14.1.3 积的乘方-【重难点手册】2024-2025学年八年级上册数学（人教版）

重雕点手细八年级教学上册) 14.1.3积的乘方 重点和难点 课标要求 掌握积的乘方的运算性质，并能熟练地运用这些性质进行 重难点：(ab)*=ab(n为正整数). 有关计算. 01一必备知识梳理。 知识点1积的乘方运算法则 知识点2幂的三种运算 1.法则的推导 法则 运算 对于任意底数a,b与任意正整数n,有 数学语言 文字语言 (ab)=(ab)·(ab)·…·(ub) 同底数 a"·a"=at"(m, 幂相乘 底数不变，指数相加 个动 n均为正整数) =a·a·…·a·b·b……·b 幂的 (a")"=a"(m,n n个 N个6 乘方 底数不变，指数相乘 均为正整数) =a"b". 积的 积的每一个因式分 (ab)"=a"b(n为 2.两种表述方式 乘方 别乘方，再把所得的 正整数) 幂相乘 数学语言：(ab)”=a"b(n为正整数). 成暑标 文字语言：积的乘方，等于把积的每一个 (1)在运用幂的运算法则时，注意知识的拓展， 因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 底数和指数可以是数，也可以是整式，对三个或三 3.法则的拓展 个以上因式的积的乘方也适用. (ab)"=a"b"c"(n为正整数). (2)要注意运算过程，注意每一步的依据，还应 例口计算：1(-2ab) 防止符号上的错误 (3)在建构渐的法则时应注意前面学过的法则 (2)-(-3a6). 与新法则的区别和联系 (3)(-xy2)5. 例2计算：(1)(3×10)3×[(-10)] 解析q)(-2ab)2=(-号).(a)· (2)[3(m+n)2]3[-2(m+n)3]2 (3)(-2.xy2)+(-3.x2y)3. (4)(-2a)5-(-3a2)3+[-(2a)2]3. (2)-(-3a26)1=-(-3)1·(a2)1· 分析按顺序进行计算，先算积的乘方，再 (6)'=-81ab2. 算幂的乘方、同底数幂的乘法，最后算加减。 (3)(-x2y2)3=(-1)5·(x3)5·(y2)= 解析(1)(3×102)3×[（一10）3]=33× -x5y2 (102)3×[(-1)3]×(103)=27×105×1012= 总结直接利用积的乘方的运算法则计算， 27×108=2.7×1019, 120 第十四章 整式的乘法与因式分解么 (2)[3(m+n)2]3[-2(m十n)3]=33· 27xy2=37.x6y2. [(m+n)]3·(-2)2·[(m+n)3]2=27 (4)(-2a)°-(-3a2)3+[-(2a)2]3 (m十n)5·4·(m十n)5=108(m十n)12. (-2)5·a-(-3)3·(a2)3+(-1)3· (3)(-2xy2)+(-3x2y)3=(-2)°· [(2a)2]3=64a-(-27)a+(-1)3·(22)3· x·(y)5+(-3)3·(x2)3·(y)3=64xy2 (a2)3=64a5+27u5-64a5=27a. ]-02一关健能力提升。 题型1积的乘方运算 2-)×1 在进行积的乘方运算时，要将积中的每 题型3综合运用幂的三种运算 个因式分别乘方，再将所得的结果相乘，不能 幂的三种运算是进行整式乘法的基础.在 漏乘任何一项.在幂的运算中，要注意底数为 负数时将底数的符号看作一1，连同其他底数 实际的运算中，三种运算往往需要结合起来运 一起乘方.如果底数是指数幂的形式，先进行 用.在解题时，应分清使用的是哪种运算.同底 积的乘方运算，再进行幂的乘方运算 数幂相乘，底数不变，只需要进行指数的加法： 例3计算：[（一x2y)(一x2y)2]下. 幂的乘方，底数不变，只将指数相乘：积的乘 解析原式=（一x2y)3×3·(一x2y)2×3 方，作为底数的每一项都要进行乘方.准确地 =(-x2y)9·(-x2y)9 掌握这三个法则是整式乘法运算的关键。 =(-1)9·(x2)P·y·(-1)· 例5已知a,b互质，且(a"b2·ab)5= (x)·y a5b,则(3m)"= =一x18+12y9+6 解析.(amb2·ab)5=(am+1b+2)3= =-x0y5. a5b2=(a3b)5, 总结连同底数符号一同乘方. 2=ab 题型2逆用积的乘方运算法则 ,a,b互质， 在使用法则时要灵活.积的乘方运算法则 m+1=3, m=2, 解得 也可以反过来使用，即ab=(ab)”(n是正整数). n+2=4. n=2. 例4已知a2=2,则(2am)2一3(a)2的 故(3m)"=3"m"=32×22=36. 值为 答案36 解析(2a3m)2-3(a2)m=22·(a2m)3 总结先乘方，再乘除，最后算加减， 3(a2m)2=22×23-3×22=20. ◆变式2请回答下列问题： 答案20. (1)已知2+3·3+3=362，求x的值 变式1计算： (2)已知n是正整数，且x=2,求(3x)3十 (1)48×0.25. (一2x)3的值. 121 重雕点手册八年级数学上册划 03热点老向聚焦一。 