14.1.4 整式的乘法-【重难点手册】2024-2025学年八年级上册数学（人教版）

重避点手册人年级数学上册划 14.1.4整式的乘法 重点和难点 课标要求 1.掌握单项式与单项式相乘，单项式与多项式相乘，多项式 重点：单项式相乘、单项式与多项式相 与多项式相乘的乘法法则，并能熟练地运用这些法则进行有关 乘的法则。 计算. 难点：单项式相除，多项式除以单项式 2.掌握单项式除以单项式、多项式除以单项式的法则，并能 的法则 进行简单的计算，理解零指数幂的意义， 01一以备知识梳理。 知识点1单项式间的运算 运算 单项式 1.单项式相乘的法则 把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只 单项式与单项式相乘，把它们的系数、同 乘法 在一个单项式里含有的字母，则连同它的指 底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有 数作为积的一个因式 的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 把它们的系数与同底数幂分别相除作为商 法则的理论依据：乘法的交换律、结合律 除法 的因式，对于只在被除式里含有的字母，则 及同底数幂的乘法法则 连同它的指数作为商的一个因式 ®黑银 例①计算： 法则说明进行单项式的乘法分三个部分： 4y2(-2产. (1)积的系数等于各个因式系数的积，通常是 先确定符号，再计算其绝对值 (2)(-5a2c2)3÷(-abc). (2)相同字母相乘，应用同底数暴的乘法法则， (3)8.x3y2÷[(-4x5y)÷(-2.xy)]. (3)只在一个单项式里含有的字母，连同它的 解析1y(-2)-[4X(-2)]: 指数写到积里去，千万不要漏掉 x+2y2+1z=-2x3yx. 单项式乘单项式的结果仍是一个单项式. (2)(-5a2fc2)2÷(-alc)2=(25a'bc)÷ 2.单项式相除的法则 (a26c2)=25a22. 单项式相除，把系数与同底数幂分别相除 (3)8.x3y2÷[(-4.xy3）÷(-2x3y2)]= 作为商的因式，对于只在被除式里含有的字 8.x3y2÷{[(-4)÷(-2)]x-3y3-2}=8.x2y2÷ 母，则连同它的指数作为商的一个因式 2x2y=(8÷2)x3-2y2-1=4.xy. 3.单项式乘除法的比较 总结在运用单项式除以单项式法则时， 跟整式的乘法一样，整式的除法的关键是 要善于将被除式和除式中的系数、同底数暴进 掌握好同底数幂的除法和单项式与单项式相 行分类，并要特别注意系数的符号，且按照运 除的法则.为此，不妨将二者进行归纳、比较 算顺序计算 124 第十四章 整式的乘法与因式分解么组 易错点指数的运算错误 每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的 例计算：号a6·(-多a6). 积相加 法则的指导思想是将多项式相乘的问题 正解 原式=号a8(-多)e6a 转化为单项式与多项式相乘的问题.如 (a+b)(m十n)=a(m十n)十b(m+n) 号a·(》u6 -am-anbmbn. = 省掉中间步骤，用图示表示，即 (a+bX莎t分=am+an+bm+bn 错解 ®思板 多项式乘多项式，仍得多项式，但通常有同类 项可合并，在合并同类项之前，积的项数应等于两 错因前面易把()（幂的乘方）与同 个多项式的项数之积.如(a十b)(m十)的积的项数 底数暴的乘法法则相混淆，写成了+2，后面 为4(2×2一4)，这是检查多项式相乘是否福乘的方法. 易把a3·a2和b·?(同底数暴相乘)与幂 例2计算：(-6yx十x2yx-2xz)÷ 的乘方法则混淆，分别写成了a3×2和b×2.正 (-2xyz). 确使用公式是解决这类题的关键 6.x3y 3xy 知识点2单项式与多项式间的运算 解析 ryx ÷(-2xyz) 1 1.单项式与多项式相乘的法则 -2xy 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘 多项式的每一项，再把所得的积相加， 故原式=3ry- 2xy+1, 法则的理论依据是分配律，即 总结用竖式作多项式除以单项式的运 m(a+b+c)=ma十mb+mc. 