误的是（  ） A．甲、乙提速前的速度分别为米/分、米/分. B．两地相距米 C．甲从地到地共用时分钟 D．当甲到达地时，乙距地米 10．如图所示，、、点坐标分别为，，，动点从点出发，沿轴以每秒一个单位长度的速度向上移动，且过点的直线也随之移动，设移动时间为秒，若点分别位于的异侧，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 评卷人 得分 二、填空题 11．已知方程，请用含的代数式表示 ． 12．已知方程组，则的值是 ． 13．若一次函数的图象如图所示，则此一次函数的解析式为 ． 14．已知，当时，，则，的值分别是 .点不在第 象限. 15．已知是关于，的二元一次方程的一个解，则的值为 ． 16．小明同学在研究函数（为常数）时，得到以下四个结论：①当时，随的增大而增大；②当时，有最小值0，没有最大值；③该函数的图象关于轴对称；④若该函数的图象与直线（为常数）至少有3个交点，则．其中正确的结论是 ．（请填写序号） 评卷人 得分 三、解答题 17．如图，直线和直线相交于点，直线与轴交于点，动点在直线上运动． (1)求点的坐标及的值； (2)求的面积； (3)当的面积是的面积的时，直接写出这时点的坐标． 18．（1）关于，的二元一次方程组满足，求的值； （2）关于，的二元一次方程组的解为整数，求正整数的值． 19．某校为改善学校多媒体课室教学设施，计划购进一批电脑和电子白板．经过市场考察得知，购买1台电脑和2台电子白板需要3.9万元，购买2台电脑和3台电子白板需要6.6万元．求每台电脑和每台电子白板各是多少万元？ 20．某天小明和小华同时求解关于x，y的二元一次方程组，小明把方程①抄错，求得的解为，小华把方程②抄错，求得的解为，求a，b的值． 21．如图，客厅的电视背景墙是由10块形状大小相同的长方形墙砖砌成． (1)求一块长方形墙砖的长和宽； (2)求该电视背景墙的面积． 22．如图，正比例函数的图像与一次函数的图像交于点，一次函数图像经过点，与轴的交点为，与轴的交点为． (1)求一次函数表达式； (2)求点的坐标； (3)求的面积； (4)不解关于的方程组，直接写出方程组的解． 23．周末，李叔叔开车从盐城出发去千米远的南京游玩，当汽车行驶小时到达郭村时，汽车发生故障，需停车检修，修好后又继续向前行驶，其行驶路程y（千米）与时间x（时）之间的关系如图所示． (1)求汽车修好后y与x之间的函数关系式； (2)在距离南京千米的地方有一个服务区，求李叔叔从盐城出发后多长时间到达服务区？ 24．在甲、乙两城市之间有一服务区，一辆客车从甲地驶往乙地，一辆货车从乙地驶往甲地．两车同时出发，匀速行驶，客车、货车离服务区的距离（千米），（千米）与行驶的时间x（小时）的函数关系图象如图1所示． (1)甲、乙两地相距 千米； (2)求出发3小时后，货车离服务区的路程（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系式． (3)在客车和货车出发的同时，有一辆邮政车从服务区匀速去甲地取货后返回乙地（取货的时间忽略不计），邮政车离服务区的距离（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系图线如图2中的虚线所示，直接写出在行驶的过程中，经过多长时间邮政车与客车和货车的距离相等？ 25．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，直线与x轴交于点，与相交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)如图2，一动直线轴分别与直线，交于P，Q两点，l与y轴交于点M． ①若，求M的坐标． ②若，求出此时点Q的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 二元一次方程组单元过关（培优版） 考试范围：第五章；考试时间：120分钟；总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 评卷人 得分 一、单选题 1．下列各组数中，不是二元一次方程的解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解的定义，根据二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值把四个选项中的x、y的值代入原方程中看方程左右两边是否相等即可得到答案． 