椭圆与双曲线知识点总结知识清单-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

椭圆与双曲线知识点总结 椭圆 1. 椭圆的定义：平面内与两个定点的距离之和等于常数（＞）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距. ①常数＞点的轨迹为椭圆 ②常数＝点的轨迹为线段 ③常数＜点的轨迹不存在 2. 椭圆的标准方程： ①，焦点是且 ②，焦点是且 3. 椭圆的几何性质（用标准方程研究） （1） 范围： （2） 对称性：以轴、轴为对称轴，以坐标原点为对称中心. （3） 离心率：，. 越趋近1，椭圆越扁； 越趋近0，椭圆越接近圆. 4. 点与椭圆的位置关系 （1）点在椭圆的内部. （2）点在椭圆的外部. 5. 椭圆中的常见结论 （1）焦半径：连接椭圆上任意一点与椭圆焦点的线段，叫做椭圆的焦半径，是椭圆：上任意一点，是椭圆的左右焦点，焦半径的最小值为，最大值为. （2）焦点弦：过椭圆焦点的直线与椭圆有两个交点，两交点之间的线段叫做椭圆的焦点弦，其中垂直于焦点所在坐标轴的焦点弦长最短，又叫通径，长度为，最长的焦点弦为长轴，长度为. （3）焦点三角形 以椭圆的两个焦点与椭圆上任意一点（非长轴顶点）组成三角形，叫做焦点三角形，椭圆的焦点三角形的周长为面积为 （4）椭圆的两个最大张角 ①已知为椭圆的两个焦点，为椭圆上任意一点，则当点为椭圆短轴的端点是，最大. ②已知为椭圆长轴上的两个顶点，为椭圆上任意一点，则当点为椭圆短轴的端点是，最大. 6. 椭圆的第二定义： 平面内与一个定点（焦点）和一定直线（准线）的距离的比为常数e，（0＜e＜1）的点的轨迹为椭圆。（） ①焦点在x轴上：（a＞b＞0），准线方程： ②焦点在y轴上：（a＞b＞0），准线方程： 双曲线 1. 双曲线的定义：平面内与两个定点的距离之差的绝对值等于常数（＜）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距. ①常数＜点的轨迹为双曲线 ②常数＝点的轨迹为两条射线 ③常数＞点的轨迹不存在 2. 双曲线的标准方程： ①，焦点是且 ②，焦点是且 3. 双曲线的几何性质（用标准方程研究） （1）范围：或 （2）对称性：以轴、轴为对称轴，以坐标原点为对称中心.对称中心又叫做双曲线的中心 （3）顶点：双曲线与它的对称轴的两个交点叫做双曲线的顶点 （4）实轴与虚轴：两个顶点间的线段叫做双曲线的实轴；在轴上作点线段叫做双曲线的虚轴. （5）渐进线：直线 （6）离心率：，.越趋近1.双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔. 4. 等轴双曲线：实轴长、虚轴长相等的双曲线． 焦点在轴上，标准方程为； 焦点在轴上，标准方程为. 渐近线方程为，离心率. 5. 共轭双曲线： 以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线，共轭是相互的．如：和． 6. 双曲线中的常见结论 （以焦点在轴上的双曲线为例） （1）焦半径： ① ②同侧焦半径的最小值为，最大值为. （2）焦点弦： ①通径：过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦，弦长为 ②过焦点其端点在同一支的弦中，通径长度最短. （3）焦点三角形 两个焦点与双曲线上一点（非顶点）组成三角形，叫做焦点三角形. 面积公式，其中为. 同时，面积可由“”来计算，即，因此，面积公式可写为 由此公式可得如下推论： ①当P点从（左）右顶点向上（下）移动时，纵坐标绝对值变大面积变大张角变小； ②面积，张角，坐标，三者形成一一对应：已知其一，必能求另外其二. 7. 中点弦问题（点差法） 弦的中点P的坐标、弦所在的直线斜率、椭圆/双曲线方程 结论： 1 学科网（北京）股份有限公司 $$