14.2.2 完全平方公式-【重难点手册】2024-2025学年八年级上册数学（人教版）

第十四章 整式的秉法与因式分解么 14.2.2完全平方公式 重点和难点 课标要求 重点：(a+b)2=d+2ab+斤，(a-b) 1.理解完全平方公式的推导过程和结构特征 a2-2ab+. 2.掌握添括号法则，会利用完全平方公式进行简便运算. 难点：利用完金平方公式进行运算 01必备知识梳里。一 知识点1完全平方公式 的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题的 1.公式的推导 关键 (a+b)*=(a+b)(a+b)=a"+ab+abb 易错点未能正确识别完全平方公式 =a2+2ab+b; 例计算：(-2m一3m)2. (a-b)2=(a-b)(a-b)=a-ab-abb 正解方法一 =a2-2ab+b. 原式=(-2m)2-2×(一2m)×3m十(3n)2 2.两种表述方式 =47n2+12mn+9n2. 数学语言：(a士b)2=a2士2ab十b. 方法二 文字语言：两个数的和（或差）的平方，等 原式=[-(2m+3m)]2=(2m+3n)2 于它们的平方和加上（或减去）它们积的2倍. =4m2+12mn+9n2. 例①用完全平方公式计算： 错解原式=(-2m)2-2×(2m)× (1)(a+3b)2. (3)+(3n)2=4m2-12mn+9n2. (2)(-x+3y). 错因在套用公式时没有正确识别公式 (3)(-m-n)2. 的形式 (4)(2.x+3)(-2x-3). 解析(1)(a+3b)2=a2+2a·3b十(3b) 段思标 =a2+6ab+9b. 特别要注意字母前的符号，并依据公式的形式 作相应的变形 (2)(-x十3y)2=(3y-x)2 =(3y)2-2×3yXx+x 知识点2完全平方公式常用的变式 =9y2-6.xy+x2. 完全平方公式常用的变式有以下几种： (3)(-m-n)2=(m十n)2 (1)a2+b=(a+b)2-2ab. =m2十2m1十n2. (2)a2+b=(a-b)2+2ab. (4)(2x+3)(-2x-3)=-(2x+3)2 =-(4x2+12.x十9) 3u+6=2a+b+(a-b). =-4x2-12x-9. (4)2ab=(a+b)2-(a+b) 总结此题主要考查了完全平方公式和暴 (5)4ab=(a+b)2-(a-b)2. 135 国避令手册八年级教学 上册2 列国点 再加上它们两两乘积的2倍。 (1)公式中的字母a,b可以表示数，单项式和 将（￥）式中的b换成一b,则 多项式 (a-b+c)2=a+2+c2-2ab-2bc+2ac. (2)尤其应注意项数、符号、字母及其指数 将()式中的b换成-b,c换成一c,则 例2已知a十b=7,a2+b2=29,求： (a-b-c)?=a2+b+-2ab+2bc-2ac. (1)ab的值.(2)a一b的值 例④计算：(x十2y-)2」 解析(1)，a十b=7,.(a十b)2=49. 解析方法一(x十2y-)2=(x十2y)2 .a+2ab+b=49. 2(x+2y)x+=x2+4xy+4y-22-4yz+. ,a2十6=29，∴.ab=10. 方法二(x+2y一)2=x2+(2y)2+ (2),a2+=29,ab=10.(a-b)2=a2 (-g)2十2x·2y十2·2y·(-x)十2(-)· 2ab+b x=x2+4y2+22+4xy-4y2-2x2. .(a-b)2=9.∴.a-b=士3. 总结如能熟记三个数和的平方公式，则 知识点3添括号法则 可直接写出结果，大大减少运算的时间 添括号时，如果括号前面是正号，括到括 易错点不能灵活应用完全平方公式 号里的各项都不变符号：如果括号前面是负 例已知a=1999.x+2000,b=1999.x+ 号，括到括号里的各项都要改变符号. 2001,c=1999.x+2002,求多项式a2+2+ 运用添括号法则，我们可以作某些两个三 2一ab-一b一ac的值. 