14.2.1 平方差公式-【重难点手册】2024-2025学年八年级上册数学（人教版）

第十章 整式的乘法与式分解 14.2 乘法公式 14.2.1 平方差公式 重点和难点 课标要求 重点:(a十b)(a-b)一a{}-b*。 1.理解乎方差公式的推导过程和结构特征 难点:利用平方差公式进行运算 2.常握添括号法则,会利用平方差公式进行简便运算 01-备知识梳理 知识点 平方差公式 另一项互为相反“数”. 1.公式的推导 知识点2平方差公式的几何意义 ($a+b)(a-b)-a-ab+ab-b-a-b^}$ 如图,IV是边长为的正方形,II,III是边 2.两种表述方式 长分别为和a一的长方形,而I,II,IV组成 数学语言:(a十b)(a-b)-a{}-h^2 边长为a的正方形 文字语言:两个数的和与这两个数的差的 (十b)(-b)=面积(I十II) 积,等于这两个数的平方差. 一面积(I十I) -^{②}一”} 公式的特征 这样就从面积拼图上给出了平方差公式 平方差公式是两个二项式的乘积,这两个二项 的几何意义 式中有一项完全相同,另一项互为相反数,其中字母 & a么既可以是具体的数,也可以是单项式或多项式 __ I 例计算:(3m-2n)(-3m-2n). IV 解析方法一 _+ 原式-(-1)(3m+2n)(3m-2n) --[(③m)2-(2n)] 例②将图1中的阴影部分的小长方形变 --(9m}-4n*) 换到图2中的位置,根据这两个图形的面积关 -4n^{}-9m^{} 系得到的数学公式是 方法二 a-# 原式-[(-2n)+3m](-2n)-3m an-6 -(-2n)?-(3m)? -4n2-9n 图1 图2 总结视“一2n”为相同的项;也可以从后 解析由图1得图形面积为(a-b)(a十b); 一个括号内提取一1,则“3m”为相同的项,那么 由图2得图形面积为a?-. 131 重难用册八年级数学 上册 2 故(a-b)(a十b)-a^{②}-b^} 总结先将图2补形,用字母a,b分别表示 答案(a-b)(a+b)-a-b. 出图1、2的面积,进而寻找关系. 02 关建能力提升 题型1直接套用平方差公式 题目的形式比较复杂,不能直接套用公式时, 平方差公式:(a十b)(a-b)=a{}-.公式$ 我们可以将式子拆分,或者部分套用公式,或 中的字母a,既可以是具体的数,也可以是单 者对式子进行一定的变形 项式或多项式.在运用公式时应该灵活处理 比如例4,式子的左边是多个多项式相乘 利用整体思想,将某些项看成公式中的a,b,再 我们可以先将前两项套用平方差公式,再与第 套用公式运算 三个因式一起再次套用平方差公式,从而达到 例计算:(1)(+)(). 化简的目的. 例4若(x-1)(x+1)(r*+1)(x+1) (2)95×105. *-1,则n- (1)原式-(2)2#-()} 解析 解析原式-(x*-1)(x*十1)(x+1) -(r-1)(x+1) -8-1. (2)原式-(100-5)×(100+5) 答案8. -100-52 -10000-25 (1)对于两个二项式的积,看准有无相等的 -9975. “项”和符号相反的“项”;仅当把两个二项式的积变 ·变式1计算:(1)59.8×60.2 成公式标准形式后,才能使用平方差公式。 (2)在解题过程中要准确确定a和b,对照公式 (2)(-+y)(+). 原形的两边,做到不弄错符号,当《或是整式的 题型2巧妙构建平方差公式 平方时,要注意添括号,这是运用平方差公式进行 多项式乘法的关键 对公式的熟练掌握有利于简化计算,套用 公式的前提是式子的形式满足公式的形式,当 变式2化简:(2+1)(2+1)(2+1)(2+1) 03-热点考向聚焦 .-4-2-1. .2-2x-5. 考向1套用平方差公式进行计算 '2-4+3-2(-2)+3-2×5+3-13 例D(2022·赤峰中考)已知(x十2)(x一 答案A 2)-2x-1,则2x-4x+3的值为( ). 考回2平方差公式的拓展应用 C.一3 D.5 A.13 B.8 例(2021·武汉江汉区模拟)若一* 解析·(x+2)(x-2)-2x-1, -8.--5,则(x十y)(y十z)(z十x)(x- 132 第十章 整式的乘法与式分解 y)(y-z)(z-x)=__. -8X(-5) (-3)-120 解析原式=(r-)(-)(*) 答案120. 04-学业质量测评 基础过关练 7.(经典·衡阳中考)先化简,再求值:(a十b)· 测试时间:15分钟 ($-b)+b(a+2b)-b*,其中a-1,b--2. 1.下列各式中不能用平方差公式计算的是 ( ). A.(2x-5)(5+2x) B.(xy十x②)(r?-xy) C.(-3a-2b)(3a-26) D.(a-2b)(2a-b) 2.下列各式中计算不正确的是( ). A.