考向1积的乘方运算 (-2a2)3=(-2)3a2×3=-8a,故选项C正 例6(2020·山西中考)下列运算正确的 确；4a3·3a2=4×3×a3+2=12a,故选项D 是(). 错误 A.3a+2a=5a 答案C B.-8a2÷4a=2a 例7已知2”=a,3=b,n是正整数，则用 C.(-2a2)3=-8a 含有a,b的式子表示62"的值为 D.4a3·3a2-12a 解析620=(2×3)2m=22m·32m=(2")2, 解析3a十2a=5a,故选项A错误；一8a (3")2=2. ÷4a=(-8÷4)×a2-1=一2a,故选项B错误： 答案a6. 04学业质量测评。 A基础过关练 测试时间：15分钟 B中考提能练 测试时间：20分钟 1.计算(2a)3的结果是( ). 8.(2020·贵州中考)下列运算正确的是( A.2a2 B.8a2 C.6a D.8a A.(x+y)2=x2+y2 B.x+x=x 2.(经典·淮安中考)下列运算中正确的是 C.x2·x2=x D.(-3x)2=9.x (). 9,计算：2x·(-22)°= A.a2·a3=a B.(ab)2=a2 10.若x20=2,则(x20) C.(a2)3=a D.a2+a2=a' 11.将计算的结果用科学记数法表示出来： 3.下列运算中正确的是( (4×105)2×(8×103)= A.(-2ab)=-2a2bB.(-ab)3=a3b 12.已知28×5+8=100+1，求x的值. C.(ab)2=a2b D.(-a2b)3=-ab 4.(2024·武汉汉阳区模拟)（一2.x2y)3= 5.a2·(-ab)2 6.( )3=-27x3y°. 7.计算： (1)(-2.x2y3). (2)-(3a26)3. 122 第十四章 整式的秉法与因式分解么 13.用简便方法计算： C培优突破练 测试时间：10分钟 1)(-)20"×161. 15.已知5=2=10，求是+方的值 (2(0.5×3号)×(-2×)m。 14.已知a一3与b十1互为相反数，求(-2)m· (一3)2·6的值. 123参考答案与提示么般 11.D提示：原式=（一2）0+（一2）·(-2)0=-2. =(-Dx(仔)》×4 12.b. 13.(1)2.(2)0. =(-1Dx()×4m×4 (3),2×M,+M+n=2×(一2)"+(-2)+1=0， ∴.2XM与M+互为相反数. =(-10×(}×4)×4 14.10+w=10产·10%=(10)·(10)2=52×6= =一4. 5400. (2)原式=（号）”×（得）×(-2)m×(是) 15.2×8×(4")2=2×(2)"×(22)2=2×2m×2w= 2+w+"=21+.又256=24，故1+7n=8,得1=1. (号)×（得）×2×2×（是）”×是 16.35=(32)1=243,44=(4)t=256,5= (5)=125, -(号×2”×（得×是）×2×品 .44>35>538. 14.1.3积的乘方 14.a-3与6+1互为相反数， [变式1](1)4×0.25=(4×0.25)=1=1. 2(-￥)“×(13)"=(-是×告)- ,.a-3十b十1=0..a+b=2. ∴.(-2)·(-3)·64=[-2X(-3)]户·6% (-1)28=1. 6·62=62+4=(6*)2=(6)2=1296. [变式2](1)由2+3·3+1=36-”得(2×3)+1= 15.,5=2*=10. 66-. .(5)P=10的，(2)=10， .x十3=2(x-2).∴.x=7. (2)原式=27(x)-8(.x)2=27×23-8×2=184. ∴.5=10,26=10， 【学业质量测评】 ∴.5·2=10·10， 1.B提示：(2a)户=23·(a)3=8a ∴.(5X2)4=10+. 2.B提示：2·a=a,(ab)2=a2F,(a2)3=a1=a, ..ab=a+b. a2+a2=2a2, += 3.D提示：A项，(-2a)2=4a6:B项，(-a)a= 14.L,4整式的乘法 -a:C项，(ab)=a2. 4.-8xy2.提示：(-2xy)=(-2)·(x产)3·y2= [变式】(-2》÷(-y2）=-m少， -8.xy. 5.aW.提示：原式=a2·(-1)2·a2·()2=ab, (-8xy)÷(-合y）=mr 6.-3ry.提示：-27xy=(-3)2x(y2)2=(-3y2). 即16.x"y=一m.xy. 7.(1)16.xy2.(2)-27a. 16=一m, m=-16, 8.D9.-4x2. 依题意得9一1=7，解得n=2, 10.64.提示：(x2m)=x=(x). 4=p p=4 1L.1.28×10,提示：原式=4×10×8×103=128× [变式2]原式=x-2+5.x-r-10=4x2-10 105=1.28×10r. (2x)2-10=3-10=-1. 12.x=1. [变式3]原式=(z十y)(x-y)(x+2xy+1) 1&.原式=（一×(）×4华) =(x2-y)(x2+2xy+1) 25