项式积的相关运算 正解(a-b)=a2+一2ab,(b-c)2 例3计算：(1)(a+b-c)(a十b+c). +2-2b,(c-a)2=c2+a2-2ca. (2)(a+b-c)(a-b+c). 由于a-b=-1,b-c=-1.c-a=2, 解析(1)原式=[(a十b)-c[(a+b)+c] 我们有a2+?-2ab=1,b+c2-2bc =(a+b)2-c2 1,c2+a2-2ca=4. =a2+2ab+b-c2. 三式相加，可得2a2+2十2c2-2ab (2)原式=[a+(b-c)][a-(b-c)] 2b-2ca=6. =a2-(b-c) 从而得原式=3. =a2-(b-2bc+c2) 错解一a2+}+c2一ab一bc-ac= =a2-b-e2+2bc. (a-b-c)2. 总结正确运用添括号法则是解题的关键 错解二将已知直接代入a2十b+c2 知识点4完全平方公式的拓展 ab一b一ac,虽可计算，但是太烦琐. (a+b+c)2=[(a+b)+c] 错因1.误用三项的完全平方公式： =(a+b)2+2(a+b)c+c 2.若直接计算，不仅运算量大，还容易出错 =a+b+2ab+2ac+2bc+c 用法 =a2+b+c2+2ab+2x+2ac, a2,,ab同时出现，提示我们运用完全平方 (a+b+c)=a2+b2+c2+2ab+26c+ 公式 2ac. (￥) 由于有a,b,c三个字母，且所求式子关于a,b, 即三个数和的平方，等于各个数的平方和 c轮换对称，因此我们尝试平等对待a,b,c 136 第十四章整式的乘法与因式分解么 ]-02一关建能)提升。 题型1直接套用完全平方公式 (2)原式=[2.x十(y-3)][2x-(y-3)] 完全平方公式(a士b)2=a2士2ab+中的 =(2.x)2-(y-3) 字母4，b可以是具体的数，也可以是单项式或 =4x2-(y2-6y+9) 多项式.在套用公式时，要注意公式右边共有 =4.x2-y2+6y-9. 三项，首、末两项是两个数的平方，且符号相 总结先整体观察，再合理裂项，最后套用 同，中间项是两个数的乘积的2倍，且符号与 公式 等式左边连接两个数的符号相同， 题型3整体观察，优先应用平方差 例固(2018·安顺中考)若x2+2(m 公式 3)x十16是关于x的完全平方式，则m= 公式的运用需要根据题目的形式合理选 解析x2+2(m一3)x+16=x2+2(m 择，使用公式的目的是简化计算，将复杂的形式 3).x十（士4）2是关于x的完全平方式， 利用公式化简，哪种公式能够达到化简的目的 .2(m-3)=2×(士4)，即2(m-3)=士8， 解得m=一1或m=7. 就使用哪种公式.整体思想在使用乘法公式的 答案一1或7. 问题中经常用到，同时需要适当地添加括号。 总结根据完全平方公式即可求出答案. 例回计算：(2u+2b)(2a-2b)。 ◆变式1若x2十6x十k2是完全平方公式， 则常数k一 解析原式=[(2a+2(2a-b)] 题型2综合运用完全平方公式与平 =(4a2-6) 方差公式 完全平方公式和平方差公式的形式有本 =16a-2af+, 质的区别.在解决实际问题时，要注意依据题 总结若先应用完全平方公式，项数会增 目的条件合理选择，有时题目的形式不能直接 多，使计算复杂；若先应用平方差公式，通常会 套用公式，需要先对式子进行变形.如例6，两 减少项数，使计算更简便 个三项式相乘，若直接观察题目的结构无法找 题型4利用乘法公式间的关系求值 到合适的公式套用，这时就需要作合理的裂 项，添加括号，再利用整体思想套用公式，这是 由(x+y)2=x2+2xy十y2, 应用乘法公式解题的基本技巧 (x-y)2=x2-2.xy+y2, 例6计算：(1)(2.x+y-3)(2x-y-3). 