算，就是将被除式（多项式）以竖式的形式列 结果：非零单项式乘以不含同类项的多项 出，再分别与单项式相除，在相应的行的位置 式，其积仍是多项式，并且积的项数与所乘多 列出商来，最后按商作答。这实际上是将多项 项式的项数相等. 式以竖式的形式分成若干个单项式，再分别除 2.多项式除以单项式的法则 以单项式，其优点一是化冗长为简短，二是便 多项式除以单项式，先把这个多项式的每 于检查。 一项除以这个单项式，再把所得的商相加， 知识点3同底数幂的除法法则 多项式除以单项式的运算方法： 1.同底数幂的除法法则 对于每一项含字母较多，且项数超过三项 数学语言：am÷a”=a(a≠0，m,n都是 的多项式除以单项式时，由于算式较长，运算 正整数，并且m>n). 易出错，有时我们可以采用列成竖式的运算 文字语言：同底数幂相除，底数不变，指数 方法 相减。 3.多项式乘多项式的法则 法则的理论依据是除法是乘法的逆运算， 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的由a""·a"=a"得am÷a”=am". 125 国雕白手细人年级教学上册团 0果0 知识点4零指数幂 注意法则运用的条件 1.零指数幂 (1)a≠0.若a=0,则a"=0,但0作除数无 同底数幂相除，如果被除式的指数等于除 意义 式的指数，例如am÷a",根据除法的意义可知 (2)m,n都是正整数，并且m>m.当m,n都是 正整数时，与同底数暴的乘法一样：若<，则m一n 所得的商为1.另一方面，如果依照同底数幂的 为负整数，而我们暂时还没有接触负指数幂的问题 除法来计算，又有am÷am=a"=a 2.规定 例B计算： a°=1(a≠0). (1)(-a)8÷(-a)3. 的果拔 (2)5m·1252m÷252m-1 在a'=1(a≠0)中，“a≠0”是规定中不可缺的 (3)(a十b)3m÷(a十b)m-1÷(a十b)m-2÷ 一部分，也是极易被忽略的问题，同时不要误认为 (a+b)r+1」 a°=0. 解析(1)(-a)8÷(-a)3=(一a)8-3 3.语言叙述 (-a)5=-a. 任何不等于0的数的0次幂都等于1. (2)5m·1252m÷252m-1=5·(5)2m÷ (5)2m-1=5”·5m÷5m2=5m+m（wm-2=5w+2. 例5若(2m一1)=1，则( ）. (3)(a十b)÷(a+b)m1÷(a+b)m-2÷ Am=司 B.m=0 (a十b)m1=(a十b)rm-p-m-2)-+D=(a+b)2. 总结作同底数暴的除法时，确定底数时 Cm≠号 D.m≠0 一定要慎重.有些底数貌似相同，实则不同；有 解析，a°=1成立的条件是a≠0， 些底数貌似不同，但稍作变形又相同 例4已知一个多项式与单项式一7xy 2m-10.申m子 答案C 的积为21xy2-28xy4+7y(2.x2y2)2,求这个 例6已知2×5=5×2m,求m的值. 多项式 解析[21xy2-28.x2y+7y(2.x3y2)]÷ 解析两边同时除以2，得2X5=5X2 2 2· (-7xy) 即5m=5×2m-1. ① =(21xy-28xy+28xy)÷(-7xy) =21xy2÷(-7x5y)+(-28zy)÷ ①式两边网时除以5，将-5X, 5 (-7xy)+28xy÷(-7xy) 即5m-1=2m-1】 =-3y2+4.x2-4xy. 5≠2，∴.m-1=0,即m=1. 口02关健能力提升◆ 题型1单项式间的乘除运算 解析原式=(-3×3)·(·)0·y) 例⑦计算：(-3x)·(3)= =-xy. 126 第十四章整式的秉法与因式分解蓝 答案一x3y. 式乘以单项式的运算法则和同底数暴的除法 总结直接利用单项式乘以单项式的运算 运算法则化简计算即可. 法则计算得出答案。 ◆变式2已知2.x-3=0,求代数式x(x2 ◆变式1已知(-2xy)÷(-2y） -x)十x2(5-x)一10的值 题型3多项式乘多项式要“循序遍 一m.xy,求n,m,p的值， 题型2计算中遵循先乘方后乘法的运 乘”“不重不漏” 多项式与多项式相乘，就是先用一个多项 算顺序 式的每一项去乘以另一个多项式的每一项，再 在进行整式的乘法运算时，要注意运算的 把所得的积相加.在运算的时候要注意，多项 顺序.当单项式中含有幂的运算时，应先进行 式乘以多项式就是运用乘法的分配律将其转 幂的运算，再进行单项式的乘法运算.