【详解】解：A、把代入方程中，左边，方程左右两边相等，则是方程的解，不符合题意； B、把代入方程中，左边，方程左右两边不相等，则不是方程的解，符合题意； C、把代入方程中，左边，方程左右两边相等，则是方程的解，不符合题意； D、把代入方程中，左边，方程左右两边相等，则是方程的解，不符合题意； 故选；B． 2．下列方程是二元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二元一次方程的定义判断即可． 【详解】解：A、是一元一次方程，故不合题意； B、符合二元一次方程定义，是二元一次方程，故符合题意； C、最高项的次数为2，不是二元一次方程，故不合题意； D、不是二元一次方程，故不合题意． 故选：B． 【点睛】此题考查二元一次方程定义，关键是根据二元一次方程必须符合以下三个条件： （1）方程中只含有2个未知数； （2）含未知数项的最高次数为一次； （3）方程是整式方程． 3．“母亲节”当天，小明去花店为妈妈选购鲜花，若康乃馨每枝2元，百合每枝3元，小明计划用30元购买这两种鲜花（两种都买），则不同的购买方案共有（    ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【答案】B 【分析】设可以购买x支康乃馨，y支百合，根据总价=单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数即可得出小明有4种购买方案． 【详解】解：设可以购买x支康乃馨，y支百合， 依题意，得：， ∴． ∵x，y均为正整数， ∴或或或， ∴小明有4种购买方案． 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 4．为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文a，b，c，对应密文a＋2，－a＋2b＋4，b＋3c＋9，如果接收方收到密文9，13，23，则解密得到的明文为（    ） A．8，2，7 B．7，8，2 C．8，7，2 D．7，2，8 【答案】B 【分析】根据加密规则为：明文a，b，c，对应密文a+2，-a+2b+4，b+3c+9，即可得出关于a，b，c的三元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：依题意得：， 解得： ． 故选：B． 【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键． 5．若关于，的方程组（其中，是常数）的解为，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊运算，熟悉掌握如何联立系数是解题的关键． 由两方程组的系数相同，联立两方程组后运算求解即可． 【详解】解：由可变形为， ∵的解为，且与的系数相同， ∴联立与的可得： ，解得： 故选：B． 6．王芳同学到文具店购买中性笔和笔记本，中性笔每支元，笔记本每本元，王芳同学花了20元钱，则可供她选择的购买方案的个数为(两样都买，钱恰好花完)(    ) A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】设购买x支中性笔，y本笔记本，根据题意得出：，进而求出即可． 【详解】解；设购买x支中性笔，y本笔记本，根据题意得出： ， 整理得：， ∴ ∴y是偶数， 又∵， ∴ ∴除以3的余数是1， 又∵， ∴， 解得， ∴． 具体方案如下： 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 综上所述，共有8种购买方案． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了二元一次方程的应用，解题的关键是弄清楚题意，找到题中的等量关系，列出方程解答问题． 7．下表中的每一对，的值都是方程的一个解： … -4 -3 -2 -1 0 1 2 … … -1 0 1 2 3 4 5 ①的值随着的增大越来越大； ②当时，的值大于3； ③当时，的值小于0． 上述结论中，所有正确结论的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】①根据表格中x与y的值变化情况即可得；②结合①的结论和时即可得；③结合①的结论和时即可得． 