可得(x十y)2=(x-y)2十4xy. (2)(2x+y-3)(2x-y+3) 例8已知x2+y2=25,x十y=7,且x> 解析(1)原式=[(2x一3)十y[(2x一3)-] y,则x一y= =(2x-3)2-y 解析将等式x十y=7两边平方得 =4.x2-12x+9-y x2+y2+2xy=49. ① =4.x2-y2-12x十9. 将x2+y2=25 ② 137 国雕白手册人年级教学上册则 代入①得2.xy=24. ③ r>y,..x-y=l. ②-③得x2-2.xy+y=1, 答案1. 即(x-y)2=1,即x-y=士1. 总结先求xy的值，再求(x一y)2的值. 口-03热点考向聚焦一。 考向1完全平方公式的应用 即2-2+是=9，所以2+是=11. 例9(2022·武汉江阳区期末)如图，已 知长方形金鱼池的面积为1平方米，周长为6 观察以上解答，回答下列问题.已知x十 米，以长方形鱼池相邻两边向外作正方形的小 13: 花园，则两个正方形小花园的面积之和是 平方米 1)求下列各式的值：①x-子②+ (2)直接写出x3-2.x2-2x十3的值， 小化园 解桥0：（女-）=(+-4 金角池 十小花园 3-4=5,x-=±5， 解析设金鱼池的长、宽分别为am,bm, @:r+-(+2》-2=-2=7. 则ab=1,a十b=3, ∴.a2+b=(a+b)2-2ab=32-2×1=7. x+号=（女+2）-2=r-2=7 答案7. 考向2运用完全平方公式求值 (2)x+1=3,x2+1=3x 例四例：已知x-子-3，求r+之的值 ∴.x2=3.x-1. 原式=x(3.x-1)-2(3x-1)-2x+3= 解析：因为x-1=3,所以(-)=9。 3x2-x-6.x+2-2x+3=3(3.x-1)-9.x+5=2. ]04学业质量测评。 A基础过关练 测试时间：20分钟 m的值为(). 1.下列各式中正确的是( A.-8 B.±8 C.-16 D.±16 A.(x+y)2=x2+y 3.(2022·武汉武昌区模拟)如 B.(x-y)2=x2-y 图，将4张边长分别为a,b的长 C(x+2)=+y+ 方形纸片围成一个正方形，从中 可以得到的等式是(. D.(x-1)2=x2-2xy十y A.(a+b)(a-b)=a2- 2.要使4x2十mx十16成为完全平方式，则常数 B.(a+b)2-(a-b)2=4ab 138 第十四章 整式的乘法与因式分解么 C.(a-b)2=a2-2ab+b2 7.(2024·黄石十四中期末)已知m十n=5, D.a(a+b)=a2十ab n=3. (x+3)(x-3)-x(x-2)>1, (1)求m2+2的值， 4.解不等式组：（2x-5(-2x-5)<41一. (2)求(m一2)(n一2)的值. ●B中考提能练 测试时间：20分钟 8.(2020·临沂中考)若a+b=1,则a2一2+ 5.先化简，再求值：(x十1)2-(x+2)(x-2) 2b-2= 其中5<x<10,且x是整数. 9.(2019·枣庄中考)若m-1=3,则㎡+ 10.若xy满足x2+2y2-2xy-2y十1=0，求 xy的值. 6.计算： (号-3月. (2)(5.x+6yz)(-5x-6yz). (3)(a+b+2c)(a+b-2c). (4)(a-b+2c)(a+b-2c). 11.我们已学习了完全平方公式a士2ab+?= (a士b)2,观察下列式子：x2+4x+2=(x+2) -2≥-2：-x2十2x-3=-(.x-1)2 2≤一2，并回答下列问题 (1)一2x2-4x+1=一2(x+m)2+n≤n,则 139 国避手册人年级教学上册网 (2)解决实际问题：在紧靠围墙的空地上，13.解答下列各题： 利用围墙及一段长为60米的木栅栏围 (1)如果x2+xy=15,y2+xy=6,求x2 成一块长方形花圃，为了设计一个面积 y2与(x十y)2的值 尽可能大的花圃，按下图设长方形一边 (2)已知x(x-1)-(x2-y)=-2,求x2十 长为x米，回答下列问题： y2-2xy的值. ①请列式：用含x的式子可将花圃的面 (3)已知(.x+y)2=20,(.x-y)2=40,求x2+ 积表示为 3y2和xy的值 ②请说明当x取何值时，花圃的面积最 大？