如果运 化为单项式乘多项式，进而转化为单项式乘单 算中含有括号，先运算括号内的算式，然后再使 项式，最终转化为数乘和同底数幂相乘.运算 用乘法的分配律进行单项式与单项式的运算. 例8化简：(1)(-2ab)2·(-3ab). 时要注意连同每一项前面的符号一起相乘来 确定结果的符号。 (2)3ab[(-ab2-26(a2-号ab], 例9计算：(2x-3)(x2-x+2) 解析(1)原式=[(-2)2·a2·(6)2]· 解析原式=2x·x2十2x·(一x)十2x·2 (-3ab) -3.x2-3·(-x)-3×2 =4a2b·(-3ab) =2.x3-2x2+4x-3.x2+3x-6 =-12a3b. =2x-5x2+7x-6, (2)原式=3aba6-2a+ad） 总结在进行较简单的多项式与多项式乘 法时，上面计算过程的第一步可以省略，只需 =3ab(-a6+号a6) 写出每一项相乘的结果，然后合并同类项即 =-3a6+4a2b 可.但初学者可保留第一步运算，避免出错 总结直接利用合并同类项法则以及单项 ◆变式3化简：(x+y)(2+2xy十1)(x一y). 03热点考向聚焦。 考问1整式乘法的运算 解析原式=x2一1十2x一x2=2.x一1. 例10(2022·西宁中考)计算：2ab· (-3ab)2 将x=号代入，原式=2×2-1=0， 解析2ab·(一3ab)2=2a·9ab2= 总结根据单项式乘多项式、平方差公式 18a3b. 可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化 考向2整式乘法的化简求值 简后的式子即可解答本题. 例11(2020·济宁中考)先化简，再求 考向3整式乘法的综合运用 值：(x+1)x-1D+z(2-x),其中x= 例12(2021·武汉汉阳区模拟)在长方 127 国雅点手册人年级数学上册圆 形ABCD内，将两张边长分别为a和b(a>b) 的正方形纸片（如图1）按图2，图3两种方式放 置（图2，图3中两张正方形纸片均有部分重 叠)，长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的 图1 图2 图3 部分用阴影表示.设图2中阴影部分的面积为 解析S1=AB·AD-[a2+}一b(a+b S1,图3中阴影部分的面积为S2,当AD一AB AD)], =2时，S2一S的值为(). S2=AB·AD-[a2+-b(a+b A.2a B.26 AB)],..S2-S1=b(AD-AB)=2b. C.2a-2b D.-2b 答案B 口-04学业质测评。 A基础过关练 测试时问：15分钟 4.计算： 1.(经典·陕西中考)下列计算中正确的是 12xy(-4xw. () A.x2+3x2=4x (2)2xy…(xy-2x) B.x2y·2.x3=2xy (3)3(1-2)(t-3)-(31+15). C.(6.x2y2)÷(3x)=2x2 (4)6a÷2al. D.(-3x)2=9.x2 2.(经典·宁波中考)把四张形状大小完全相 同的小长方形卡片（如图1）不重叠地放在一 个底面为长方形（长为mcm,宽为ncm)的 盒子底部，盒子底面未被卡片覆盖的部分用 阴影表示（如图2）.则图2中两块阴影部分 的周长之和是( 5.(2020·荆门中考)先化简，再求值：(2.x+ y)2+(x+2y)2-x(x+y)-2(x+2y)· 图1 图2 (2x+y),其中x=2+1,y=√2-1. A.4m cm B.4n cm C.2(m十n)cm D.4(m-n)cm 3.(2020·衡阳中考)化简： b(a+b)+(a+b)(a-b). 128 第十四章整式的秉法与因式分解么0 6.请回答下列问题： 9.已知(.x-1)5=ax5+a5.x5十a1x+a3.x2十 (1)计算： a2.x2十a1x十a,将x=0代入这个等式中可 ①(x+4)(x+1).②(y-4)(y-1). 以求出a=1.用这种方法可以求得a6十a ③(m+4)(m-1).④(m-4)(m+1). 十a+a+a2十a1的值为(). A.-16 B.16 C.-1 D.1 10.已知ab=3,求ab(a2-a一b)的值. (2)由上面计算的结果找规律：(x十a)(x十 b)= 11.