【详解】观察表格可知，的值随着的增大越来越大，则结论①正确 时， 由结论①可知，当时，，则结论②正确 时， 由结论①可知，当时，，则结论③正确 综上，所有正确结论的个数是3个 故选：D． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解，读懂表格，正确得出y与x的变化关系是解题关键． 8．已知是方程组的解，则是下列哪个方程的解（    ） A． B． C． D．以上都不是 【答案】A 【分析】将代入方程组中可以得到关于与的二元一次方程组，求出与的值后，即可做出判断． 【详解】解：∵已知是方程组的解 ∴ ∴ ∴ ∴A.左边右边，故是的解； B. 左边右边，故不是的解； C. 左边右边，故不是的解； D. 以上都不是,不符合题意． 故选：A 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值. 9．已知三地顺次在同-直线上，甲、乙两人均骑车从地出发，向地匀速行驶.甲比乙早出发分钟；甲到达地并休息了分钟后，乙追上了甲.甲、乙同时从地以各自原速继续向地行驶.当乙到达地后，乙立即掉头并提速为原速的倍按原路返回地，而甲也立即提速为原速的二倍继续向地行驶，到达地就停止.若甲、乙间的距离(米)与甲出发的时间(分)之间的函数关系如图所示，则下列说法错误的是（  ） A．甲、乙提速前的速度分别为米/分、米/分. B．两地相距米 C．甲从地到地共用时分钟 D．当甲到达地时，乙距地米 【答案】C 【分析】设出甲、乙提速前的速度，根据“乙到达Ｂ地追上甲”和“甲、乙同时从Ｂ出发，到相距900米”建立二元一次方程组求出速度即可判断A，然后根据乙到达C的时间求A、C之间的距离可判断B，根据乙到达C时甲距C的距离及此时速度可计算时间判断C，根据乙从C返回A时的速度和甲到达C时乙从C出发的时间即可计算路程判断出D． 【详解】A.设甲提速前的速度为米/分，乙提速前的速度为米/分， 由图象知，当乙到达B地追上甲时，有：，化简得：， 当甲、乙同时从B地出发，甲、乙间的距离为900米时，有：，化简得：， 解方程组：，得：， 故甲提速前的速度为300米/分，乙提速前的速度为400米/分，故选项A正确； B.由图象知，甲出发23分钟后，乙到达C地， 则A、C两地相距为：（米），故选项B正确； C.由图象知，乙到达C地时，甲距C地900米，这时，甲提速为（米/分）， 则甲到达C地还需要时间为：（分钟）， 所以，甲从A地到C地共用时为：（分钟），故选项C错误； D.由题意知，乙从C返回A时，速度为：（米/分钟）， 当甲到达C地时，乙从C出发了2.25分钟， 此时，乙距A地距离为：（米），故选项D正确． 故选：C． 【点睛】本题为方程与函数图象的综合应用，正确分析函数图象，明确特殊点的意义是解题的关键． 10．如图所示，、、点坐标分别为，，，动点从点出发，沿轴以每秒一个单位长度的速度向上移动，且过点的直线也随之移动，设移动时间为秒，若点分别位于的异侧，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由l的解析式和M、N两点的坐标可以求得直线l从M点移动到N点的过程中l与y轴的交点坐标，进一步可由题意得到t的取值范围．　 【详解】解：当l经过M点的时候，有4=-3+b，即b=7，所以y=-x+7， 令x=0，可以得y=7，P点移动距离为7-1=6，所用时间为6s； 当l经过N点的时候，有6=-5+b，即b=11，所以y=-x+11，令x=0，可以得y=11，P点移动距离为11-1=10，所用时间为10s； 所以t的取值范围为6<t<10 故选D．　 【点睛】本题考查直线运动、直线与坐标轴相交的综合应用，根据已知条件求得直线的解析式并算出直线与坐标轴的交点坐标是解题关键．　　　 第II卷（非选择题） 评卷人 得分 二、填空题 11．已知方程，请用含的代数式表示 ． 【答案】 【分析】把x看作已知，解关于y的方程即可求解． 【详解】解： 移项得，， 系数化为得，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二元一次方程的解，掌握求解的方法是解题的关键． 12．已知方程组，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解法，利用加减消元法求解即可． 【详解】解： 得， ， 将代入中得， ， ∴ ∴， 故答案为： 13．