(-b+q)(b+a)-a^{}-b} B.$(-a+b)(-a-b)-a?-b 中考提能练 测试时间:20分钟 C.(-a-b)(b-a)-a②}-b2} 8.计算:2019-2018×2020 D.(-a-b)(a+b)-b-a*} 3.下列计算中正确的是( ). A.(x+5)(x-5)-2-10 B(r+6)(x-5)--30$ C.(-x+1(-x-1)-c2-1 D.(3x+2)(3x-2)-3xr-4 9.用平方差公式速算:12 4.下列根据图形的变化过程写出的等式中正 确的是( ). A.(m-n)?-n?-2mn十n} 10.计算:(3-2)*(③+2)20- B.(m+n)(m-n)-n-n*} C.(m-n)-n}-n* D.m(m-n)-n?-mn 5.计算:(a-1)(-1-)- 6.(x十3y)()-9-2. 133 重难用册八年级数学 上册 2 11.(2020·广东中考)先化简,再求值;(x十 ②(3十1)(3②+1)(3+1)(3+1). y)+(x+y)(x-y)-2r”,其中x=v②, y-3. 培优突破练 测试时间:10分钟 $4.已知a--10,b-c=5,a+c=20,求($ 12.解方程:6x+7(2x+3)(2r-3)-28(x+)( c)(a-c)的值. 1)-4. 15.设a,b,c,d都是自然数,且a}=b,c^=d f a-c-17,求d-b的值 13.计算下列各式,并完成所提出的问题; (1)(x-y)(x十y)- (2)(x-y)(x十y)(r2+y*)= (3)(x-)(x+)(r+)(x+y) ...... 计算: ①8×(3+1)(3+1)(3+1)...·(3+D =(3-1)(3+1)(3+1)(3+1·..· (3{十1)-. 134参考答案与提示 G# 14.2 乘法公式 -1(3$-1)(3$+1) 14.2.1 平方差公式 3--1 2 [变式1](1)3599.96. 14:a-c-(a-b)+(-c)-10+5-15 [变式2] 原式-(2-1)(2+1D(2+1)(2+1)(2*+1 .(a+c)(a-c)-20x15-300. -(2-1)(2+1)(2+1)(2+1 $$5.设 --n^{*},-- -(2-1)(2+1)(2+1) 则a=n,b-n,c=n”,d-. -(2-1)(2+1) .-c-17,.(m+n)(n-n-17. -2-1. 'm}+n=17,m-n=1.'m=3,n-8 【学业质量测评】 ' -b-r-r-8-3-269 1.D 14.2.2 完全平方公式 2.D 提示:(-a-b)(a十b)=-(a+b)。 [变式1] 士3. 3.C 4.B 【学业质量测评】 提示:原式=-(a-1)(1+)= 1.C 2.D 3.B 4.x6.25. $(+1 -(+2)(-2)=+2+1-+4=2+5 -(-1)-1-. ·5<rv10且:是整数. 6.-x+3y.提示:(x+3y)(3y-x)=(3y)- ..-3 '.原式-2×3+5-11. 9-。 6.(1)原式-4-4ry+9y.。 7.原式=a-+ab+2--a^}+ab$$$ (2)原式--(5+6)}--25-60xy-36 .$ 当a=1,b--2时,原式-1*+1x(-2)--1. 8.1. (3)原式-(a+b)-(2)=+2ab+-4 (4)原式-a-(b-2c){}-a”-+4b-4^}。 $$-112-(12+)x(12-)-12^*-()} 7.(1)n+-(m+n)-2mn-5-2×3-19. 144-1438 (2)(m-2)(n-2)=mn-2(m+n)+4-3-2×5+4 --3. 10.原式=[3-2)[\3+2)]-[3)-2]= 8.-1.提示:当a十b-1时,原式-(a十b)(a-b)+2b (3-4):022-1. -2--b+2-2-a+b-2--1. 11.原式-+2xy++--2-2ry 把 -/②,-3代入,得原式=2X2×③-2. 12.·原方程可化为6r+7(4r*-9)-28(-1)-4. .m-9+2=11. nr} 即6r+28r^-63-28r+7-4. 10..等式可变形为(-2xy+y)+(-2y+1)=0. '6-60..x-10. 即(r-y)+(y-1)-0,得r-y-0,y-1-0 13.(1)-y.(2)-.(3)-y.①3“-1. '=y-1.x-1. 11.(1)1;3. ②原式-(3-1)(3+1)(3{+1)(3+1)(3*+1) (2)①r(60-2x)或-2r+60x -(3{-1)(3*+1)(3+1)(3+1) ②r(60-2xr)--2x”+60x--2(-30) --2(-30x+15)+450--2(-15)+450 -(3t-1)(3+1)(3+1) 当x-15时,花圃的最大面积为450平方米。 27