已知无论m,n为何值，(x十y)(x十y) (3)由规律直接写出下列算式的计算结果： 2+2xy一8y均成立，试求㎡n十的值 ①(+3)(y-2) ②(y+3)(y+3) ®(y+(6-3) ●B中考提能练 测试时间：20分钟 7.下列运算中正确的是( ). A.3a2-a2=3 B.(a+b)2=a2+b2 C.(-3ab)2=-6a2b D.a°=1(a≠0) 12.求证：对于任意正整数n,代数式n(n十7) 8.如图，将一个边长为a的小正方形与四个边 一(n+3)(n一2)的值一定是6的倍数. 长均为b的大正方形拼接在一起（其中a< b),则四边形ABCD的面积为( A.a2+2ab B.a2+ C.a?+2ab+b2 D.a2-2ab+2b2 129 国雕白手细人年级教学上册团 13.在以下关于x的各个多项式中，a,b,c,m,n 15.(2024·武汉外校模拟)若多项式x+十3x2+ 均为常数。 8.x2-kx+12被x+3整除，说明x+3=0 (1)根据计算结果填写下表， 时，多项式的值为0，即当x=一3时，多项 二次项系数 一次项系数常数项 式为0，我们可以把x=一3代入多项式，值 (2x+1)(x十2) 2 为0，可得方程，求出k的值为一28；若多项 (2x+1)(3x-2) 6 -2 式x+3.x3+8.x2-kx+12除以x+3时， (a.r十b)(mx+n) 在m m 余数为6，说明x十3=0时，多项式的值为 (2)已知(x十3)2(x2十m.x十n)既不含二次 6,即当x=一3时，多项式为6，我们可以把 项，也不含一次项，求m十n的值 x=一3代入多项式，值为6，可得方程，求 (3)多项式M与多项式x2一3.x+1的乘积 出k的值为一26.结合上述知识解决下列 为2.x+a.x2十bx2+cx-3,则2a+b+c 问题： 的值为 (1)若a.x+2.x2-4.x+5能被x-2整除， 则a的值为 (2)若a.x3一2.x2-4.x十5除以x十2时，余 数为4，则a的值为 (3)若ax3+bx2-4x十5能被x一2与x+3 整除，则a一b的值为 (4)若a.x3+bx2一4x十5除以x一2时，余 数为1；除以x十3时，余数为一1，求a, C培优突破练 测试时间：20分钟 b的值. 14.请回答下列问题： (1)已知x+x一1=0，你能计算出x3一2x+ 2011的值吗？如果你觉得困难，建议 用“整体代换”的方法试试， (2)已知x2-8x-3=0,求(x-1)(x-3)· (x一5)(x-7)的值. 130参考答案与提示么般 11.D提示：原式=（一2）0+（一2）·(-2)0=-2. =(-Dx(仔)》×4 12.b. 13.(1)2.(2)0. =(-1Dx()×4m×4 (3),2×M,+M+n=2×(一2)"+(-2)+1=0， ∴.2XM与M+互为相反数. =(-10×(}×4)×4 14.10+w=10产·10%=(10)·(10)2=52×6= =一4. 5400. (2)原式=（号）”×（得）×(-2)m×(是) 15.2×8×(4")2=2×(2)"×(22)2=2×2m×2w= 2+w+"=21+.又256=24，故1+7n=8,得1=1. (号)×（得）×2×2×（是）”×是 16.35=(32)1=243,44=(4)t=256,5= (5)=125, -(号×2”×（得×是）×2×品 .44>35>538. 14.1.3积的乘方 14.a-3与6+1互为相反数， [变式1](1)4×0.25=(4×0.25)=1=1. 2(-￥)“×(13)"=(-是×告)- ,.a-3十b十1=0..a+b=2. ∴.(-2)·(-3)·64=[-2X(-3)]户·6% (-1)28=1. 6·62=62+4=(6*)2=(6)2=1296. [变式2](1)由2+3·3+1=36-”得(2×3)+1= 15.,5=2*=10. 66-. .(5)P=10的，(2)=10， .x十3=2(x-2).∴.x=7. (2)原式=27(x)-8(.x)2=27×23-8×2=184. ∴.5=10,26=10， 【学业质量测评】 ∴.5·2=10·10， 1.B提示：(2a)户=23·(a)3=8a ∴.(5X2)4=10+. 2.B提示：2·a=a,(ab)2=a2F,(a2)3=a1=a, ..ab=a+b. a2+a2=2a2, += 3.D提示：A项，(-2a)2=4a6:B项，(-a)a= 14.L,4整式的乘法 -a:C项，(ab)=a2. 