若一次函数的图象如图所示，则此一次函数的解析式为 ． 【答案】y=-2x-4   【分析】用待定系数法，设y=kx+b,把（-2，0）和（0，-4）代入求得k,b,可得函数解析式. 【详解】设y=kx+b,把（-2，0）和（0，-4）代入得： ， 解得： 所以，y=-2x-4. 故答案为y=-2x-4. 【点睛】本题考核知识点：用待定系数法求函数解析式.解题关键点：掌握用待定系数法求解析式. 14．已知，当时，，则，的值分别是 .点不在第 象限. 【答案】 或 三 【分析】（1）分和两种情况，结合一次函数的增减性，可得到关于、的方程组，求解即可； （2）求出点的纵坐标与横坐标的和，再根据各象限内点的坐标特征解答． 【详解】解：当时，此函数是增函数， 当时，， 当时，；当时，， ，解得； 当时，此函数是减函数， 当时，， 当时，；当时，， ，解得， 故则，的值分别是或， 故答案为：或． （2）， 点一定不在第三象限． 故答案为：三． 【点睛】本题主要考查待定系数法求函数解析式及一次函数的增减性，解题的关键是掌握一次函数的与增减性，注意分类讨论思想的应用． 15．已知是关于，的二元一次方程的一个解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解的定义，把代入二元一次方程，然后解方程即可求解，熟知二元一次方程的解的概念是解题的关键． 【详解】解：∵是关于，的二元一次方程的一个解， ∴，解得， 故答案为：． 16．小明同学在研究函数（为常数）时，得到以下四个结论：①当时，随的增大而增大；②当时，有最小值0，没有最大值；③该函数的图象关于轴对称；④若该函数的图象与直线（为常数）至少有3个交点，则．其中正确的结论是 ．（请填写序号） 【答案】①③④ 【分析】由题意知，当时，，随的增大而减小，当时，，随的增大而增大，当时，，随的增大而减小，当时，，随的增大而增大，画出函数图象如图所示，然后对各选项进行判断求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，，随的增大而减小， 当时，，随的增大而增大， 当时，，随的增大而减小， 当时，，随的增大而增大， ∴函数图象如下：    ∴当时，随的增大而增大；①正确，故符合要求； 当时，有最大值，②错误，故不符合要求； 函数的图象关于轴对称，③正确，故符合要求； 当时，， ∴函数图象与轴的交点坐标为， 由图象可知，若该函数的图象与直线（为常数）至少有3个交点，则，④正确，故符合要求； 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，一次函数解析式．解题的关键在于正确的去绝对值得到函数的解析式． 评卷人 得分 三、解答题 17．如图，直线和直线相交于点，直线与轴交于点，动点在直线上运动． (1)求点的坐标及的值； (2)求的面积； (3)当的面积是的面积的时，直接写出这时点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)点的坐标为或 【分析】（1）把点把点代入可求出的值，令可求出点的坐标； （2）已知点，点的坐标，可知的底边长，高，由三角形的面积公式即可求解； （3）已知的面积为，的面积是的面积的，可求出的面积为，动点在直线上运动，设点的坐标为，根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：把点代入得， ∴， ∴， 当，， ∴点的坐标为． （2）解：如图所示，过点作轴于，且，， ∴，， ∴， ∴的面积为． （3）解：如图所示，直线，即，动点在直线上运动，设点的坐标为， ∵， ∴， ∵，点到轴的距离为， ∴， ∴， ∴或， ∴或， ∴当时，点， 当时，点， ∴点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查一次函数图像的性质和特点，掌握一次函数图像的交点，待定系数法求函数解析式，图形结合分析是解题的关键． 18．（1）关于，的二元一次方程组满足，求的值； （2）关于，的二元一次方程组的解为整数，求正整数的值． 【答案】（1）；（2）6 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程组中两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解，本题的关键是先通过第一个方程组求出m，n的值． （1）由题意可得新的方程组，求解得到，将方程组的解代入，求解即可； （2）由，得，将代入中，整理可得，根据解为整数即可求解． 