花圃的最大面积是多少？ 围墙（大丁60米） 木韧栏 12.仔细观察下列各式： C培优突破练 测或时间：10分钟 12+(1×2)2+2=(1×2+1)2: 14.若实数a,b(a≠b)满足a2-a一2015=0， 2+(2×3)2+32=(2×3+1)2: ?-b-2015=0,求式子a-b的值 32+(3×4)2+4=(3×4+1)2: 请根据以上规律，写出第n(n为正整数)个 等式，并说明等式成立的理由。 15.若(2010-a)(2008-a)=2009,求(2010 a)2+(2008-a)2的值. 140参考答架与提示么 14.2乘法公式 =g-1D3+D 14.2.1平方差公式 =30-1 [支式11359.96.（2y2-后 2 14.a-c=(a-b)+(b-c)=10+5=15, [变式2]原式=(2-1)(2+1D(22+1)(2+1)(2+1) ∴.(a+c)(a-c)=20×15=300. =(22-1)(2+1)(2+1)(28+1) 15.设a==m”,2=P=m, =(2-1)(2+1)(2+1) 则a=m',b=m,c=,d= =(2-1)(28+1) a-c=17,.(m2+)(m2-n)=17. =2-1. ∴m2十n=17,m2-n=1.m=3,n=8. 【学业质量测评】 .d-b=2一m=8-3=269. 1.D 14.2.2完全平方公式 2.D提示：（一a-b)(a十b)=-(a十b). [变式1门±3. 3.C4.B 【学业质量测评】 5.1-d.提示：原式=-(2a-1)(1+2a) 1.C2.D3.B4.x>6.25. 5.(x+1)2-(x+2)(x-2)=2+2x十1-2+4=2.x+5. -(d-1）=1-cd. :5<x<0且x是整数， 6.-x+3y.提示：(x+3y)(3y-x)=(3y)2-x2= ∴x=3..原式=2×3+5=11. 9y2-x2 6.1原式=号r-计9时. 7.原式=a2-+ab+2-=a2+ab. 当a=1,b=-2时，原式=1+1×(-2)=-1. (2)原式=一(5.x+6y)=-25.x2-60xyx-36y, 8.1 (3)原式=(a十b)2-(2c)2=a2+2ab+-4c2. (4)原式=a2-(b-2)2=a2-+4hx-4c2 912号×11号=(12+3)×(12-号)=12-（号）】 7.(1)m2+r=(m+n)2-2n=5°-2X3=19. =144-号=1438 (2)(m-2)(n-2)=m一2(m+n)+4=3一2×5十4 =-3. 10.原式=[(3-2)(3+2)]下=[(3)2-2]= 8.一1.提示：当4十b=1时，原式=(a十b)(a一b)十2b (3-4)0=1. -2=a-6+2h-2=a+b-2=-1. 11.原式=x2+2xy十y+x2-y2-2x=2ry 9.11. 把x=√2，y=5代入，得原式=2×√2×√3=2v6. 提示：(m品）广=m-2+证=9， 12.“原方程可化为6x+74r2-9)-28(2-)=4, im+2-9+2-n 即6x+28x2-63-28x+7=4, 10.:等式可变形为(x2-2xy十y)+(y-2y+1)=0, .6.x=60..x=10. 即(x-y)2+(y-1)2=0,得x-y=0,y-1=0. 13.(1).x2-y2.(2)x-y.(3)x-y.①3-1. ∴x=y=1,xy=1. 1L.(1)1:3. ②原式=(3-1)(3+1)(3+1)(3+1D3+1D (2)①x(60-2x)或-2x+60x. =28-1D3+1D(3+1)3*+1D ②x(60-2x)=-2x2+60.x=-2(x2-30x) =-2(.x2-30.zx+15)+450=-2(.x-15)2+450. =23-1Dg*+1(3+1D 当x=15时，花圃的最大面积为450平方米. 27 重雅点手册八年级教学上册 12.