4.-8xy2.提示：(-2xy)=(-2)·(x产)3·y2= [变式】(-2》÷(-y2）=-m少， -8.xy. 5.aW.提示：原式=a2·(-1)2·a2·()2=ab, (-8xy)÷(-合y）=mr 6.-3ry.提示：-27xy=(-3)2x(y2)2=(-3y2). 即16.x"y=一m.xy. 7.(1)16.xy2.(2)-27a. 16=一m, m=-16, 8.D9.-4x2. 依题意得9一1=7，解得n=2, 10.64.提示：(x2m)=x=(x). 4=p p=4 1L.1.28×10,提示：原式=4×10×8×103=128× [变式2]原式=x-2+5.x-r-10=4x2-10 105=1.28×10r. (2x)2-10=3-10=-1. 12.x=1. [变式3]原式=(z十y)(x-y)(x+2xy+1) 1&.原式=（一×(）×4华) =(x2-y)(x2+2xy+1) 25 重雕手册人年级教学上册则 =r+2ry+r-r'y-2ry-y. 13.(1)一次项系数由上至下依次为5，一1，an十m 【学业质量测评】 (2),(.x+3)(2+mr+n)=(2+6x+9)(x2+m.z 1.D提示：x+32=4x,xy·2.x=2ry,(6ry)÷ 十n), (3x)=2xy2,(-3x)2=9.x. ∴.二次项系数为6m十n十9，一次项系数为9m十6. 2.B提示：设小长方形卡片的长为xcm,宽为ycm,则 ,该多项式不含二次项和一次项， 阴影部分的周长之和为2x十2(n一2y)十2×2y十 「6m十+9=0， m=一2， 解得 2(n-x)=4n(cm. 9m+6n=0, n=3. ∴m十n=1 3.原式=ab+∥十a- (3)一4.提示：令(2x+mx-3)(x-3.x+1)=2.x -a2+ab. tar+br+cr-3. 41)原式=女y(-4r)=- 则三次项系数为一6十m=a,二次项系数为2一3m一3 1 =b,一次项系数为m十9=(， (2)原式=2y·ry-2y·乞xw=2r- ,.2a十b+c=-12十2m+2一3m-3+m十9=一4. (3)原式=3(r-5t+6)-3-15=-15t+3. 14.(1)x2+x-1=0,.x2+x=1.x2=1-x (4)3a2 ,.x1-2x+2011=x23+xr2-x2-2x+2011 5.原式=y-3xy. =x(x2+x)-(1-x)-2x十2011 把x=2+1,y=2-1代入，得原式=-22. =x-1十x-2x+2011 =2010. 6.(1)①(x十4)(x+1)=x2+x十4x十4=x°+5x十4. (2)x2-8x-3=0, ②(y-4)(y-1D=y-y-4y+4=y2-5y+4. .x2-8x=3. ③(n十4)(m一1)=m2一m十4m一4=m2十3m一4. ,.(.x-1)(x-3)(x-5)(.x-7) ①④(1-4)（十1）=2十m一4n一4=m2一3m一4. =(x2-8x+7)(.x2-8x+15) (2)x2+(a+b)x+ab. =(3+7)(3+15)=180. (30y-名g.@y+6y+9.③y2- 15)-吾2g 7.D8.D 提示：当x=2时，多项式为0， 9.C提示：令x=1,得(1一1)°=ds十a5十a4十a十a:十 当x=一3时，多项式为0， a十ao, {a·22+b·22-4×2+5=0. ∴.a+a2+a十a4+as十as=-l. a·(-3)3+b·(-3)2-4×(-3)+5=0, 10.ab(a-al-b)=a-al-ab=(alf ) 19 (ab)2-ab=33-3-3=15. a=361 解得 11.x2+2.ry-8y2=(x+my)(x十ny)=x2+(m+n)· 11 b=一36 xy十mny2. (4)当x=2时，多项式为1， 故m十n=2,m=一8，即i十m7=(m十n)=一16. 当x=-3时，多项式为一1， 12.n(n+7)-(n+3)(n-2) (a·23+b·22-4×2+5=1. =2十7n-(2十n-6) 4·(-3)2+0·(-3)2-4×(-3)+5=-1. =6m十6 3 a= =6(n十1). 解得 a的值为号，6的值为-弓· 1 .n(n十7)一(n十3)(n-2)一定是6的倍数. = 5 26