【详解】解：（1）解方程组，得． ∴把代入，得． 得． （2）由，得， 把代入，得． 解得． ∵，为整数， ∴，或． 得，，0，，6，． ∵为正整数， ∴． 19．某校为改善学校多媒体课室教学设施，计划购进一批电脑和电子白板．经过市场考察得知，购买1台电脑和2台电子白板需要3.9万元，购买2台电脑和3台电子白板需要6.6万元．求每台电脑和每台电子白板各是多少万元？ 【答案】每台电脑万元，每台电子白板万元． 【分析】本题主要考查二元一次方程组的实际运用，理解题目中的数量关系，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．设每台电脑万元，每台电子白板万元，根据题意列方程组求解即可． 【详解】解：设每台电脑万元，每台电子白板万元，根据题意可得： ，解得，， ∴每台电脑万元，每台电子白板万元． 20．某天小明和小华同时求解关于x，y的二元一次方程组，小明把方程①抄错，求得的解为，小华把方程②抄错，求得的解为，求a，b的值． 【答案】． 【分析】根据小明的算法方程②的x、y值，根据小颖的算法，可得方程①的x、y值，把方程x、y的值代入，可得关于a、b方程组，解方程组，可得a、b的值 【详解】由小明把方程①抄错，求得的解为，得-b+3a=1①， 小颖把方程②抄错，求得的解为，得3a+2b=16②， 联立①②，，解得． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程组的解必须同时满足方程组中的两个方程． 21．如图，客厅的电视背景墙是由10块形状大小相同的长方形墙砖砌成． (1)求一块长方形墙砖的长和宽； (2)求该电视背景墙的面积． 【答案】(1)长方形墙砖的长为，宽为 (2) 【分析】（1）设长方形墙砖的长为x米，宽为y米，根据长方形的性质列出方程组，解方程组即可得出答案； （2）根据长方形的面积计算公式即可得出答案． 此题主要考查了二元一次方程组的实际应用，长方形的性质，根据长方形的两组对边分别相等列出方程组是解答此题的关键． 【详解】（1）设长方形墙砖的长为x米，宽为y米，由题意得： ， 解得 答：长方形墙砖的长为，宽为； （2） 答：电视墙的面积是． 22．如图，正比例函数的图像与一次函数的图像交于点，一次函数图像经过点，与轴的交点为，与轴的交点为． (1)求一次函数表达式； (2)求点的坐标； (3)求的面积； (4)不解关于的方程组，直接写出方程组的解． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）把点代入正比例函数求出的值，再代入一次函数即可求解； （2）由（1）可知一次函数图像的解析式，令，即可求解； （3）由一次函数解析式求出点的坐标，根据三角形的面积公式即可求解； （4）根据两直线的交点即为方程组的解，即可求解． 【详解】（1）解：∵正比例函数的图像与一次函数的图像交于点， ∴，解得：， ∴， 把和代入一次函数，得： ，解得， ， ∴ 一次函数解析式是． （2）解：由（1）知一次函数表达式是 ， 令，则， ∴点． （3）解：由（1）知一次函数解析式是， 令，，解得： ，       ∴点， ∴，   ∵， ∴的面积． （4）解：∵正比例函数的图像与一次函数的图像交于点， ∴方程组的解为． 【点睛】本题主要考查两直线的交点问题，掌握待定系数法求解析式，两直线与坐标轴围成图形的面积计算方法，两直线交点坐标与方程组的解的关系等知识是解题的关键． 23．周末，李叔叔开车从盐城出发去千米远的南京游玩，当汽车行驶小时到达郭村时，汽车发生故障，需停车检修，修好后又继续向前行驶，其行驶路程y（千米）与时间x（时）之间的关系如图所示． (1)求汽车修好后y与x之间的函数关系式； (2)在距离南京千米的地方有一个服务区，求李叔叔从盐城出发后多长时间到达服务区？ 【答案】(1) (2)小时 【分析】本题考查了一次函数的应用，一次函数解析式．熟练掌握一次函数的应用是解题的关键． （1）设汽车修好后y与x之间的函数关系式为，将，代入，计算求解，然后作答即可； （2）由距离南京千米的地方有一个服务区，可得服务区距离盐城千米，将代入计算求解即可． 