+[(n十1)十(m十1)2=[（十1）十1.理由如下： (2),817-27°-9B=(3)7-(3)”-(32)4=38 m+[n(n十1)下+(n十1) 37-35=3×3-3×3-3×1=3×(3-3-1)= =2十(n2十n)2十2十2n十1 3×(9一3-1)=3×5=31×32×5=321×9×5= =n°+n+2m23+n2+n十2n十1 32×45. =n+2m2+32+2m+1. ,∴.817一27-92能被45整除。 [n(n+1)+1] [变式2](1)原式=m(a一)十n(a一b)=(a一b)(m十n). =[n(n十1)十2n(n+1)十1 (2)原式=2(x十2y)-3m(.x+2y)=(.x+2y(2-3m. =(2+n)2+2m+2n+1 【学业质量测评】 =n+2m3十m2+2+2n+1 L.C提示：A,B右边均不是积的形式，D是由积到积的 =n+2n2+3n2+2n+1, 符号变换， 2.C提示：公因式为各项系数绝对值的最大公约数与相 ∴.m+[n(n+1)]2+(n+1)=[n(n+1)+1]. 同字母最低次幂的积 13.(1)设x2+xy=15为①式，y2+xy=6为②式， 3.D提示：公因式为3(a-b). ①-②得x2-y=9,①十②得(x+y)=21. 4.2a-3h.提示：2a(x+y)-3b(y十x)=(.x+y)(2a (2)化简原式得x一y=2, -3b). .(x-y)=4.∴x+y2-2xy=4. 5.m-n.提示：m(a-b)十n(b-a）=m(a一b)一n(a- (3)设(.x十y)=20为③式，(x一y)=40为④式 b)=(a一b)(m-n). (③十④)÷2得2+y=30,(③-④)÷4得xy=-5. 6.1-3x-4y 14.由题设可知a2-a-2015=0, ① 7.-6.提示：a2b-a=ab(a-b)=-2×3=-6. 2-b-2015=0, ② 8.B a-b≠0. ③ 9.9.提示：原式=3×（一5×3十7×3十25）=3=9. 由D+②得(a2十F)-(a+b)=4030, ①D 10.-3.提示：：x2-4x+m=(x+3)(x-n)=x2+ 由①-②得(a2-片)一(a-b)=0, ⑤ (3-n)x-3n, 将③与⑤联立，可得a十b=1, ⑥ 3-1=-4,m=-3m.m=-3. 将⑥代入①，可得a+=4031, D 1L.(1)75a3-25ab=25ab(3ab-1). 将⑥两边平方，可得a2++2ab=1, ⑧ 将⑦代人⑧，可得ab=-2015, ⑨ (2)-4m3+16m2-26m=-2m(2m2-8m+13). (3)m(a-3)+2(3-a) 将⑦与⑨联立，可得(a一b)=a+一2ab=8061, ① =m(a-3)-2(a-3)】 由0得a一b=土√8061. =(a-3)(m-2). 15.设m=2010-a,n=2008-a, (4)6a(h-a)-2(a-b) 则有mn=2009,m一n=2. =6a(a-b)”-2(a-b)3 故m2+m2=(m-)2+2mm=2+2×2009=4022. =2(a-b)2[3a-(a-b)] 14.3因式分解 =2(a-b)2(2a+b) 14.3.1提公因式法 12.原式=a2(a十1)-(a+1)=(a+1)(a2-1)=(a+1)· [变式1](1)(2a-b)(6a-4h)+2a(h-2a) (a+1)(a-1)=(a+1)(a-1). =2(2a-b)(3a-2b)-2a(2a-b) 13.(1)(b-3c)(m+b). =2(2a-b)(3a-2h-a) (2),'a2-5b十5ac-ab=0, =2(2a-b)(2a-2b) .a(a-b)+5c(a-b)=0. =4(2a-b)(a-b). ∴.(a-b)(a+5c)=0. 28