【详解】（1）解：设汽车修好后y与x之间的函数关系式为， 将，代入得，， 解得，， ∴函数关系式为； （2）解：∵距离南京千米的地方有一个服务区， ∴服务区距离盐城千米， 将代入得，， 解得，， ∴李叔叔从盐城出发后小时到达服务区． 24．在甲、乙两城市之间有一服务区，一辆客车从甲地驶往乙地，一辆货车从乙地驶往甲地．两车同时出发，匀速行驶，客车、货车离服务区的距离（千米），（千米）与行驶的时间x（小时）的函数关系图象如图1所示． (1)甲、乙两地相距 千米； (2)求出发3小时后，货车离服务区的路程（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系式． (3)在客车和货车出发的同时，有一辆邮政车从服务区匀速去甲地取货后返回乙地（取货的时间忽略不计），邮政车离服务区的距离（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系图线如图2中的虚线所示，直接写出在行驶的过程中，经过多长时间邮政车与客车和货车的距离相等？ 【答案】(1)480 (2) (3)经过1.2或4.8或7.5小时邮政车与客车和货车的距离相等 【分析】（1）根据图1，根据客车、货车离服务区的初始距离可得甲乙两地距离； （2）根据图象中的数据可以求得3小时后，货车离服务区的路程y2与行驶时间x之间的函数关系式； （3）分三种情况讨论，当邮政车去甲地的途中会有某个时间邮政车与客车和货车的距离相等；当邮政车从甲地返回乙地时，货车与客车相遇时，邮政车与客车和货车的距离相等；货车与客车相遇后，邮政车与客车和货车的距离相等． 【详解】（1）解：（千米） 故答案为：480． （2）解：设3小时后，货车离服务区的路程与行驶时间x之间的函数关系式为，由图象可得，货车的速度为：（千米/时）， 则点B的横坐标为：， ∴点P的坐标为， 则，解得：， 即3小时后，货车离服务区的路程与行驶时间x之间的函数关系式为． （3）解：（千米/时）， （千米/时）， 分三种情况讨论： ①设当邮政车去甲地的途中时，经过t小时客车和货车相遇时邮政车与他们的距离相等，， 解得：； ②设当邮政车从甲地返回乙地时，经过t小时邮政车与客车和货车的距离相等，， 解得：； ③设经过t小时后，货车与客车相遇后，邮政车与客车和货车的距离相等， 则， 解得：； 综上所述，经过1.2或4.8或7.5小时邮政车与客车和货车的距离相等． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，根据函数图象获取信息，一元一次方程的应用，解题的关键是进行数形结合，利用数形结合，求出函数的解析式． 25．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，直线与x轴交于点，与相交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)如图2，一动直线轴分别与直线，交于P，Q两点，l与y轴交于点M． ①若，求M的坐标． ②若，求出此时点Q的坐标． 【答案】(1) (2)①或；②点坐标为：， 【分析】（1）先求出点C的坐标，然后用待定系数法求出直线的函数表达式即可． （2）①当时，点，的坐标分别为：，，故，由此得到答案． ②在点下方取点使，则点，由此得到点的坐标，在点上方取点使，则点，由此得到点的坐标． 【详解】（1）解：把代入得：， ∴， 设直线的函数解析式为：，把，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为：． （2）解：①设直线l的解析式为，此时点，的坐标分别为：，， 则， 解得：或， 当时，； 当时，； 综上分析可知，点M的坐标为或； ②设直线和轴交于点，则点， 过点作直线，交轴于点， 则此时，， ∵， ∴设直线m的解析式为，把点代入得： ， 解得：， ∴直线的表达式为， 则点， ∴， 在点下方取点使， 则点， 设过点T，平行于的直线t的解析式为， 联立， 解得：， 点， 在点上方取点使， 则点， 设过点R，平行于的直线r的解析式为， 联立， 解得：， 则点， 综上，点坐标为：，． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，平行线的性质，一次函数平移，求两条直线的交点坐标，求一次函数解析式，根据题意，分类求解，熟悉相关性质是解答本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$